湖南省怀化市2019年中考数学真题试题(含解析)

2019年湖南省怀化市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列实数中，哪个数是负数()A. 0B. 3C. √2D. −12.单项式−5ab的系数是()A. 5B. −5C. 2D. −23.怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为()A. 27.6×103B. 2.76×103C. 2.76×104D. 2.76×1054.抽样调查某班10名同学身高(单位：厘米)如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是()A. 152B. 160C. 165D. 1705.与30°的角互为余角的角的度数是()A. 30°B. 60°C. 70°D. 90°6.一元一次方程x−2=0的解是()A. x=2B. x=−2C. x=0D. x=17.怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.8.已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A. x1=1，x2=−1B. x1=x2=1C. x1=x2=−1D. x1=−1，x2=210.为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共()只A. 55B. 72C. 83D. 89二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.合并同类项：4a2+6a2−a2=______．12.因式分解：a2−b2=______．13.计算：xx−1−1x−1=______．14.若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为______．15.当a=−1，b=3时，代数式2a−b的值等于______．16. 探索与发现：下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17. 计算：(π−2019)0+4sin60°−√12+|−3|四、解答题（本大题共6小题，共66.0分） 18. 解二元一次方组：{x +3y =7,x −3y =1.19. 已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，E ，F 分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF ；(2)求证：四边形AECF 是矩形．20.如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．21.某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩(单位：环数)如下：次数12345678910王方7109869971010李明89898898108王方10次射箭得分情况环数678910频数______ ______ ______ ______ ______频率______ ______ ______ ______ ______环数678910频数______ ______ ______ ______ ______频率______ ______ ______ ______ ______(3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22.如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．(1)计算∠CAD的度数；(2)连接AE，证明：AE=ME；(3)求证：ME2=BM⋅BE．23.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=−x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点Q的直线l：y=kx−k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN=2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0既不是正数也不是负数，故A错误；B、3是正实数，故B错误；C、√2是正实数，故C错误；D、−1是负实数，故D正确；故选：D．根据小于零的数是负数，可得答案．本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案．【解答】解：单项式−5ab的系数是−5，故选：B．3.【答案】D【解析】解：将27600用科学记数法表示为：2.76×105．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选：B．根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．5.【答案】B【解析】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．故选：B．直接利用互为余角的定义分析得出答案．此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．6.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．直接利用一元一次方程的解法得出答案．【解答】解：x −2=0， 解得：x =2． 故选：A ． 7.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B .是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C .既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； D .是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选C ． 8.【答案】A【解析】解：∵∠α为锐角，且sinα=12，∴∠α=30°． 故选：A ．根据特殊角的三角函数值解答．此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用完全平方公式变形，从而得出方程的解． 【解答】解：∵x 2+2x +1=0， ∴(x +1)2=0， 则x +1=0，解得x 1=x 2=−1， 故选：C ． 10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组． 设该村共有x 户，则母羊共有(5x +17)只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得． 【解答】解：设该村共有x 户，则母羊共有(5x +17)只， 由题意知，{5x +17−7(x −1)>05x +17−7(x −1)<3<x<12，解得：212∵x为整数，∴x=11，则这批种羊共有11+5×11+17=83(只)，故选C．11.【答案】9a2【解析】解：原式=(4+6−1)a2=9a2，故答案为：9a2．根据合并同类项法则计算可得．本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．12.【答案】(a+b)(a−b)【解析】解：a2−b2=(a+b)(a−b)．故答案为：(a+b)(a−b)．利用平方差公式直接分解即可求得答案．此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．13.【答案】1【解析】解：原式=x−1x−1=1．故答案为：1．由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．14.【答案】36°【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角=180°−72°−72°=36°，故答案为：36°．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15.【答案】−5【解析】解：当a=−1，b=3时，2a−b=2×(−1)−3=−5，故答案为：−5．把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．16.【答案】n−1【解析】解：由题意“分数墙”的总面积=2×12+3×13+4×14+⋯+n ×1n =n −1， 故答案为n −1．由题意“分数墙”的总面积=2×12+3×13+4×14+⋯+n ×1n =n −1．本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】解：原式=1+4×√32−2√3+3 =1+2√3−2√3+3=4．【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的性质、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．18.【答案】解：{x +3y =7 ①x −3y =1 ②，①+②得： 2x =8，解得：x =4， 则4−3y =1， 解得：y =1，故方程组的解为：{x =4y =1．【解析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键． 19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B =∠D ，AB =CD ，AD//BC ， ∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB =∠AEC =∠CFD =∠AFC =90°， 在△ABE 和△CDF 中，{∠B =∠D∠AEB =∠CFDAB =CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)； (2)证明：∵AD//BC ， ∴∠EAF =∠AEB =90°，∴∠EAF =∠AEC =∠AFC =90°， ∴四边形AECF 是矩形．【解析】(1)由平行四边形的性质得出∠B =∠D ，AB =CD ，AD//BC ，由已知得出∠AEB =∠AEC =∠CFD =∠AFC =90°，由AAS 证明△ABE≌△CDF 即可； (2)证出∠EAF =∠AEC =∠AFC =90°，即可得出结论．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键． 20.【答案】解：如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意可知：BC =1.5×40=60米，∠ABD =30°，∠ACD =60°，∴∠BAC =∠ACD −∠ABC =30°， ∴∠ABC =∠BAC ， ∴BC =AC =60米．在Rt △ACD 中，AD =AC ⋅sin60°=60×√32=30√3(米)．答：这条河的宽度为30√3米．【解析】如图，作AD ⊥于BC 于D.由题意得到BC =1.5×40=60米，∠ABD =30°，∠ACD =60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC =∠ACD −∠ABC =30°，求得∠ABC =∠BAC ，得到BC =AC =60米．在Rt △ACD 中，根据三角函数的定义即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形−方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题． 21. 环数 6 7 8 9 10 频数 12133频率 0.10.2 0.1 0.3 0.3 李明10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 631频率0.60.30.1(2)王方的平均数=110(6+14+8+27+30)=8.5； 李明的平均数=110(48+27+10)=8.5；(3)∵S 王方2=110[(6−8.5)2+2(7−8.5)2+(8−8.5)2+3(9−8.5)2+3(10−8.5)2]=1.85；S 李明2=110[6(8−8.5)2+3(9−8.5)2+(10−8.5)2=0.35； ∵S 王方2>S 李明2，∴应选派李明参加比赛合适．【解析】解：(1)根据各组的频数除以10即可得到结论； (2)根据加权平均数的定义即可得到结论；(3)根据方差公式即可得到结论．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22.【答案】解：(1)∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴CD⏜的度数=360°5=72°∴∠COD=70°∵∠COD=2∠CAD∴∠CAD=36°(2)连接AE∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴AB⏜=DE⏜=AE⏜=CD⏜=BC⏜∴∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°∴∠CAE=72°，且∠AEB=36°∴∠AME=72°∴∠AME=∠CAE∴AE=ME(3)连接AB∵AB⏜=DE⏜=AE⏜=CD⏜=BC⏜∴∠ABE=∠DAE，且∠AEB=∠AEB∴△AEN∽△BEA∴AE=NE∴AE2=BE⋅NE，且AE=ME∴ME2=BE⋅NE∵AB⏜=DE⏜=AE⏜=CD⏜=BC⏜∴AE=AB，∠CAB=∠CAD=∠DAE=∠BEA=∠ABE=36°∴∠BAD=∠BNA=72°∴BA=BN，且AE=ME∴BN=ME∴BM=NE∴ME2=BE⋅NE=BM⋅BE【解析】(1)由题意可得∠COD =70°，由圆周角的定理可得∠CAD =36°；(2)由圆周角的定理可得∠CAD =∠DAE =∠AEB =36°，可求∠AME =∠CAE =72°，可得AE =ME ；(3)通过证明△AEN∽△BEA ，可得AE BE =NE AE ，可得ME 2=BE ⋅NE ，通过证明BM =NE ，即可得结论．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA 是本题的关键．23.【答案】解：(1)OB =1，tan∠ABO =3，则OA =3，OC =3， 即点A 、B 、C 的坐标分别为(0,3)、(−1,0)、(3,0)，则二次函数表达式为：y =a(x −3)(x +1)=a(x 2−2x −3)，即：−3a =3，解得：a =−1，故函数表达式为：y =−x 2+2x +3，点P(1,4)；(2)将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：x 2−(2−k)x −k =0，设点M 、N 的坐标为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2−k ，x 1x 2=−k ，则：y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k +6=6−k 2，同理：y 1y 2=9−4k 2，①y =kx −k +3，当x =1时，y =3，即点Q(1,3)，S △PMN =2=12PQ ×(x 2−x 1)，则x 2−x 1=4，|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，解得：k =±2√3；②点M 、N 的坐标为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、点P(1,4)，则直线PM 表达式中的k 1值为：y 1−4x1−1，直线PN 表达式中的k 2值为：y 2−4x 2−1， 为：k 1k 2=y 2−4x 2−1y 1−4x 1−1=y 1y 2−4(y 1+y 2)+16x 1x 2−4(x 1x 2)+1=−1， 故PM ⊥PN ，即：△PMN 恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是△PMN 外接圆圆心，设点H 坐标为(x,y)，则x =x 1+x 22=1−12k ， y =12(y 1+y 2)=12(6−k 2)，整理得：y =−2x 2+4x +1，即：该抛物线的表达式为：y=−2x2+4x+1．【解析】(1)求出点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(−1,0)、(3,0)，即可求解；(2)①S△PMN=12PQ×(x2−x1)，则x2−x1=4，即可求解；②k1k2=y2−4x2−1y1−4x1−1=y1y2−4(y1+y2)+16x1x2−4(x1x2)+1=−1，即可求解；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．。

2019年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（）A．0 B．3 C．D．﹣1故选：D．2．（4分）单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2故选：B．3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×105故选：C．4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152 B．160 C．165 D．170故选：B．5．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°故选：B．6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1故选：A．7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．故选：C．8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°故选：A．9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2故选：C．10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝9a2．【解答】解：原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，故答案为：9a2．12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．13．（4分）计算：﹣＝1．【解答】解：原式＝＝1．14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为36°．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，15．（4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于﹣5．【解答】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，故答案为：﹣5．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是n﹣1．【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，故答案为n﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．18．（8分）解二元一次方组：【解答】解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．【解答】解：如图，作AD⊥于BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【解答】解：（1）李明10次射箭得分情况（2）王方的平均数＝（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝8.5；（3）∵S＝[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；S＝[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；∵S＞S，∴应选派李明参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．【解答】解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝70°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE 23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．。

2019年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的）1．下列实数中，哪个数是负数（）A．0 B．3 C．D．﹣1【答案】D【解析】A.0既不是正数也不是负数，故A错误；B.3是正实数，故B错误；C.是正实数，故C错误；D.﹣1是负实数，故D正确；故选：D．2．单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．3．怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×105【答案】D【解析】将27600用科学记数法表示为：2.76×105．故选：D．4．抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152 B．160 C．165 D．170【答案】B【解析】数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选：B．5．与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°【答案】B【解析】与30°的角互为余角的角的度数是：60°．故选：B．6．一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1【答案】A【解析】x﹣2＝0，解得：x＝2．故选：A．7．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．9．一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2【答案】C【解析】∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，则x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，故选：C．10．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89【答案】C【解析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12，∵x为整数，∴x＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝9a2．【解析】原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，故答案为：9a2．12．因式分解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解析】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）．13．计算：﹣＝1．【解析】原式＝＝1．故答案为：1．14．若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为36°．【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．15．当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于﹣5．【解析】当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，故答案为：﹣5．16．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是n﹣1．【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，故答案为n﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．18．（8分）解二元一次方组：解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．解：如图，作AD⊥于BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10王方7 10 9 8 6 9 9 7 10 10李明8 9 8 9 8 8 9 8 10 8 （1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数 1 2 1 3 3频率0.1 0.2 0.1 0.3 0.3李明10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数0 0 6 3 1频率0 0 0.6 0.3 0.1 （2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．解：（1）环数 6 7 8 9 10频数 1 2 1 3 3频率0.1 0.2 0.1 0.3 0.3李明10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数0 0 6 3 1频率0 0 0.6 0.3 0.1 （2）王方的平均数＝（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝8.5；（3）∵S＝[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；S＝[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；∵S＞S，∴应选派李明参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°，∴∠COD＝70°，∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CAD＝36°.（2）连接AE，∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴，∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°，∴∠AME＝72°，∴∠AME＝∠CAE，∴AE＝ME.（3）连接AB，∵，∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB，∴△AEN∽△BEA，∴，∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME，∴ME2＝BE•NE，∵，∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°，∴∠BAD＝∠BNA＝72°，∴BA＝BN，且AE＝ME，∴BN＝ME，∴BM＝NE，∴ME2＝BE•NE＝BM•BE.23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．。

2019年湖南省怀化市数学中考试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（）A．0 B．3 C．D．﹣12．（4分）单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣23．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×1054．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152 B．160 C．165 D．1705．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝17．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝9a2．12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．13．（4分）计算：﹣＝1．14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为36°．15．（4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于﹣5．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是n﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|18．（8分）解二元一次方组：19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10王方7 10 9 8 6 9 9 7 10 10李明8 9 8 9 8 8 9 8 10 8 （1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数12133频率0.10.20.10.30.3李明10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数00631频率000.60.30.1（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．D．2．B．3．D．4．B．5．B．6．A．7．C．8．A．9．C．10．C．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．9a2．12．（a+b）（a﹣b）．13．1．14．36°．15．﹣5．16．n﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．18．解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．20．解：如图，作AD⊥于BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．21．解：（1）环数 6 7 8 9 10频数 1 2 1 3 3频率0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明10次射箭得分情况环数 6 7 8 9 10频数0 0 6 3 1频率0 0 0.6 0.3 0.1 （2）王方的平均数＝（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝8.5；（3）∵S＝[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；S＝[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；∵S＞S，∴应选派李明参加比赛合适．22．解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝70°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE23．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．。

2019年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列实数中，哪个数是负数( )A ．0B ．3CD ．1-2．（4分）单项式5ab -的系数是( ) A ．5B ．5-C ．2D ．2-3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为( ) A ．327.610⨯B ．32.7610⨯C ．42.7610⨯D ．52.7610⨯4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是( ) A ．152B ．160C ．165D ．1705．（4分）与30︒的角互为余角的角的度数是( ) A ．30︒B ．60︒C ．70︒D ．90︒6．（4分）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．0x =D ．1x =7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．8．（4分）已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则(α∠= ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（4分）一元二次方程2210x x ++=的解是( )A ．11x =，21x =-B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x =10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共()只． A ．55B ．72C ．83D ．89二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：22246a a a +-= ． 12．（4分）因式分解：22a b -= ． 13．（4分）计算：111x x x -=-- ． 14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 ． 15．（4分）当1a =-，3b =时，代数式2a b -的值等于 ．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：0(2019)4sin 60|3|π-+︒-- 18．（8分）解二元一次方组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩19．（10分）已知：如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60︒方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30︒方向，试计算此段河面的宽度．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22．（12分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．（1）计算CAD ∠的度数； （2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1OB =，tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．2019年湖南省怀化市中考数学试卷答案与解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【解答】解：A 、0既不是正数也不是负数，故A 错误；B 、3是正实数，故B 错误；C C 错误；D 、1-是负实数，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型． 2．（4分）【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案 【解答】解：单项式5ab -的系数是5-， 故选：B ．【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 3．（4分）【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将27600用科学记数法表示为：52.7610⨯． 故选：D ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．（4分）【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多． 【解答】解：数据160出现了4次为最多，故众数是160， 故选：B ．【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小． 5．（4分）【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案． 【解答】解：与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒． 故选：B ．【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键． 6．（4分）【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案． 【解答】解：20x -=， 解得：2x =． 故选：A ．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键． 7．（4分）【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180︒后与原图重合． 8．（4分）【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【解答】解：α∠为锐角，且1sin 2α=， 30α∴∠=︒．故选：A ．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．9．（4分）【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解． 【解答】解：2210x x ++=，2(1)0x ∴+=， 则10x +=， 解得121x x ==-， 故选：C ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（4分）【分析】设该村共有x 户，则母羊共有(517)x +只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得． 【解答】解：设该村共有x 户，则母羊共有(517)x +只， 由题意知，5177(1)05177(1)3x x x x +-->⎧⎨+--<⎩解得：21122x <<， x 为整数，11x ∴=，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只)， 故选：C ．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：22246a a a +-= 29a ． 【分析】根据合并同类项法则计算可得． 【解答】解：原式22(461)9a a =+-=， 故答案为：29a ．【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．12．（4分）因式分解：22a b -= ()()a b a b +- ． 【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案． 【解答】解：22()()a b a b a b -=+-． 故答案为：()()a b a b +-．【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式． 13．（4分）计算：111x x x -=-- 1 ． 【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 36︒ ． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（4分）当1a =-，3b =时，代数式2a b -的值等于 5- ． 【分析】把a 、b 的值代入代数式，即可求出答案即可． 【解答】解：当1a =-，3b =时，22(1)35a b -=⨯--=-，故答案为：5-．【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是1n-．【分析】由题意“分数墙”的总面积11112341 234n nn=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-．【解答】解：由题意“分数墙”的总面积11112341 234n nn=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-，故答案为1n-．【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：0(2019)4sin60|3|π-+︒--【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式143=+-13=+4=．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．18．（8分）解二元一次方组：37,31 x yx y+=⎧⎨-=⎩【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答】解：3731x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：28x=，解得：4x=，则431y-=，解得：1y=，故方程组的解为：41xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．19．（10分）已知：如图，在ABCD中，AE BC⊥，CF AD⊥，E，F分别为垂足．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出B D∠=∠，AB CD=，//AD BC，由已知得出90AEB AEC CFD AFC∠=∠=∠=∠=︒，由AAS证明ABE CDF∆≅∆即可；（2）证出90EAF AEC AFC∠=∠=∠=︒，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，B D∴∠=∠，AB CD=，//AD BC，AE BC⊥，CF AD⊥，90AEB AEC CFD AFC∴∠=∠=∠=∠=︒，在ABE∆和CDF∆中，B DAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆；（2）证明：//AD BC ，90EAF AEB ∴∠=∠=︒， 90EAF AEC AFC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60︒方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30︒方向，试计算此段河面的宽度．【分析】如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意得到 1.54060BC =⨯=米，30ABD ∠=︒，60ACD ∠=︒，根据三角形的外角的性质得到30BAC ACD ABC ∠=∠-∠=︒，求得A B C B A C ∠=∠，得到60BC AC ==米．在Rt ACD ∆中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意可知： 1.54060BC =⨯=米，30ABD ∠=︒，60ACD ∠=︒， 30BAC ACD ABC ∴∠=∠-∠=︒， ABC BAC ∴∠=∠， 60BC AC ∴==米．在Rt ACD ∆中，sin 6060AD AC =︒==)．答：这条河的宽度为米．【点评】此题主要考查了解直角三角形 方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．【解答】解：（1）李明10次射箭得分情况（2）王方的平均数1(61482730)8.510=++++=；李明的平均数1(482710)8.510=++=； （3）(2222221[(68.5)2(78.5)(88.5)3(98.5)3108.5) 1.8510S ⎤=-+-+-+-+-=⎦王方； 22221[6(88.5)3(98.5)(108.5)0.3510S =-+-+-=李明； 22S S >王方李明，∴应选派李明参加比赛合适．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．（12分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．（1）计算CAD ∠的度数； （2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =．【分析】（1）由题意可得70COD ∠=︒，由圆周角的定理可得36CAD ∠=︒；（2）由圆周角的定理可得36CAD DAE AEB ∠=∠=∠=︒，可求72AME CAE ∠=∠=︒，可得AE ME=；（3）通过证明AEN BEA∆∆∽，可得AE NEBE AE=，可得2ME BE NE=，通过证明BM NE=，即可得结论．【解答】解：（1）A、B、C、D、E是O上的5等分点，∴CD的度数360725︒==︒70COD∴∠=︒2COD CAD∠=∠36CAD∴∠=︒（2）连接AEA、B、C、D、E是O上的5等分点，∴AB DE AE CD BC====36CAD DAE AEB∴∠=∠=∠=︒72CAE∴∠=︒，且36AEB∠=︒72AME∴∠=︒AME CAE∴∠=∠AE ME∴=（3）连接ABAB DE AE CD BC====ABE DAE∴∠=∠，且AEB AEB∠=∠AEN BEA ∴∆∆∽∴AE NEBE AE=2AE BE NE ∴=，且AE ME = 2ME BE NE ∴=AB DE AE CD BC ====AE AB ∴=，36CAB CAD DAE BEA ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒72BAD BNA ∴∠=∠=︒BA BN ∴=，且AE ME = BN ME ∴= BM NE ∴=2ME BE NE BM BE ∴==【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明AEN BEA ∆∆∽是本题的关键．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1OB =，tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【分析】（1）求出点A 、B 、C 的坐标分别为(0,3)、(1,0)-、(3,0)，即可求解；（2）①211()2PMN S PQ x x ∆=⨯-，则214x x -=，即可求解；②21121212211212444()161114()1y y y y y y k k x x x x x x ---++===----+，即可求解；③取MN 的中点H ，则点H 是PMN ∆外接圆圆心，即可求解．【解答】解：（1）1OB =，tan 3ABO ∠=，则3OA =，3OC =， 即点A 、B 、C 的坐标分别为(0,3)、(1,0)-、(3,0)， 则二次函数表达式为：2(3)(1)(23)y a x x a x x =-+=--， 即：33a -=，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++， 点(1,4)P ；（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：2(2)0x k x k ---=，设点M 、N 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ， 则122x x k +=-，12x x k =-，则：21212()266y y k x x k k +=+-+=-， 同理：21294y y k =-，①3y kx k =-+，当1x =时，3y =，即点(1,3)Q ， 2112()2PMN S PQ x x ∆==⨯-，则214x x -=，21||x x -=，解得：k =±②点M 、N 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y 、点(1,4)P ， 则直线PM 表达式中的1k 值为：1141y x --，直线PN 表达式中的2k 值为：2241y x --， 为：21121212211212444()161114()1y y y y y y k k x x x x x x ---++===----+，故PM PN ⊥，即：PMN ∆恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是PMN ∆外接圆圆心，设点H 坐标为(,)x y ， 则121122x x x k +==-， 21211()(6)22y y y k =+=-，整理得：2241y x x =-++，即：该抛物线的表达式为：2241y x x =-++．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键。

湖南省怀化市2019年初中学业水平考试数学答案解析一、选择题 1．【答案】D【解析】A.0既不是正数也不是负数，故A 错误； B.3是正实数，故B 错误；是正实数，故C 错误； D.1-是负实数，故D 正确； 故选：D ． 【考点】实数 2．【答案】B【解析】单项式5ab -的系数是5-， 故选：B ． 【考点】单项式 3．【答案】D【解析】将27 600用科学记数法表示为：52.7610⨯． 故选：D ．【考点】科学记数法 4．【答案】B【解析】数据160出现了4次为最多，故众数是160， 故选：B ． 【考点】众数 5．【答案】B【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒． 故选：B ．【考点】互为余角的定义6．【答案】A 【解析】20x -=， 解得：2x =． 故选：A ．【考点】一元一次方程 7．【答案】C【解析】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C ．【考点】轴对称图形.中心对称图形 8．【答案】A【考点】特殊角的三角函数值． 【解析】α∠为锐角，且1sin 2α=， ∴30α∠=︒．故选：A ．【能力考查】特殊角的三角函数值． 9．【答案】C 【解析】2210x x ++=，∴210x +=（），则10x +=， 解得121x x ==-， 故选：C ．【考点】完全平方公式 10．【答案】C【解析】设该村共有x 户，则母羊共有517x +（）只，由题意知5177(1)05177(1)3x x x x +--≥⎧⎨+--⎩＜，解得：21122x ＜＜， x 为整数，∴11x =，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只）， 故选：C ．【考点】一元一次不等式组 二、填空题 11．【答案】29a【解析】原式224619a a =+-=（）， 故答案为：29a ． 【考点】合并同类项法则 12．【答案】()()a b a b +- 【解析】()()22a b a b a b -=+-． 故答案为：()()a b a b +-． 【考点】平方差公式 13．【答案】1 【解析】原式11x x -=- 1=．故答案为：1． 【考点】分式的加减法 14．【答案】36︒【解析】等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角1807272=︒-︒-︒， 36=︒故答案为：36︒．【考点】等腰三角形 15．【答案】5-【解析】当1a =-，3b =时，22135a b -=⨯--=-（）， 故答案为：5-． 【考点】代数式 16．【答案】1n -【解析】由题意“分数墙”的总面积11112341234n n n=⨯+⨯+⨯++⨯=-， 故答案为1n -． 【考点】规律 三、解答题 17．【答案】4【解析】原式143=+13=+ 4=．【考点】实数的运算 18．【答案】41x y =⎧⎨=⎩【解析】3731x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②得：28x =，解得：4x =， 则431y -=， 解得：1y =， 故方程组的解为：41x y =⎧⎨=⎩． 【考点】二元一次方程组19．【答案】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，AB CD =，AD BC ∥， AE BC ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=︒，在ABE △和CDF △中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CDF AAS △≌△（）； （2）证明：AD BC ∥，∴90EAF AEB ∠=∠=︒， ∴90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AECF 是矩形．【考点】矩形的判定.平行四边形的性质.全等三角形的判定与性质 20．【答案】如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意可知： 1.54060BC =⨯=米，30ABD ∠=︒，60ACD ∠=︒，∴30BAC ACD ABC ∠=∠-∠=︒， ∴ABC BAC ∠=∠，∴60BC AC ==米．在Rt ACD △中，AD AC sin 6060=⋅︒==．答：这条河的宽度为【考点】解直角三角形-方向角 21．李明10（2）王方的平均数614827308.510=++++=（）； 李明的平均数14827108.510=++=（）； （3）22222268.5278.588.5398.531=108.5 1.85[]10S -+-+-+-+-=王方（）（）（）（）（）； 2222688.5398.5108.50.31=[510S -+-+-=李明（）（）（）；22S S 王方李明＞∴应选派李明参加比赛合适．【考点】方差22．【答案】（1） A.B.C.D.E 是O 上的5等分点，∴CD 的度数3605︒=72︒=∴70COD ∠=︒ 2COD CAD ∠=∠∴36CAD ∠=︒（2）连接AEA.B.C.D.E 是⊙O 上的5等分点，∴AB DE AE CD BC ==== ∴36CAD DAE AEB ∠=∠=∠=︒∴72CAE ∠=︒，且36AEB ∠=︒；∴72AME ∠=︒ ∴AME CAE ∠=∠；∴AE ME =（3）连接ABAB DE AE CD BC ====∴ABE DAE ∠=∠，且AEB AEB ∠=∠ ∴AEN BEA △∽△ ∴AE NEBE AE= ∴2AE BE NE =⋅，且AE ME = ∴2ME BE NE =⋅AB DE AE CD BC ====∴AE AB =，36CAB CAD DAE BEA ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒ ∴72BAD BNA ∠=∠=︒；∴BA BN =，且AE ME = ∴BN ME =；∴BM NE =2ME BE NE BM BE ∴=⋅=⋅【考点】圆．23．【答案】（1）1OB =，tan 3ABO ∠=，则3OA =，3OC =，即点A.B.C 的坐标分别为0,3（）.()1,0-.()3,0，则二次函数表达式为：()()()23123y a x x a x x =-+=--， 即：33a -=，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++， 点()1,4P ；（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：220x k x k ---=（），设点M .N 的坐标为()11,x y .()22x y ,， 则122x x k +=-，12x x k =-，则：21212266y y k x x k k +=+-+=-（）， 同理：21294y y k =-，①3y kx k =-+，当1x =时，3y =，即点()1,3Q ，()PMN 211S 22PQ x x ==⨯-△，则214x x -=，21||x x -=，解得：k =± ②点M .N 的坐标为()11,x y .()22,x y .点()1,4P ，则直线PM 表达式中的1k 值为：1141y x --，直线PN 表达式中的2k 值为：2241y x --，为：()()121212121121224164411141y y y y k y y x x x x k x x -++--===---+， 故PM PN ⊥，即：PMN △恒为直角三角形； ③取MN 的中点H ，则点H 是PMN △外接圆圆心，设点H 坐标为(),x y ， 则121122x x x k +==-，()()21211622y y y k =+=-，整理得：2241y xx =-++，即：该抛物线的表达式为：2241y x x =-++． 【考点】二次函数综合运用．。

2019年湖南省怀化市初中学业水平考试试卷数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019·怀化）下列实数中，哪个数是负数（）A.0B.3C.2D.-1【答案】D【解析】由于-1＜0，所以-1为负数．故选D.2.（2019·怀化）单项式-5ab的系数是（）A.5B.-5C.2D.-2【答案】B【解析】单项式-5ab的系数是-5．故选B．3.（2019·怀化）怀化位于湖南西南郊，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学计数法表示为（）A.27.6×103B.2.76×103C.2.76×104D.2.76×105【答案】C【解析】根据科学计数法的概念可得27600=2.76×104.故选C.4.（2019·怀化）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是（）A.152B.160C.165D.170【答案】B【解析】在这组数据中160出现4次；152出现2次；165出现2次；170和159各出现一次，所以这组数据的总数为160．故选B.5．（2019·怀化）与30°的角互为余角的角的度数是（）A.30°B.60°C.70°D.90°【答案】B【解析】∵30°+60°=90°，∴30°的余角为60°.故选B.6．（2019·怀化）一元一次方程x-2=0的解是（）A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=1【答案】A【解析】解方程x-2=0得：x=2．故选A．7.（2019·怀化）怀化市是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】C【解析】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；C.是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．故选C ．8．（2019·怀化） 已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α=（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A. 9．（2019·怀化）一元二次方程x 2+2x +1=0的解是（ ） A.x 1=1，x 2=-1 B.x 1=x 2=1 C.x 1=x 2=-1 D.x 1=-1，x 2=2 【答案】C【解析】方程x 2+2x +1=0，配方可得(x +1)2=0，解得x 1=x 2=-1.故选C.10. （2019·怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则可有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共（ ）只. A.55 B.72 C.83 D.89 【答案】C【解析】设该村有x 户，则这批种羊中母羊有(5x +17)只，根据题意可得()()517710517713x x x x +--⎧⎪⎨+--⎪⎩＞＜ 解得10.5＜x ＜12.∵x 为正整数，∴x =11，∴这批种羊共有11+5×11+17=83只. 故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．（2019·怀化）合并同类项：4a 2+6a 2-a 2= 【答案】9a 2【解析】4a 2+6a 2-a 2=(4+6-1)a 2=9a 2.故填9a 2. 12．（2019·怀化）因式分解：a 2-b 2= 【答案】(a -b )(a +b )【解析】a 2-b 2=(a -b )(a +b ).故填(a -b )(a +b ). 13．（2019·怀化）计算：111x x x ---= ． 【答案】1 【解析】111x x x ---=11x x --=1.故答案为1. 14．（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36°.【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°， ∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°. 故答案为36°.15. （2019·怀化）当a =-1，b =3时，代数式2a -b 的值等于 【答案】-5.【解析】∵a =-1，b =3，∴2a -b =2×(-1)-3=-5. 故答案为-5.16. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是【答案】n-1.【解析】第一行面积和为11+=122， 第二行面积和为111++=1333， 第三行面积和为1111+++=14444，…第n 行面积和为1111++++=1n n n n…， ∴整面“分数墙”的总面积是n -1.故答案为n-1.三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019湖南怀化，17，8分） 计算：()020194sin 60123π-+︒-.【思路分析】首先利用特殊角的三角函数值，零指数幂以、绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简，然后将化简后的式子进行加减即可. 【解题过程】解：原式=1+4×1232323【知识点】二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的性质 18.（2019湖南怀化，18，8分）解二元一次方程组：3731x y x y +=⎧⎨-=⎩【思路分析】首先将两方程相加可解出x 的值，然后将x 的值代入其中一个方程解出y 即可.【解题过程】解：3731x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得2x=8，解得x=4，把x=4代入①，得y=1，所以方程组的解为31 xy=⎧⎨=⎩.【知识点】解二元一次方程组19.（2019湖南怀化，19，10分）已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形.【思路分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AB=CD，∠B=∠D，根据AE⊥BC，CF⊥AD可得∠AEB=∠CFD，进而证明出结果；（2）根据（1）根据BE=DF，进而得出四边形AECF是平行四边形，根据AE⊥BC即可得出答案．【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）.（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AF∥CE，AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形.∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴四边形AECF是矩形.【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定20.（2019湖南怀化，20，10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.【思路分析】过A 点作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，然后根据锐角三角函数的定义可得BD=3AD ，CD=33AD ，进而得出AD 的值即可. 【解题过程】解：过A 点作AD ⊥BC ，垂足为D.根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米， 在Rt △ABD 中，BD=tan 30AD=3AD ，在Rt △ACD 中，CD=tan 60AD =33AD ， ∴BC=BD-CD=233AD=60， ∴AD=303.所以此段河面的宽度为303.【知识点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用 21．（2019湖南怀化，21，12分） 某射箭队准备从王方、李明二人中选拨1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10 李明89898898108（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.【思路分析】（1）根据王方和李明的10次射箭情况填表即可；（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；（3）根据方差的计算公式分别计算出王方和李明的方差，根据方差的大小和性质即可得出答案.【解题过程】解：（1）填表如下：（2）=60.1+70.2+80.1+90.3+100.3=8.5x⨯⨯⨯⨯⨯王方，=80.6+90.3+100.1=8.5x⨯⨯⨯李明，（3）()()()()()2222221s=6-8.5+27-8.5+8-8.5+39-8.5+310-8.5=1.8510⎡⎤⨯⨯⨯⨯⎣⎦王方，()()()22221s=68-8.5+39-8.5+10-8.5=0.4510⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦李明，∵22s s王方李明＞，∴李明的成绩较稳定，∴应选派李明参加比赛合适.【知识点】数据的统计，平均数，方差22.（2019湖南怀化，22，12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE=ME；（3）求证：ME2=BM·BE.【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；（3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出AB BEAN AE=，AN=BM，根据AE=ME即可得出答案.【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∠COD=3605=72°，∴∠CAD=12∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）连接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴AB BEAN AE=，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE..【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质23.（2019湖南怀化，23，14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点.①若S△PMN=2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式.【思路分析】（1）根据题意分别求出点A和点C的坐标，并把坐标代入y=-x2+bx+c，解出b和c的值即可，进而得出顶点P的坐标；（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），首先求出定点Q的坐标，然后根据S△PMN=12PQ·(x2-x1)得出x1和x2的数量关系，最后联立方程y=-x2+2x+3与方程y=kx-k+3，根据根与系数的关系得出x1+x2=2-k，x1·x2=-k，进而求出k的值；②过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F，首先表示出线段PE，ME，PF，NF，然后根据锐角三角函数的定义得出tan∠PAE与tan∠FPN，根据x1+x2=2-k，x1·x2=-k，可得1-x1=21 1x-，进而推出tan∠PAE=tan∠FPN，进而证明出结论；③设线段MN的中点（x，y），由②可得MN的中点为（22k-，262k-+）进而得出抛物线方程.【解题过程】（1）解：∵OB=1，tan∠ABO=3，∴OA=OB tan∠ABO=3，∴A（0，3）.根据旋转的性质可得Rt△AOB≌Rt△COD，∴OC=OA=3， ∴C （3，0），根据题意可得c=3930b c ⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，顶点坐标P （1，4）（2）①解：由直线l 的方程y =kx -k +3可得定点Q （1，3）， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 S △PMN =12PQ·(x 2-x 1)=2， ∴x 2-x 1=4.联立y =-x 2+2x +3与y =kx -k +3可得x 2+(k -2)x -k =0， ∴x 1+x 2=2-k ，x 1·x 2=-k ，∴(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=k 2+4=16， ∴k =±23.②证明：过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为G ，分别过点M 、N 作PG 的垂线，垂足分别为E 、F.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）.∵M ，N 在二次函数y =-x 2+2x +3图象上， ∴y 1=-x 12+2x 1+3，y 2=-x 22+2x 2+3. ∵P （1，4），∴PE=4-y 1=4+x 12-2x 1-3=(x 1-1)2，ME=1-x 1， PF=4-y 2=4+x 22-2x 2-3=(x 2-1)2，NF=x 2-1，∴tan ∠PAE=()21111=11x PE x ME x -=--， tan ∠FPN=()22221111x FN PF x x -==--. 由①可知x 1+x 2=2-k ，x 1·x 2=-k ，∴x 1+x 2=2+x 1x 2， ∴(1-x 1)(x 2-1)=1， ∴1-x 1=211x -， ∴tan ∠PAE=tan ∠FPN ，∴∠PAE=∠FPN.∵∠PAE+∠APE=90°， ∴∠FPN+∠APE=90°， 即∠APN=90°，∴无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形. ③解：设线段MN 的中点（x ，y ），由②可得MN 的中点为（22k -，262k -+），∴22262k x k y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，化简，得y =-2x 2+4x +1. ∴抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +1.【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，一元二次方程根与系数的关系，中点坐标公式。

2019年湖南省怀化市中考数学试卷以及逐题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列实数中，哪个数是负数( )A ．0B ．3CD ．1-2．（4分）单项式5ab -的系数是( ) A ．5B ．5-C ．2D ．2-3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为( ) A ．327.610⨯B ．32.7610⨯C ．42.7610⨯D ．52.7610⨯4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是( ) A ．152B ．160C ．165D ．1705．（4分）与30︒的角互为余角的角的度数是( ) A ．30︒B ．60︒C ．70︒D ．90︒6．（4分）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．0x =D ．1x =7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．8．（4分）已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则(α∠= ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（4分）一元二次方程2210x x ++=的解是( )A ．11x =，21x =-B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x =10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共()只． A ．55B ．72C ．83D ．89二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：22246a a a +-= ． 12．（4分）因式分解：22a b -= ． 13．（4分）计算：111x x x -=-- ． 14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 ． 15．（4分）当1a =-，3b =时，代数式2a b -的值等于 ．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：0(2019)4sin 60|3|π-+︒-- 18．（8分）解二元一次方组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩19．（10分）已知：如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60︒方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30︒方向，试计算此段河面的宽度．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22．（12分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．（1）计算CAD ∠的度数； （2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1OB =，tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．2019年湖南省怀化市中考数学试卷答案与解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列实数中，哪个数是负数( )A ．0B ．3CD ．1-【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【解答】解：A 、0既不是正数也不是负数，故A 错误；B 、3是正实数，故B 错误；C C 错误；D 、1-是负实数，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型． 2．（4分）单项式5ab -的系数是( ) A ．5B ．5-C ．2D ．2-【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案 【解答】解：单项式5ab -的系数是5-， 故选：B ．【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为( ) A ．327.610⨯B ．32.7610⨯C ．42.7610⨯D ．52.7610⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将27600用科学记数法表示为：52.7610⨯． 故选：D ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中…，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．a<1||104．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是()A．152B．160C．165D．170【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．【解答】解：数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选：B．【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．5．（4分）与30︒的角互为余角的角的度数是()A．30︒B．60︒C．70︒D．90︒【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．【解答】解：与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选：B．【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．6．（4分）一元一次方程20x-=的解是()A．2x=x=D．1x=-C．0x=B．2【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．【解答】解：20x-=，解得：2x=．故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C ．D ．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180︒后与原图重合． 8．（4分）已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则(α∠= ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【解答】解：α∠为锐角，且1sin 2α=， 30α∴∠=︒．故选：A ．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 9．（4分）一元二次方程2210x x ++=的解是( ) A ．11x =，21x =- B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x =【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解． 【解答】解：2210x x ++=，2(1)0x ∴+=， 则10x +=， 解得121x x ==-， 故选：C ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共()只． A ．55B ．72C ．83D ．89【分析】设该村共有x 户，则母羊共有(517)x +只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得． 【解答】解：设该村共有x 户，则母羊共有(517)x +只， 由题意知，5177(1)05177(1)3x x x x +-->⎧⎨+--<⎩解得：21122x <<， x 为整数，11x ∴=，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只)， 故选：C ．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：22246a a a +-= 29a ． 【分析】根据合并同类项法则计算可得． 【解答】解：原式22(461)9a a =+-=， 故答案为：29a ．【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．12．（4分）因式分解：22a b -= ()()a b a b +- ． 【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案． 【解答】解：22()()a b a b a b -=+-． 故答案为：()()a b a b +-．【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式． 13．（4分）计算：111x x x -=-- 1 ． 【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为 36︒ ． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（4分）当1a =-，3b =时，代数式2a b -的值等于 5- ． 【分析】把a 、b 的值代入代数式，即可求出答案即可． 【解答】解：当1a =-，3b =时，22(1)35a b -=⨯--=-， 故答案为：5-．【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键． 16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 1n - ．【分析】由题意“分数墙”的总面积11112341 234n nn=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-．【解答】解：由题意“分数墙”的总面积11112341 234n nn=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-，故答案为1n-．【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：0(2019)4sin60|3|π-+︒--【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式143=+-13=+4=．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．18．（8分）解二元一次方组：37,31 x yx y+=⎧⎨-=⎩【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答】解：3731x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：28x=，解得：4x=，则431y-=，解得：1y=，故方程组的解为：41xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．19．（10分）已知：如图，在ABCD中，AE BC⊥，CF AD⊥，E，F分别为垂足．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出B D∠=∠，AB CD=，//AD BC，由已知得出90AEB AEC CFD AFC∠=∠=∠=∠=︒，由AAS证明ABE CDF∆≅∆即可；（2）证出90EAF AEC AFC∠=∠=∠=︒，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，B D∴∠=∠，AB CD=，//AD BC，AE BC⊥，CF AD⊥，90AEB AEC CFD AFC∴∠=∠=∠=∠=︒，在ABE∆和CDF∆中，B DAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS∴∆≅∆；（2）证明：//AD BC，90EAF AEB∴∠=∠=︒，90EAF AEC AFC∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60︒方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30︒方向，试计算此段河面的宽度．【分析】如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意得到 1.54060BC =⨯=米，30ABD ∠=︒，60ACD ∠=︒，根据三角形的外角的性质得到30BAC ACD ABC ∠=∠-∠=︒，求得A B C B A C ∠=∠，得到60BC AC ==米．在Rt ACD ∆中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意可知： 1.54060BC =⨯=米，30ABD ∠=︒，60ACD ∠=︒， 30BAC ACD ABC ∴∠=∠-∠=︒， ABC BAC ∴∠=∠， 60BC AC ∴==米．在Rt ACD ∆中，sin 6060AD AC =︒==)．答：这条河的宽度为米．【点评】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．【解答】解：（1）李明10次射箭得分情况（2）王方的平均数1(61482730)8.510=++++=；李明的平均数1(482710)8.510=++=；（3）(2222221[(68.5)2(78.5)(88.5)3(98.5)3108.5) 1.8510S ⎤=-+-+-+-+-=⎦王方； 22221[6(88.5)3(98.5)(108.5)0.3510S =-+-+-=李明； 22S S >王方李明，∴应选派李明参加比赛合适．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．（12分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．（1）计算CAD ∠的度数； （2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =．【分析】（1）由题意可得70COD ∠=︒，由圆周角的定理可得36CAD ∠=︒；（2）由圆周角的定理可得36CAD DAE AEB ∠=∠=∠=︒，可求72AME CAE ∠=∠=︒，可得AE ME =；（3）通过证明AEN BEA ∆∆∽，可得AE NEBE AE=，可得2ME BE NE =，通过证明BM NE =，即可得结论． 【解答】解：（1）A 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，∴CD 的度数360725︒==︒ 70COD ∴∠=︒ 2COD CAD ∠=∠ 36CAD ∴∠=︒（2）连接AEA 、B 、C 、D 、E 是O 上的5等分点，∴AB DE AE CD BC ====36CAD DAE AEB ∴∠=∠=∠=︒72CAE ∴∠=︒，且36AEB ∠=︒ 72AME ∴∠=︒ AME CAE ∴∠=∠AE ME ∴=（3）连接ABAB DE AE CD BC ====ABE DAE ∴∠=∠，且AEB AEB ∠=∠AEN BEA ∴∆∆∽∴AE NEBE AE=2AE BE NE ∴=，且AE ME = 2ME BE NE ∴=AB DE AE CD BC ====AE AB ∴=，36CAB CAD DAE BEA ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒72BAD BNA ∴∠=∠=︒BA BN ∴=，且AE ME = BN ME ∴=2ME BE NE BM BE ∴==【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明AEN BEA ∆∆∽是本题的关键．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1OB =，tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【分析】（1）求出点A 、B 、C 的坐标分别为(0,3)、(1,0)-、(3,0)，即可求解； （2）①211()2PMN S PQ x x ∆=⨯-，则214x x -=，即可求解；②21121212211212444()161114()1y y y y y y k k x x x x x x ---++===----+，即可求解；③取MN 的中点H ，则点H 是PMN ∆外接圆圆心，即可求解．【解答】解：（1）1OB =，tan 3ABO ∠=，则3OA =，3OC =， 即点A 、B 、C 的坐标分别为(0,3)、(1,0)-、(3,0)， 则二次函数表达式为：2(3)(1)(23)y a x x a x x =-+=--， 即：33a -=，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++，（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：2(2)0x k x k ---=，设点M 、N 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ， 则122x x k +=-，12x x k =-，则：21212()266y y k x x k k +=+-+=-， 同理：21294y y k =-，①3y kx k =-+，当1x =时，3y =，即点(1,3)Q ， 2112()2PMN S PQ x x ∆==⨯-，则214x x -=，21||x x -=，解得：k =±②点M 、N 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y 、点(1,4)P ， 则直线PM 表达式中的1k 值为：1141y x --，直线PN 表达式中的2k 值为：2241y x --， 为：21121212211212444()161114()1y y y y y y k k x x x x x x ---++===----+，故PM PN ⊥，即：PMN ∆恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是PMN ∆外接圆圆心，设点H 坐标为(,)x y ， 则121122x x x k +==-， 21211()(6)22y y y k =+=-，整理得：2241y x x =-++，即：该抛物线的表达式为：2241y x x =-++．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键。

2019年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（）A．0B．3C．√2D．﹣12．（4分）单项式﹣5ab的系数是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣23．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×1054．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152B．160C．165D．1705．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝0D．x＝17．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝2 10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55B．72C．83D．89二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝．12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝．13．（4分）计算：xx−1−1x−1=．14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为．15．（4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°−√12+|﹣3|18．（8分）解二元一次方组：{x+3y=7，x−3y=1．19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：次数12345678910王方7109869971010李明89898898108（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况环数678910频数频率李明10次射箭得分情况环数678910频数频率（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．2019年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（）A．0B．3C．√2D．﹣1【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，故A错误；B、3是正实数，故B错误；C、√2是正实数，故C错误；D、﹣1是负实数，故D正确；故选：D．2．（4分）单项式﹣5ab的系数是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣2【解答】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×105【解答】解：将27600用科学记数法表示为：2.76×104．故选：C．4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152B．160C．165D．170【解答】解：数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选：B．5．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°【解答】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝0D．x＝1【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．故选：A．7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα=1 2，∴∠α＝30°．故选：A．9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝2【解答】解：∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x 1＝x 2＝﹣1， 故选：C ．10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只． A ．55B ．72C ．83D ．89【解答】解：设该村共有x 户，则母羊共有（5x +17）只， 由题意知，{5x +17−7(x −1)＞05x +17−7(x −1)＜3解得：212＜x ＜12，∵x 为整数， ∴x ＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只）， 故选：C ．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．（4分）合并同类项：4a 2+6a 2﹣a 2＝ 9a 2 ． 【解答】解：原式＝（4+6﹣1）a 2＝9a 2， 故答案为：9a 2．12．（4分）因式分解：a 2﹣b 2＝ （a +b ）（a ﹣b ） ． 【解答】解：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）． 故答案为：（a +b ）（a ﹣b ）． 13．（4分）计算：x x−1−1x−1= 1 ．【解答】解：原式=x−1x−1＝1． 故答案为：1．14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 36° ． 【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 故答案为：36°．15．（4分）当a ＝﹣1，b ＝3时，代数式2a ﹣b 的值等于 ﹣5 ． 【解答】解：当a ＝﹣1，b ＝3时，2a ﹣b ＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5， 故答案为：﹣5．16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 n ﹣1 ．【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×12+3×13+4×14+⋯+n ×1n =n ﹣1， 故答案为n ﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°−√12+|﹣3| 【解答】解：原式＝1+4×√32−2√3+3＝1+2√3−2√3+3 ＝4．18．（8分）解二元一次方组：{x +3y =7，x −3y =1．【解答】解：{x +3y =7①x −3y =1②，①+②得： 2x ＝8，解得：x ＝4， 则4﹣3y ＝1， 解得：y ＝1， 故方程组的解为：{x =4y =1． 19．（10分）已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，E ，F 分别为垂足． （1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）求证：四边形AECF 是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，AD ∥BC ， ∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝∠CFD ＝∠AFC ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，{∠B =∠D∠AEB =∠CFDAB =CD ，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）； （2）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠EAF ＝∠AEB ＝90°， ∴∠EAF ＝∠AEC ＝∠AFC ＝90°， ∴四边形AECF 是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．【解答】解：如图，作AD⊥于BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×√32=30√3（米）．答：这条河的宽度为30√3米．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：次数12345678910王方7109869971010李明89898898108（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况环数678910频数12133频率0.10.20.10.30.3李明10次射箭得分情况环数678910频数00631频率000.60.30.1（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【解答】解：（1）环数678910频数12133频率0.10.20.10.30.3李明10次射箭得分情况环数678910频数00631频率000.60.30.1（2）王方的平均数=110（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数=110（48+27+10）＝8.5；（3）∵S王方2=110[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；S李明2=110[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；∵S王方2＞S李明2，∴应选派李明参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．【解答】解：（1）∵A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点， ∴CD ̂的度数=360°5=72° ∴∠COD ＝70° ∵∠COD ＝2∠CAD ∴∠CAD ＝36° （2）连接AE∵A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点， ∴AB̂=DE ̂=AE ̂=CD ̂=BC ̂ ∴∠CAD ＝∠DAE ＝∠AEB ＝36° ∴∠CAE ＝72°，且∠AEB ＝36° ∴∠AME ＝72° ∴∠AME ＝∠CAE ∴AE ＝ME （3）连接AB∵AB̂=DE ̂=AE ̂=CD ̂=BC ̂∴∠ABE ＝∠DAE ，且∠AEB ＝∠AEB ∴△AEN ∽△BEA ∴AE BE=NE AE∴AE 2＝BE •NE ，且AE ＝ME ∴ME 2＝BE •NE∵AB̂=DE ̂=AE ̂=CD ̂=BC ̂ ∴AE ＝AB ，∠CAB ＝∠CAD ＝∠DAE ＝∠BEA ＝∠ABE ＝36° ∴∠BAD ＝∠BNA ＝72° ∴BA ＝BN ，且AE ＝ME ∴BN ＝ME ∴BM ＝NE∴ME 2＝BE •NE ＝BM •BE23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt △AOB ，O 为坐标原点，OB ＝1，tan ∠ABO ＝3，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90°，得到Rt △COD ，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线l ：y ＝kx ﹣k +3与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若S △PMN ＝2，求k 的值；②证明：无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【解答】解：（1）OB ＝1，tan ∠ABO ＝3，则OA ＝3，OC ＝3， 即点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣3）（x +1）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1， 故函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3， 点P （1，4）；（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得： x 2﹣（2﹣k ）x ﹣k ＝0，设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝2﹣k ，x 1x 2＝﹣k ，则：y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣2k +6＝6﹣k 2， 同理：y 1y 2＝9﹣4k 2，①y ＝kx ﹣k +3，当x ＝1时，y ＝3，即点Q （1，3）， S △PMN ＝2=12PQ ×（x 2﹣x 1），则x 2﹣x 1＝4， |x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， 解得：k ＝±2√3；②点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、点P （1，4）， 则直线PM 表达式中的k 1值为：y 1−4x 1−1，直线PN 表达式中的k 2值为：y 2−4x 2−1，为：k 1k 2=y 2−4x 2−1y 1−4x 1−1=y 1y 2−4(y 1+y 2)+16x 1x 2−4(x 1x 2)+1=−1，故PM ⊥PN ，即：△PMN 恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是△PMN 外接圆圆心，设点H 坐标为（x ，y ）， 则x =x 1+x 22=1−12k ， y =12（y 1+y 2）=12（6﹣k 2）， 整理得：y ＝﹣2x 2+4x +1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．。