最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》同步训练2

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高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1)函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0,1，2，4｝的最大值为_____.（2)函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____。

2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f ＝在（－∞，0）上是增函数. 3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性,并给予证明。

4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间. 5、已知二次函数y ＝f （x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：（1)f （6）与f(4)； (2)f(2)f(15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1)上是减函数,且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围。

7、求下列函数的增区间与减区间（1）y ＝|x 2＋2x －3｜(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||(4）2012－－＝x x y 8、函数f （x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围． 9、【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 10、求函数xx x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值。

高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）例题2-3-1、判断下列函数的单调性：(1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .例题2-3-2、用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3、已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.例题2-3-4、证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.例题2-3-5、证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.例题2-3-6、求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.例题2-3-7、判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性.例题2-3-8、函数f (x )，x (-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围.例题2-3-9、已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.例题2-3-10、若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围.高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）解析 例题2-3-1判断下列函数的单调性： (1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .1. 求函数单调性是基本问题，通过图像来解决非常直接.2. 本题涉及两个图像变换问题：(1) 把f (x )图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方去得到)(x f 的图像. (2) 把 f (x )图像在y 轴左侧的部分抹去，并把在y 轴右侧的部分沿y 轴翻折到左边来，并保留y 轴右侧的部分，就可得到y ＝f (x )的图像(一定是偶函数，关于y 轴对称).3. 解决绝对值问题有时需要讨论，去掉绝对值后解析式可化简，这样再研究函数的性质就方便了. 解：(1) 因为 y ＝|4)1(|2-+x 则可以画出此函数的图像，如图，由图像可得 当x ∈(-∞，-3]时，函数单调递减； 当x ∈(-3，-1]时，函数单调递增； 当x ∈(-1，1]时，函数单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，函数单调递增.(2) 因为y ＝4)1|(|3||2||22----x x x ＝，所以此函数为偶函数，可以画出函数图像如图.(或由y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-+----)0 ( 4)1( 32)0 ( 4)1( 322222＜＝＝x x x x xx x x 同样可以画出如图所示的函数图像)则可知当x ∈(-∞，-1)时，f (x )单调递减； 当x ∈[-1，0]时，f (x )单调递增； 当x ∈[0，1]时，f (x )单调递减；当x ∈(1，+∞)时，f (x )单调递增.(3) 因为y＝|1|122---x xx＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+--)0 1( 2112)2 1 ( 11222x x x x x x x x x x xx 且＜＝且＝此函数为分段函数，可以画出它的图像， 如图可知当x ∈(-∞，0)和x ∈(0，1)时，f (x )为增函数； 当x ∈(1，2)和x ∈(2，+∞)时，f (x )为减函数.例题2-3-2用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.y-3 -1 1 3 O-3xy 1 2-2xO ≥ ≥ ≠ ≠y -3 -1 1 O 4x(1) 任取：在单调区间内任取两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2； (2) 作差：用x 1和x 2的函数值作差，即f (x 1)-f (x 2)；(3) 变形：作差后可以因式分解变为乘积或商的形式，也可以凑配成完全平方式； (4) 比较：判断f (x 1)-f (x 2)的符号，从而比较f (x 1)与f (x 2)的大小. 此方法用到了不等式中的一个重要的比较方法：求差比较法. 解：任取x 1，x 2∈[1，+∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)-f (x 2)＝(*))1)(1()1)(()1)(1(1122212112222122121221222211++--++--++-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x ＝＝因为1≤x 1＜x 2，x 2 -x 1＞0且x 1x 2＞1.又因为121+x ＞0，122+x ＞0，所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3 已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.此题所涉及的函数是高中数学经常要遇到的函数，经过此题的讨论，我们可清楚地知道其大致性质，因此也能画出其大致图像，不妨试试看. 解：(1) x ≠0.(2) 因为)(11)(x f x x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+----＝＝＝，所以f (x )为奇函数.(3) 任取x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞) 且x 1＜x 2， 则22112111)()(x x x x x f x f --+-＝＝(*))1()()(212121211221x x x x x x x x x x x x ---+-＝.因为x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞)且x 1＜x 2， ① 当x 1＜x 2＜-1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). 所以f (x )在(-∞，-1)上是增函数. ② 当-1≤x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[-1，0]上是减函数. ③ 当0＜x 1＜x 2≤1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在(0，1)上是减函数. ④ 当x 2＞x 1＞1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).所以f (x )在(1，+∞)上是增函数.例题2-3-4证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.此题考查用定义证明函数的奇偶性，注意有时采用变通的办法更灵活，如证明：(1) f (-x ) +f(x )＝0⇒奇函数；(2) ⇒--1)()(＝x f x f 奇函数.证明： 因为R ∈x 又f (-x )＝111122+-+--+x x x x＝)]1(1)][1(1)][1(1[)]1(1)][1(1)][1(1[222222+++-++--+-++++++-+x x x x x x x x x x x x＝)11(2)11(222+++-++-x x x x x x＝111122+++-++-x x x x＝)(x f -.所以f (x )是R 上的奇函数.例题2-3-5证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.证明(判断)函数在指定区间A 上的单调性应严格遵循五个步骤： (1) 设元：设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2；(2) 作差：将函数值f (x 1)与f (x 2)作差；(3) 变形：对上述差值(因式分解，或配方等)变形；(4) 判号：对上述变形结果的正、负加以判断，从而看出f (x 1)，f (x 2)的大小； (5) 定论：确定f (x )的单调性.证明： 设x 1，x 2∈(-∞，]0，且x 1＜x 2， 则 f (x 1)-f (x 2)＝x 13-x 23＝(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x .由x 1-x 2＜0，22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ＞0，43x 22≥0，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x ＜0，所以f (x 1)- f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2).所以，函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数. 例题2-3-6求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.如果函数＝f (u )和u ＝g (x )在公共区间A 上都是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 上也是单调函数，并且，若y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]是增(减)函数. 这一性质，我们简记为“同增异减”.解：首先，由x 2-2004x ≥0，得x ≤0，或x ≥2004.∴函数的定义域是(-∞，0] [2004，+∞). ①xy O1002 2004其次，由于函数y ＝u 在[0，+∞]上是增函数，所以，求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间，只需求出函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间，且满足①.如图所示，函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间是[1002，+∞). ②由①、②知函数y ＝x x 20042-的单调递增区间是[2004，+∞).例题2-3-7 判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性. )、g (x )在区间A 上都是增(减)函数，则函数f (x )+g (x )在区间A 上也是增(减)函数. 应用这一性质解答数学问题时，易出错的地方是：忘记了A 是公共区间.将函数y ＝x 2+x 1拆成函数f (x )＝x 2与xx g 1)(=，依据f (x )、g (x )的单调性确定f (x )+g (x )的单调性，见下图.解：∵ f (x )＝x 2在(-∞，0)上是减函数，g (x )＝x1在(-∞，0)上也是减函数， ∴ y ＝f (x )+ g (x )在(-∞，0)上是减函数，即y ＝x 2+x1在(-∞，0)上是减函数. 例题2-3-8函数f (x )，x ∈(-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围. 是增(减)函数，且f [g (a )]＞f [)(a ϕ]，则a 的取值范围是{a |g (a )＞)(a ϕ}，或{a |g (a )＜)(a ϕ}. 解：首先，-1＜1-a ＜1，-1＜1-a 2＜1.由f (1-a )+f (1-a 2)＜0，得f (1-a )＜-f (1-a 2). ∵ f (-x )＝-f (x )，x ∈(-1，1)，∴ f (1-a )＜f (a 2-1).又∵ f (x )是(-1，1)上的减函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧------,11,111,11122a a a a ＞＜＜＜＜ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧--12,22,20＜＜＜＜＜＜a a a 且a ≠0，解得0＜a ＜1(参看右图). ∴实数a 的取值范围是(0，1).例题2-3-9已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.满足f (-x )＝- f (x ) (或f (-x )＝f (x ))的函数在对称区间(-∞，0)与(0，+∞)上的单调性相同(反). 可以通过两个特殊的函数的图象帮助我们记忆，如图所示. 解：F (x )在(-∞，0)上是减函数.1 2-2 -22 yxOy ＝x 3yxOy ＝x 2任取x 1，x 2∈(-∞，0)，且x 1＜x 2， 则-x 1＞-x 2＞0.∵ y ＝f (x )在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴ f (-x 2)＜f (-x 1)＜0. ① 又∵ f (-x )＝- f (x )， ∴ f (-x 2)＝- f (x 2)， ② f (-x 1)＝- f (x 1). ③ 由①、②、③，得f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是F (x 1)-F (x 2)＝)()()()(2112x f x f x f x f -＞0，即F (x 1)＞F (x 2).∴ )(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是减函数.例题2-3-10若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围. 对a 进行如下分类讨论： 解：① 当a ＝0，f (x )＝4x +1在[-1，3]是单调函数；② 当a ≠0时，f (x )是二次函数，若函数在区间[-1，3]上是单调函数，则对称轴 ∉-a a x 2＝(-1，3)，(如图所示)，即a a 2-≤-1，或aa 2-≥3， 解得-1≤a ＜0，或0＜a ≤1.综上，由①、②可知a 的取值范围是[-1，1].xyO1 3-1xyO 13-1。

2.1.3 函数的单调性 测试题一、 选择题：1、函数x x f 2)(=在]2,1[-∈x 上的单调性为 （ ）A.减函数B.增函数.C.先增后减.D.先减后增2、函数2x y -=的单调增区间为 （ ）A.]0,(-∞B.),0[+∞C.),(+∞-∞D.),1(+∞-3、若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）A.b>0B. b<0C.m>0D.m<04、函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数 5、若函数xx k x f -=)(在)0,(-∞上是减函数，则k 的取值范围是 （ ） A.0=k B.0>k C.0<k D.0≥k二、填空题：6、函数||)(x x f =的减区间是____________________.7、若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______.8、如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.三、解答题：9、已知函数3)(2+--=ax x x f 在区间]1,(--∞上是增函数，求a 的取值范围10、求函数1)(-=x x x f 在[2，5]上的最大值和最小值 参考答案：1、 B ；2、A ；3、C ；4、A ；5、C ；6、(,0]-∞；7、12n <； 8、8a ≥； 9、对称轴2a x =，开口向下，在(,1]-∞-上递增，122a a ∴≥-⇒≥-； 10、111()111x f x x x -+==+--，可证f(x)在[2,5]上是减函数， 故 当x=2时，f(x)最大值为2当x=5时，f(x)最小值为54；。

课后训练基础巩固1．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋3 B ．f (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝－|x －1| D ．1()=f x x2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 3．已知函数y ＝ax 和=by x-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)＞0B ．增函数且f (0)＞0C ．减函数且f (0)＜0D ．增函数且f (0)＜04．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (m 2)＞f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时为增函数，x ∈(－∞，－2]时为减函数，则f (1)＝( )A ．－3B ．13C ．7D ．无法确定 6．证明函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数． 能力提升7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有>0f a f b b a()-()-成立，则必有( )A ．函数f (x )是先增后减B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数8．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )9．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )10．函数f (x )在其定义域M 上是增函数，且f (x )＞0，那么在M 上为减函数的是( ) A ．y ＝4＋3f (x ) B ．y ＝[f (x )]2C ．y ＝3＋1f x () D ．y ＝2－1f x ()11．函数=y x ( )A ．函数最小值为12，无最大值 B ．函数最大值为12，无最小值C ．函数最小值为12，最大值为2D ．函数无最大值，也无最小值12．已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)＜2的解集为______．13．已知函数2()=2f x x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图象恒在f (x )的图象的上方，求m 的取值范围． 14．试确定函数2()=1axf x x -(a ≠0)在(－1,1)的单调性，并证明． 15．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (x )＜0(x ＞0)，试判断1()=()F x f x 在(0，＋∞)上的单调性并证明．参考答案1．B 点拨：画出各个函数的图象，由单调函数图象特征可知，选项B 正确．2．D 点拨：依题意，直线1=2x 是函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴，且函数在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数．因为f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，1＜2＜3，所以f (1)＜f (2)＜f (3)，即f (0)＜f (2)＜f (－2)．3．C 点拨：∵由题意，知a ＜0，b ＜0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a ＜0.4．D 点拨：∵y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (m 2)＞f (－m )， ∴m 2＞－m .∴m 2＋m ＞0. ∴m (m ＋1)＞0.∴m ＜－1或m ＞0.应选D.5．B 点拨：二次函数f (x )＝2x 2－mx ＋3的对称轴为===2224m mx ---⨯，∴m ＝－8.故f (x )＝2x 2＋8x ＋3.∴f (1)＝2＋8＋3＝13.这里要引起注意的是二次函数单调区间的划分是由对称轴决定的．6．证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 23－x 13＝(x 2－x 1)(x 22＋x 12＋x 1x 2)＝(x 2－x 1)22211324x x x ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＝Δx ＞0，221213>024x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴Δy ＞0.∴f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数．7．D 点拨：由>0f a f b b a()-()-，知a －b 与f (a )－f (b )永远异号，由单调函数的定义知，f (x )在R 上是减函数．8．D 点拨：当a ∈R 时，a 与2a ，a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a 2＋1－a ＝213>024a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴a 2＋1＞a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)＜f (a )．9．C 点拨：∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，b ＞－a .由函数的单调性可知，f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，两式相加得选项C 正确．10．C 点拨：(特例法)取f (x )＝x (x ＞0)，很容易可以判断1=3y f x +()在定义域内为减函数．11．A 点拨：∵=y x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，∴11=22y f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即函数最小值为12，无最大值，选A. 12．(8,9) 点拨：∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x )＋f (x －8)＝f (x (x －8))．又f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2f (3)＝2， ∴f (x )＋f (x －8)＜2，即f (x (x －8))＜f (9)，∴89,0,80,x x x x (-)<⎧⎪>⎨⎪->⎩解不等式组得8＜x ＜9. 13．解：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝122222x x ---＝2112222x x x x (-)(-)(-)＞0， 由单调函数的定义可知，函数2()=2f x x -在[3,6]上是减函数．(2)由(1)知，f (x )ma x ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图象恒在f (x )的图象的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.14．解：当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上是减函数；当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 证明如下：设任意x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝21222111ax ax x x --- ＝22212121222111ax x ax ax x ax x x --+(-)(-)＝1212121212222221211=1111ax x x x a x x a x x x x x x x x (-)+(-)(-)(+)(-)(-)(-)(-). ∵x 1，x 2∈(－1,1)，∴21x ，22x ∈[0,1)，x 1x 2∈(－1,1)． ∴22x －1＜0，21x －1＜0，x 1x 2＋1＞0. 又∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＝－Δx ＜0. ∴121222211<011x x x x x x (-)(+)(-)(-).当a ＞0时，Δy ＜0.∴a ＞0时，f (x )在(－1,1)上是减函数． 当a ＜0时，Δy ＞0.∴a ＜0时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 15．解：F (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x 2－x 1＞0， F (x 2)－F (x 1)＝12212111=f x f x f x f x f x f x ()-()-()()()(). ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.而f (x 1)＜0，f (x 2)＜0，∴f (x 1)f (x 2)＞0.∴F (x 2)－F (x 1)＜0.又∵Δx ＞0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．。

2021年高一数学必修1函数的基本性质《单调性》同步练习一、选择题1.已知函数f(x)=x 2-4x+10,x ∈[-1,m],并且f(x)最小值为f(m),则实数m 取值范围是( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)2.若函数y=ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A.2B.－2C.2或－2D.03.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，1≤x ≤2，x＋5，－1≤x<1，则f(x)的最大值、最小值分别为( ) A.8，4 B.8，6 C.6，4 D.以上都不对4.已知f(x)=1x －2，则y=f(x ＋2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( )A.18，12B.13，1C.19，13D.18，135.已知函数f(x)=－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为() A.－1 B.0 C.1 D.26.若函数y=x 2－6x －7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是( )A.9，－15B.12，－15C.9，－16D.9，－127.函数y=x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)的值域为( )A.[2，＋∞)B.[3，11)C.[2，11)D.[2，3)8.函数y=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≤0，x ＋3，0<x ≤1，－x ＋5，x>1的最大值是( )A.1B.2C.3D.49.当x ∈(0，5]时，函数f(x)=3x 2－4x ＋c 的值域为( )A.[f(0)，f(5)]B.[f(0)，f(23)]C.[f(23)，f(5)] D.[c ，f(5)]10.函数y=x －1x 在[1，2]上的最大值为( )A.0B.1.5C.2D.311.函数f(x)=x 2＋3x ＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为( )A.42，12B.42，－0.25C.12，－0.25D.无最大值，－0.2512.函数y=－x 2＋2x －1在[0，3]上的最小值为( )A.0B.－4C.－1D.以上都不对13.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A.f(－2)，0B.0,2C.f(－2)，2D.f(2)，214.下列四个函数：①y=3－x ；②y=1x 2＋1；③y=x 2＋2x －10；④y=－2x. 其中值域为R 的函数个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个15.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=－x 2＋21x 和L 2=2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元16.已知函数f(x)=|x|，x ∈[－1,3]，则f(x)的最大值为( )A.0B.1C.2D.317.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则f(x)的最大值、最小值分别为( ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对18.函数y=-x 2的单调递减区间为( )A.(-∞，0]B.(-∞，0)C.(0，＋∞)D.(-∞，＋∞)19.函数y=x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )A.[-0.5，+∞)B.[-1，＋∞)C.(-∞,-0.5]D.(-∞，＋∞)20.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-5,5]上没有单调性二、填空题21.函数f(x)=x 2－4x ＋2，x ∈[－4，4]的最小值是________，最大值是________.22.函数y=ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a=________.23.函数f(x)=x －1的最小值是________.24.用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f(x)=min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________.25.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 1x，x ≥1－x 2＋2，x<1的最大值为________.26.函数y =2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________. 27.若函数f(x)满足f(x ＋1)=x(x ＋3)，x ∈R ，则f(x)的最小值为________.28.函数y=5－2x －x 2的值域是________.29.若函数f(x)=x 2＋4x ＋5－c 的最小值为2，则函数f(x －2 016)的最小值为________.30.如图所示为函数y=f(x)，x ∈[-4,7]的图象，则函数f(x)单调递增区间是________.答案解析31.答案为：A.解析：函数f(x)=x 2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m ≤2.32.答案为：C ；解析：a>0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)=2，即a=2；a<0时，a ＋1－(2a ＋1)=2，所以a=－2，所以，a=±2.33.答案为：A ；解析：f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)=8，最小值为f(－1)=4.34.答案为：A ；解析：∵f(x)=1x －2，∴f(x ＋2)=1x ＋2－2=1x. ∵y=1x 在[2,8]上为减函数，∴y max =12，y min =18.35.答案为：C ；解析：∵f(x)=－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4=－(x －2)2＋4＋a ，∴函数f(x)图象的对称轴为x=2.∴f(x)在[0,1]上单调递增.又∵f(x)min =－2，∴f(0)=－2，即a=－2.∴f(x)max =f(1)=－1＋4－2=1.36.答案为：C ；解析：函数的对称轴为x=3，所以当x=3时，函数取得最小值为－16，当x=－2时，函数取得最大值为9，故选C.37.答案为：C38.答案为：D解析：当x ≤0时，2x ＋3≤3；当0<x ≤1时，3<x ＋3≤4；当x>1时，－x ＋5<4. 综上可知，当x=1时，y 有最大值4.39.答案为：C40.答案为：B41.答案为：D ；42.答案为：B ；43.答案为：C解析：由题图可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.44.答案为：A ；解析：y=3－x 是一次函数，值域为R ；x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，∴函数y=1x 2＋1的值域不是R ； y=x 2＋2x －10=(x ＋1)2－11≥－11，∴该函数的值域不是R ；对于y=－2x，y ≠0， 即该函数的值域不是R.∴值域为R 的函数有一个.45.答案为：C ；解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L=－x 2＋21x ＋2(15－x)=－x 2＋19x ＋30=－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x=9或10时，L 最大为120万元.46.答案为：D ；解析：根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.47.答案为：A ；解析：当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x ＋7<8.∴f(x)min =f(－1)=6，f(x)max =f(2)=10.故选A.48.答案为：C ；解析：画出函数y=-x 2的图象，由图象可知函数y=-x 2的单调减区间为(0，＋∞).49.答案为：C ；解析：y=x 2＋x ＋1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x=-12，在对称轴左侧单调递减， ∴当x ≤-12时单调递减.50.答案为：C ；解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接.如0＜5， 但f(0)＞f(5)，故选C.一、填空题51.答案为：－2 34；解析：f(x)=(x －2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f(x)min =f(2)=－2；f(x)max =f(－4)=34.52.答案为：1；解析：若a ＜0，则函数y=ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1=4，a=3，不满足a ＜0；若a ＞0，则函数y=ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a ＋1=4，a=1，满足a ＞0，所以a=1.53.答案为：－1； 解析：设x=t ，t ≥0，所以f(t)=t 2－1，t ≥0，所以f(x)=x 2－1，x ≥0，因为f(x)=x 2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为－1.即f(x)=x －1的最小值是－1.54.答案为：6；解析：在同一坐标系中分别作出函数y=4x ＋1，y=x ＋4，y=－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x=2时取得最大值6.55.答案为：2；解析：当x ≥1时，函数f(x)=1x为减函数， 所以f(x)在x=1处取得最大值，为f(1)=1；当x<1时，易知函数f(x)=－x 2＋2在x=0处取得最大值，为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2. 56.答案为：⎝⎛⎦⎥⎤2，103； 解析：y=2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1=2＋1x 2－x ＋1. 因为x 2－x ＋1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，所以2<2＋1x 2－x ＋1≤103.故值域为⎝⎛⎦⎥⎤2，103. 57.答案为：－2.25；解析：由f(x ＋1)=x(x ＋3)=(x ＋1)2＋(x ＋1)－2，得f(x)=x 2＋x －2=(x ＋12)2－94， 所以f(x)的最小值是－94.58.答案为：[0，6]；59.答案为：2；解析：∵函数f(x)=x 2＋4x ＋5－c 的最小值为2，∴f(x)=(x ＋2)2＋1－c=2，∴c=－1，∴f(x －2 016)=(x －2 016＋2)2＋2，∴函数f(x －2 016)的最小值为2.60.答案为：[-1.5,3]，[5,6]；解析：结合函数单调递增函数的概念及单调区间的概念可知，此函数的单调递增区间是[-1.5,3]，[5,6].。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.3.1 单调性与最大（小）值建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|2．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f(x 2)的值()A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f(x)＝x 2＋4x ，x ≥０，4x －x 2，x<0.若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞）B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞）4.如果函数2()3(,4]f x x ax 在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是()A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞）C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为() A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 6.函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞）时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7.已知函数2(1)21f x x x x ，[1，2]，则()f x 是 (填序号). ①[1，2]上的增函数；。

数学·必修1(人教A版)1.3函数的基本性质1．3.1函数的单调性►基础达标1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是() A．k＜0B．k≤0C．k＞0 D．k≥0答案：C2．下列说法正确的是()A．反比例函数y＝kx在区间(0，＋∞)上是减函数B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上C．反比例函数y＝2x是R上的减函数D．一次函数f(x)＝－2x＋b是R上的减函数答案：D3．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是()A．1 B．－1C．10 D．－10 答案：C4．函数y＝1x＋2的大致图象只能是()答案：B5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．答案：[－5，－2]和[1,3]6．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4答案：A►巩固提高7．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0解析：由增函数的定义知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴A ，B ，D 都正确，故选C.答案：C8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[40,64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)解析：只需f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴x ＝k 8相应值k 8在区间[5,8]外面，即k 8≤5或k 8≥8， ∴k ≤40或k ≥64.答案：C9．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.10．证明函数f (x )＝x ＋2x 在(2，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x 2 ＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2 ＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2， ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在(2，＋∞)上是增函数.1．增(减)函数定义．2．单调性，单调区间定义．3．判断函数单调性的方法．方法一：画图观察；方法二：根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．4．利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；(5)下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性].。

《函数的单调性》基础训练知识点1 函数的单调性1.如图是函数y=f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是（）.A.1B.2C.3D.42.[2017河南周口高一（上)月考]设（a ，b)，（c ，d)都是f(x)的单调递增区间，且1x ∈ (a ，b)，2x ∈ (c ，d)，12x x <，则f(1x ）与f(2x )的大小关系为（）A. 12f ()f ()x x <B.12f ()f ()x x > C. 12f ()f ()x x = D.不能确定3.[2017福建莆田一中高一（上）期中考试]若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是（）A.f ()f (2a)a > B.2f ()f ()a a < C. f (2a a +) < f(a ) D. 22f ()f ()a a a +<4.画出下列函数的图像，并写出其单调区间.()()112f x x =-+ ()()22f x x x =⋅-()()21,0322,0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩ 知识点2单调性的判定与证明 5.（1)证明：函数f(x)=()21f x x x=-在区间（0，+∞)上是增函数； （2）证明：函数()3f x x x =+在R 上是增函数。

6.[2017重庆八中高一（上）月考]已知f(x ）在（0，+∞）上是增函数，且f(x ）>0，f(3)=1.试判断()()()1f x fg x x =+在（0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明. 7.讨论函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭在（-2，+∞）上的单调性. 知识点3利用函数的单调性求参数的取值范围8.[2018湖北黄石二中高一（上）月考]若函数f(x)=（2a-1)x + b 在R 上是减函数，则有（）. A. a 12≥ B. a ≤12C. a>12D. a<129.函数y=f(x ）在R 上单调递增，且f(2m )>f(-m)，则实数m 的取值范围是________. 10.若二次函数f(x)= 215x a x -+-（）在区间（12，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是____. 11.已知()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是____________.12.[2018河北承德二中高一（上）月考]已知一次函数f(x)是R 上的增函数，g(x)=f(x)（x + m ），且f(f(x))=16x+5. （1)求f(x)的解析式；（2）若g （x ）在（1，+∞）上单调递增，求实数m 的取值范围.13.已知定义在[1，4]上的函数f(x ）是减函数，求满足不等式f(1-2a)-f(3-a)>0的实数a 的取值范围.14.已知函数()2a af x x x =-+在（1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围.参考答案1.B 【解析】由图像，可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个.故选B.2.D 【解析】由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的12,x x 不在同一单调区间内，所以f(1x ）与f(2x )的大小关系不能确定.故选D.3.D 【解析】因为f(x ）是R 上的减函数，且2a +1>2a ，所以f(2a +1)<f(2a ).故选D.4.【解析】（1）画出f(x)=12x -+的图像，如图所示，可得其单调递增区间为（-∞，-2)和（-2，+∞），无单调递减区间.（2）由题意，得()222,202,02x x x x f x x x x ⎧-≥<⎪=⎨-+≤<⎪⎩或，画出图像如图所示，由图像，知函数f(x)的单调递减区间是（-∞，0)和（1，2），单调递增区间是[0，1]和[2，+∞）.（3）画出f(x)的图像如图所示，由图像知，函数f(x)的单调递减区间是（-∞，0]和（0，+∞）.【归纳总结】本题涉及求解函数的单调区间，这类问题的求解可以由函数图像直接得出 5.【证明】（1）任取1x ，2x ∈（0，+∞)，且1x <2x ，则()()()()()()()()()22121212121212121212121212211110,0,00,,10f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x x x⎛⎫-=--+=-++ ⎪⎝⎭<<∴-<++>∴-<<∴=-+∞即函数在区间，上是增函数。

函数单调性练习题1、函数()xx f 1-=的增区间是_____ ___ 2、函数()xx f 2=的减区间是_____ ___ 3、函数()222+-=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___4、函数()228x x x f -+=的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 5、若函数b mx y +=在()+∞∞-,上是增函数，则A ．0>bB ．0<bC ．0>mD ．0<m6、已知函数ax y =和xb y -=在()+∞,0上都是减函数，则函数()a bx x f +=在R 上 A ．减函数且()00<f B ．增函数且()00<fC ．减函数且()00>fD ．增函数且()00>f7、函数()11--=x x f 的单调区间是_____ 8、函数()322-+=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___9、函数()()215+-=x a x f 在R 上为增函数，则a 的取值范围是_____10、函数()x x f -=在[)+∞,a 上为减函数，则a 的取值范围是_____11、函数()()2122+-+=x m x x f 在(]4,∞-上为减函数，则m 的取值范围是_ 12、函数()542+-=mx x x f 在[)+∞-,2上为增函数，则()1f 的取值范围是 A ．()251≥f B ．()251=f C ．()251≤f D ．()251<f13、下列函数在()2,0上是增函数的是A ．13+-=x yB ．x y =C ．342+-=x x yD ．xy 4= 14、下列函数中，在()+∞,0上为增函数的是（ ）A.x y -=3B. x x y 32-=C. 11+-=x y D. x y -= 15、已知函数()⎩⎨⎧≥-<=2,62,2x x x x x f ，（1）求()();3,3f f - （2）画图象，写出单调区间； 16、已知函数()x x x f 1+=；定义法证明：当10<<x 时，函数()x f 是减函数；当1≥x 时，函数()x f 是增函数；。