高二数学期末复习练习题

高二数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量,满足,与的夹角为,则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2.设为正数，，，，则三数（ ）A ．至少有一个不大于B ．都小于C ．都大于D ．至少有一个不小于3.如下图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB=2，∠BAC="90°." 将△ACD 沿AC 折起，使得BD=. 在三棱锥D-ABC 的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（ ）A ．面ABD ⊥面BCDB ．面ABD ⊥面ACDC ．面ABC ⊥面ACD D ．面ABC ⊥面BCD4.利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.如果K2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( ) A．25% B．75%C．2.5% D．97.5%5.A．{1,2,3,4} B．{1,2} C．{1,3} D．{2,4}6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A． B． C． D．7.下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小8.集合的子集的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．10.抛物线截直线所得的弦长等于A． B． C． D．1511.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）12.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀、并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（）A． B． C． D．13.双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．14.已知抛物线的焦点弦AB的两端点为，则关系式的值一定等于（）A． B． C． D．15.不等式的解集是（）A． B． C． D．16.已知命题p:3≥3,q:3>4，则下列判断正确的是( )A．p q为真，p q为真，p为假B．p q为真，p q为假，p为真C．p q为假，p q为假，p为假D．p q为真，p q为假，p为假17.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．18.设z=，，则下列命题中正确的是（）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数19.若集合，集合，则“”是“”成立的（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件20.直线x=1的倾斜角和斜率是（）A．45°,1B．,不存在C．135°, -1D．,不存在二、填空题21.已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是__________.22.命题：“对任意实数m ，”的否定是23..已知极限存在，则实数的取值范围是____________.24.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面DBEF 的距离 ． 25.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.26.已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则 .27.已知函数在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 28.若随机变量，且，，则当__________．（用数字作答）29.对任意的实数，若恒成立，则m 的取值范围为 ．30.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）.三、解答题31.如图：区域A 是正方形OABC （含边界），区域B 是三角形ABC （含边界）。

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

高二数学期末考试复习试题一、 选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分) 1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）．A ．4M =B ．M M =-C ．3B A ==D ．0x y += 2. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）.Ａ．23与26 B ．31与26 C ．24与30D ．26与30 3．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是.9.8.7.6Ai B i C i D i <<<<，4. 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成()33n n ≥个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，则其中三面都涂有颜色的概率为（ ） （A ）31n （B ）34n （C ）38n （D ）21n5.函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）.Ａ．110Ｂ．23Ｃ．310Ｄ．456．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个1 2 42 03 5 6 3 0 1 14 12球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ．0.59 B ．0.54 C ．0.8 D ．0.157．两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是1/70．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（ ） A ．21B ．35C ．42D ．708．某厂生产的零件外直径ξ~N （10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm 和9.3cm ，则可认为（ ） A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B ．上午生产情况异常,下午生产情况正常 C ．上、下午生产情况均正常 D ．上、下午生产情况均异常9． 310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是（ ）Ａ．297- Ｂ．252- Ｃ．297 Ｄ．20710．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。

高二数学期末复习练习题Revised by Petrel at 2021高二数学期末复习练习题（文科）班级 姓名 学号一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1.在等差数列}{n a 中，已知前15项和为9015=S ，那么8a =（ ）2.满足条件︒===45,23,4A b a 的△ABC 的个数是（ ）A.一个B.两个C.无数个D.不存在3.“0≠k ”是“方程b kx y +=表示直线”的（ ）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则动圆必过点（ ）A.)0,4(B.)0,2(C.)2,0(D.)2,0(-5.若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） D.21 6.数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足1322+-=n n S n ，则1054a a a +++ 等于（ ）7.已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为（ ） C.22 D.238.在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且有C b a cos 2=，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.函数)1()(2x x x f -=在]1,0[上的最大值为（ ） A.932 B.922 C.923 D.83 10.若椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx 有相同的焦点1F 、P F ,2是两条曲线的一个交点，则△PF 1F 2的面积是（ ）C.1210- 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）11.命题“相似三角形的面积相等”的否命题是 ，它的否定是 ；12.若△ABC 面积)(341222a c b S -+=，则A= ； 13.不等式11<-x ax 的解集为}2,1|{><x x x 或，则a 的值为 ； 14.给出平面区域如图，若使目标函数(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 .三、解答题（共6题，共80分） 15.(12分)已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图像都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.16.(14分)命题甲：关于x 的不等式0)1(22≤+-+a x a x 的解集为；命题乙：函数 x a a y )2(2-= 为增函数. 分别求符合下列条件的实数a 的取值范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.17.(12分)已知△ABC 中，.552cos ,10,45==︒=∠C AC B (1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长.18.(14分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图像过点)2,0(P ，且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为.076=+-y x(1)求函数)(x f y =的解析式；(2)求函数)(x f y =的单调区间.19.(14分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元 .写出n a ，n b 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？20.(14分)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线01=-+y x 相交于P 、Q 两点，且 OQ OP ⊥（O 为原点）. (1)求证2211ba +等于定值； (2)当椭圆离心率]22,33[∈e 时，求椭圆长轴长的取值范围. 【答案】（供参考） 1～10 CBBBA DCAAD11 .若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 ；相似三角形的面积不相等 ； 12.6π ; 13. 21 ; 14.53 ; 15. k 的取值范围是)19,1[. 16.(1)),31()21,(+∞--∞ ; (2))21,1[]1,31(-- . 17.(1)23=BC ; (2)13=CD .18.(1)233)(23+--=x x x x f ; (2)在)21,(--∞及),21(+∞+上递增； 在)21,21(+-上递减. 19.(1)454000[1()],1600[()1]54n n n n a b =-=- ；(2) 5n ≥ 20.(1)21122=+ba ；(2)]6,5[. 增城中学 沈金荣2006-10-16。

2022-2023学年度第一学期期末练习题年级：高二 科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知直线l 1：ax −y −1=0，l 2：ax +(a +2)y +1=0. 若l 1⊥l 2，则实数a =( )A. −1或1B. 0或1C. −1或2D. −3或22. 在832()x x-的展开式中，常数项为 ( )A. −112B. 112C. −1120D. 11203. 已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4. 如图，在四面体ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )等于 ( ) A. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. FA⃗⃗⃗⃗⃗ C. AF ⃗⃗⃗⃗⃗D. EF⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )A. 两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是a =(2,3,−1)，b =(2,3,1)，则l 1//l 2B. 直线l 的方向向量为a =(1,−1,2)，平面α的法向量为u =(6,4,−1)，则l ⊥αC. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u =(2,2,−1)，v =(−3,4,2)，则α⊥βD. 直线l 的方向向量a =(0,3,0)，平面α的法向量是u =(0,−5,0)，则l//α6. 1a >“”是“直线1y ax =-的倾斜角大于4π”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 上运动时，异面直线BP 与AD 1所成角的取值范围是( )A. [,]64ππB. [,]63ππC. [,]43ππD. [,)32ππ8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点，若，则的面积为（ ） A ．BC ．D．9. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅ 最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=10．点P 在直线:(0)l y x p p =+>上，若存在过P 的直线交抛物线22(0)y px p =>于,A B 两点，且2||||PA AB =，则称点P 为“M 点”，那么下列结论中正确的是( )A ．直线l 上的所有点都是“M 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“M 点”C ．直线l 上的所有点都不是“M 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“M 点”24y x =F ,A B O 3AF =AOB ∆22二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高二数学期末复习卷一、选择题1.已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i2.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．63.的值为（）A ．B ．C ．D ．4.要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75.定义为n个正数p1，p2，p3…p n的“均倒数”，若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则…=（）A ．B ．C ．D ．6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A ．B ．C ．D ．7.若（3x2﹣）n的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为（）A ． B．﹣135 C ． D．1358.已知x，y为正实数，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）A．3 B ． C．4 D ．9.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且nna32nS+=，则1nnaa-的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．110.已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A． B ．C．D ．11.若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A． B． C． D．12.过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC的面积为，则a 的值为．14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布2(110,10)N，已知(100110)0.34P X≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上有人.15.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为．16.设函数f（x）=x2+2x+alnx，当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题17.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2x+1，在数列{a n}，a1=1，a n+1=f（a n）﹣1（n∈N*），数列{b n}为等差数列，首项b1=1，公差为2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令（n∈N*），求{c n}的前n项和T n．18.如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF=2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由．19.如图，曲线与正方形L：|x|+|y|=4的边界相切．（1）求m+n的值；（2）设直线l：y=x+b交曲线C于A，B，交L于C，D，是否存在的这样的曲线C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．20.设函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．21.某公司在招聘员工时，要进行笔试，面试和实习三个过程。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

高二数学期末复习题库一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7，求f(1)的值。

A. -3B. 0C. 2D. 52. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。

A. 23B. 25C. 27D. 293. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。

A. 圆心(3,4)，半径5B. 圆心(4,3)，半径5C. 圆心(3,4)，半径3D. 圆心(4,3)，半径34. 已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，求其面积。

A. 12B. 15C. 18D. 205. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是多少？A. πB. 2πC. 3πD. 4π二、填空题6. 已知直线l1: 2x + 3y - 6 = 0与直线l2: x - 4y + 8 = 0，求它们的交点坐标。

交点坐标为：________。

7. 求函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标。

顶点坐标为：________。

8. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与向量b的点积。

点积为：________。

9. 已知方程x^2 - 6x + 9 = 0，求它的根。

根为：________。

10. 已知正弦函数y = sin(ωx + φ)，其中ω = 2，φ = π/4，求函数的周期。

周期为：________。

三、解答题11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

13. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数f'(x)。

15. 利用向量的知识证明勾股定理。

四、应用题16. 某工厂生产产品的成本函数为C(x) = 100 + 30x，其中x为生产数量。

高二数学期末练习题题目一：解方程1. 解方程：2x - 7 = 3x - 4解析：我们可以利用等式两边的性质解这个方程。

首先，我们可以将等式中的变量移到一边，将常数移到另一边，得到：2x - 3x = -4 + 7化简得到：-x = 3接着，我们可以通过乘以-1来消除负号，得到：x = -3所以，方程的解为x = -3。

2. 解方程：4(x - 2) + 3(x + 1) = 3(2x - 1) + 5解析：首先，我们可以通过分配律展开方程的两边，得到：4x - 8 + 3x + 3 = 6x - 3 + 5然后，我们可以合并同类项，得到：7x - 5 = 6x + 2接下来，我们可以将方程中的变量移到一边，将常数移到另一边，得到：7x - 6x = 2 + 5化简得到：x = 7所以，方程的解为x = 7。

题目二：几何运算1. 求一个等腰直角三角形的斜边长度为5的一边的长度。

解析：等腰直角三角形的两条腰的长度相等，并且其中一条腰与斜边组成直角。

由直角三角形的勾股定理可知：斜边的平方 = 腰的平方 + 腰的平方将斜边的长度记为c，腰的长度记为a，则上述关系可以表示为：c^2 = a^2 + a^2由于等腰直角三角形的两个腰的长度相等，可以将上式改写为：c^2 = 2a^2将斜边长度c代入，得到：5^2 = 2a^2化简得到：25 = 2a^2再次化简得到：a^2 = 25/2求根得到：a = √(25/2)因此，等腰直角三角形的一边的长度为√(25/2)。

2. 求半径为4的圆的面积。

解析：圆的面积公式为：面积= π * 半径^2将半径代入公式，得到：面积= π * 4^2化简得到：面积= π * 16所以，半径为4的圆的面积为16π。

题目三：函数与图像1. 给定函数y = x^2 + 2x + 1，求函数在x = 2处的值。

解析：我们可以将x = 2代入函数，得到：y = 2^2 + 2*2 + 1化简得到：y = 4 + 4 + 1所以，函数在x = 2处的值为9。

高二数学期末复习试题一、选择题1.已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．设集合{}lg ,A x y x ==1()2x B yy ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合,A B 的关系是 （A ）A B ∈ （B ）A B ⊆ （C ）B A ⊆（D ）A B =3．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7，现采用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，样本中A 型产品有15件，那么n 的值为（A ）50 （B ）60 （C ）70 （D ）80 4.已知向量(2,4)=-a ，(1,)m =-b . 若//a b ，则实数m 的值为 (A)2 （B ）12（C ）12- （D ）2-5.设圆22230x y y ++-=与y 轴交于12(0,),(0,)A y B y 两点.则12y y 的值为 （A ）3（B ）3-(C)2（D ）2-6．已知角α的终边与单位圆交于点(，则sin(2)απ+的值为（A ）（B ） (C)45(D)45-7．若339log 3.3,log 3.2,log 3.6a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >> 8．一个化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是（A ）50万元 （B ）30万元 （C ）25万元 （D ）22万元9．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与抛物线28y x =有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M . 若双曲线C 的离心率为2，则||MF 的长为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）710．在直角坐标系中，如果不同两点(,)A a b ，(,)B a b --都在函数()y h x =的图象上，那么称[,]A B 为函数()h x 的一组“友好点”([,]A B 与[,]B A 看作一组). 已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=⋅，且当[0,2]x ∈时，()sin 2f x x π=.则函数CBAS(),08;()80.f x x g x x x <≤⎧=⎨---≤<⎩的“友好点”的组数为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 二、填空题11.已知某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值是. 12.命题“,x x e x∃∈<R ”的否定是 . 13. 若正实数,x y 满足2x y +=，且1M xy≥恒成立，则M 的最大值为.14.如果将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移ϕ（02ϕπ<<）个单位后得到的图象与原图象关于y 轴对称，则ϕ的值为. 15．如图，在三棱锥S ABC -中，2,3,4SC SA BS BA ==+=，则当此三棱锥的最大体积时，三棱锥的侧面积是＿＿＿. 三、解答题16. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3242n n S =⋅-，*n ∈N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)设数列{}n b 满足2log nn b a =，求12231111n n n T b b b b b b +=+++的表达式（用含n 的代数式表示）.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a =2(1)c =-，且ABC ∆的面积S BA BC =⋅. (Ⅰ)求cos B 和b 的值；(Ⅱ)设函数21()2sin cos cos sin 2,2f x A x A x x =--∈R ，求()f x 的单调递增区间.18.（本小题满分12分）十八大报告中关于环境保护方面的内容：坚持节约资源和保护环境的基本国策，坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针，着力推进绿色发展、循环发展、低碳发展，形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式、生活方式，从源头上扭转生态环境恶化趋势，为人民创造良好生产生活环境，为全球生态安全作出贡献．某学校为了贯彻十八大精神，校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情况，在这批树苗中随机抽取了50棵测量高度（单位：厘米），统计数据如下表所示：（Ⅰ）将频率作为概率，则在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约是多少？（Ⅱ）为进一步了解这批树苗的情况，再从[35,45)中移出2棵树苗，从[85,95]中移出1棵树苗进行试验研究，则在[35,45)中树苗A和[85,95]中的树苗D同时被移出的概率是多少？19.（本小题满分12分）如图，四边形BCDE 是直角梯形，1//,,2,2CD BE CD BC CD BE ⊥==平面BCDE ⊥平面ABC ，又已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AB AC ==，M 是BC 的中点.（Ⅰ）求证：AM ME ⊥；（Ⅱ）求四面体ADME 的体积.20. （本小题满分13分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)经过A (5,3),右焦点F 2的坐标为(4,0).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点1(2,0)B -，2(2,0)B ，过B 1的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，且直线l 与圆O ：228x y +=相交于M 、N 两点，设的长度为t ，若t ∈[4,27]，求△B 2的面积S 的取值范围．21. （文）（本小题满分14分）已知函数ln ().xf x x=（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （Ⅲ）证明：e ln(1)n +<111123n n+++++,*n ∈N . （理）已知函数2()ln(),f x x x a a =+-∈R .（Ⅰ）若()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ）当2a ≤-时，令()g a 表示()f x 在[1,0]-上的最大值，求()g a 的表达式；（Ⅲ）求证：223511118241623n n n n n++<++++++，*n ∈N .参考解答一、选择题1； 2； 3. C ； 4； 5； 6； 7； 8； 9. C ； 10. 二、填空题11.2-； 12.,e x x x∀∈≥R ； 13. 1； 14.12π；15.2+ 三、解答题：16.解：（I ）当1n =时，132426S =⨯-=，即112a S ==；当2n ≥时，111(2424)3n n nn n a S S --=-=⨯-⨯=124n -⨯. 当1n =时也成立，∴121242n n n a --=⋅=.（）由（I ），212n n a -=，∴2log 21n n b a n ==-.∵111111()(21)(21)22121k k b b k k k k +==--+-+（1,2,,k n =），∴111111[(1)()()]23352121nT n n =-+-++--+11(1)22121nn n =-=++. 17.解：（1）∵S BA BC =•，1sin cos 2a c B BA BC B ∴⋅=，即1sin cos 2ac B ac B =.即1sin cos 2B B =.tan 2B ∴=.cos B ∴=由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-，∴2225b c =+-，即222524(1)b c c c =+-=+-.∴224164(1)b c =+-.又32(1)b c =-，∴224163b b =+，∴4b =.（）由正弦定理，有sin sin b aB A=.1,sin .sin 2A A=∴=.,6b a A π>∴=.211()cos 2cos 22sin(2).22226f x x x x x x π∴=--=-=-- 3222,262k x k k ∴+≤πππππ-≤+∈Z ,Z.33k x k k ππ∴+π≤≤+π∈∴函数()f x 的单调递增区间为5,,.33k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z18.解：（Ⅰ）∵在65厘米以上的频数为15+10+5=30. ∴在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约为1303.505P ==故在这批树苗中任取一棵，其高度在65厘米以上的概率大约是13.5P =（Ⅱ）记[35,45)中的树苗为,,A B C ，[85,95]中的树苗为,,,,D E F G H .则事件“从[35,45)中移出2棵树苗，从[85,95]中移出1棵树苗”包含的基本事件是：(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B D A B E A B F A B G A B H (,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A C D A C E A C F A C G A C H(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),B C D B C E B C F B C G B C H 共15个.其中满足在[35,45)中树苗A 和[85,95]中的树苗D 同时被移出的事件为：(,,),(,,)A B D A C D ,共2个. 其概率22.15P =19.解：（I ）∵AB AC =，M 是BC 的中点， ∴AMBC ⊥.∵平面BCDE ⊥平面ABC ，而平面BCDE 平面ABC BC =，AM ⊂面ABC ， ∴AM ⊥平面BCDE .又EM ⊂平面BCDE ，∴AM ME ⊥.（）∵//BE CD ，CD BC ⊥， 且四边形BCDE 是直角梯形，∴114224222BMES BE BM ∆=⋅⋅=⋅⋅=.1222DCM BME S S ∆∆==. 而梯形BCDE 的面积1(42)421222BCDE S =+⋅=梯形.∴DMEBCDE DCM BEM S S S S ∆∆∆=--62=.由（I ）,知AM ⊥平面BCDE ，即三棱锥A DME -的高22AM =.∴183A DMEDME V S AM -∆=⋅=. 20.解：(Ⅰ)由已知左焦F 1(-4,0)4. ∵212| =222222(45)3(45)3(252)(252)45--++-+=-++=,∴25,22220164b a c =-=-=.故所求椭圆方程为221204x y +=.(Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时，4，21655B PQ S ∆=.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为：(2),则圆心O 到直线l 的距离为d=∴||t MN===[4,,得213k≥.联立221204(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(15)4160k y ky k+--=.∴2121222416,1515k ky y y yk k+==-++.∴12||y y-===∴21214||2B PQS y y∆=⨯-=令2815,3u k u=+≥，∴2B PQS∆=∴2B PQS∆∈⎭. 综上所述，△B2的面积S的范围是.21.（文）解：（Ⅰ）函数()f x的定义域为(0,+)∞, 21ln()(0)xf x xx-'=>. 由()0f x'>得0<x<e; 由()0f x'<得x>e.∴()f x的单调增区间是(0)，单调减区间是(∝).∴1()=(e)ef x f=极大值.函数()f x无极小值. (Ⅱ)①当0<2m≤e即0<m≤e2时，由(Ⅰ),知f(x)在[m,2m]单调递增.∴maxln(2)()(2).2mf x f mm==②当m≥e时,由(Ⅰ)，知f(x)在[m,2m]单调递减.∴maxln()().mf x f mm==③当m <e<2m 时，由(Ⅰ)，知max 1()=(e)ef x f =. (Ⅲ) 由(Ⅰ)，知(0,)x ∀∈+∞有ln 1e x x ≤即ln exx ≤(当且仅当时取等号).令1n n +≠e，有1111ln (1)e e n n n n n ++<=+.∴11111ln()e n ni i i n i i==+<+∑∑. ∴(1)<1e111(1).23n n +++++即e ln(1)n +<111123n n+++++.（理）解：(Ⅰ)21221()2x ax f x x x a x a-+'=+=--（x >a ）.∵()f x 有两个不同的极值点,∴令h(x)=2221x ax -+.则h(x)有两个大于a 的零点.∴2480()00a h a a ⎧∆=->⎪>⎨⎪<⎩.∴a < (Ⅱ)由(Ⅰ)，知当a ≤-2时，f(x)在,,22a a a ⎛⎡⎫++∞ ⎪⎢ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭上单调递增；在[22a a上单调递减.又x 1=2a <-1<0<2a +2.∴当x ∈[-1,0]时，max ()()1ln(1)(2)g a f x a a ==+--≤-. (Ⅲ)由(Ⅱ)，当2时，f (x )在[-1,0]上有最大值f (-1)=1. 即当x ∈[－1,0]2时，x 2(2)≤1.令112,(1,0].n n x x nn+-+==-∈-则∴21()n n -1n n +<1.∴1n n+<221n n -.∴21n 1n n +<2n .∴11(2)n i i i =+∑+11ln n i i i =+∑<211ni i =∑+11ln ni i i =+∑<12ni i =∑.∴22354128n n n n +++(1)<12ni i =∑,即223582416n n n n +++12(1)<11ni i=∑.∴223511118241623n n n n n++<++++++.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

高 二数学期末复习试题本试卷共150分，考试时间120分钟.一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设集全A={|05},{|,},2kx Z x B x x k A ∈≤≤==∈则集合A ∩B= （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1，2，3} C ．{0，1，3} D ．B2．函数1ln (0)2y x x =>的反函数为 （ ） A ．2()x y e x R =∈ B ．2(0)x y e x => C ．2()x y e x R =∈ D ．2(0)xy e x =>3．在8(1)(1)x x -+展开式中，5x 的系数为( )A ．5488C C - B ．4588C C - C ．6588C C -D ．5688C C -4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31815186,18,S S S S =--==则 （ ）A ．36B ．18C ．72D ．95．正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。

那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 6．某学生一次通过英语测试的概率为43，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率是（ ）A ．43B ．6427C ．649D ．6437．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f B ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f8．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）A B ．6R πC ．56R π D ．23R π9．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知等比数列的公比为正数，且=，=1，则= （）A． B． C． D．22.已知函数，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是（）A．B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1]3.的展开式中的一次项系数是（）A．5 B．14 C．20 D．354.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A． B．1 C． D．5.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（）A． B． C． D．6.已知正项数列中，,则（）A． B． C． D．7.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（）A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆8.设直线，，若，则（）A． B．1 C． D．09.李明所在的高二（5）班有51名学生，学校要从该班抽出5人开座谈会，若采用系统抽样法，需先剔除一人，再将留下的50人平均分成5个组，每组各抽一人，则李明参加座谈会的机会为（）A． B． C． D．10.已知数列满足（）A． B． C． D．11.在线性回归模型中，下列说法正确的是( )．A．是一次函数；B．因变量是由自变量唯一确定的；C．因变量除了受自变量的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误差e的产生；D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生。

12.直线互相垂直，则a=A．0 B． C．或0 D．1或013.下列命题中正确命题的个数为 ( )（1）平面内有且仅有一条直线和这个平面外的一条直线垂直（2）经过一点和已知直线垂直的平面有且仅有一个（3）经过平面外一点和这个平面平行的直线有且仅有一条（4）经过平面外一点有且仅有一条直线和这个平面垂直A．3 B．2 C．1 D．014.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．15.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：①；②；③直线与平面所成的角为；④．其中正确的结论是A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④16.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17.已知曲线与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）18.设等比数列的公比，前项和为，则的值为（）A． B． C． D．19.已知：，<0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．20.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B．假设a，b，c都是偶数C．假设a，b，c至少有两个偶数D ．假设a ，b ，c 都是奇数二、填空题21.过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是__________．22.若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 23.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－a ＋＝0的两个实根，那么的最小值为________，最大值为________．24.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的正整数n ，当n≥2时都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为__________．25.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 种选法（用数字作答）．26.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和大于l 的概率是 . 27.在直三棱柱中，，延长至点，使，连接交棱于点.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．（1）写出的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值．28.曲线在点（1，3）处的切线方程为 ．29.（2015秋•温州校级月考）已知一个球的表面积和体积相等，则它的半径为 ．30.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．三、解答题31.设函数是定义在R 上的非常值函数，且对任意的有.（1）证明：；（2）设，若在R 上是单调增函数，且，求实数的取值范围.32.已知命题p:方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x 2＋4（m －2）x ＋1＝0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假，求m 的取值范围． 33.已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于两点．问是否存在常数，使得以为直径的圆过坐标原点,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．34.已知，求的最小值.35.已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求c 的取值范围参考答案1 .B【解析】试题分析：根据等比数列的公比为正数，且=，则根据等比中项性质可知,=1，则=，因此可知选B.考点：等比数列点评：主要是考查了等比数列的等比中项的运用，属于基础题。

高二数学期末复习题及答案高二数学期末复习题及答案高二数学期末复习题选择题1.若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作()A.B.C.D.2.已知A,B是两不重合的点,则以下四个推理中,错误的一个推理是()A.B.C.D.A,B,CA,B,C,且A,B,C三点不共线3.设A,B,C三点不共线,直线,但与不垂直,则与一定()A.不垂直B.不平行C.不异面D.垂直4.对于直线和平面,则的一个充分条件是()A.B.C.D.5.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定6.长方体的表面积为,所有棱的总长度为,则长方体的对角线的长度是()A.B.C.D.7.设地球半径为R,在北纬30的纬度圈上有A,B两地,它们的经度差为1200,则这两地间的纬度线长等于()A.B.C.D.8.若三棱锥的顶点在底面内的射影是底面三角形的内心,则下列命题错误的是()A.各侧面与底面所成的二面角相等B.顶点到底面各边距离相等C.这个棱锥是正三棱锥D.顶点在底面的射影到各侧面的距离相等9.正二十面体的面是正三角形,且每一个顶点为其一端都有五条棱,则其顶点数V和棱数E应是()A.V=30,E=12B.V=12,E=30C.V=32,E=10D.V=10,E=3210.在正方形中,,分别是及的中点,是的中点,现沿,及把这个正方形折成一个四面体,使,,三点重合记为,则必有()A.平面B.平面C.平面D.平面11.异面直线a,b所成角为80,过空间一点作与直线a,b所成角都为的直线只可以作2条,则的取值范围为()A.80100B.4050C.4050D.509012.设a,b,c表示直线,表示平面,给出下列命题:①若//,//,则//;②若,//,则//;③若,,则//;④若,,则//.其中错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.313.有一高度为米的山坡,坡面与坡脚水平面成角,山坡上的一条直道与坡脚的水平线成角,一人在山脚处沿该直道上山至山顶,则此人行走了()A.米B.米C.米D.米14.已知二面角的平面角为,于,于,,设,到二面角棱的距离分别为,,当变化时,点的轨迹是下列图中的()ABCD15.已知等边三角形的边长为1,沿边上的高将它折成直二面角后,点到直线的距离是()A.1B.C.D.16.如右图,正方体中,是异面线段和的中点,则和的关系是()A.相交不垂直B.相交垂直C.平行直线D.异面直线17.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是()18.给出下列命题:①平行于三角形两边的平面平行于三角形的第三边;②垂直于三角形两边的直线垂直于三角形的第三边;③与三角形各顶点距离相等的平面平行于三角形所在平面;④钝角三角形在一个平面内的射影可以是锐角三角形.其中假命题的个数是()A.一个B.两个C.三个D.四个19.如果直线与平面满足:,那么()A.B.C.D.20.如图在正方形ABCDA1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中点,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角的大小为()A.B.C.D.与P点位置有关21.在三棱锥PABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC上的三个点,AD:DP=1:3,BE:EP=1:2,CF=FP,则三棱锥PDEF与三棱锥PABC的体积比是()A.1:3B.1:4C.1:5D.1:622.已知E是正方体的棱的中点,则二面角的正切值是()A.B.C.D.23.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是()A.B.C.D.24.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为()A.B.C.D.25.设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n‖,则m若‖,‖,m,则m若m‖,n‖,则m‖n;若,,则‖.其中正确命题的.序号是()(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④26.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是()直线圆双曲线抛物线27.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两全等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题的编号是(写出所有真命题的编号).28.已知球O的半径为1,A,B,C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为,则球心O到平面ABC的距离为()ABCD29.如图,在长方体中,,分别过BC,的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为,.若,则截面的面积为()(A)(B)(C)(D)30.将正方体的纸盒展开(如右图),直线AB,CD在原来正方体中的位置关系是()A平行B垂直C相交且成60的角D异面且成60的角二,填空题31.长方体全面积为24cm2,各棱长总和为24cm,则其对角线长为cm.32.以正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中4个为顶点,且4个面均为直角三角形的四面体是(只要写出一个四面体即可).33.已知球的表面积为20,球面上有A,B,C三点,如果AB=AC=2,BC=2,则球心到平面ABC的距离为________.34.如图为正三棱柱的平面展开图,该正三棱柱的各侧面都是正方形,对这个正三棱柱有如下判断:①;②与BC是异面直线;③与BC所成的角的余弦为;④与垂直.其中正确的判断是_________.35.长方体的全面积为,所有棱长之和为,则这个长方形对角线长为______.36.已知为平面的一条斜线,在平面内,到的距离为,,则的取值范围用区间表示为______________________.37.已知异面直线,的公垂线段长为,点,在直线上,,若直线,所成的角为,则点到直线的距离=________.38.在四面体中,平面平面,平面,给出下列结论:①;②;③平面平面;④平面平面.其中正确结论的序号为______________.39.棱长为a正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AC,A1B1的距离是40.用平面截半径为R的球,如果球心到平面的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为____.三,解答题:41.在正三棱锥中,.(1)求此三棱锥的体积;(2)求二面角的正弦值.42.如图,二面角的平面角为,,.(1)求的长;(2)求直线与所成的角.43.在正方体中,(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角.44.在四棱锥中,为矩形,平面,,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)当二面角的大小为多少时,就有平面成立,证明你的结论.45.已知正方体ABCD中,E为棱CC上的点.(1)求证:(2)求平面ABD与平面ABCD所成二面角的余弦值;(3)当E恰为棱CC的中点时,求证:平面平面;46.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=900,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.(1)求斜线PB与平面ABCD所成角大小.(2)PA与BD是否相互垂直,请证明你的结论.(3)求二面角P-BD-C 的大小.(4)求证:平面PAD平面PAB.47.如图,在正方体中,分别是,的中点.证明:;②求直线与所成的角;③证明:平面平面.48.(本小题满分12分)如图,PA矩形ABCD所在平面,PA=AD=a,M,N分别是线段AB,PC的中点.①求证:MN//平面PDA;②求直线AB到平面PDC的距离.49.(本小题满分14分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2,底面△ABC是等腰直角三角形,且ACB=90,AC=2,D是AA1的中点.①求异面直线AB和C1D所成的角(用反三角函数表示);②若E为AB上一点,试确定点E在AB上的位置,使得A1E③在②成立的条件下,求点D到平面B1C1E的距离.50.如图,在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(Ⅰ)求证:EF(Ⅱ)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论;(Ⅲ)求DB与平面DEF所成角的大小.51.如图,在长方体中,,点为上的点,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小(结果用反余弦表示).52.在直角梯形P1DCB中,P1D//CB,CD//P1D且P1D=6,BC=3,DC=,A是P1D的中点,沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45角,设E,F分别是线段AB,PD的中点.(1)求证:AF//平面PEC;(2)求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小;(3)求点D到平面PEC的距离.53.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=.(1)求证:EF(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求二面角FEGC1的大小(用反三角函数表示).54.在正方体中,棱长.(Ⅰ)E为棱的中点,求证:;(Ⅱ)求二面角C-AE-B 的平面角的正切值;(III)求点到平面EAB的距离.55.如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:平面EDB平面PBC;(3)求二面角DPBC的大小.56.如图,四棱锥PABCD中,PB底面ABCD,CDPD.底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,ABBC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求异面直线PA与CD所成的角;求证:PC‖平面EBD;求二面角ABED的大小(用反三角函数表示).57.如图,四棱锥的底面为菱形且ABC=120,PA底面ABCD,AB=1,PA=,E为PC的中点.(Ⅰ)求直线DE与平面PAC所成角的大小;(Ⅱ)求二面角平面角的正切值;(Ⅲ)在线段PC上是否存在一点M,使PC平面MBD成立.如果存在,求出MC的长;如果不存在,请说明理由.58.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.59如图,在正三棱柱ABC=A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(II)PC和NC的长;(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示).60.如图所示的几何体中,底面是边长为6的正方形,是以为顶点的等腰直角的三角形,且垂直于底面..若边上的中点,上的两个三等分.(1)求证:(2)求二面角的大小.(3)求该几何体体积.参考答案选择题:BCACB;ACCBA;BDCBB;DBAAC;BBCCA;D②④BCD.填空题31.32.33.134.2,335.536.37.838.2,339.a40.3:16。

高二数学期末复习练习6一、填空题：1、六个数5，7，7，8，10，11的方差是 ．2、22ln y x x =-的极小值为 ．3、以双曲线22145x y -=的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 ．4、曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．5、若xe x xf )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为 ．6、直线a y =与函数x x x f 3)(3-=的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 ．7、设a R ∈，若函数ln y x ax =+有大于零的极值点，则a 的取值范围为 ． 8、运行右图的程序：其输出结果是 ．9、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，0<x 时,0)3(0)(')()()('=>+g x g x f x g x f 且则不等式0)()(<x g x f 的解集是_ _． 10、函数43323--+=x x x y 在[]2,0上的最小值为 ． 11、设010211()sin ,()(),()(),()()n n f x x f x f x f x f x f x f x +'''==== ，)(N n ∈，则2009()3f π'= ． 12、函数tx x x x f --=cos sin )(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增，则实数t 的取值范围是 ． 13、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点,A D 为椭圆的 两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是___________________． 14、一般来说，一个人脚越长，他的身体就越高，现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：24.5,171.5x y ==，101()()577.5iii x x y y =--=∑，5.82)(2101=-∑=i ix x，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚13100002Pr int s i While s s s i i i Endwhilei ←←<←⨯←+印，量得每个脚印长26.5cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为 . 二、解答题：1、计算由223,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积.2、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A MC B --的余弦值．3、设不等式组0606x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示区域为A ，不等式229x y +≤表示区域B ，060x x y ≤≤⎧⎨-≥⎩表示区域C 。

2022-2023学年北京市第八中学高二上学期期末练习数学试题一、单选题1．已知直线，．若，则实数（ ） 1:10l ax y --=2:(2)10l ax a y +++=12l l ⊥=a A ．或 B ．或 C ．或 D ．或1-1011-23-2【答案】C【解析】利用两条直线斜率之积为求解.1-【详解】若，则，解得或.12l l ⊥()()2120a a +-⋅+=2a =1a =-故选：C.【点睛】若直线和直线，当直线时有，. 1:l 1110A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=12l l ⊥12120A A B B +=2．在的展开式中，常数项为（ ）82x ⎫⎪⎭A ．-112 B ．112 C ．-1120 D ．1120【答案】B【分析】求出的通项公式，令，求得 , 即可得展开式的常数项. 82x ⎫⎪⎭8403r -=2r =【详解】二项式 的展开式的通项公式为82x ⎫-⎪⎭88433188C (2)(2)C r r r r r r r r T x x x ---+=⋅⋅-⋅⋅⋅=-令, 求得 , 可得展开式的常数项为 . 8403r -=2r =284C 112=故选: B.3．已知双曲线的渐近线方程为2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>C A ． B ． C ． D ．14y x =±13y x =±12y x =±y x =±【答案】C【详解】，即，故渐近线方程为.c e a ===2214b a =12b a =12b y x x a =±=±【解析】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则ABCD E F BC CD ()12AD BC BD +-= （ ）A ．B ．C ．D ．AD FA AF EF【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.【详解】因为，，BC BD DC -= ()1122BC BD DC DF -==所以．()12AD BC BD AD DF AF +-=+= 故选：C5．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线的方向向量分别是，则12,l l ()()2,3,1,2,3,1a b =-=12l l ∥B ．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 l ()1,1,2a =- α()6,4,1u =-l α⊥C ．两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥D ．直线的方向向量，平面的法向量是，则 l ()0,3,0a =α()0,5,0u =- l α∥【答案】C【分析】根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项一一判断即可.【详解】对于A ：因为，所以不成立，所以不成立.故A 错误； ()()2,3,1,2,3,1a b =-= //a b 12l l ∥对于B ：因为，,所以，()1,1,2a =- ()6,4,1u =- ()()1614210a u ⋅=⨯+-⨯+⨯-=所以，所以或.故B 错误；a u ⊥//l αl ⊂α对于C ：因为，,所以， ()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ()()2324120u v ⋅=⨯-+⨯+-⨯=所以，所以.故C 正确；v u ⊥αβ⊥对于D ：因为，,所以，()0,3,0a = ()0,5,0u =- 35a u =-所以.故D 错误； l α⊥故选：C6．“”是“直线的倾斜角大于”的1a >10ax y --=4πA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由直线的倾斜角大于得到不等式，求出的范围，10ax y --=4πa 从而利用充分条件，必要条件的定义得解． 【详解】设直线的倾斜角为，θ直线可化为，所以 10ax y --=1y ax =-tan a θ=由直线的倾斜角大于可得：或，4πtan 1θ>tan 0θ<即：或，1a >0a <所以 或，但或 1a >⇒1a >0a <1a >0a <⇒1a >故选A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题 7．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取P 1111ABCD A B C D -1AC BP 1AD 值范围是A ．B ．C ．D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】以为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法D 能求出BP 与AD 1所成角的取值范围．【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，D DA DC 1DDx y z D xyz -则，，设，则， ()11,0,1AD =- ()11,1,1CA =- 1CP CA λ=[]0,1λ∈，，(),,CP λλλ∴=- ()1,,BPλλλ∴=--故1cos ,AD BP 11··AD BP AD BP ==对于函数 ，有：()2321h x λλ=-+212333λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]0,1λ∈，，()min 1233h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()max 12hx h ==故，又，11cos ,2AD BP ⎡∈⎢⎣ []1,0,AD BP π∈ 故.故选. 1,,63AD BP ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B 【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为24y x =F,A B O 3AF=AOB ∆（ ） ABC D ．【答案】C【详解】试题分析：抛物线焦点为，准线方程为， 24y x =()1,0F =1x-由得或3AF =1(2,(,2A B 1(2,(2AB -所以C ．12AOB A B S OF y y ∆=⨯⨯-12=⨯【解析】1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．9．已知⊙M ：，直线：，为上的动点，过点作⊙M 的切222220x y x y +---=l 220x y ++=P l P 线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） ,PA PB ,A B ||||PM AB ⋅AB A ． B ． C ． D ．210x y --=210x y +-=210x y -+=210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根,,,A P B M AB MP ⊥据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的44PAM PM AB S PA ⋅== MP l⊥PM AB⋅MP 方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．AB 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，()()22114x y -+-=M l 2d >所以直线 与圆相离．l 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以,,,A P B M AB MP ⊥，而，14442PAM PM ABS PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯= 当直线时，， ，此时最小． MP l ⊥min MP =min 1PA =PM AB ⋅∴即 ，由解得， ．()1:112MP y x -=-1122y x =+1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩所以以为直径的圆的方程为，即 ， MP ()()()1110x x y y -++-=2210x y y +--=两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 210x y ++=AB 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．10．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且P :(0)l y x p p =+>P 22(0)y px p =>,A B ，则称点为“M 点”，那么下列结论中正确的是（ ）2PA AB =P A ．直线上的所有点都是“点” l M B ．直线上仅有有限个点是“M 点” l C ．直线上的所有点都不是“M 点”l D ．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” l M 【答案】A【分析】首先判断直线与抛物线的位置关系，确定三点的位置关系，利用共线向量表示出l ,,A B P 两点的坐标，再根据两点都在抛物线上可联立方程组根据方程是否有根确定点是否存在，即,A B P 可得出结果.【详解】由题意可知，将直线和抛物线联立消去整理得，:l y x p =+22y px =x ；22220y py p -+=此时该方程，即该方程无解； 2224840p p p ∆=-=-<可得直线和抛物线无交点，:l y x p =+过的直线交抛物线于两点，由几何关系可知，在点的同侧，如下图所示：P ,A B ,A B P不妨设，00(,),(,),(,)A A B B P x x p A x y B x y +由可得，即；2PA AB =2PA AB =002()2()A B A A B A x x x x y x p y y -=-⎧⎨--=-⎩所以，00(32,322)A A B x x y x p ---又因为在抛物线上，所以 ,A B 22002(322)2(32)A AA A y px y x p p x x ⎧=⎨--=-⎩消去并整理得A x 2220026()3260A A A x p y x y p py +-++-=此时关于的一元二次方程0x 恒成立，222222236()8(326)12242012()80A A A A A A p y y p py y py p y p p ∆=--+-=-+=-+>即恒有解，0x 也就是对于直线上任意一点，过的直线与抛物线交于两点，都有:l y x p =+P P 22y px =,A B ，所以A 正确.2PA AB =故选：A.【点睛】关键点点睛：本题以新定义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，关键是将点在直线和抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题，注意等价转化方能找到题眼求解.二、填空题11．过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________. 22(2)(2)4x y -+-=【答案】【详解】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，()3,1d ==短弦长为==【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.12．若，则__________.（用数字作7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1234567a a a a a a a ++++++=答） 【答案】2-【分析】令，可得，令，可得，即可得答案. 0x =01a =1x =012345671a a a a a a a a +++++++=-【详解】解：令，则有，0x =01a =令，则有， 1x =012345671a a a a a a a a +++++++=-所以. 123456701112a a a a a a a a ++++++=--=--=-故答案为：2-13．用三个数字组成一个四位数，要求每个数字至少出现一次，共可组成个不同的四位数1,2,3__________（用数字作答）. 【答案】36【分析】根据题意分成三种情况，分别根据定序问题查出各类所包含的情况数，进而求出所有组成的不同四位数.【详解】已知用三个数字组成一个四位数且每个数字至少出现一次， 1,2,3所以包含一下三种形式： ①两个1，一个2，一个3； ②一个1，两个2，一个3； ③一个1，一个2，两个3. 其余情况①可以组成种情况. 4422A 43211221A ⨯⨯⨯==⨯同理情况②③均可以组成种情况. 12因此一共可以组成个不同数字. 36故答案为：3614．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐22221(0,0)x y a b a b-=>>近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．1F A AB = 120F B F B ⋅=【答案】2.【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠从而由. 21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==【详解】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即由1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22//,2.BF OA BF OA =，得则有，120F B F B =121,,F B F B OA F A ⊥⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠又OA 与OB 都是渐近线，得又，得21,BOF AOF ∠=∠21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=．又渐近线OB 的斜率为02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==为． 2c e a ===【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．【答案】;3221n -【详解】试题分析：由已知中的数据全行都为1的是第行；∵ ，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有3221n -662163n =⇒-=个1，第61行共有32个1．故答案为. 2132n -，【解析】归纳推理．三、解答题16．如图，在三棱锥中，底面. 点分别为棱的-P ABC PA ⊥,90ABC BAC ∠= ,,D E N ,,PA PC BC 中点，是线段的中点，.M AD 4,2PA AC AB ===(1)求证：平面；MN BDE (2)求直线与平面的夹角的正弦值； AC EMN (3)求点A 到平面的距离. EMN 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线线平行证MF 平面、NF 平面，即可依次证平面MNF 平面、BDE BDE BDE 平面；MN BDE （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求线面角；A xyz -（3）由向量法求与平面的夹角的正弦值，则点A 到平面的距离为.MA EMN αEMN sin MA α【详解】（1）证明：取AB 中点F ，连接MF 、NF ，∵是线段的中点，∴，∵平面，平面，∴MF 平面. M AD MF BD ∥BD ⊂BDE MF ⊄BDE BDE ∵点分别为棱的中点，∴，∵平面，平面，,,D E N ,,PA PC BC NF AC DE DE ⊂BDE NF ⊄BDE ∴NF 平面.BDE ∵，∴平面MNF ，∴平面MNF 平面， MF NF F = MF NF Ì、 BDE ∵平面MNF ，∴平面.MN ⊂MN BDE （2）∵底面，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系， PA ⊥,90ABC BAC ∠= A xyz -则有，()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,1,1,2,0,0,2,2A B C M N E ，()()()1,2,1,0,2,1,0,4,0MN ME AC =-==设平面的法向量为，则，令，则有，EMN (),,n x y z = 2020n MN x y z n ME y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =()4,1,2n =-- 设与平面所成角为，则直线与平面的夹角的正弦值为AC EMN θAC EMN.sin cos ,θn = （3）由（2）得，，设与平面所成角为， ()0,0,1MA =-MA EMN α则点A 到平面的距离为EMN sin cos ,1n MAMA αMA n MA n×=×==´17．学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) （1）求在1次游戏中, ①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.X 【答案】（I ）（i ）；（ii ）（II ）X 的分布列见解析，数学期望1.57.1057【详解】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝·＝.2325C C 1223C C 15②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P(A 2)＝＋·＝，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝＋＝.22322253C C C C 113225C C C 1223C C 121215710(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2， P(X ＝0)＝2＝，7110⎛⎫- ⎪⎝⎭9100P(X ＝1)＝C 21·＝，7107110⎛⎫- ⎪⎝⎭2150P(X ＝2)＝2＝，710⎛⎫⎪⎝⎭49100所以X 的分布列是 X 01 2 P 9100215049100X 的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.91002150491007518．已知椭圆的长轴长为为坐标原点. :C 2231mx my +=(0)m >O (1)求椭圆的方程和离心率.C (2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形(3,0)A B y P C P y BA BP =面积的最小值.OPAB 【答案】(1), 22162x y +=c e a ==(2)【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数的值，从而m 求出椭圆方程及其离心率；（2）根据题意，易知，通过动点的坐标求出点的坐标，将四边形分割成三角BD AP ⊥P B OPAB 形和三角形进行运算即可.OPA OAB 【详解】（1）由题意知椭圆 ， :C 221113x y m m+=所以，， 21a m =213b m=故，2a ==解得， 16m =所以椭圆的方程为.C 22162x y +=因为， 2c =所以离心率c e a ==（2）设线段的中点为. AP D 因为，所以. BA BP =BD AP ⊥由题意知直线的斜率存在， BD 设点的坐标为，P ()()000,0x y y ≠则点的坐标为，直线的斜率， D 003,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭AP 003AP y k x =-所以直线的斜率，BD 0031BD AP x k k y -=-=故直线的方程为. BD 00003322y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭令，得，故. 0x =2200092x y y y +-=2200090,2x y B y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭由，得，化简得. 2200162x y +=220063x y =-200230,2y B y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因此，OAP OAB OPAB S S S =+ 四边形 2000231133222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 200023322y y y ⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭0033222y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭32≥⨯=当且仅当时，即时等号成立． 00322y y=0y ⎡=⎣故四边形面积的最小值为OPAB 19．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，PAD QBC -ABCD 4AB =，点在线段上， 平面.,PA PD AB AP DC DP ==⊥⊥M PB //PD MAC(1)求证：为的中点； M PB (2)求二面角的大小；B PD A --(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的AC N MN BDP 30 ANAC值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)详见解析； (2)； 60 (3)存在，或. 38AN AC =78AN AC =【分析】（1）设，根据线面平行的性质可得，进而即得；AB CD O = //PD OM （2）取的中点，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用坐标法利用面面AD G PG ⊥ABCD 角的向量求法即得；（3）设，利用线面角的向量求法结合条件即得. AN AC λ=【详解】（1）设，连接，AC BD O ⋂=OM因为侧面为正方形， ABCD 所以为的中点，O BD 因为平面，平面，平面平面， //PD MAC PD ⊂PBD PBD MAC OM =所以，又为的中点， //PD OM O BD 所以为的中点；M PB （2）因为，//,AB DC DC DP ⊥所以，又平面，平面， AB DP ⊥,,AB AP AP DP P AP ⊥=⊂ ADP DP ⊂ADP 所以平面，AB ⊥ADP 取的中点，则，AD G PG AD ⊥由平面，平面，可得， AB ⊥ADP PG ⊂ADP AB ⊥PG 又平面，平面， ,AB AD A AB =⊂ ABCD AD ⊂ABCD 所以平面，PG ⊥ABCD 如图以为原点建立空间直角坐标系，G则，()()(()()2,0,0,2,0,0,,2,4,0,2,4,0,1,D A P C B M ⎛--- ⎝所以， ()(4,4,0,2,0,BD PD =-=设平面的法向量为，PBD (),,m x y z=则，令，则，44020m BD x y m PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x=(m = 又平面的法向量可取，ADP ()0,1,0n =所以， 11cos ,122m n m n m n ⋅===⋅⨯所以二面角的大小为；B PD A --60 （3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，AC N MN BDP 30 设，因为， AN AC λ=()()()2,0,0,2,4,0,4,4,0A C AC -= 所以，，又， ()4,4,0AN λλ= ()42,4,0N λλ-1,M ⎛-⎝所以，又平面的一个法向量为， 41,42,MN λλ⎛=--⎝ PBD (m = 所以，1cos ,2m =整理可得，26440210λλ-+=解得或，38λ=78λ=所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为， 的值为或.AC N MN BDP 30 AN AC 387820．已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,C x (1)求椭圆的方程;C (2)一条动直线与椭圆交于不同两点为坐标原点,求证:l C ,,M N O OMN 22OM ON +为定值.【答案】(1)22132x y +=(2)5【分析】(1)设出椭圆方程,根据短轴长和离心率,求出,写出方程即可;,,a b c (2)先考虑斜率不存在的情况,设直线方程,求出两点坐标,列出关于的面积,进而求出,M N OMN 的值,再考虑斜率存在的情况,设出直线方程,判别式大于零,韦达定理,求出点到直线的22OM ON+O 距离,进而求出可得直线中关于参数的等式,再列出的式子,进OMN 22OM ON +行化简求值即可.【详解】（1）解:由题知,设椭圆方程为,,22221x y a b+=()0a b >>因为短轴长为所以, b =所以c a ===解得:,1a c ==故椭圆方程为:;22132x y +=（2）由题知当直线斜率不存在时, l 不妨设,,:l x n =n<<将代入椭圆方程, x n =22132xy +=可得,y =n <<不妨假设,, M n ⎛ ⎝,N n ⎛⎝则12OMNS =⋅化简可得:,232n =n =此时, ,1M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故, ()222222115OM ON ⎛⎛=+++-= ⎝⎝+当直线斜率存在时, l 不妨设,:l y kx m =+,,()11,M x y ()22,N x y 联立, 22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩即,()222236360k x kmx m +++-=,()()()2226423360km k m ∆=-+->解得:,2223k m +>由韦达定理得:, 12221226233623km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩因为,()0,0O 则点到直线的距离为:,O y kx m =+===所以12OMNS == 化简可得: ,满足题意,222322k m m +=>所以, 212122336,2k m x x x x m m--+=⋅=故有,()121222y y k x x m m+=++=()()1212y y kx m kx m ⋅=++()221212k x x km x x m =⋅+++ 22223632m k k km m m m --⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭, 221m =-则 1222122222O O y M x x y N =++++()()221212121222x x x x y y y y =+-⋅++-⋅ 22222336222212k m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222936442k m m m m m -=-+-+22296k m m -+=225m m=,5=综上: 为定值5.22OM ON +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定值问题,关于定值的问题思路有: (1)先根据题意考虑特殊情况,斜率不存在,或斜率为零; (2)根据特殊情况求出定值; (3)设普通的直线方程,联立方程组; (4)判别式大于零,韦达定理;(5)根据题意建立关于的等式;1212,x x x x +⋅(6)写出需要求的式子,用代换,化简即可.1212,x x x x +⋅21．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点O (,)P x y OP x y =+，，记，，若此时成立，则称11()A x y ，22()B x y ，12()A x y '，21()B x y '，2222OA OB OA OB ''+≥+点，相关．A B （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，．(2,1)A -(3,2)B (4,3)C -(2,4)D （2）给定，，点集． *n ∈N 3n ≥{}(,),,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈（）求集合中与点相关的点的个数；i n Ω(1,1)A （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． ii n S ⊆ΩA B S ∈A B S 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.i 245n +ii 81n -【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求i 得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用n Ω(1,1)A ii ()()12120x x y y --≥分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值．()()11221x y x y +-+≥S 【详解】若点，相关，则，，而， ()11,A x y ()22,B x y ()12,A x y '()21,B x y OP x y =+不妨设，11220,0,0,0x y x y ≥≥≥≥则由定义可知， 2222OA OB OA OB ''+≥+()()()()222211221221x y x y x y x y +++≥+++化简变形可得，()()12120x x y y --≥（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； (2,1)A -(3,2)B (23)(12)0--≥②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.(42)(34)0--<（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第i (1)(1)0x y --≥1x n ≤≤1y n ≤≤2n 二象限、第三象限、第四象限也各有个点.2n 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； x ()1,0x ()1,0-在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； y ()0,1y ()0,1-原点满足条件；()0,0因此集合中共有个点与点相关.n Ω245n +(1,1)A （）若两个不同的点，相关，其中，，，， ii ()11,A x y ()22,B x y 1x 20x ≥1y 20y ≥可知. ()()12120x x y y --≥下面证明. ()()11221x y x y +-+≥若，则，成立； 12x x =12y y ≠若，则， 12x x >12y y ≥若，则，亦成立.12x x <12y y ≤由于，()()1122()(00)2x y x y n n n +-+≤+-+=因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴21n +21n -上，一个点为原点.因此中元素个数的最大值为.S 4(21)21181n n -+⋅+=-【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.。

高二数学期末复习一（不等式2） 一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba>2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba >2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的 大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件 分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0； 即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数； 则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +； 只要证a a +b b ≥a b +b a ； 即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)； 即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ； 而xy =100；解得x =15； 即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)； 又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920； 当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0； 即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。