高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元检测选修1-2讲义
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描述:高中数学选修1-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的引入一、学习任务了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.了解复数的几何意义.二、知识清单复数的概念 复数的几何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充,人们引入了一个新的数,叫虚数单位,且规定:①;②可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立.我们把集合中的数,即形如(,)的数叫做复数(complex number),其中 叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数所成的集合叫做复数集(set of complex numbers).复数通常用字母表示,即(,),这一表示形式叫做复数的代数形式(algebraic form of complex number).对于复数,都有 ,,其中的与分别叫做复数的实部(real part)与虚部(imaginary part).对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数;当时,叫做虚数;当且时,叫做纯虚数.复数相等的充要条件在复数集中任取两个数,(,,,),与相等的充要条件是且.复数的分类复数 (,)可以分类如下: i =−1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d i a=c b =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )⎧⎩⎨⎪⎪实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)非纯虚数(a ≠0)例题:描述:2.复数的几何意义根据复数相等的定义,任何一个复数,都可以由一个有序实数对唯一确定.因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.点的横坐标是,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.设复平面内的点 表示复数,连结,显然向量 由点唯一确定;反过下列命题中,正确的个数是( )①若 ,则 的充要条件是 ;②若 ,则 ;③若 ,则 ,.A. B. C. D.解:A①由于 ,所以 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,故①不正确;②由于两个虚数不能比较大小,所以②不正确;③当 , 时, 成立,所以③不正确.x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知 ,,若 ,则______.解:根据复数相等的充要条件,得 整理得 ,所以 ,将其代入,得 ,所以 ,所以 .=−3−4i z 1=(−3m −1)+(−m −6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{−3m −1=−3,n 2−m −6=−4,n 22m =4m =2−3m −1=−3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数 为何值时,复数 分别是 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零.解:由题复数 可整理为 .(1)当 时,,即 或 .(2)当 时, 是虚数,即 且 .(3)当 时, 是纯虚数,解得 .(4)当 时,,解得 .k (1+i)−(3+5i)k −2(2+3i)k 2z z =(−3k −4)+(−5k −6)i k 2k 2−5k −6=0k 2z ∈R k =6k =−1−5k −6≠0k 2z k ≠6k ≠−1{−3k −4=0,k 2−5k −6≠0,k 2z k =4{−3k −4=0,k 2−5k −6=0,k 2z =0k =−1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ −→− Z −→−OZ说成向量 ,并且规定,相等的向量表示同一个复数.四、课后作业 (查看更多本章节同步练习题,请到快乐学)高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。
第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位,计算i +i 2+i 3=( ) A .-1 B .1 C .-iD .i解析:i +i 2+i 3=i +(-1)-i =-1. 答案:A2.已知i 为虚数单位,复数z =1-2i2-i ,则复数z 的虚部是( )A .-35iB .-35C.45 iD.45解析:1-2i 2-i =-+-+=4-3i 5=45-35i ,则复数z 的虚部是-35. 答案:B3.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A .A B .B C .CD .D解析:设z =a +b i(a <0,b >0)∴z =a -b i 对应点的坐标是(a ,-b ),是第三象限点B . 答案:B4.i 是虚数单位,复数z =7+i3+4i的共轭复数z =( ) A .1-i B .1+i C.1725+3125i D .-177+257i解析:z =7+i3+4i =+-25=25-25i25=1-i ∴z =1+i. 答案:B5.若复数z =(1+i)(x +i)(x ∈R)为纯虚数,则|z |等于( ) A .2 B. 5 C. 2D .1解析:∵z =x -1+(x +1)i 为纯虚数且x ∈R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -1=0,x +1≠0,得x =1,z =2i ,|z |=2.答案:A6.已知复数z 1=3+4i ,z 2=t +i ,且z 1·z 2是实数,则实数t 等于( ) A.34 B.43 C .-43D .-34解析:z 1·z 2=(3+4i)(t -i)=(3t +4)+(4t -3)i , 依题意4t -3=0,∴t =34.答案:A7.设z ∈C ,若z 2为纯虚数,则z 在复平面上的对应点落在( ) A .实轴上B .虚轴上C .直线y =±x (x ≠0)上D .以上都不对解析:设z =a +b i(a ,b ∈R),∵z 2=a 2-b 2+2ab i 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,ab ≠0.∴a =±b ,即z 在直线y =±x (x ≠0)上. 答案:C8.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd =ad -bc ,则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 -1z z i =4+2i 的复数z 为( ) A .3-i B .1+3i C .3+iD .1-3i解析:由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 -1z z i =z i +z ,得z i +z =4+2i ,∴z =4+2i 1+i =+-2=6-2i2=3-i. 答案:A9.若复数x 0=1+2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个根,则( )A .b =2,c =3B .b =-2,c =3C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1解析:因为1+2i 是实系数方程的一个复数根,所以1-2i 也是方程的根,则1+2i +1-2i =2=-b ,(1+2i)(1-2i)=3=c ,解得b =-2,c =3. 答案:B10.已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上所对应的点分别为A ,B ,C .若OC →=λOA →+μOB →(λ,μ∈R),则λ+μ的值是( )A .1B .2C .3D .4解析:3-4i =λ(-1+2i)+μ(1-i)=μ-λ+(2λ-μ)i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧μ-λ=3,2λ-μ=-4,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-1,μ=2,∴λ+μ=1.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中的横线上) 11.设i 为虚数单位,则1-i +2=________. 解析:1-i+2=1-i 2i=--2=-i 2-12.答案:-12-i212.已知复数z 1=cos 23°+sin 23°i 和复数z 2=sin 53°+sin 37°i,则z 1·z 2=________.解析:z 1·z 2=(cos 23°+sin 23°i)·(sin 53°+sin 37°i)=(cos 23°sin 53°-sin 23°sin 37°)+(sin 23°sin 53°+co s 23°sin 37°)i =(cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°)+i(sin 23°sin 53°+cos 23°cos 53°) =sin 30°+i cos 30°=12+32i.答案:12+32i13.已知复数z =a +b i(a ,b ∈R)且a 1-i +b 1-2i =53+i,则复数z =________.解析:∵a ,b ∈R 且a1-i +b 1-2i =53+i,即a 1+i2+b 1+2i5=3-i2, ∴5a +5a i +2b +4b i =15-5i ,即⎩⎪⎨⎪⎧5a +2b =15,5a +4b =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =7,b =-10,故z =a +b i =7-10i. 答案:7-10i14. 复数z =(m 2-3m +2)+(m 2-2m -8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限,则实数m 的取值范围是________.解析:复数z =(m 2-3m +2)+(m 2-2m -8)i 的共轭复数为z =(m 2-3m +2)-(m 2-2m -8)i , 又z 在复平面内对应的点在第一象限,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +2>0,-m 2-2m -,解得-2<m <1或2<m <4. 答案:(-2,1)∪(2,4)15.若复数z =1+2i ,其中i 是虚数单位,则⎝ ⎛⎭⎪⎫z +1z ·z =________. 解析:∵z =1+2i ,知z =1-2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z +1z ·z =z ·z +1=(1+2i)(1-2i)+1=6. 答案:6三、解答题(本大题共有6小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16.(12分)实数k 为何值时,复数z = (k 2-3k -4)+(k 2-5k -6)i 是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.解析:(1)当k 2-5k -6=0,即k =6或k =-1时,z 是实数. (2)当k 2-5k -6≠0,即k ≠6且k ≠-1时,z 是虚数.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2-3k -4=0,k 2-5k -6≠0,即k =4时,z 是纯虚数.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2-3k -4=0,k 2-5k -6=0,即k =-1时,z 是0.17.(12分)已知复数z 的共轭复数为z ,且z ·z -3i z =101-3i,求z .解析:设z =a +b i(a ,b ∈R),则z =a -b i. 又z ·z -3i z =101-3i ,所以a 2+b 2-3i(a +b i)=+10,所以a 2+b 2+3b -3a i =1+3i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2+3b =1,-3a =3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-3.所以z =-1,或z =-1-3i.18.(12分)已知z 是复数,z +2i ,z2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z +a i)2在复平面上对应的点位于第一象限,求实数a 的取值范围. 解析:设z =x +y i(x ,y ∈R),则z +2i =x +(y +2)i , 由z +2i 为实数,得y =-2. ∵z2-i =x -2i 2-i =15(x -2i)(2+i) =15(2x +2)+15(x -4)i , 由z2-i为实数,得x =4.∴z =4-2i. ∵(z +a i)2=(12+4a -a 2)+8(a -2)i ,根据条件,可知⎩⎪⎨⎪⎧12+4a -a 2>0,a -解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6).19.(12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=-1+5i ,z 2=a -2-i ,其中i 为虚数单位,a ∈R ,若|z 1-z 2|<|z 1|,求a 的取值范围.解析:∵z 1=-1+5i1+i =2+3i ,z 2=a -2-i ,z 2=a -2+i ,∴|z 1-z 2|=|(2+3i)-(a -2+i)|=|4-a +2i| =-a2+4,又∵|z 1|=13,|z 1-z 2|<|z 1|, ∴-a2+4<13,∴a 2-8a +7<0,解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7).20.(13分)已知关于x 的方程x a +b x=1,其中a ,b 为实数. (1)若x =1-3i 是该方程的根,求a ,b 的值.(2)当a >0且b a >14时,证明该方程没有实数根.解析:(1)将x =1-3i 代入x a +bx=1, 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +b 4+⎝ ⎛⎭⎪⎫34b -3a i =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a +b 4=1,34b -3a =0,解得a =b =2.(2)原方程化为x 2-ax +ab =0, 假设原方程有实数解,那么Δ=(-a )2-4ab ≥0,即a 2≥4ab .∵a >0,∴b a ≤14,这与题设b a >14相矛盾.故原方程无实数根. 21.(14分)复数z =+3a +b1-i且|z |=4,z 对应的点在第一象限,若复数0,z ,z 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a ,b 的值.解析:z =+2+1-i(a +b i)=-2a -2b i.由|z |=4得a 2+b 2=4,①∵复数0,z ,z 对应的点构成正三角形, ∴|z -z |=|z |.把z =-2a -2b i 代入化简得a 2=3b 2,② 代入①得,|b |=1. 又∵Z 点在第一象限, ∴a <0,b <0.由①②得⎩⎨⎧a =-3,b =-1,故所求值为a =-3,b =-1.。
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单元测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间:90分钟满分:120分)第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.“a=0”是“复数z=a+b i(a,b∈R)为纯虚数"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:复数z=a+b i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0。
答案:B2.复数错误!2=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为()A.0 B.1C.2 D.-1解析:错误!2=错误!=-i=a+b i.所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1。
答案:D3.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·错误!是实数,则实数t等于()A。
错误! B.错误!C.-错误!D.-错误!解析:z1·错误!=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i,因为z1·错误!是实数,所以4t-3=0,所以t=错误!。
答案:A4.如图在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.3+i B.3-iC.1-3i D.-1+3i解析:错误!=错误!+错误!=1+2i-2+i=-1+3i,所以C点对应的复数为-1+3i。
第三章数系的扩充与复数的引入31数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念预习引导学习目标重点难点1•复数的有关概念(1)复数与复数集形如:___________ 的数叫做复数,其中i叫做______ . _______ 所成的集合C叫做复数集.规定i i=-l.(2)复数的代数形式复数通常用字母z表示,即z= __________ ,这一表示形式叫做复数的代数形式•其中 ___ 分别叫做复数z的实部与虚部.T E・............. 预习交流1⑴复数d+勿的实部、虚部一定分别是以吗?(2)若复数z=3-2i,则该复数的实部是,虚部2 •复数相等的充要条件a+bi与c+〃i(°0,c0丘R)相等的充要条件是...... 预习交流2已知a.b R,€z+i=-l-/?i,则a= ,b=3 •复数的分类(1)对于复数a+bi(",Z?WR),当且仅当_____ 时,它为实数;当且仅当a=b=O时,它是实数0;当____ 时,叫做虚数,当________ 时,叫做纯虚数.(2)复数集内的包含关系虚数集复数集8>实加...... 预习交流3⑴两个复数能比较大小吗?(2)形如bi(b eR)的复数一定是纯虚数吗?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探索KETANG HEZUO TANSUO⑶复数z=(m2-l)+(m-l)i(meR)是实数,则加二__________ •若是纯虚数,则m=问题导学当堂检测一、复数的有关概念0活动与探究1 •复数的相关概念有哪些?课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学2 •如何判定含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO当堂检测课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 数?KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测1 _____ 例1已知复数e必¥+(/・5/6)i@UR),试求实数u分别取什么值时,z分别为:⑴实数;(2)虚数;(3)纯虚数KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUOQ 工-1且Q 工6, a = 6.••不存在实数a 使z 为纯虚数.问题导学⑵当Z 为虚数时,则有•"±1 且 aH6,・••当 aW(-8,-i )u (丄l)U(l,6)U(6,+oo)时,Z 为虚数.-5s~6 工 0, a 2-7a+6 八^r = °,a 2-7a + 6a 2-l 有意义a -1 且a 丰6, a 壬 +1,(3)当z 为纯虚数时,则有当堂检测当堂检测问题导学归纳总结:要判断一个复数是何种类型的数关键是依据各类数的特点•若为实数只需b=0;若为虚数只需bHO;若为纯虚数只需a=0且bHO.问题导学当堂检测Es移与应用已知复数z=lg m+(/7t2-l)i,当m为何值时,(l)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO问题导学------------- 障--------------------解决复数的分类问题时,主要依据复数z=a+bi(a,b^R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解,列出相应的等式或不等式组求出参数的范围,但若已知的复数z不是o+bi("WR)的形式,应先化为这种形式, 得到复数的实部、虚部再进行求解.当堂检测课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测二、复数相等的充要条件及应用0活动与探究代数形式下两复数相等的充要条件是什么?课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测〔____ k列2 已知集合M={@+3)+(/Al)i,8},集合N={3i,(/_1) +(b+2)i]同时满足,求整数KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO问题导学⑵当8=(/-i)+(b+2)i 时,得害由⑴知;二不合题意,舍去,.需二.(3)当@+3)+(/Al)i=(/-i)+(b+2)i时,求得均不为整数,故舍去.综上,{当堂检测KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO CL =~3,b = 2课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUEEs 移与应用1・若复数cos 0+isin 0和sin 0+icos 0相等,贝!J 0当堂检测课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 值为当堂检测2已知关于实数“的方程组h爲爲m九②有实数解,求实数的值.------------- 念師尊津 --------------复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据,多用来求解参 数•步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等,虚 部与虚部相等,列方程组求解.当堂检测课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测❻ 2 3 4 _51 •在V2,|i<|+2iA-2i-l这几个数中,虚数的个数为()课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测❻ 2 3 4 _5A.1B.2C.3D.4问题导学当堂检测 1 ❷ 3 4 52.以21岳的虚部为实部,以V5i+2i2的实部为虚部的新复数是()问题导学当堂检测 2 ❸ 4 5A.2-2iB.2+iC.-V5 + V5iD.V5 + V5i3•若a.b£R,则不等式-2+a-(b-a)i>-5-b+(a+2b-6)i成立的条件是()问题导学当堂检测 2 ❸ 4 5A.d>-5 且b=2 3.a=b=2C.a=2且b>-5D.a>2 且b>-5问题导学当堂检测 1 24.(1)若a・2i=bi+l,则a2+b2=⑵若x-y+(y-l)i=2i,则兀=_课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 5•(6Z0UR)__________ ・ g e R)课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测 2 3 4 05•已知M={1,2,m2-3m-l+(m2-5/7i-6)i}{丄3},MClN= {3},则实数加的值为。
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容,大纲课时安排一课时。
主要包括数系概念的发展简介,数系的扩充,复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,引入复数以后,不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识,也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课学习,要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后,学生首先能知道数系是怎么扩充的,并且这种扩充是必要的,虚数单位i在数系扩充过程中的作用,而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式,学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数,什么时候是虚数,什么时候是纯虚数,两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后,完成对知识的探索,变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”,加强学生对知识应用的灵活性,深化学生对复数的认识,提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析,确定本节课的教学重点是:数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标(1)使学生体会数的概念是逐步发展的,初步体会引入虚数单位i的合理性;了解引入复数的必要性;(2)理解复数的基本概念;掌握两复数相等的充要条件;能够对复数进行简单的分类;(3)在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中,激发学生勇于探索创新的精神,提高学生的创新思维和应用意识.2.目标解析(1)学生对数的概念已经扩充到实数,也已清楚各种数集之间的包含关系等内容,但知识是零碎、分散的,对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考,知识体系还未形成.(2)作为新学知识,理解复数的基本概念,掌握复数有关知识,为今后学习奠定基础,承上启下.(3)通过问题设置,引领学生追溯历史,提炼数系扩充原则,帮助学生合乎情理的建立新的认知结构,让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系,但是对知识的认识相对比较零碎、分散,对知识没有一个系统性的理解,同时由于虚数单位i的概念非常抽象,又与学生原有的知识冲突,因此在学习过程中可能遇到的问题有:1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限,学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中,复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味,教学时,采用已学过的数集的认识历程,让学生体会数系的扩充是生产实践的需要,介绍数的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识,让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析,确定本节课的教学难点是:对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程.四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点,为了更直观、形象地突出重点,突破难点,利用图片展示数系学习历程,另外通过演示,体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析(一)课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”,引入课题.设计意图:采用名言欣赏的方式进行情景引入,紧扣主题,展示本节课学习的意义.(二)复习回顾1.已经学习了哪些数集?2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级(上)数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级(下)数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师:我们回顾了对数系的认识历程,我们看到数系在不断地进行扩充,从自然数到整数,再到有理数,乃至实数,请你思考:(1)人们为什么不断地扩充数系?师:从上述过程可以看出,满足社会实践的需要,是数系扩充的一个重要原因.正所谓自然数是“数”出来的,分数是“分”出来的,负数是“欠”出来的.另外,数学内部的发展、需求也是一个重要的原因!例如,求下列方程的解:x+3=1;3x−2=0;x2−2=0.如果没有数系的合理扩充,这些方程的解就是一个问题,数学本身也不可能协调的发展.因此,数学源于社会实践又服务于社会实践,问题或数学矛盾是数学发展的动力.(2)数学扩充的一般原则是什么?师:数系的扩充不仅仅是增加一种新的数,它还涉及数的运算.因此,数系的扩充还需保留原来的基本运算,用今天的话来讲,就是要向前“兼容”,不能推倒小楼建大楼.具体来讲,就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承.比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律.设计意图:通过梳理数系的学习历程,体会数系扩充的必要性,了解数系扩充前后的联系,为后面学习做好铺垫.(三)问题导引师:数系的扩充是否就此止步不前了呢?如果不是,新的数系又是什么呢?情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分,使他们的乘积等于40”,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了:10=(5+√−15)+(5−√−15),40=(5+√−15)(5−√−15).师:这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢?这两个表达式有什么问题?又包含了有哪些“合理”的成分,没有让数学家们一巴掌把它拍死?师:的确,虽然16世纪实数理论还没有完善,但任何一个(实)数的平方都是一个非负数,或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的.这里√−15是什么?他有什么意义吗?是√−15个苹果还是√−15斤棉花?你卡尔达诺能说清楚吗?不过,另一方面,根据当时还不太严谨的运算法则,这两个式子好像也没什么大的问题(先不管√−15是什么,和为10,积为40也是明显的),至少就数学论数学来说,还马马虎虎有点意思,不能因为看不顺眼就拍死它吧?设计意图:以问题形式吸引学生注意力,承上启下,调动学生的积极性.(四)问题探究提出1637年,法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .(“想象中的数”,虚数)迷茫“……,它大概是存在和虚妄两界中的两物”.——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”——瑞士数学大师欧拉发展1777年,欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1,称为虚数单位.1832年,德国数学家高斯第一次引入复数概念,一个复数可以用a+b i来表示,其中a,b是实数,i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a,b)定义了复数及其运算,并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律,把实数看成特殊的复数,建立完整的复数系.复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C表示3.复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图:通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程,让学生感受有实数系扩充到复数系的历程,体会数学家的创新精神和实践能力,让学生参与其中,培养学生解决问题的能力,增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图:巩固所学内容,加强对复数概念的认识.(五)自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题:1.两个复数相等的充要条件是什么?2.复数集C和实数集R之间有什么关系?3.复数集是怎么分类的?设计意图:让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识,培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图:及时反馈,学以致用,加强对知识的认识,提高学生的解题能力.(六)例题讲解例:实数m取什么值时,复数z=(m+1)+(m-1)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数.由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;(3)当m+1=0,且m-1≠0即m=-1时,复数z是纯虚数.设计意图:通过例题,强化复数相等的充要条件,提高分析、解决问题的能力,规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时,复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.设计意图:增加题目难度,检验学生学习情况.(七)课堂小结这节课你学到了哪些内容,你有什么收获?学生活动:学生发言交流自己的收获,其他同学补充.设计意图:通过学生总结,教师提炼,培养学生归纳概括的能力,回顾本节课内容,为以后学习打下基础.(八)课后作业1、书面作业:习题3.1A组 1,2.2、课后探究:请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料,并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图:巩固本节课所学知识,同时带着新的问题走出课堂,扩大学生的视野,加深对知识的认识,激发学生课外学习数学的兴趣.(九)知识拓展复数的应用师:在本节课我们看到,虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展.复数系建立之后,人们又把复数和向量联系起来,并在复数的基础上建立了复变函数理论,成为数学新的一个分支,其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用,从我们熟悉的飞机制造,到引以为傲的高铁,再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝,复数都起到了重要的作用.可谓虚数不虚,学海无涯!设计意图:拓展了学生的知识面,使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习,一方面帮助学生回忆数系扩充的过程,体会虚数引入的必要性和合理性,让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面,让学生理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,为今后的学习奠定基础.从各个环节上看,本节课主要亮点有:采用名言欣赏的方式进行情景引入,紧扣主题,调动学生的积极性和求知欲。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测 苏教版选修1-2(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每题3分,共36分)1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则z =z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.(1+i )20-(1-i)20的值为( )A.0B.1 024C.-1 024D.-1 024i3.已知复数z 满足|z |=2,则复数z ( )A.是实数B.是虚数C.是纯虚数D.对应的点在一个半径为2的圆上4.已知复数z 满足z =-|z |,则z 的实部( )A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于05.复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中,A 、B 、C 所对应的复数分别为2+3i,3+2i,-2-3i ,则D 点对应的复数是( )A.-2+3iB.-3-2iC.2-3iD.3-2i 6.设z =(2t 2+5t -3)+(t 2+2t +2)i(t∈R ),则以下结论正确的是( )A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方D.z 一定为实数 7.在复数集C 内分解因式2x 2-4x +5等于( )A.(x -1+i 3)(x -1-i 3)B.(i x 322+-)( i x 322--)C.2(x -1+i)(x -1-i)D.2(x +1+i)(x +1-i) 8.(ii -+11)2 005等于( ) A.i B.-I C.22 005 D.-22 0059.设复数ω=-i 2321+,则1+ω等于( )A.-ωB.ω2C.-ω1D.21ω 10.设复数z 满足z z +-11=i,则|1+z |等于( ) A.-2 B.-2 C. 2 D.211.两个复数z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1、a 2、b 1、b 2都是实数且z 1≠0,z 2≠0)对应的向量1OZ 和2OZ 在同一条直线上的充要条件是(O 为坐标原点)( ) A.2211a b a b ⋅=-1 B.a 1a 2+b 1b 2=0 C.2121b b a a = D.a 1b 2=a 2b 112.已知复数z =362+-+a a a +(a 2-3a -10)i(a ∈R )满足z i >0或z i <0,则a 的值为( )A.3B.-3C.2或-3D.2二、填空题(每题4分,共16分)13.i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=___________(n 为正整数).14.已知ii +-1)1(3=a +3i ,则a =___________. 15.若关于x 的方程x 2+(1+2i)x -(3m -1)i=0有实根,则纯虚数m=___________.16.已知z 为复数,则z +z >2的一个充要条件是z 满足___________.三、解答题(每小题8分,共48分)17.设|z 1|=13,z 2=12+5i,z 1·z 2是纯虚数,求z 1. 18.已知z =1+i,求1632++-z z z 的模. 19.已知复数z 满足z ·z +2i z =3+a i (其中a ∈R ),(1)求复数z (写成关于a 的表达式);(2)当a 为何值时,满足条件的复数z 存在?20.设O 为坐标原点,已知向量21OZ OZ ⋅分别对应复数z 1、z 2,且z 1=53+a +(10-a 2)i ,z 2=a-12+(2a -5)i(a ∈R ),若1z +z 2可以与任意实数比较大小,求21OZ OZ ⋅的值. 21.关于t 的二次方程t 2+(2+i)t +2xy +(x -y)i=0(x 、y∈R )有实根,求点P (x,y )的轨迹方程.22.设z ≠-1,求证11+-z z 是虚数的充要条件是|z |=1.参考答案1答案:D2解析:(1+i )20-(1-i)20=(2i)10-(-2i)10=0.答案:A3答案:D4解析:设z =x +y i,∴x +y i=-|z |.∴x =-|z |≤0.答案:B5解析:∵A 、B 、C 对应的复数分别为2+3i 、3+2i 、-2-3i ,∴A (2,3),B (3,2),C (-2,-3).设D (x ,y ),则232(-2)2x+=+,222)3(3y+=-+,∴⎩⎨⎧-=-=.2,3y x .∴D 点的坐标为(-3,-2)∴D 点对应的复数为-3-2i.答案:B6解析:2t 2+5t -3=(t +3)(2t -1),t 2+2t +2=(t +1)2+1>0,又z =(2t 2+5t -3)-(t 2+2t +2)i, ∴z 对应的点在实轴的下方.答案:C7答案:C8解析:(i i-+11)2 005=(22i )2 005=i 2 004+1=i.答案:A9解析:1+ω=2321+i=-ω1.答案:C10解析:由z z +-11=i,得z =i i+-11=-i.∴|1+z |=|1-i|=211=+.答案:C11解析:由题意知1OZ =(a 1,b 1),2OZ =(a 2,b 2), ∴1OZ ∥2OZ .∴a 1b 2-a 2b 1=0.答案:D12解析:由z i >0或z i <0知z i 为实数. ∴362+-+a a a =0且a 2-3a -10≠0.∴a=2.答案:D13解析:i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=1+i -1-i=0.答案:014解析:∵2)2(2)1(1)1(243i i i i -=-=+-=-2,∴a+3i=-2.∴a=-2-3i.答案:-2-3i15解析:设m=ki(k≠0),则x 2+x +2x i +3k +i=0.∴⎩⎨⎧=+=++.012,032x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.121,21k x ∴m=121i. 答案:121i16解析:设z =a +bi(a 、b∈R ).由z +z =2a >2得a >1.反之,由a >1得z +z =2a >2.答案:z 的实部大于117解:设z 1=a +bi,则z 1·z 2=(a +bi)(12+5i)=(12a -5b)+(5a +12b)i.由题意,得⎩⎨⎧=-=+,0512,16922b a b a∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.12,512,5b a b a 或∴z 1=5+12i 或-5-12i.18解:1632++-z z z =i i i +++-+26)1(3)1(2 =i i+-23=1-i, ∴1632++-z z z 的模为2.19解:(1)设z =x +y i(x 、y ∈R ),则z =x -y i,代入题设z ·z +2i z =3+ai(a∈R ),得(x +y i)(x -y i)+2i(x -y i)=3+ai.∴x 2+y 2+2y +2x i=3+ai.∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x∴y 2+2y +42a -3=0.∴y =21622a -±-∴z =216222a a -±-+i.(2)∵y ∈R ,∴Δ=4-4(42a -3)≥0.∴-4≤a≤4.20解:依题意得1z +z 2为实数, 由1z =53+a -(10-a 2)i, ∴1z +z 2=a a -++1253+[(a 2-10)+(2a -5)]i 的虚部为0.∴a 2+2a -15=0,解得a=-5或a=3.又分母不为零,∴a=3.此时z 1=83+i,z 2=-1+i, 即1OZ =(83,1),2OZ =(-1,1), ∴1OZ ·2OZ =83×(-1)+1×1=85.21解:设实根为t ,则t 2+(2+i)t +2xy +(x -y )i=0,即(t 2+2t +2xy )+(t +x -y )i=0.根据复数相等⎩⎨⎧=-+=++②①.0,0222y x t xy t t由②得t =y -x 代入①得(y -x )2+2(y -x )+2xy =0,即(x -1)2+(y +1)2=2,③∴所求点的轨迹方程为(x -1)2+(y +1)2=2,轨迹是以(1,-1)为圆心,2为半径的圆. 22证明:设z =x +y i(x ,y ∈R )则])1][()1[(])1][()1[(1111yi x yi x yi x yi x yi x yi x z z -+++-++-=+++-=+- =i y x x yy x x y x 222222122121+++++++-+若|z |=1,则x 2+y 2=1,又z ≠-1,∴x ≠-1且y ≠0, ∴11+-z z 是纯虚数.充分性证完. 若11+-z z 是纯虚数,则x 2+y 2-1=0,且y ≠0,∴|z |=1.∴必要性证完.∴命题成立.。