2020版高考数学模拟试题精编4(无答案)

2020年高考数学全真模拟试卷（四）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知在△ABC 中，AB=，AC=BC=，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 62.已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A. -3B. -2C. 2D. 33.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4. “43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.B.32C. 36.若复数2(1i z ii =-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --7.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r 与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ） A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9.已知2333211,,log 32a b cπ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a，b，c的大小关系为( )A. a b c>> B. a c b>>C. c a b>> D. c b a>>10.在△ABC中，5sin13A=，3cos5B=，则cos C=（）A.5665B.3365- C.5665或1665- D.1665-11.已知函数()sin3cosf x a x x=-的图像的一条对称轴为直线56xπ=，且12()()4f x f x⋅=-，则12x x+的最小值为( )A.3π- B. 0 C.3πD.23π12.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A.23B.43C.13D.16第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设正三棱锥P -ABC 的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R =17H ，则22H PA ＝_______．14.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在两，则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()nx x -的展开式中，系数最大的项为第6项. 15.已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ） A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 2παβ+=D. 2παβ-=16.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则BP BC ⋅=u u u v u u u v ______. 三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分）17.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AC 、BB 1的中点.（Ⅰ）证明：BD ∥平面AEC 1；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角1A EC B --的余弦值.18.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为522525x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－（t 为参数）． （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 垂直的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值． 19.在△ABC 中，3sin 2sin ,tan 35A B C ==.（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求△ABC 的周长.20.已知函数()y f x =与函数xy a =(0,a >且1)a ≠图象关于y x =对称 （Ⅰ）若当[]0,2x ∈时，函数(3)f ax -恒有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，求函数())(2)g x f x f x =⋅最小值． 21.已知函数()2cos 3cos )f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标； （II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．22.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围.23..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？试卷答案1.B【分析】由余弦定理可得，2cos6BAC∠=，再根据数量积的定义可求出AO AB⋅u u u r u u u r，AC AB⋅u uu r u u u r，然后依据AO x AB y AC=+u u u r u u u r u u u r，利用数量积运算性质计算AO AB⋅u u u r u u u r，即可求出。

故选 B．
【点睛】
本题考查读懂条件程序框图的功能，比较指对数的大小，属于简单题.
1
7．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离
4
心率为 ( )
1
A．
3
1
B．
2
4
2
C．
3
3
D．
4
【答案】B 【解析】
试题分析：不妨设直线 l : x y 1 ，即 bx cy bc 0 椭圆中心到 l 的距离 cb
| bc | 2b b2 c2 4
e c 1 ，故选 B. a2
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思
想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
读懂程序框图，可知输出 a ， b ， c 中最大的数，然后对 a, b, c 三个数进行判断，得到答案.
【详解】
由程序框图知，输出 a ， b ， c 中最大的数，
a

1
0.5 2
，
b

0.9
1 4
，
c

log5
0.3

平面 PAD
∴ BG ∥ 平 面 PAD
∵ EF ∥ BG ∴ EF ∥ 平 面 PAD
（7 分）
（II）∵ BG⊥平面 PDC，EF∥BG ∴EF⊥平面 PDC
2
（B） cos
1
2
1 sin
2
（D） sin
1
2
（ C）
（文）已知曲线 C 与 C′ 关于直线 x y 2 0对称，若 C 的方程为
， x2 y2 4x 4y 7 0
则 C′的方程为
（）
（A ） x 2 y2 8x 8y 31 0
（B） x 2 y2 8x 8y 31 0
（C） x2 y 2 8x 8 y 31 0
又 CD=2a, DP=a,
CP CD 2 DP2 5a
△ PBC 中， G 为 PC 中点，∴ BG⊥PC
易得 BG 3 a, HG 1 a, BH a
2
2
∴ △ BGH 为直角三角形，且
BG ⊥ GH ∴ GB ⊥平面 PDC
（5 分）
∴GB⊥CD 又 CD⊥HB ∴CD⊥平面 BGH ∴平面 BGH ∥
（ 12 ）有一位同学写了这样一个不等式： x 2 1 c 1 c ( x R) ，他发现，
x2 c
c
当 c=1 ，2 ，
3 时，不等式对一切实数 x 都成立，由此他作出如下猜测：
①当 c 为所有自然数时，不等式对一切实数 x 都成立；
②只存在有限个自然数 c，对 x R不等式都成立；
③当 c 1时，不等式对一切 x R都成立；
已 知 z1=3+4 i ， z2=65 cos i sin ) (
2
5
sin(

.2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷4注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[金山中学]已知集合2340A x xx ，1B x x ，则A BR I e （）A ．B ．0,4C ．1,4D ．4,2．[湘钢一中]已知i 为虚数单位，若复数1i2i a 是纯虚数，则实数a 等于（）A ．2B ．12C ．12D ．23．[玉溪一中]若向量a ，b 的夹角为π3，且2a，1b ，则向量2ab 与向量a 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π64．[凯里一中]已知1cos 4，则πsin22（）A ．18B ．18C ．78D ．785．[宁乡一中]函数1e 2cos 1xf xx 的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．[天津一中]设1F 、2F 分别为双曲线222210,0xy a b ab的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F ，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．340xyB ．350xy C ．430x y D ．540x y 7．[天一大联考]已知πsin0,0,2f x A xB A的图象如图所示，则函数f x 的对称中心可以为（）A ．π,06B ．π,16C ．π,06D ．π,168．[首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（）A．5 B．12 C．25 D．509．[济宁一模]已知直三棱柱111ABC A B C的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和3，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为（）A．8π3B．16π3C．32π3D．64π310．[牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（）种．A．444 B．1776 C．1440 D．156011．[蚌埠质检]已知F为抛物线24y x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且5AF，则PA PO的最小值为（）A．5B．25C．13D．21312．[湘钢一中]已知3ln44xf x xx，224g x x ax，若对10,2x，21,2x，使得12f xg x成立，则a的取值范围是（）A．1,8B．258ln2,16C．15,84D．5,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[天一大联考]不等式组2024020xx yx y，表示的平面区域的面积为________．14．[东北三校]42x y x y的展开式中23x y的系数是__________．15．[宁乡一中]ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知58a b，2A B，则cosB_________．16．[河南联考]如图，ABC△是等腰直角三角形，斜边2AB，D为直角边BC上一点（不含端点），将ACD△沿直线AD折叠至1AC D△的位置，使得1C在平面ABD外，若1C在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[顺义统考]已知na是等差数列，n b是等比数列，且22b，516b，112a b，34a b．（1）求nb的通项公式；（2）设n n nc a b，求数列nc的前n项和．18．（12分）[山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×２列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，.给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：22n ad bcKa b c d a c b d，其中n a b c d．19．（12分）[西城一模]如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF DE∥，DE AD，AD BE，112AF AD DE，2AB．（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求二面角B EF D的余弦值；（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．20．（12分）[凉州二诊]椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且21MF FAu u u u r u u u r，离心率为22．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P、Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM△的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）[济南模拟]已知函数21ln02af x x x x a．（1）讨论f x的单调性；.（2）若1ea，试判断f x的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[安庆二模]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为252x m ty t（t为参数）．以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆C的方程为25sin，l被圆C截得的弦长为2．（1）求实数m的值；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为,5m，且0m，求PA PB的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[成都实验中学]已知函数22f x x x a，a R．（1）当1a时，解不等式5f x；（2）若存在x满足0023f x x，求a的取值范围．..绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷4答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】由题意得234014A x xx x x x或，∴14AxxR e ，∴141,4A B x xR I e ．故选C ．2．【答案】D 【解析】∵1i 2i221i a aa，∴20a，210a ，即2a，故选D ．3．【答案】B 【解析】设向量2a b 与a 的夹角为，∵a ，b 的夹角为π3，且2a ，1b ，∴22π1222cos 4221632a a b a a b aab ，2221224244214232aba baa bb，∴263cos22223a ab a ab，又∵0,π，∴π6，故选B ．4．【答案】D【解析】由题得22π17sin2cos22cos 121248．故选D ．5．【答案】A【解析】∵11f ，∴舍去B ，∵0e 2cos10f ，∴舍去D ，∵2x时，1e2cos 1x f xx ，∴1e2sin 1e 20x fxx ，故选A ．6．【答案】C 【解析】依题意212PF F F ，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知，可知2212444PF cab ，根据双曲定义可知422bca ，整理得2cb a ，代入222cab 整理得2340bab ，求得43b a，∴双曲线渐进线方程为43yx ，即430xy．故选C ．7．【答案】 D 【解析】由图可知3122A，3112B，7ππ2π1212T，∴2，由ππ22π122k k Z ，π2，得π3，故π2sin 213f x x．令π2π3xk kZ ，得ππ26k xkZ ，则0k时，π6x．故选D ．8．【答案】 C【解析】模拟程序的运行，可得：2x，4n ，1v ，i 3，满足进行循环的条件i 0，5v ，i 2，满足进行循环的条件i 0，12v ，i 1，满足进行循环的条件i 0，25v，i0，不满足进行循环的条件i0，退出循环，输出v 的值为25．故选C ．9．【答案】 C【解析】如图所示，将直三棱柱111ABCA B C 补充为长方体，则该长方体的体对角线为22223+3+1=4，设长方体的外接球的半径为R ，则24R，2R ，∴该长方体的外接球的体积3432ππ33V R ，∴该三棱柱的外接球的体积3432ππ33VR，故选C ．10．【答案】 B【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，∴只需在生、史、地、政四选一有14C 4种；.然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共114244C C A192种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择13C ，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节14C4，其他三科可以全排列，共123323C 34A A252；∴总共有41922521776种．故选B ．11．【答案】 D【解析】不妨A 为第一象限中的点，设,A a b （0b ）．由抛物线的方程得1,0F ，则15AF a ，故4a，∴4,4A ，A 关于准线1x的对称点为6,4A ，故52213PAOPPAOPA O，当且仅当A ，P ，O 三点共线时等号成立，故选D ．12．【答案】 A 【解析】∵3ln 44x f x x x ，0,2x，∴221311301444xxfx xxx x，(3舍去)从而01x ，0f x ；12x ，0fx ；即1x 时，f x 取最小值12，因此1,2x，使得21242xax成立，724x a x的最小值，∵724x x在1,2上单调递减，∴724x x的最小值为271288，因此18a，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】 3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为ABC △，其中2,0A ，0,2B ，2,3C ，∴1232S AC．故答案为3．14．【答案】16【解析】∵444222xyxyx x yy x y，又42x y展开式的通项为4414C 2kkkkkT xy ，求42xyxy的展开式中23x y 的系数，只需令2k或3k，故所求系数为3432244C 2C 216．故答案为16．15．【答案】45【解析】∵58a b ，∴5sin 8sin A B ，∵2AB ，∴5sin28sin BB ，10sin cos 8sin B B B ，∵sin 0B，∴4cos 5B．16．【答案】1,2【解析】∵在等腰Rt ABC △中，斜边2AB ，D 为直角边BC 上的一点，∴2ACBC，90ACB，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AHx ，∴12AC AC ，10,2CD C D，190AC D，CH平面ABC ，∴12AH AC ，当2CD时，B 与D 重合，1AH ，当2CD时，112AHAB ，.∵D 为直角边BC 上的一点，∴0,2CD ，∴AH 的取值范围是1,2．故答案为1,2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）121,2,3,n n b n L；（2）2312122nnS nn ．【解析】（1）设n b 的公比为q ．∵22b ，516b ，∴3521682b q b ，∴2q ，211b b q，∴11121,2,3,n n nb b qn L．（2）由（1）知12n n b ，∴11b ，48b ，设等差数列n a 的公差为d ，∵112a b ，34a b ，∴12a ，3128a a d，∴3d，∴31na n ，因此1312n n nnc a b n ，从而数列n c 的前n 项和12231123125311222121222nn nn n n S n nn LL．18．【答案】（1）2×２列联表见解析，无95％的把握；（2）期望为125，分布列见解析．【解析】（1）列联表如下图所示：22100402020202.7783.84160406040K，故没有95%把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为6031005，且34,5B ，∴040432160C55625P，131432961C55625P，2224322162C55625P，3134322163C55625P ，44432814C55625P，∴的分布列为∴的数学期望为312455E．19．【答案】（1）见解析；（2）63；（3）17BQ BE．【解析】（1）由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥，又∵AB平面CDE ，CD平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ．同理AF ∥平面CDE ，又∵AB AF A I ，∴平面ABF ∥平面CDE ．又∵BF平面ABF ，∴BF ∥平面CDE ．（2）连接BD ，∵平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCDAD ，DEAD ，∴DE平面ABCD ．则DEDB ，又∵DEAD ，AD BE ，DE BE E I ，∴AD平面BDE ，则ADBD ，故DA ，DB ，DE 两两垂直，∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则0,0,0D ，1,0,0A ，0,1,0B ，1,1,0C ，0,0,2E ，1,0,1F ，∴0,1,2BEu u u r，1,0,1EFu u u r，0,1,0n为平面DEF 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为,,x y z m，由0BEuu u r m ，0EFu u u rm ，得200y z xz ，令1z，得1,2,1m，∴6cos ,3m n m nm n．如图可得二面角B EF D 为锐角，∴二面角B EF D 的余弦值为63．（3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ平面BEF ，证明如下：设0,,2BQ BEuu u ru uu r ，0,1，∴0,1,2DQDBBQuu u ru u u r u uu r ．设平面CDQ 的法向量为,,a b c u，.又∵1,1,0DCu uu r ，∴0DQuu u ru ，0DCu u u ru ，即120b c ab，令1b，得11,1,2u．若平面CDQ平面BEF ，则0m u，即11202，解得10,17．∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ 平面BEF ，且此时17BQBE．20．【答案】（1）2212xy；（2）存在直线l ：43yx满足要求．【解析】（1）设椭圆的方程为222210xy a b ab，半焦距为c ．则,0A a 、0,M b 、,0F c 、,MF c b u u u u r、,0FA ac u u u r，由21MF FA u u u u r u u u r ，即221acc，又22c a，222abc 解得2221a b，∴椭圆的方程为2212x y．（2）∵F 为MPQ △的垂心，∴MF PQ ，又0,1M ，1,0F ，∴1MF K ，1PQK ，设直线PQ ：y xm ，11,P x y ，22,Q x y ，将直线方程代入2212xy，得223+422x mx m1243m x x ，212223mx x ，22412220mm ，33m且1m ，又PF MQ u u u r uu u u r ，111,PF x y u uu r ，22,1MQ x y uu u u r，∴2121210x x x y y y ，即21212120mx x x x mm，由韦达定理得2340m m ，解得43m 或1m （舍去）。

2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟 总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（ ） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （ ） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 （ ） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（ ）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。

绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

nnnn
18．（12 分）[山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问 卷随机调查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如 下表：
（1）根据上述统计数据填下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为以 50 岁为分界点对 “新农村建设”政策的支持度有差异；
极点，以 x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆 C 的方程为 2 5sin ， l 被圆 C 截得的弦长为 2 ． （1）求实数 m 的值；
（2）设圆C 与直线l 交于点 A、 B ，若点 P 的坐标为 m, 5 ，且 m 0 ，求 PA PB 的值．
23．（10 分）【选修4-5：不等式选讲】
21 221
为（ ）
A． 3x 4y 0
B． 3x 5y 0
C． 4x 3y 0
D． 5x 4y 0
7．[天一大联考]已知
f x
Asinx B A 0, 0,
π 的图象如图所示，则
2
对称中心可以为（ ）
A． ,0
π
π
π
B．
π
,1
6 6
6 6
C． ,0
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[金山中学]已知集合 A
x x2 3x 4 0
， B x x 1，则
AI B （
）
R
A．
B． 0,4
C． 1,4
D． 4,
2．[湘钢一中]已知 i 为虚数单位，若复数1 ai2 i是纯虚数，则实数 a 等于（ ）

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。

1．已知点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．113．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA uuu r ,OB uuu r对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD uuu r对应的复数是（ ） A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．236．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）A ．0a b c ++=r rr r B ．a b c r r r 、、两两平行 C ．//a b rr D ．a b c r r r 、、方向都相同7．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞8．下列命题正确的是（ ）A ．若lim()0n n n a b a →∞=⋅≠，则lim 0n n a →∞≠且lim 0n n b →∞≠B ．若lim(,)0n n n a b →∞=，则lim 0n n a →∞=且lim 0n n b →∞= C ．若无穷数列{}n a 有极限，且它的前n 项和为n S ，则12lim 0=lim lim lim n n n n n n S a a a →∞→∞→∞→∞=+++L D ．若无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim n n n n a a +→∞→∞= 9．设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对10．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且1MA MB MC MD ====,120CMD ∠=o ,若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动,则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,1-C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．212．已知函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考全真模拟卷（4）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =--<，(){|2}B x y lg x ==-，则A B =I ( ) A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(2,2)-D ．∅2．已知复数z 满足(2)12-=+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．i3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )ABC ．72D ．524．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．436．双曲线22C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则∆=OPF S ( ) A ．14B ．12C ．1D ．27．已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB CD t ==，6AD BC ==，7AC BD ==，若球O 的最大截面的面积是554π，则t 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A B ．C D 10．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．911．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点．下列结论：①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．①B ．③C ．①③D ．①②③12．现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--． 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a v 、b v 满足3a =v ，()1,2b =v ，2a b ⋅=v v ，则2a b -=v v ．14．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若60B =︒，2b =，则sin A 的值为______．15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16．（2019·河北高三（文））已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．18．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD ．（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积．19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少． 每周运动的总时长不少于14小时为运动较多． （1）根据题意，完成下面的2×2列联表：（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（n ＝a +b +c +d ）20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ ∆的面积为16（O为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()2ln f x x ax x =-+．(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间． (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =--<，(){|2}B x y lg x ==-，则A B =I ( ) A ．(2,3) B ．(2,3)- C ．(2,2)- D ．∅【答案】A【解析】2{|60}{|23}A x x x x x =--<=-<<Q ，(){|2}{|2}B x y lg x x x ==-=>，∴ {|23}{|2}(2,3)A B x x x x ⋂=-<<⋂>=，故选A ．2．已知复数z 满足(2)12-=+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．i【答案】A【解析】因为()212i z i -=+，所以()()()()122125z 2225i i i ii i i i +++====--+，所以虚部为1，故选A ． 3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( ) A．62+ B．62- C ．72D ．52【答案】C【解析】Q 1(2)sin(2)sin662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选C ．4．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确：对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确；对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确；对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误，故选D ．5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，由三角函数定义可得2tan 21α-==-，根据正切的二倍角22tan tan21tan ααα=-，代入可得()()2224tan 2312α⨯-==--，故选D ． 6．双曲线22C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则∆=OPF S ( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】因为双曲线方程为22C:2x y -=，所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形，所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ，所以112∆=⋅=OPF p S OF y ，故选C ．7．已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D ．8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB CD t ==，6AD BC ==，7AC BD ==，若球O 的最大截面的面积是554π，则t 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】将四面体放入到长方体中，AB 与CD ，AD 与BC ，AC 与BD 相当于一个长方体的相对面的对角线，设长方体的长，宽，高分别是,,a b c 则22222222276a b t b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴ ()2222285a b c t ++=+，球O 的最大截面的面积是554π，球的最大截面即是过球心的大圆，设球的半径为R 则2554R ππ=，∴2(2)55,2R R ==∴2222(2)R a b c =++，255285t ∴⨯=+，解得：5t =，故选A ．9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )AB．CD【答案】B【解析】由周期为π，可得=2ω．由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2π()62k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ． 所以5π()sin 26f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，5π()sin 6g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5πsin 336g A A ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ5π426f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．10．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．9【答案】B【解析】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立，故选B ． 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点．下列结论：①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED ．故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确；若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误；延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点．根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点，1CEM DD A ∆∆:，所以多面体1CEM DD A-是棱台．且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝．故③正确． 综上所述，正确的序号为①③，故选C ．12．现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--． 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【答案】C【解析】直线2y x =的斜率为2k =，①若()22x f x e =-，则由()2e 2xf x '==，得0x =，点()0,0在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；②若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得()2x k k π=∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+，则由()2132f x x'=-=，得1x =±，()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上， 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切；④若()32f x x x =--，则由()2312f x x '=-=，得1x =±，其中()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切，故直线2y x =与其相切的共有3条，故选C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a v 、b v 满足3a =v ，()1,2b =v ，2a b ⋅=v v ，则2a b -=v v ．【解析】由题意可得222125b =+=r ，因此，2a b -====r r14．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若60B=︒，2b =，则sin A 的值为______．【答案】14【解析】由正弦定理得sin sin c C B b ===2b =，所以b c >，角C为锐角，cos C ==则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=+=15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c=，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=,故答案为：2213620x y +=． 16．（2019·河北高三（文））已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由xy e =的图像与ln y x =的图像可得，ln >x e x 恒成立，所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于xy e =与ln y x =之间，作出其大致图像如下，由图像可得，只需<<OA OB k a k ．设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e xy '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线xy e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ，所以1a e e <<，故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．又2log n n a b =，即2n a n b =，所以2nn b =．（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+-1(1)222n n n ++=+-． 又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=， 因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数，所以8n =． 18．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD ．（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积． 【解析】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //EF BC Q 且12EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴． OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ．（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥．Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥底面ABE ，易知3EF =，AE BE ==(2192ABES ∆=⨯=，9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD ．//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，1633183F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体．19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．每周运动的总时长不少于14小时为运动较多． （1）根据题意，完成下面的2×2列联表：（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（n ＝a +b +c +d ）【解析】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30，运动较多的人数为2+1+1=4； 无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6，运动较多的人数为2+4+4=10． 故2×2列联表如下：（2）()225046301013.89210.82834161436K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关．20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ ∆的面积为16（O为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =，故C 的方程为24y x =．（2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=． 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k ++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，得223x k =+，所以D的横坐标为223k +， 设(),0E t ，则()2223223t k DE t k k-+=+-=，()224432AB k DE t k +∴=-+， 所以当且仅当32t -=，即1t =时，AB DE为定值，且定值为2，故存在点E ，且E 的坐标为()1,0．21．（12分）设函数()2ln f x x ax x =-+．(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间． (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---．【解析】（1）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>．1x =Q 时，()f x 取得极值，()0,31f a ∴'==，()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==， 解()0f x '>得102x <<或1x >，解()0f x '<得112x <<，()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()()221,0x ax f x x x-+'=>，()f x Q 存在两个极值点，∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>，a ∴> ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--，∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+，()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增， ()()10h t h ∴>=，2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立，()()212142f x f x a x x a ∴>---成立． （二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅．【解析】由4y m =，得4y m =，代入24x m =，得24y x =，即24y x =，∴C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为()1,0F 的抛物线．（2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-， 则直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），与24y x =联立得()222000sin2sin 4cos 40t y t y x ααα+-+-=，设方程的两个解为1t ，2t ，则2001224sin y x t t α-=，∴2001224sin y x PA PB t t α-⋅==， 则2200002244sin ()sin y x y x PM PN παα--⋅==-，∴PA PB PM PN ⋅=⋅．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值． 【解析】（1）()12f a a =-<，得212a -<-<， 即13a -<<，∴a 的取值范围是()1,3-；（2）当1a …时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增， 则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得1k =，当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --⎧⎪=-<<⎨⎪-++⎩…„，则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得2k =． 综上所述，k 的值为1或2．。

山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三年级第四次模拟考试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.） 1.若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，则实数m 的值为_______. 【答案】1-【解析】【分析】直接根据交集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =， ∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z (3＋i )＝10，则z 的值为_______.【解析】【分析】由复数的除法运算与求模长的计算公式求解即可.【详解】1010(3)33(3)(3)i z i z i i i -===-⇒==++-【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的模，属于基础题.3.从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为_______.【答案】34【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，列出基本事件总数，求出满足条件的事件，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，有10,12,21,20，共4个，满足大于10的有3个，故概率34 P=故答案为：3 4【点睛】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解事件两位数大于10确定此事件的计数方法，本题概率基本公式考查题，考查分析判断的能力，本题是一个基础题．4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250].若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为_______天.【答案】12【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．【详解】解：根据频率分布直方图，得：日销售量少于100个的频率为(0.0030.005)500.4+⨯=，则估计这家面包店一个月内日销售量少于100个的天数为：300.412⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题．5.执行如图所示的流程图，输出k的值为_______.【答案】4【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，k 的值，当18S =时满足条件16S >，退出循环，输出k 的值为4．【详解】解：由题意，执行程序框图，可得1k =，0S =，3S =，2k =，不满足条件16S >，S 9=，3k =，不满足条件16S >，18S =，4k =，满足条件16S >，退出循环，输出k 的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为_______. 5【解析】【分析】利用渐近线斜率为b a和双曲线,,a b c 的关系可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得结果. 【详解】由渐近线方程可知：2b a =，即224b a =，22224b c a a ∴=-=， 2225c e a ∴==，e ∴=.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于,a c 的齐次方程.7.若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为_______.【答案】8【解析】【分析】利用等体积法和切割法即可求解 【详解】解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=- 1112212833ABC A B C V -==⨯=. 答案：8【点睛】本题考查棱柱和棱锥的体积问题，属于基础题8.“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的_______条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义求解即可．【详解】解：当ω＝2时，526126x πππωπ+=⨯+=，sin()06x πω+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称； 而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ； 故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件； 故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查三角函数的对称性，属于基础题．9.在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝4AC ，则tanB 的值为_______. 【答案】2【解析】【分析】由C ＝B ＋4π，AB AC ，得sin sin()4C B B B π=⇒+=， 然后化简即可求解【详解】解析：由AB ＝4AC ，得sin sin()444C B B B π=⇒+=，cos sin 224B B B +=，化简得2cos sin B B =， 所以tanB 的值为2.答案：2【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式，属于简单题10.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为_______. 【答案】299【解析】【分析】根据题意，利用通项公式求出100a ，利用分组并项求和法求出100S ，由此可求出答案．【详解】解：∵12(1)(21)n n n a n -=+--， ∴9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+， ∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=，故答案为：299．【点睛】本题主要考查数列的分组并项法的求和公式，考查计算能力，属于基础题．11.若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q ＝2(, )15x x y y ⎧⎫+⎪⎪≥⎨⎬⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为_______.【答案】23π 【解析】【分析】作出2240x y x +-=与215x y+≥的图象，得到P Q 表示的曲线，利用圆的弧长即可求解. 【详解】由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=，由215x y +≥得,221515,215x x y x ≥-⎪+⎪≤=⎨⎪-<-⎪⎩且0y >， 作出两曲线图像如下：此时P Q 表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB 部分，1520x --=与圆心的距离221151d --==+，且r ＝2， 在Rt ACD 中，1cos 2ACD ∠=， 60ACD ∴∠=︒∴2120ACB ACD ∠=∠=︒，∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，直线与圆的相交，二元一次不等式表示平面区域，属于中档题.12.若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______. 【答案】2e 1+【解析】【分析】由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．【详解】解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e x y m =+图像在第一象限内有两个交点， 即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，∴2()(2)e 1g x g ≤=+，∴2e 1m ≤+，故答案为：2e 1+．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．13.在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是_______. 【答案】1752【解析】【分析】把,AE AD 用,AB AC 表示，代入已知条件求得AB AC ⋅，再计算AB AE ⋅即得．【详解】由角平分线定理可知32AC CD AB BD ==，所以22()55AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-2355AC AB =+ 因为90AB AD ⋅=，所以22233232()1090555555AB AC AB AB AC AB AC AB ⋅+=+⋅=⨯+⋅=，75AC AB ⋅=， 所以22111175()()(1075)2222AB AE AB AB AC AB AC AB ⋅=⋅+=+⋅=⨯+= 故答案为：1752. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是以,AB AC 为基底，其他向量都用基底表示后再进行运算．14.若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是_______. 【答案】38【解析】【分析】 将式子化为为222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，讨论x ＝0或x ≠0，将分子、分母同除x ，利用判别式0∆≥即可求解. 【详解】解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++， 当x ＝0，原式的值为47， 当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤. 故答案为：38【点睛】本题主要考查了判别式法求最值，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.若函数()()sin f x M x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N (3π，1). （1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若()85f A =，()1013f B =，求cosC 的值. 【答案】（1）()2cos f x x =.（2）1665 【解析】【分析】（1）利用三角函数的性质：最值求出M ，最小正周期求出ω，特殊点代入求出ϕ，即可求出解析式.（2）首先利用解析式求出4cos 5A =，5cos 13B =，再利用同角三角函数的基本关系求出sin A 、sin B ，然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.【详解】解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2.因为()f x 的最小正周期是2π，即22T ππω==，所以ω＝1， 又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ， 又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2cos f x x =. （2）由（1）知()2cos f x x =，又()85f A =，()1013f B =， 故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =， 又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===， 所以cosC ＝cos [π﹣(A ＋B )]＝﹣cos (A ＋B )＝﹣(cosAcosB ﹣sinAsinB ) ＝453121651351365⎛⎫-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角恒等变换、诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.16.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：（1）求证：P A∥平面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）设AC BD＝O，连结OE，从而可得AP//OE，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用面面垂直的性质定理可得PC⊥平面ABCD，即证出PC⊥BD，再由AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面P AC，最后利用面面垂直的判定定理即可证出.【详解】证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE.（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面P AC，PC⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC又BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.17.如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）.为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值.（所有道路宽度忽略不计）【答案】305【解析】【分析】fθ.然后求导，用导数知识求得最大值．【详解】解：连接CM，设∠PCM＝θ，则PC＝1cosθ，PM＝PN＝tanθ，OP＝OC﹣PC＝10﹣1cosθ，AB＝2OP＝20﹣2cosθ，设新建的道路长度之和为()fθ，设∠PCM＝θ，用θ表示出各道路长，并求出和()则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+， 由1＜PC ≤10得110≤cos θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0311sin 10θ=，223cos ()cos f θθθ-'=，令()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin 3θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，()f θ'，()f θ的情况如下表： θ(0，1θ) 1θ(1θ，0θ) ()f θ'＋ 0 － ()f θ单调递增极大值单调递减由表可知1θθ=时()f θ有极大值也是最大值，此时2sin 3θ=，5cos 3θ=，tan 5θ=，()305f θ=-答：新建道路长度之和最大值为305.【点睛】本题考查导数的实际应用，解题关键是建立三角函数的模型，引入参数∠PCM ＝θ，把各道路长用θ表示，并求出和()f θ.18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H (3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k . ①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率； ②求1234()()k k k k ++的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）①1或78②4225-【解析】 【分析】（1）已知条件有1b =，直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形，利用椭圆定义和勾股定理可求得a ，得椭圆方程；（2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得后化简，设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，应用韦达定理得2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，计算12k k +并代入1212,x x x x +可得； ②分类讨论，当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+，计算1234()()k k k k ++后应用基本不等式可得最小值．【详解】解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=.（2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=---- 12121212[24()6]3()9k x x x x x x x x -++=-++222222222224[246]2121222487391212k k k k k k k k k k k -⨯-⨯+++==-+-⨯+++所以122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率.②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号. 综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定值与最值问题．求椭圆方程时由于已知直线的特殊位置，利用椭圆的定义是解题关键，在直线与椭圆相交问题中，采取设而不求思想方法，即设直线方程，设交点坐标1122(,),(,)P x y P x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入其他条件化简变形即可得．19.如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为()P k 数列. （1）若数列{}n a 是()1P 数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是()2P 数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在()P k 数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）313a =；（2）0n b =或12n b =或2n n b =；（3）存在；满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=.【解析】 【分析】（1）根据()P k 数列的定义，得623a a a =，1226a a a =，可求3a ；（2）根据()P k 数列的定义，得2mn m n b b b =，分10b =和10b ≠两种情况讨论. 当10b =，0n b =.当10b ≠时，由{}n b 是等差数列，对,m n 赋值，求出1b 和公差d ，即求n b ；（3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，设等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q .则有2020202020202020c kc c ⋅=，2020202120202021c kc c ⋅=，可得q ＝1，故当2020n ≥时，1n c k=.当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数，由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，可得1n c k=. 即满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【详解】（1）由数列{}n a 是()1P 数列，得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}nb 是()2P 数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立， 当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n n b =，经检验均合题意.（3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ， 则有2020202020202020202020202020202020202020,c kc c c q kc c ⋅-⋅=∴⋅=⋅，可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020,c kc c c q kc c q ⋅-⋅=∴⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当2020n ≥时，1n c k=， 又20201202011,c kc c c k=⋅∴=， 当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数， 由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，而1i n c k =，11()i in k c k -∴=，1()()i i n c k ∴=，1n c k∴=. 综上，满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【点睛】本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.20.设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-. （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值. 【答案】（1）单调增区间为(1，+∞)（2）92<-a （3）2 【解析】 【分析】（1）求导得到函数的单调增区间. （2）求导，讨论32a ≥-，9322a -<<，92a =-或32a =，92<-a 几种情况，分别计算函数极值得到答案.（3）考虑92a ≥-，92<-a 两种情况，求导得到单调区间，计算极值判断零点个数，得到答案.【详解】（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3x f x x-'=⋅，由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()f x '＜0；当x ∈(1，+∞)时，()f x '＞0， 所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞).（2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++， 令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=， 当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立， 故()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足； 当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立， ()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足；当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足；当22(1)403a∆=+->时，解得92<-a 或32a >（舍），当92<-a 时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ，又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---， 当x ∈(0，1x )时，()f x '＜0；当x ∈(1x ，1)时，()f x '＞0；当x ∈(1，2x )时，()f x '＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()f x '＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增； 所以x ＝1是函数()f x 极大值点，满足. 综上所述：92<-a . （3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >，()23ln 28443ln 280f a a =-++-=-+>；32()32320a a a a a f e a e ae ae a ae a -----=++->->>，()0,1ae -∈，故满足函数有2个零点. ②当92<-a 时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->， 此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2.【点睛】本题考查了函数的单调区间，根据极值求参数，零点个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量.【答案】 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】根据特征向量和特征值的定义列出矩阵方程求出,a b ，写出特征多项式，由特征多项式可求得另一个特征值，再得特征向量．【详解】解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-，当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查特征值与特征向量，掌握特征值与特征向量的概念、特征多项式是解题关键．B.选修4—4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知直线:cos 2sin l m ρθρθ+=（m 为实数），曲线:2cos 4sin C ρθθ=+，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值. 【答案】5m = 【解析】 【分析】将直线l 和圆C 的极坐标方程均化为普通方程，由题意可知直线l 过圆C 的圆心，由此可求得实数m 的值. 【详解】由题意知直线l 的直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，即()()22125x y -+-=，所以曲线C 是圆心为()1,2的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得2120m +-=，解得5m =.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查计算能力，属于基础题.C.选修4—5：不等式选讲23.已知实数x 、y 、z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.【答案】16【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()22222221122x y z x y z ++++≥++，由此可求得222x y z ++的最小值.【详解】由柯西不等式有()()()222222211221xy z x y z ++++≥++=，所以22216x y z ++≥（当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号），所以222x y z ++的最小值是16.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键就是对代数式进行配凑，考查计算能力，属于基础题.【必做题】解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点()2,0P 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 长为42.（1）求抛物线的方程；（2）若APF 与BPO △的面积相等，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）240x y --=或240x y +-=.【解析】 【分析】（1）由题意可知点(2,22在抛物线C 上，将该点坐标代入抛物线C 的方程，求得p 的值，进而可求得抛物线C 的方程；（2）由题意得出2A B y y =，可得知直线AB 的斜率不为零，可设直线AB 的方程为2x my =+，将该直线方程与抛物线方程连理，列出韦达定理，由题意得出2A B y y =-，代入韦达定理后可求得m 的值，进而可求得直线AB 的方程.【详解】（1）当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42 又()2,0P ，取(2,22A ，所以(2222p =⋅，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =； （2）由题意知1122APF A A S FP y y =⋅=△，12BPO B B S OP y y =⋅=△， 因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =，当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠， 故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=，所以4A B y y m +=，80A B y y =-<，2A B y y ∴=-，可得2428A B B A B B y y y m y y y +=-=⎧⎨=-=-⎩，解得12m =±. 所以，直线AB 的方程为240x y --=或240x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积关系求直线的方程，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.25.若有穷数列{}n a 共有k 项(2)k ≥，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当11r k ≤≤-时恒成立.设12k k T a a a =+++. （1）求2T ，3T ；（2）求k T .【答案】（1）20T =；313T =（2）1[1(1)]2k k T k =-- 【解析】【分析】（1）分别令2k =和3k =，得到r 的值，再计算2T ，3T 即可.（2）首先利用累乘法和组合数性质得到1111(2)2r r r k a C k+++=--，从而得到11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k=-+-++--，再利用二项式定理即可得到11[(12)1][1(1)]22k k k S k k =--=---. 【详解】（1）令2k =时，得1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，2110T =-=， 令3k =时，得1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-， 由322(23)2213a a -==-+，得343a =，3411233T =-+=. （2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得：321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+，所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!r r r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--， 所以1111(2)2r r r k a C k+++=--， 当0r =时，111(2)12k a C k =⨯-⨯=-，也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--， 所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k=-+-++--， 即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k=-+-+-++---， 所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k =--=---. 【点睛】本题主要考查了数列的累乘法，同时组合数的性质和二项式定理，考查了学生分析问题的能力，属于难题.。

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。

绝密★启用前2020 年高考模拟试题（一）理科数学时间：120 分钟分值：150 分注意事项：封号位座1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

密第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一不号场考项是符合题目要求的.a b1．已知a，b 都是实数，那么“2 22 2”是“a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件订22．抛物线x 2py ( p 0) 的焦点坐标为（）装号证考准p A．,0218p3 6 0 x y≤p218pB．,0C．0,D．0,3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A．24 种B．16 种C．12 种D．10 种只4．设x，y 满足约束条件x y 2≥0 ，则目标函数z 2x y 的最小值为（）x≥0, y≥0A． 4 B． 2 C．0 D．2卷5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）名姓A．5B．34 C．41 D．5 2 此6．sin xf x xx,0 U 0, 大致的图象是（）A．B．C．D．级班7．函数 f x sin x cos x( 0)在,2 2上单调递增，则的取值不可能为（）A．14B．15C．12D．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A 中任取一个元素 a ，则函数 ay x ，x 0, 是增函数的概率为（）A．35B．45C．34D．37开始x 3否x≤ 3是2 2y x x结束输出yx x 11x9．已知A，B 是函数y 2 的图象上的相异两点，若点A，B 到直线y 的距离相等，2则点A，B 的横坐标之和的取值范围是（）A．, 1 B．, 2 C．, 3 D．, 410．在四面体ABCD 中，若AB CD 3 ，AC BD 2，AD BC 5 ，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．2 B．4 C．6 D．811．设x 1是函数 3 2f x a 1x a x a 2x 1 n N 的极值点，n n n数列a n 满足a1 1 ，a2 2 ，b n log 2a n 1 ，若x 表示不超过x的最大整数，则2018 2018 2018L =（）bb b b b b1 2 2 3 2018 2019A．2017 B．2018 C．2019 D．2020ax12．已知函数 f x e a R 在区间0,1 上单调递增，则实数a的取值范围（）xeA．1,1 B．1, C．1,1 D．0,第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共20 分.13．命题“x0 0 ， 2 x0 mx0 2 0”的否定是_________．_C 2π314．在△ABC 中，角 B 的平分线长为 3 ，角，BC 2 ，则AB _________．_15．抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，且满足A FBF4，点O 为原点，则△AOF 的面积为_________．_16．已知函数f xx x x22 3 sin cos 2cos 02 2 2的周期为2π3 ，当πx 0，3 时，函g x f x m数恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是_________．_三、解答题：共70 分。

2020年高考数学模拟试题（四）作者：***来源：《中学生数理化·高考使用》2020年第08期一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若函数f（x）的图像在x=0处的切线过点（1，3），求函数f（x）的单调区间及其极值;（2）若关于x的不等式f （x）≤4对任意的x∈[0，3]恒成立，求实数m的取值范围。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ （1+cos 2θ）=4sinθ。

（1）求曲线C的直角坐标方程;8.已知M（）D函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2。

图l所示的是一个算法的程序框图，当输入”的值为36时，则输出的结果为（）。

12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直凌柱）木料ABC.-A1B1C1，其各棱长都为2。

已知O1，O2分别为上底面和下底面的中心，M为O1O2的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（）。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）如图2，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD =a，∠ADC=β。

（1）求2cos a-cosβ的最大值;（2）若BD=1，cosβ=1/7，求△ABD的面积。

18. （12分）如图3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA =2，E为PD的中点。

（1）求证：PA⊥平面ABCD：（2）求二面角A-BE-C的正弦值。