《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

教学单元设计：空间向量与立体几何1. 单元概述1.1 单元目标本单元旨在通过空间向量与立体几何的研究，使学生掌握空间向量的基本概念、运算规则及其在立体几何中的应用。

通过本单元的研究，学生应能熟练运用空间向量解决立体几何中的相关问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。

1.2 单元内容本单元共包括以下几个主要内容：1. 空间向量的基本概念及表示方法2. 空间向量的线性运算3. 空间向量的数量积与夹角4. 空间向量的坐标运算5. 空间向量在立体几何中的应用2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念及其表示方法2. 掌握空间向量的线性运算规则3. 掌握空间向量的数量积与夹角计算4. 掌握空间向量的坐标运算方法5. 能够运用空间向量解决立体几何中的相关问题2.2 过程与方法1. 通过实例分析，培养学生的空间想象力2. 运用图形演示和数学证明，提高学生的问题解决能力3. 培养学生运用空间向量解决实际问题的能力2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情2. 培养学生克服困难的意志和团队协作精神3. 引导学生认识数学在实际生活中的应用价值3. 教学重点与难点3.1 教学重点1. 空间向量的基本概念及其表示方法2. 空间向量的线性运算规则3. 空间向量的数量积与夹角计算4. 空间向量的坐标运算方法5. 空间向量在立体几何中的应用3.2 教学难点1. 空间向量的数量积与夹角计算2. 空间向量的坐标运算方法3. 空间向量在立体几何中的应用4. 教学策略与方法4.1 教学策略1. 采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探究2. 利用图形演示和数学证明，帮助学生直观理解3. 提供丰富的练题，巩固所学知识4. 注重个体差异，因材施教4.2 教学方法1. 讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算规则及应用2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用空间向量解决问题3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力4. 练法：提供课后练，巩固所学知识5. 教学评价5.1 评价目标1. 学生对空间向量基本概念的理解程度2. 学生掌握空间向量运算规则的程度3. 学生运用空间向量解决立体几何问题的能力5.2 评价方法1. 课堂问答：检查学生对空间向量基本概念的理解2. 课后作业：检验学生对空间向量运算规则的掌握3. 小组项目：评估学生运用空间向量解决立体几何问题的能力4. 期末考试：全面考核学生在本单元的研究成果6. 教学计划6.1 课时安排本单元共需安排12课时，具体分配如下：1. 空间向量的基本概念及表示方法（2课时）2. 空间向量的线性运算（3课时）3. 空间向量的数量积与夹角（2课时）4. 空间向量的坐标运算（3课时）5. 空间向量在立体几何中的应用（2课时）6.2 教学活动安排1. 第1-2课时：介绍空间向量的基本概念及表示方法2. 第3-5课时：讲解空间向量的线性运算规则3. 第6-7课时：讲解空间向量的数量积与夹角计算4. 第8-10课时：讲解空间向量的坐标运算方法5. 第11-12课时：应用空间向量解决立体几何中的相关问题7. 教学资源1. 教材：选用权威、系统的数学教材，如《高等数学》等2. 辅助教材：提供相关的辅导书、教辅材料，以丰富教学内容3. 网络资源：利用网络平台，提供相关教学视频、课件、题等资源4. 几何画板：利用几何画板软件，直观演示空间向量的运算和立体几何问题8. 教学反思在教学过程中，教师应不断反思教学方法、教学内容和学生研究情况，根据实际情况调整教学策略，以提高教学效果。

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计一.教学目标（一）知识与技能1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二）过程与方法1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力． 二.教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．难点：用空间向量求二面角的余弦值．三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五.教学设计 （一）新课导入1.提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l.（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α设n 是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则AB 与平面α.（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ就是二面角的平面角或补角的余弦值.例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'AC DE 与所成角的余弦值.（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值（3）求平面'B EDF 与平面ABCD分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ´，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a .'(,,),(,,0)2a AC a a a DE a ∴=-=-.'''15cos ,AC DE AC DE AC DE•∴<>==•. 故'ACDE 与所成的角的余弦值为1515. （2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''3cos ,DA DB DA DB DA DB •∴<>==•. 故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为33. x（3）由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ,所以平面ABCD 的法向量为'(0,0,)m AA a ==,下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =，由'(,,0),(0,,)22a a ED a EB a =-=-，'0210n ED y z n EB ⎧•==⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩•=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=. 6cos ,m n n m m n•∴<>==•. 所以，平面'B EDF 与平面ABCD所成的角的余弦值为66. 课堂练习：1.如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的余弦值.参考答案：解：建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，取PB 的中点D ，连,DC 可证DC PB ⊥，作AE PB⊥于E ，则向量DC EA 与的夹角的大小为二面角A PB C --的大小。

人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。

本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。

第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。

为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。

第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。

在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。

第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。

第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。

3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。

这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。

在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。

同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。

在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。

空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。

2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。

3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。

二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。

2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。

三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。

四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。

Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。

2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。

Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。

”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。

3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。

”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。

3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。

2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。

空间向量在立体几何中的应用教案教案标题：空间向量在立体几何中的应用一、教学目标：1. 理解空间向量的概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解和掌握空间向量在立体几何中的应用。

二、教学内容：1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量在立体几何中的应用。

三、教学过程：1. 知识导入通过复习二维向量的性质和运算法则，引入空间向量的概念。

2. 理论讲解讲解空间向量的概念、性质和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。

3. 练习与讨论以几何问题为例，引导学生运用空间向量的知识解决相应的几何问题。

例如，通过向量积的应用求解三角形的面积、判断四边形是否是平行四边形等。

4. 实例分析选择一些典型的例题进行详细分析和讲解，帮助学生理解和巩固概念和运算法则。

例如，通过两条直线的法向量来判断直线的位置关系。

5. 拓展应用通过讨论一些拓展性和应用性的问题，帮助学生将空间向量的知识应用到更多的实际问题中。

例如，利用向量的数量积求解棱柱的体积，利用向量的向量积判断平面和直线的位置关系等。

6. 归纳总结对本节课所学内容进行总结和概括，帮助学生加深对空间向量的理解和掌握。

四、教学资源：1. 教科书和课外参考书；2. 相关的几何题目和练习题；3. 板书和投影仪等。

五、教学评价：1. 课堂讨论和提问，查看学生对空间向量的理解和应用能力；2. 批改学生的练习题和作业，评估学生的掌握程度；3. 考试或小测验，检验学生对空间向量知识的吸收和应用能力。

六、教学延伸：可以运用计算机软件或在线平台进行立体几何模拟和实践，帮助学生更加直观地理解和掌握空间向量的应用。

专题七 立体几何第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级行政班级 姓名 学号 面批时间课前自学案【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围； (2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角． 【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化2．空间角的求解(1)异面直线所成的角：若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)线面角：设直线l 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝|a ·μ||a ||μ|. (3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v ，则|cos θ|＝|cos 〈μ，v 〉|＝|μ·v ||μ||v |.易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．编号012【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ） 512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课内探究案【考点突破】考点一：空间位置关系的判定例1.（1）(2013年高考广东卷理科6)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练：(1) (2014年高考广东卷理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是( )A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定(2)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 考点二：空间位置关系的证明例2.（2013广东卷文）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE棱锥A BCF -,其中22BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.考点三：空间角的求解例3.(12理18）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角F -BD -C 的余弦值.【当堂检测】1. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 2． 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为_____________.3. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.专题七 立体几何编号第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级 行政班级 姓名 学号 面批时间课后拓展案A 组1. 【2014高考卷第17题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.2．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC；（Ⅰ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅰ）若F为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值．B组3.（2013年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面AB C⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.4.【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，3求三棱锥E-ACD的体积.反思：这节课不满意的几点：(1) 题量的安排。

空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；知识梳理】、空间向量的运算1、向量的几何运算1）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作空间向量数量积的性质：① ；②；③．2）向量共线定理：向量a r a r r r r0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使b2、向量的坐标运算（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

2）若，，则，，3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：若，，则二、空间向量在立体几何中的应用2. 利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用进行证明；4. 利用空间向量求角度1）线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[0 0,90 0]）2）线面角的求法：（3）二面角的求法：设n1，n2 分别是二面角其补角的大小（如图）5. 利用空间向量求距离1）平面的法向量的求法：设n=（x,y,z），利用n 与平面内的两个不共线的向a， b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取设n 是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）就是二面角的平面角或的两个面2）利用法向量求空间距离a ） 点 A 到平面 的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。

b ） 直线 与平面 之间的距离：，其中 ， 是平面 的法向量。

c ） 两平行平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。

经典例题】例 1】（ 2010 全国卷 1理）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， B B 1与平面 AC D 1所成角的余弦值为（A )23B )332C )23 D )63【解析】 D 【例 2】（ 2010 全国卷 2 文）已知三棱锥 SA =3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（ ） S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面ABC ， A ) 3 (B) 4 5(C) 4 (D) 解析】 D 2012 全国卷）三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，底面边长和侧棱长都相等， SABAA 1CAA 1 60o ，则异面直线 AB 1与 BC 1所成角的余弦值为 解析】影是线段BC 的中点O。

空间向量在立体几何中的应用一、教学目标与要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用；二、基础知识回顾知识点1．基本向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．知识点2．空间位置关系的向量表示知识点3.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n||e|.知识点5．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．知识点6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB ·n ||n |.三、例题讲解例1如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ， 则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )． ∵F 为CD 的中点， ∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)证明：AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )， ∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ， 即AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，于是DE ＝(3，－3,0)，EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)． 设n ＝(x ，y,2)为平面C 1DE 的法向量， 则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE n ⊥1EC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0⇒x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，∵向量1AA ＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 与AA 1所成的角θ为二面角C －DE －C 1的平面角或其补角． ∵cos θ＝n ·1AA |n ||1AA |＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63，由图知二面角C －DE －C 1的平面角为锐角， ∴tan θ＝22. (2)设EC 1与FD 1所成的角为β，则cos β＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC ·1FD |1EC ||1FD | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114. 例3在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO . 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2)．∴CM ＝(3，3，0)，MN ＝(－1,0，2)，MB ＝(－1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM ·n ＝3x ＋3y ＝0，MN ·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB ||n |＝423.例4 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2.求点B 到平面EFG 的距离．解：如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知B (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)，G (0,0,2)，BE ＝(0,2,0)，GE ＝(4,2，－2)，EF ＝(－2,2,0)．设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·GE ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3， ∴n ＝(1,1,3)．点B 到平面GEF 的距离为 d ＝|||BE |·cos 〈BE ，n 〉＝|BE ·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，2，0)·(1，1，3)11＝21111.归纳反思2种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法①线线平行：证明两直线的方向向量共线．②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； b ．证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． ③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量； b ．转化为线面平行、线线平行问题． (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3种角——利用向量法求三种角的问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角．(1)求两异面直线a 、b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. (3)求二面角α-l -β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．1个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点.四、典型练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值．2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值． 参考答案：1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）23． 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//MN BD ；（2）首先建立空间直角坐标系，求平面PBD 的法向量，利用线面角的向量公式求解． 【解析】（1）连结BD ，,M N 分别是,PB PD 的中点，//MN BD ∴，MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；（2）如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()002P ,,，()2,0,0B ，()0,2,0D ()2,2,0C ，()0,1,1N ， ()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--，设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1,1y z ==，∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，则2111112sin cos ,363CN n CN n CN nθ⋅-⨯-⨯+⨯=<>===⨯， 所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是23． 2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）1；（2）1510． 【分析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得EF ⊥平面ABC ，进而解得长度． （2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角． 【解析】解（1）(法一)取AB 中点O ，连接PO ，CO ．因为ABC 与PAB △都是正三角形，所以PO AB ⊥，CO AB ⊥ 又已知平面ABC ⊥平面PAB ，所以PO ⊥平面ABC ．如图所示，以O 为坐标原点，分别以OA ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为PAB △，ABC 边长为4，E 为AP 中点，()2,0,0A ，()0,23,0C ，(3E ，()2,0,0B -设AF t =，则()2,0,0F t -，()2,23,0CF t =--，(1,0,3EF t =--． 设平面CEF 的法向()1111,,n x y z =．由()()11112230130t x t x z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令13x =11121t y z t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以13,1,12t n t ⎛⎫=-- ⎪⎭．设平面ABC 的法向量()0,0,1n =． 因为平面CEF ⊥平面ABC ，所以10n n ⋅=，即10t -=，解得1t =， 故线段AF 的长为1时，则平面CEF ⊥平面ABC ．(法二：同一法)取AB 中点O ，AO 中点G ，连接EG ，PO ．因为PAB △为正三角形，E 为PA 的中点，所以PO AB ⊥． 因为//EG PO ，所以EG AB ⊥．又平面PAB ⊥平面ABC ，所以EG ⊥平面ABC ． 在平面EFC 中，作EF FC '⊥于点F '．因为平面EFC ⊥平面ABC ，平面EFC ⋂平面ABC FC =， 所以EF '⊥平面ABC ．因为过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面， 所以点F '与G 重合，即为所求点F 即当1AF=时，平面CEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）图所示， 则易知()0,0,0O，()0,23,0C ，(3E ，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(1,23,3CE =-，设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，又(2,0,23BP =，()2,23,0BC =则111122302230x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令13x =()3,1,1m =--．设直线CE 与平面PBC 所成的角为α，则323315sin cos ,1045CE m CE m CE mα⋅+-====⨯． 故直线CE 与平面PBC 15【名师点睛】建立空间直角坐标系的难点在于点坐标的准确求取，然后按照向量间的关系，转化为面面，线面关系．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知1BC A C ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果． （2）解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可． 【解析】（1） 证明：如图，连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===，，， 所以22211A B A C BC =+，所以1BC A C ⊥，又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF A E ⊥于F ．因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥．在11ACC △中，111AC A C =，D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE ． 因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BB DF ⊥，因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面11ABB A ， 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠． 在1DA E 中，221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =+=113sin 3DE DA E A E ∠==． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33． 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA CB ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，因此14326A D ⎛= ⎝⎭，()1434623,2,0,,0,33AB AA ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（），由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3020x y x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取()2,6,1n =．设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33． 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）52． 【分析】（1）分别证明CD DB ⊥，PB CD ⊥即可证得CD ⊥平面PBD ．（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角求得PB 的值，由平面的法向量求得二面角的正切值． 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//,90,222AD BC ABC AB AD CD BC ∠====，所以,ABD BCD 都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥， 因为平面PBC ⊥平面,90ABCD PBC ∠=，平面PBC 平面,ABCD BC =所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD 所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD ．（2）以B 为原点，,,BC BP BA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，2,BC =则,1,2,AB CD BD ===因为直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为2，所以在Rt PBD △中，tan 2242PB PDB PB BD ∠===∴= 设平面PBC 和平面PDC 法向量分为为,,m n →→易知可取()0,0,1,m →= 因为(2,4,0),(1,0,1)PC CD →→=-=-， 所以0,0PC n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得(2,1,2)n →=设所求二面角为,θ所以2cos 3414m nm nθ→→→→⋅===++，5tan 2θ∴=【名师点睛】（1）在平面上找到两条相交的直线与给定直线垂直可以证明线面垂直． （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法解决二面角问题．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．【答案】（1）图形见解析，1；（2）证明见解析．【分析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由中位线性质证BCDE 为平行四边形即可知E 为AB 的中点，由平面//α平面SBC ，过E 作//EM SB 交SA 于M ，即知M 为SA 的中点，即可得SMMA．（2）由题设易证DA ，DC ，DS 两两互相垂直，构建以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定SB ，AB ，CB ，进而求面SAB ，面SBC 的法向量，根据法向量的夹角即可证面SBA ⊥面SBC ．【解析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，即//CD AB ， 所以BCDE 为平行四边形，则E 为AB 的中点，再过E 作//EM SB 交SA 于M ， 所以在△ABS 中，EM 为中位线，即M 为SA 的中点，所得平面α即为平面DEM ，如下图示，所以由上，知1MSMA=． （2）由题设知//CD AB ，CD SD ⊥ 面SCD ⊥面ABCD ，面SCD面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂面SCD ，SD ∴⊥面ABCD ，又CD ，AD ⊂面ABCD ， SD CD ∴⊥，SD AD ⊥，又CD AD ⊥，DA ∴，DC ，DS 三条棱两两互相垂直．以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)S ，(2,4,0)B ，(2,4,2)SB ∴=-，(0,4,0)AB =，(2,2,0)CB =，设平面SAB ，平面SBC 的法向量分别为()111,,u x y z =，()222,,v x y z =，00u AB u SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111020y x y z =⎧⎨+-=⎩，取11x =，则(1,0,1)u =， 00v SB v CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222200x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，取21x =，则(1,1,1)v =--， cos ,02113u v u v u v⨯+⋅∴===⋅，∴平面SBA ⊥平面SBC ．【名师点睛】第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）63． 【分析】（1）根据线面平行的判断性质，在平面AFC 上找到一条与DE 平行的直线即可． （2）建立空间直角坐标系，通过法向量的夹角求得二面角的余弦值． 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，则O 为BD 的中点， 因为E ，F 为PB 的两个三等分点，所以F 为BE 的中点，所以//OF DE ， 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF ．（2）设正方形ABCD 的边长为3，以点A 为原点，以AD ，AB ，AP 所在的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(3,3,0)C ，(0,3,0)B ，(0,2,1)F ， 则()3,3,0AC =，()0,2,1AF =，()0,3,0AB =．设平面ACF 的法向量为(,,)n x y z =．由()()()(),,3,3,00,,0,2,10n AC x y z n AF x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，得33020x y y z +=⎧⎨+=⎩，得2x y z y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得平面ACF 的一个法向量为(1,1,2)n =--；显然平面ACB 的一个法向量为(0,0,1)m =； 则cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==(1,1,2)(0,0,1)6361--⋅=-⨯， 即二面角B AC F --的余弦值为63．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．【答案】（1）//l AB ；答案见解析；（2）90︒．【分析】（1）//l AB ，证明见解析；（2）先证明90APD ∠=︒，再利用向量法求解即可．【解析】（1）由//EF AD ，2AD EF =，可知延长AF ，DE 交于一点设为P ．过P 点作AB 的平行线即为l ，//l AB ，理由如下：由题意可知//AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，则//AB 平面CDE ． 又AB 平面ABF ，平面ABF 平面CDE l =，则//l AB ．（2）由//EF AD ，2AD EF =，1DE =，3AF =得2DP =，3AP =又4=AD ，则222AD DP AP =+，所以90APD ∠=︒，由题意可知，P 点向平面ABCD 引垂线，垂足落在AD 上，设为O ，则1OD =． 以O 为原点，以OD →，OP →的方向分别为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．(0,3,0)A -，(4,3,0)B -，3)P ，则(4,0,0)AB →=，3)AP →=，设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z →=， 由0AB m →→⋅=，0AP m →→⋅=得40,330x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(0,1,3)m →=-， (0,1,0)D ，(4,1,0)C ，则(4,0,0)DC →=，(0,3)DP →=-，设平面PCD 的法向量为n (x,y,z)→=，同理可得3,1)n →=，因为0m n →→=，所以平面PAB ⊥平面PCD ，即平面ABF ⊥平面CDE ，所以，平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小为90︒．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E所成的锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得11B C BE ⊥，再根据已知条件，结合线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面11B C E ，接着利用面面垂直的判定定理证明即可．（2）首先根据E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求得侧棱的长，再利用空间向量法求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．【解析】（1）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知11B C ⊥侧面11AA B B ，且BE ⊂平面11AA B B ，可得11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，且1EC 与11B C 是平面11B C E 内两相交直线，所以得BE ⊥平面11B C E ，因为BE ⊂平面BCE ，故得平面BCE ⊥平面11B C E ．（2）设平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为θ．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由于DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，则以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示．因为E 是棱1AA 的中点，且2AB =，从而知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形，设1AE EA t ==；由（1）知BE ⊥平面11B C E ，则得1BE EB ⊥， 且214BE EB t ==+12BB t =，由勾股定理得22211BE EB BB +=，即得()2224(2)t t +=， 解得2t =（取正），即侧棱长14BB =．于是可得1(0,0,4)D ，(2,0,2)E ，1(2,2,4)B ，1(0,2,4)C ，(2,2,0)B ；设平面11B C E 的法向量为1(,,)n x y z →=，由第（1）问可知向量BE →为平面11B C E 的一个法向量，故1(0,2,2)n BE →→==-； 设平面11C D E 的法向量为2(,,)n a b c →=，而11(0,2,0)D C →=，1(2,2,2)EC →=- 则由21121202220n D C b n EC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得0b =，令1a =，得1c =，所以2(1,0,1)n →=． 于是由212112cos cos ,n n n n n n θ→→→→→→⋅=<>=12222==⨯，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3πθ=，即平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为3π． 【名师点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2526- 【分析】（1）法一：设Q 在平面内的射影为E ，可证明点E 在CD 的垂直平分线上，又AE 也为CD 的垂直平分线，AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ，有PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，PA//QE ，可证明PQFA 为平面四边形．法二：证明CD ⊥平面AFQ ，再证明CD ⊥平面PAF ，有公共点F ，可证明结论．（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，求出PQ 以及平面PBC 的一个法向量，计算可求出夹角的正弦值．【解析】（1）方法1：设Q 在平面内的射影为E ，由QC =QD 可得EC =ED ，所以点E 在CD 的垂直平分线上由ABCD 是菱形，且0=60ABC ∠，故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ．因为PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，所以PA//QE ，从而PA ，QE 共面，因此PQ ，FA 共面，所以PQFA 为平面四边形．方法2：取棱CD 的中点F ，则有AF CD ⊥，QF CD ⊥，又AFQF F =，所以CD ⊥平面AFQ ，在菱形ABCD 中，60ADC ABC ∠==，所以AF CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以有PA CD ⊥，AF PA A =，所以CD ⊥平面PAF ．由AFQ 与平面PAF 均过点A 可得平面AFQ 与平面PAF 重合．即P 、Q 、F 、A 共面，所以PQFA 为平面四边形．（2）分别以AB 、AF 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，3,0),3,0),(0,0,2)C F P 当14a =7,7PF QF ==222PF QF PQ +=，设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，则有QFE △相似于FPA ，即3QE =2FE = 所以Q 的坐标为(02+33)，，，()0,23,32PQ = 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，()2,0,2PB =-，()3,0BC =- 则有·0·0n BC n PB ⎧=⎨=⎩，即22030x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，有(3,1,3)n =． 设直线PQ 与平面PBC 所成角为θ，则526sin cos ,n PQ θ-=<>=， 从而直线PQ 与平面PBC 526- 【名师点睛】（1）证明点共面：可证四点中两条线段平行，或平面外一条直线垂直有公共点的两个平面，则这两个平面重合．（2）求线面角的正弦即为直线与法向量夹角的余弦的绝对值．。