必修5课件 3.1 不等关系与不等式
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高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
高中数学必修5《不等式基本性质》PPT
不等式的性质：
性质 1 a b b a
（对称性）
证明：(1) a b a b 0
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0， 即 b a 0，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a) 0， 即 a b 0，
ab
故 a b b a
当 c 0 时，(a b)c 0，即 ac bc .
性质5：a b且c d a c b d （同向可加性）
证明： a b，
acbc.
(1)
cd，
bcbd .
(2)
由 (1)、(2) 得 a c b d
说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式 与原不等式同向。
性质 3 a b a c b c
证明： (a c) (b c) a b 而 ab ab0
即 (a c) (b c) 0
（同加性）
acbc
想一想： a b a c b c ?
根据性质1，得 a b a c b c
说明： 由性质3可以得出：
abc acb.
性质 2 a b且b c a c 或 c b且b a c a
证明： a b，b c ，
a b 0，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
(a b) (b c) 0，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
性质4 a b且c 0 ac bc a b且c 0 ac bc
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
人教版必修5第三章第一节5.3.1不等关系与不等式3
1 1 解析：∵ < <0，∴a<0，b<0. a b ∴a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab，①正确． 1 1 1 1 b－a 由 < <0，得 － ＝ <0. a b a b ab ∵ab>0，∴b－a<0，即 b<a，∴③错误． 由 b<a<0，知|b|>|a|，∴②错误．
b a b2＋a2－2ab a－b2 由 ＋ －2＝ ＝ ， ab ab a b
【思路启迪】 可利用不等式的性质判断一个命题为真命 题，要说明一个命题为假，可通过举反例说明．
【解】
(1)因未知 c 的正负或是否为零，无法确定 ac 与
bc 的大小，所以是假命题． (2)因为 c2≥0，所以只有 c≠0 时才能正确．c＝0 时，ac2 ＝bc2，所以是假命题． 变式：若 ac2>bc2，则 a>b，命题是真命题． (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命题的真命题． 1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒ > ，命题是真命题． a b
(3)乘法单调性： a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ a>b>0，c>d>0⇒ a>b>0(n∈N*)⇒an>bn； a>b>0(n∈N ，n≥2)⇒ a> b. 双向性：a>b⇔ .
*
； ； ；
n
n
问题探究 1：两个不同向不等式的两边可以分别相减或相 除吗？
提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相减， 也不能分别相除，在需要求差或求商时，可利用不等式的性质 转化为同向不等式相加或相乘．
高中数学人教A版必修5课件 3-1 不等关系与不等式 第15课时《不等关系与不等式》
a>b c>d>0⇒ac>bd
同向
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
8
可开方性
a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)
同正
【练习 3】 (1)已知 a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
证明：证法一：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc.
分析：首先分别设出每天派出甲型卡车和乙型卡车的数量，然后
明确问题中的不等关系：(1)甲型卡车的数量不超过 4 辆且为自然数， 乙型卡车的数量不超过 7 辆且为自然数；(2)驾驶员不能超过 9 名；(3) 每天至少要运 360 t 矿石．再用不等式组表示出来即可．
解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
变 式 探 究 4 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求 f(3)的范围．
解析：设 f(x)＝ax2＋c(a≠0)．ff12＝＝a4＋a＋cc ⇒ca＝＝4ff21－3－3ff12，.
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D.y>380
z>45
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即 “＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.
答案：D
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法比较两实数(代数式)大小
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
江西省吉安县第三中学高中数学必修五课件：31不等关系与不等式(共20张PPT)
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
课堂小结
3.不等式的性质 (1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同 向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向 且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆． (2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行 推导，不能自己“制造”性质运算． 4. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意 性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特 别注意同向不等式相乘的条件为同为正．
预习导学
第三章 不等式
[预习思考] 根据p69ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ70页认识生活中的不等关系 1．不等式的概念
思
用 数 学 符 号 “ ≠” 、 “ >” 、 “ <” 、 “ ≥” 、 “ ≤” 连 接 两 个 数 或 代 数 式，以表示它们之间的__不__等__关__系__．含有这些不等号的
式子，叫作不等式．
2．符号“≥”和“≤”的含义
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母
或分子有理化；⑤分类等．
2．作商法比较大小
作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比较，作商后
可变形为能与 1 比较大小的式子，要注意利用函数的有
关性质进行比较．
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
议
探究二 利用不等式性质判断命题的真假
例 2 判断下列不等式关系是否正确，并说明理由． (1)若ca2＞cb2，则 a＞b； (2)若 a>b，ab≠0，则1a＜1b； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
议
∴aabb＝abba.
③当 a＜b 时，0＜ab＜1，a－b＜0，∴(ab)a－b＞1，
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第三章
不等式
• 3.1不等关系与不等式 • 3.2一元二次不等式及其解法 • 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题 • 3.4基本不等式
3.1 不等关系与不等式(第一课时)
一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万本 0.1
x 2.5 8 0.2 0.1
x 2.5 (8 0.2)x万元 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 21 上面的不等关系是用什么不等词表示 的? 请你举出生活中的一些不等关系的例子
二.用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标，指示司
机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40
40
v1 v v2
f 2.5 % p 2.3%
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
500x 600y 4000 3x y x 0 y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
课堂评价2
1.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系 2. 2008年春节前夕，我国南方大部分地区 遭受特大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发 生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小 李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔 费用.若每人承担12元人民币，则多余84元； 若每人承担10元，则不够；若每人承担11元， 又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这 笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不 等关系.
x 2.5 (8 0.2)x万元 用不等式表示为： 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
1.分析:设个位数字为
a
, 十位数字为
b
,则
12 x y 84 2.分析：该班除小 10 x y 李外共有x人，这 笔开学费用共y元， 11x y 40 则： x N *
50 10b a 60 a b 2 a N b N
f 2.5 % p 2.3%
课堂评价1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数； a+b≥0 2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m” 3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 0 上的任意一点，写出d满足的不等式. d≤|AB| 4.在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
a
b
课堂评价3 收获知多少
• 知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问 题中的不等关系表示成不等式. • 方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不 等关系时，(1)要先读懂题,设出未知量（2） 抓关键词，找到不等关系(3)用不等式表示不 等关系. 思维要严密、规范.
5m 5m 5m 5m
0<h≤4
( L 10 )(W 10 ) 350 , L 4W L 0 W 0
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度( 记作 v 1 ),且小于第二宇宙速度(记 2 ).
v
v
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
问题2 请你自选一个现实生活中 不等关系的例子,并请同位用不等 式来表示.
不等式
• 3.1不等关系与不等式 • 3.2一元二次不等式及其解法 • 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题 • 3.4基本不等式
3.1 不等关系与不等式(第一课时)
一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万本 0.1
x 2.5 8 0.2 0.1
x 2.5 (8 0.2)x万元 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 21 上面的不等关系是用什么不等词表示 的? 请你举出生活中的一些不等关系的例子
二.用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标，指示司
机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40
40
v1 v v2
f 2.5 % p 2.3%
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
500x 600y 4000 3x y x 0 y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
课堂评价2
1.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系 2. 2008年春节前夕，我国南方大部分地区 遭受特大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发 生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小 李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔 费用.若每人承担12元人民币，则多余84元； 若每人承担10元，则不够；若每人承担11元， 又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这 笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不 等关系.
x 2.5 (8 0.2)x万元 用不等式表示为： 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
1.分析:设个位数字为
a
, 十位数字为
b
,则
12 x y 84 2.分析：该班除小 10 x y 李外共有x人，这 笔开学费用共y元， 11x y 40 则： x N *
50 10b a 60 a b 2 a N b N
f 2.5 % p 2.3%
课堂评价1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数； a+b≥0 2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m” 3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 0 上的任意一点，写出d满足的不等式. d≤|AB| 4.在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
a
b
课堂评价3 收获知多少
• 知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问 题中的不等关系表示成不等式. • 方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不 等关系时，(1)要先读懂题,设出未知量（2） 抓关键词，找到不等关系(3)用不等式表示不 等关系. 思维要严密、规范.
5m 5m 5m 5m
0<h≤4
( L 10 )(W 10 ) 350 , L 4W L 0 W 0
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度( 记作 v 1 ),且小于第二宇宙速度(记 2 ).
v
v
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
问题2 请你自选一个现实生活中 不等关系的例子,并请同位用不等 式来表示.