方程求根

方程的求根公式一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,~a \neq 0 ，通过配方可以得到\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} ，根据判别式 \Delta=b^2-4ac 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式。

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\要么是 2 个不同的实根 \Delta>0 ，要么是 1 个二重实根\Delta=0 ，要么是 1 对共轭虚根 \Delta<0 ；计算重数的情况下都是 2 个根。

记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} 以及两根之积x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2 .求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\。

注：如果 x_1,~x_2 是共轭虚根，x_1-x_2 就是纯虚数，对负数\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2 开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2} .几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a} 是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a} . 如果 x_1,~x_2 都是实根，则d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p} 是根到平均值的距离。

5次方程求根在代数学中，一个方程是一组数学式子，其中包含一个未知量（通常用x表示），并且要求找到该未知量的值使得方程等式成立。

在这篇文章中，我们将探讨五种不同的方程求根方法。

1. 因式分解法对于简单的方程，可以使用因式分解法来求根。

这种方法通过将方程进行因式分解，然后解出未知量的值。

例如，考虑以下方程：2x^2 + 4x = 0。

将方程因式分解得到：2x(x + 2) = 0。

因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0或x = -2。

2. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，用于求解任意函数的根。

该方法通过使用函数的导数来逐步逼近根的值。

例如，考虑以下方程： x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0。

使用牛顿-拉夫逊法得到根的近似值为x ≈ 1.0、x ≈ 2.0和x ≈ 3.0。

3. 二分法二分法是一种简单的求根方法，适用于单调递增或递减的函数。

该方法通过在函数的定义域中二分搜索来逐步逼近根的值。

例如，考虑以下方程：x^2 - 2 = 0。

使用二分法得到根的近似值为x ≈ 1.41。

4. 配方法配方法是一种用于解决二次方程的方法，该方法通过将方程转化为一个完全平方式程来求解。

例如，考虑以下方程：x^2 + 6x + 9 = 0。

将方程转化为(x + 3)^2 = 0，得到方程的解为x = -3。

5. 因子法因子法是一种基于因式分解的方法，用于解决多项式方程。

该方法通过将多项式进行因式分解来求解方程。

例如，考虑以下方程：x^3 + 3x^2 + 2x = 0。

将方程进行因式分解得到：x(x + 1)(x + 2) = 0。

因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0、x = -1或x = -2。

总之，以上是五种不同的方程求根方法。

选择哪种方法取决于方程的类型和难度。

二次方程求根公式
一次方程求根公式：
1. 一次方程求根公式是：ax+b=0，其中a和b是实数，x是未知数。

2. 求解一次方程求根问题时，需要先将该方程换成x的单项式形式，此次是：x=-b/a。

3. 由-b/a，可求得未知数x的值x=-b/a，即为一次方程的解。

二次方程求根公式：
1. 二次方程求根公式是：ax2+bx+c=0，其中a、b、c是实数，x是未知数。

2. 在求解二次方程求根的问题时，要先将二次方程换成0=ax2+bx+c的标准型式，
3. 将二次方程转换为一个二次函数y=ax2+bx+c，然后根据该二次函数解对应的韦达定理求解。

4. 韦达定理求解二次方程时，要先求得二次方程的判别式：Δ=b2-4ac。

5. 如果Δ>0，则二次方程有两个不相等的根，分别为：x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。

6. 如果Δ=0，则该二次方程有一个重根，为：x=(-b+√Δ)/2a。

7. 如果Δ<0，则二次方程无实数根，即无解。

求根的相关公式摘要：一、引言二、求根公式简介1.二次方程求根公式2.分式方程求根公式3.三次方程求根公式4.反比例方程求根公式三、求根公式的应用1.二次方程的应用2.分式方程的应用3.三次方程的应用4.反比例方程的应用四、求根公式的局限性五、结论正文：一、引言在数学中，求根是一个常见的问题。

本文将介绍几种常见的求根公式，以及它们的适用范围和局限性。

二、求根公式简介1.二次方程求根公式二次方程的标准形式为ax+bx+c=0，它的求根公式为x,x=(-b±√(b-4ac))/(2a)。

2.分式方程求根公式分式方程的一般形式为ax+b=cx+d，它的求根公式为x=(c-b)/(a-c)。

3.三次方程求根公式三次方程的一般形式为ax+bx+cx+d=0，它的求根公式为x=((-b+√(b-3ac))/(3a)，x=((-b-√(b-3ac))/(3a)，x=c/a。

4.反比例方程求根公式反比例方程的一般形式为ax=b，它的求根公式为x=b/a。

三、求根公式的应用1.二次方程的应用二次方程在几何中常常用来求解抛物线的顶点，也可以用来求解一些实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹等。

2.分式方程的应用分式方程在解决一些实际问题中非常有用，如流水线的工作效率问题，交通流量问题等。

3.三次方程的应用三次方程在数学理论研究中较为常见，如解决一些复杂的几何问题，曲线拟合等。

4.反比例方程的应用反比例方程在物理中常常用来描述一些反比例关系，如电阻和电流的关系，力矩和转速的关系等。

四、求根公式的局限性尽管求根公式可以解决很多问题，但它们也有一些局限性。

首先，对于非线性方程，求根公式可能无法求解；其次，对于一些复杂的问题，可能需要借助其他数学工具，如数值计算方法等。

五、结论总的来说，求根公式是数学中一个基本且重要的工具，它可以解决很多实际问题。

计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。

对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

1. 推导过程。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。

- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。

- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。

- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。

- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。

- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。

- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。

- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。

二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。

令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。

其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。

第13章 方程求根对于常见的方程可用已知的方法求解，例： x 2-7x-8=0可用求根公式求解；x 3-2x-4=0可用提取公因式求解；但对于如下的方程则无法求解：X 3-2x+4=0 sinx-x+1=0 e x +2x-9=0一、方程求根的几何意义：求方程x 2-4=0的根，即求函数f(x)=x 2-4与x 轴(y=0)交点的横坐标值。

判断有根区间：设方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一的根，则区间[a,b]称为f(x)=0的有根区间。

设函数f(x)在区间[a,b]内连续，严格单调，且满足f(a)f(b)<0，根据连续函数的性质，f(x)必定与x 轴在区间[a,b]内有交点，故方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根（至少有一个根）。

方程f(x)=0的根记作x *。

二、二分法1．二分法的定义：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)<0、f(b)>0，根椐连续函数的性质，方程f(x)=0在区间（a,b ）内一定有实根。

用二分有根区间的方法（用区间[a,b]的中点1/2（a+b ）平分区间），得到有根区间序列[a n ,b n ]即[a ，b] ⊃ [a 1，b 1] ⊃ [a 2，b 2] ⊃…⊃ [a n ，b n ] ⊃…，重复以上步骤可进一步缩小区间，每一次都使区间缩小了一半，最终趋近于真实根。

x *≈x n =)(21n n b a +有误差估计式：∣x *－x n ∣≤1+2-n ab ，（n =0,1,2,…）对于给定误差限ε，∣x *－x n ∣≤1+2-n ab ≤ε，有：二分有根区间次数公式：2--≥1+ln ln )ln(εa b n ≤ε12ln ln )ln(---≥εa b n用这种二分有根区间求方程近似根的方法，称为二分法或称对分法。

例1：证明方程1－x －sinx ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明：令f(x)＝1－x －sinx ，f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0f(x)=1－x －sinx=0在[0，1]有根.又f，(x)=1－cosx>0(x ∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。