中考数学选择、填空压轴题专题讲练(含答案)

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。

中考数学专题辅导 第一讲 填空选择压轴题选讲真题再现：1．（2022年苏州第12题）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息同答问题：该=次函数2y ax bx c =++在x =3时，y= ．2．（2022年苏州第18题）如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°． 现给出以下四个结论：①∠A=45°； ②AC=AB ：③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．（江苏省2022年第8题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数；B ．第11个数；C ．第12个数；D ．第13个数4．（江苏省2022年第18题）如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为cm 2．5．（202X 年苏州第10题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．222- D ．22- 6．（202X 年苏州第18题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()230，、(0，2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为．7．（2022年苏州第10题）如图，已知A 点坐标为（5，0），直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，∠a =75°，则b 的值为（ ）A ．3B ．533C ．4 D ．5348．（2022年苏州第18题）如图，已知点A 的坐标为（3，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数k y x =（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB ＝3BD ，以点C 为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是（填“相离”、“相切”或“相交”）．9．（2022年苏州第10题）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是（ ）A ．3318+B ． 3118+C ． 336+D ． 316+10．（2022年苏州第17题）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x =图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ACDB的周长为8且AB<AC，则点A的坐标是．（第10题）11．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S(单位：cm2)与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒(结果保留根号）．12．（2021年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为（）A．；B．；C．；D．2；（第12题）（第13题）13．（2021年•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．（结果保留π）14．（2021年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．（第14题）（第15题）15．（2021年•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=用含k的代数式表示）．16．（2021年•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km；B．2km ；C．2km；D．（+1）km（第16题）（第17题）17．（2021年•苏州）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ′，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ． （，4） 18．（2021年•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8．若∠BPC =∠BAC ，则tan ∠BPC =．（第18题）（第19题） 19．（2021年•苏州）如图，在矩形ABCD 中，=，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD 于点E ．若AE •ED =，则矩形ABCD 的面积为． 20．（2021年•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接P A ．设P A =x ，PB =y ，则（x ﹣y ）的最大值是．（第20题）模拟训练：1．（青云中学2021年中考模拟）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是DC 中点，AF 平分∠EAB ，FH ⊥AD 交AE 于点G ，则GH 的长为（ ） A.512 B.512 C.514 D.5142．（青云中学2021年中考模拟）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB ＝54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为（ ） A.1(1,)2 B.42(,)33 C.63(,)55 D.105(,)773．（青云中学2021年中考模拟）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，∠ABC ＝30°，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F ，则AOAF ＝．4．（青云中学2021年中考模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点，点P 是线段AB 上一动点(不与点A 和B 重合)，过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是．5．（无锡市滨湖区2021年）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线y ＝k x ( x ＞0)上，BC 与x 轴交于点D ．若点A 的坐标为（2，4），则点D 的坐标为（）A ．（322，0）B ．（215，0） C ．（968，0） D ．（548，0） 6．（无锡市滨湖区2021年）如图，在⊙O 中直径AB=8，弦AC=CD=2，则BD 长为（ ） A ．7 B ．6 C ．53 D ．51597．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运 动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点E 从C 点出发向终点B 运动，速度为1cm/秒，运动时间为t 秒，作EF ∥AB ，点P 是点C 关于FE 的对称点，连接AP ，当△AFP 恰好是直角三角形时，t 的值为____________．（第7题）9．（南通启东市2021年）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC =60°，顶点C 的坐标为(m , 33)，反比例函数k y x的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是（ ）．A ．63；B ．－63；C ．123；D ．－123（第9题）（第10题）10．（南通启东市2021年）如图，在RT △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且∠MDN ＝90°，则cos ∠DMN 为（ ）． A. 105； B. 55； C. 35； D. 4511．（南通启东市2021年）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 值为．12．（南通启东市2021年）已知点P 的坐标为（m －1,m 2－2m －3）,则点P 到直线y ＝－5的最小值为．（第11题）13．（2021年苏州市平江）如图，在等边△ABC 中，AB ＝10，BD ＝4，BE ＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是．14．（2021年苏州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，∠A ＝30º，BC ＝2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC ，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A . 30，2B .60，2C . 60，32D . 60，315．（2021年苏州模拟）如图，以O 为圆心的圆与直线y ＝－x +3交于A 、B 两点，若△OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为（）A ．23πB ．πC ． 23πD ．13π 16．（2021•苏州模拟）如图，□ABCD 顶点A ，B 坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y ＝kx上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k ＝_____． （第16题）（第17题）17．（2021年苏州模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为___．18.（吴江区2021年）如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且4AB CD ==，则OP 的长为( )A. 1B.2C. 2D. 22(第14题) 15题） AB x y O19. （吴江区2021年）如图，A 、B 、C 是反比例函数(0)k y k x=<图象上三点，作直线l ，使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3:1:1，则满足条件的直线l 共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条（第18题）（第19题）20．（蔡老师预测2022年）如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（3，－1）C ．（－1，－3）D ．（－3，1）21．（蔡老师预测2022年）二次函数y ＝a (x －b )2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是．22．（蔡老师预测2022年）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB ＝∠PBC ，则CP 的最小值为．23. （苏州市区2021年） 在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA =3，OB =4.把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC .边OB 上的一点M 旋转后的对应点为'M ，当DM AM +'取得最小值时，点M 的坐标为（ ）A.)5330(，B.)430(，C. )530(， D.)30(， 24．（苏州市区2021年）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4.点P 是△ABC 内的一点，连接PC ，以PC 为直角边在PC 的右上方作等腰直角三角形PCD .连接AD ，若AD ∥BC ，且四边形ABCD 的面积为12，则BP 的长为．25．（太仓市2021年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标系原点，A (3，0)，B (3，1)，C (0，1)，将O AB ∆沿直线OB 折叠，使得点A 落在点D 处，OD 与BC 交于点E ，则OD 所在直线的解析式为 （ ）A ．45y x =B ．54y x =C ．34y x =D ．43y x =26．（太仓市2022年）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，①x =1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧；④不等式4a +2b +c >0一定成立．则一定正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④27．（太仓市2021年）已知△ABC 中，AB=4，AC=3，当∠B 取得最大值时，BC 的长度为．28．（相城区2021年）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）A 5- B.2- C. 3 D. 529．（相城区2021年）若,()m n m n <是关于x 的方程()()310x a x b --=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A.m a b n <<<B.a m n b <<<C.a m b n <<<D. m a n b <<<（第28题）（第30题）30．（相城区2021年）如图，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M -分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y x=的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为. 31．（相城区2021年）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，顺次连接P 、M 、Q 、N ，则四边形PMQN 的面积的最大值.（第31题） 32．（高新区2021年）如图1，在平行四边形ABCD 中，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，则线段AP ，AD 与平行四边形的边所围成的图形面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图像大致如图2，则AB 边上的高是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 33．（高新区2021年）如图，菱形ABCD 放置在直线l 上(AB 与直线l 重合)，AB ＝4，∠DAB ＝60°，将菱形ABCD 沿直线l 向右无滑动地在直线l 上滚动，从点A 离开出发点到点A 第一次落在直线l 上为止，点A 运动经过的路径总长度为( )A 163πB ．163π；C ．4433ππD ．8833ππ 第32题图 O 图2 xy 5 11 24 B图1 A C34．（高新区2021年）如图，已知点A 是双曲线1y x=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=(k ＜0)上运动，则k 的值是． 35．（高新区2021年）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是．36．（高新区2021年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(6，0)，(7，3)，将平行四边形OABC 绕点O 逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC 的延长线上时，线段OA ′交BC 于点E ，则线段C′E 的长度为．（第37题）37.（2021年常熟）如图，在四边形ABCD 中，90,60ADC BAD ∠=︒∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，且4AB AC ==，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，连接DE 、EF 、DF ，则DF 的长为.38. （2021年常熟）如图，在ABC ∆中，90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则12BD AD +的最小值是. 39．（2021年吴中）如图，二次函数213222y x x =--+象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是。

20XX 年中考数学《填空压轴题》专题练习（1）1. （20XX 年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 .（第1题）（第2题） 2. （20XX 年广东深圳3分）如图，已知点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，作Rt ABC ∆，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若B C E ∆的面积为8，则k = .3. （20XX 年广东汕尾5分）（20XX 年广东梅州3分）若()()121212121a b n n n n =+-+-+，,对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：11111335571921m =+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ ..4. （20XX 年广东广州3分）如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 .（第4题）（第6题）（第7题）5. （20XX 年广东佛山3分）各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有 个.6. （20XX 年陕西3分）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB =45°．若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是 ．7. （20XX 年浙江衢州4分）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是 .【 8. （20XX 年浙江绍兴5分）（20XX 年浙江义乌4分） 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.（第8题）（第9题）9. （20XX 年浙江台州5分）如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为 。

专题01代数式的求值问题例1．观察下列等式：1＝2＝3＝4＝5＝6＝64,…,根据这个规律，则1)＋2\S\UP6(2)＋2\S\UP6(3)＋2\S\UP6(4)＋…＋2\S\UP6(2017的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．6同类题型1.1计算：1＝2＝3＝4＝5＝31,…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测2016的个位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．5同类题型1.2观察下列算式1＝2＝3＝4＝5＝6＝7＝2187…根据上述算式中的规律，你认为2018的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1例2．下列定义一种关于n的运算：①当n是奇数时，结果为3n＋5②n为偶数时结果是n2\S\UP6(k)(其中k是使n2\S\UP6(k)是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝26，则…，若n＝449,则第449次运算结果是（）A．1 B．2 C．7 D．8同类题型2.1定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5;②当n为偶数时，结果为n2\S\UP6(k) (其中k是使n2\S\UP6(k)为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，那么当n＝26时，第2016次“F运算”的结果是________．同类题型2.2对于任意正整数n，定义"n!!"如下：当n是偶数时,n!!＝n﹒(n－2)﹒(n－4)…6﹒4﹒2,当n是奇数时,n!!＝n﹒(n－2)﹒(n－4)…5﹒3﹒1,且有n!＝n﹒(n－1)﹒(n－2)…3﹒2﹒1则有四个命题：①(2015!!)﹒(2016!!)＝2016!②2016!!＝2018③2015!!的个位数是5④2014!!的个位数是0其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3．一列数123满足条件：1＝12n＝1n－1且n为整数），则2017等于（）A．－1 B．12C．1 D．2同类题型 3.1一列数123满足条件：1＝12n＝1n－1且n为整数），则1)＋a\S\DO(2)＋a\S\DO(3)＋…＋a\S\DO(2017＝________．同类题型3.2 1、2、3、20是20个由1,0,－1组成的数，且满足下列两个等式：①1)＋x\S\DO(2)＋x\S\DO(3)＋…＋x\S\DO(20＝4，②(\l(x\S\DO(1)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(2)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(3)－1))\S\UP6(2)＋…＋\b\bc\((\l(x\S\DO(20)－1))\S\UP6(2＝32，则这列数中1的个数为（）A．8 B．10 C．12 D．14例4．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC,BC边2等分1),E\S\DO(1是其分点，连接1)BD\S\DO(1交于点1得到四边形1)F\S\DO(1)E\S\DO(1其面积1＝13．如图2，分别将AC,BC边3等分1),D\S\DO(2),E\S\DO(1),E\S\DO(2是其分点，连接2)BD\S\DO(2交于点2得到四边形2)F\S\DO(2)E\S\DO(2其面积2＝16如图3，分别将AC,BC边4等分1),D\S\DO(2),D\S\DO(3),E\S\DO(1),E\S\DO(2),E\S\DO(3是其分点，连接3)BD\S\DO(3交于点3得到四边形3)F\S\DO(3)E\S\DO(3其面积3＝110…按照这个规律进行下去，若分别将AC,BC边(n＋1)等分，…，得到四边形n)F\S\DO(n)E\S\DO(n其面积n ＝________．同类题型4.1庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝112)3)n．4.2图图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,过点C作1于点1再过点1作1)C\S\DO(2于点2又过点2作2)C\S\DO(3于点3如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成1、1)C\S\DO(2、1)C\S\DO(2)C\S\DO(3、2)C\S\DO(3)C\S\DO(4、…、n－2)C\S\DO(n－1)C\S\DO(n、…．假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________________________________．同类题型4.2 如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．例5．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．aa＋b B．ba＋b C．ha＋b D．ha＋h例5图 5.1图同类题型5.1如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为________．（瓶底的厚度不计）同类题型5.2一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a千米/时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度为b千米/时（b＞a），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是（）A．第一次往返航行用的时间少B．第二次往返航行用的时间少C．两种情况所用时间相等D．以上均有可能例6．若1x＝3，求2)x\S\UP6(4)＋x\S\UP6(2)＋1的值是（）A．18 B．110 C．12 D．14同类题型6.1 已知a，b，c满足|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2＝2＋2ac，则a－b＋c的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8同类题型6.2已知a，b，c满足ab－ca＋c5，则a＋c2a＋b的值为（）A．12 B．34 C．1 D．2参考答案例1．观察下列等式：1＝2＝3＝4＝5＝6＝64,…,根据这个规律，则1)＋2\S\UP6(2)＋2\S\UP6(3)＋2\S\UP6(4)＋…＋2\S\UP6(2017的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．6解：∵1＝2＝3＝4＝5＝6＝64,…,∴2017÷4＝504…1,∵(2＋4＋8＋6)×504的末尾数字是0,∴1)＋2\S\UP6(2)＋2\S\UP6(3)＋2\S\UP6(4)＋…＋2\S\UP6(2017的末位数字是2，选B．同类题型1.1计算：1＝2＝3＝4＝5＝31,…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测2016的个位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．5解：∵1＝2＝3＝4＝15，5＝6＝7＝8＝255…∴由此可以猜测个位数字以4为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环，知道2016除以4为504,而第4个数字为5，所以可以猜测2016的个位数字是5．选D．同类题型1.2观察下列算式1＝2＝3＝4＝5＝6＝7＝2187…根据上述算式中的规律，你认为2018的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1解：以3为底的幂的末位数字是3,9,7,1依次循环的，2018÷4＝504…2,所以2018的个位数字是9，选B．例2．下列定义一种关于n的运算：①当n是奇数时，结果为3n＋5②n为偶数时结果是n2\S\UP6(k)(其中k是使n2\S\UP6(k)是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝26，则…，若n＝449,则第449次运算结果是（）A．1 B．2 C．7 D．8解：第一次：3×449＋5＝1352,第二次：1352k根据题意k＝3时结果为169;第三次：3×169＋5＝512,第四次：因为512是2的9次方，所以k＝9，计算结果是1；第五次：1×3＋5＝8；第六次：8k因为8是2的3次方，所以k＝3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为449是奇数，所以第449次运算结果是8．选D．同类题型2.1定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5;②当n为偶数时，结果为n2\S\UP6(k) (其中k是使n2\S\UP6(k)为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，那么当n＝26时，第2016次“F运算”的结果是________．解：根据题意，得当n＝26时，第1次的计算结果是262＝13，第2次的计算结果是13×3＋5＝44，第3次的计算结果是442\S\UP6(2)＝11，第4次的计算结果是11×3＋5＝38，第5次的计算结果是382＝19，第6次的计算结果是19×3＋5＝62，第7次的计算结果是622＝31，第8次的计算结果是31×3＋5＝98，第9次的计算结果是982＝49，第10次的计算结果是49×3＋5＝152,第11次的计算结果是1522\S\UP6(3)＝19，以下每6次运算一循环，∵(2016－4)÷6＝335…2,∴第2016次“F运算”的结果与第6次的计算结果相同，为62，故答案为：62．同类题型2.2对于任意正整数n，定义"n!!"如下：当n是偶数时,n!!＝n﹒(n－2)﹒(n－4)…6﹒4﹒2,当n是奇数时,n!!＝n﹒(n－2)﹒(n－4)…5﹒3﹒1,且有n!＝n﹒(n－1)﹒(n－2)…3﹒2﹒1则有四个命题：①(2015!!)﹒(2016!!)＝2016!②2016!!＝2018③2015!!的个位数是5④2014!!的个位数是0其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意，依次分析四个命题可得：对于①,(2015!!)﹒(2016!!)＝(2﹒4﹒6﹒8…2008﹒2010﹒2012﹒2014﹒2016)﹒(1﹒3﹒5﹒7…2009﹒2011﹒2013﹒2015)＝1﹒2﹒3﹒4﹒5…﹒2012﹒2013﹒2014﹒2015﹒2016＝2016!,故①正确；对于②,2016!!＝2﹒4﹒6﹒8﹒10…2008﹒2010﹒2012﹒2014﹒2016＝1008)(1﹒2﹒3﹒4…1008＝1008故②正确；对于③,2015!＝2015×2011×2009×…×3×1,其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确；对于④,2014!!＝2﹒4﹒6﹒8…2008﹒2010﹒2012﹒2014,其中含有10，故个位数字为0，故正确；选D．例3．一列数123满足条件：1＝12n＝1n－1且n为整数），则2017等于（）A．－1 B．12C．1 D．2解：∵1＝12n＝1n－1∴2＝11－a\S\DO(1)＝112＝2，3＝11－a\S\DO(2)＝11－2＝－1，4＝11－a\S\DO(3)＝11－(－1)＝12…∴这列数每3个数为一循环周期，∵2017÷3＝672…1,∴2017＝1＝12选B．同类题型 3.1一列数123满足条件：1＝12n＝1n－1且n为整数），则1)＋a\S\DO(2)＋a\S\DO(3)＋…＋a\S\DO(2017＝________．解：∵1＝12n＝1n－1∴2＝11－a\S\DO(1)＝112＝2，3＝11－a\S\DO(2)＝11－2＝－1，4＝11－a\S\DO(3)＝11－(－1)＝12…∴这列数每3个数为一循环周期，∵2017÷3＝672…1,∴2017＝1＝12又∵1)＋a\S\DO(2)＋a\S\DO(3＝12＝32∴1)＋a\S\DO(2)＋a\S\DO(3)＋…＋a\S\DO(2017＝312＝12．答案为12．同类题型3.2 1、2、3、20是20个由1,0,－1组成的数，且满足下列两个等式：①1)＋x\S\DO(2)＋x\S\DO(3)＋…＋x\S\DO(20＝4，②(\l(x\S\DO(1)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(2)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(3)－1))\S\UP6(2)＋…＋\b\bc\((\l(x\S\DO(20)－1))\S\UP6(2＝32，则这列数中1的个数为（）A．8 B．10 C．12 D．14解：∵1、2、3、20是20个由1,0,－1组成的数，且满足下列两个等式：①1)＋x\S\DO(2)＋x\S\DO(3)＋…＋x\S\DO(20＝4，②(\l(x\S\DO(1)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(2)－1))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(x\S\DO(3)－1))\S\UP6(2)＋…＋\b\bc\((\l(x\S\DO(20)－1))\S\UP6(2＝32，∴－1的个数有8个，则1的个数有12个．故选C．例4．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC,BC边2等分1),E\S\DO(1是其分点，连接1)BD\S\DO(1交于点1得到四边形1)F\S\DO(1)E\S\DO(1其面积1＝13．如图2，分别将AC,BC边3等分1),D\S\DO(2),E\S\DO(1),E\S\DO(2是其分点，连接2)BD\S\DO(2交于点2得到四边形2)F\S\DO(2)E\S\DO(2其面积2＝16如图3，分别将AC,BC边4等分1),D\S\DO(2),D\S\DO(3),E\S\DO(1),E\S\DO(2),E\S\DO(3是其分点，连接3)BD\S\DO(3交于点3得到四边形3)F\S\DO(3)E\S\DO(3其面积3＝110…按照这个规律进行下去，若分别将AC,BC边(n＋1)等分，…，得到四边形n)F\S\DO(n)E\S\DO(n其面积n ＝________．解：如图所示，连接12)E\S\DO(23∵图1中1),E\S\DO(1是△ABC两边的中点，∴1)∥ABD\S\DO(1)E\S\DO(1＝12∴1)E\S\DO(1且1)E\S\DO(1)BF\S\DO(1)＝1)E\S\DO(1)AB＝12∴△CD1E1＝14)S\S\DO(△ABC＝14∵1是BC的中点，∴△BD1E1＝△CD1E1＝14∴△D1E1F1＝13)S\S\DO(△BD1E1＝114＝112∴1＝△CD1E1)＋S\S\DO(△D1E1F1＝1112＝13同理可得：图2中2＝△CD2E2)＋S\S\DO(△D2E2F2＝1118＝16图3中3＝△CD3E3)＋S\S\DO(△D3E3F3＝1380＝110以此类推，将AC,BC边(n＋1)等分，得到四边形n)E\S\DO(n)F\S\DO(n其面积n＝1n＋1)\S\UP6(2)n＋1)\S\UP6(2)1＋n＋1＝2n＋1)(n＋2答案为2(n+1)(n+2)．同类题型4.1庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝112)3)n．图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,过点C作1于点1再过点1作1)C\S\DO(2于点2又过点2作2)C\S\DO(3于点3如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成1、1)C\S\DO(2、1)C\S\DO(2)C\S\DO(3、2)C\S\DO(3)C\S\DO(4、…、n－2)C\S\DO(n－1)C\S\DO(n、…．假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________．解：如图2，∵AC＝2,∠B＝1∴1中1＝30°,且BC＝3∴1＝12＝1＝3)AC\S\DO(1＝3∴△ACC1＝12)﹒AC\S\DO(1)﹒CC\S\DO(1＝13＝32∵1)C\S\DO(2∴1)C\S\DO(2＝1＝30°,∴2＝12)CC\S\DO(1＝321＝3)CC\S\DO(2＝32∴△CC)\S\DO(1)C\S\DO(2＝12)﹒CC\S\DO(2)﹒C\S\DO(1)C\S\DO(2＝1\R(332＝334同理可得，△C)\S\DO(1)C\S\DO(2)C\S\DO(3＝3(\l(\F(32△C)\S\DO(2)C\S\DO(3)C\S\DO(4＝3(\l(\F(33…∴△C)\S\DO(n－2)C\S\DO(n－1)C\S\DO(n＝3(\l(\F(3n－1又∵△ABC＝12＝13＝3∴3＝3\R(33\R(3(\l(\F(323(\l(\F(333(\l(\F(3n－1∴3＝3\l(1＋\F(3(\l(\F(323n－1n)＋…．答案为3＝3\l(1+\F(3(\l(\F(323n-1n)+…．同类题型4.2 如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为1第二个小三角形的面积为2∵1＝14＝122＝114＝143＝16∴n＝12\S\UP6(2n)＝12n)2＝12n－1答案为12\S\UP6(2n－1)．例5．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．aa＋b B．ba＋b C．ha＋b D．ha＋h解：设规则瓶体部分的底面积为S平方厘米．倒立放置时，空余部分的体积为bS立方厘米，正立放置时，有墨水部分的体积是aS立方厘米，因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的asas＋bs＝aa＋b．选A．同类题型5.1如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为________．（瓶底的厚度不计）解：设瓶的底面积为2，则左图V水＝12S cm3，右图V空＝10S cm3，∵V瓶＝V水＋V空＝22S cm3，∴V水：V瓶＝6：11．故答案为611．同类题型5.2一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a千米/时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度为b千米/时（b＞a），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是（）A．第一次往返航行用的时间少B．第二次往返航行用的时间少C．两种情况所用时间相等D．以上均有可能解：设两次航行的路程都为S，静水速度设为v，第一次所用时间为：SS2vS2)－a\S\UP6(2第二次所用时间为：SS2vS2)－b\S\UP6(2∵b＞a，∴2)＞a\S\UP6(2，∴2)－b\S\UP6(2)＜v\S\UP6(2)－a\S\UP6(2∴2vS2)－b\S\UP6(2)2)－a\S\UP6(2∴第一次的时间要短些．选A．例6．若1x＝3，求2)x\S\UP6(4)＋x\S\UP6(2)＋1的值是（）A．18 B．110 C．12 D．14解：∵1x＝3，∴1x)）\S\UP6(2＝9，即1x\S\UP6(2)＝9－2＝7，∴4)＋x\S\UP6(22))＝x\S\UP6(22＝7＋1＝8，∴24)＋x\S\UP6(2)＋18．选A．同类题型6.1 已知a，b，c满足|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2＝2＋2ac，则a－b＋c的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8解：∵已知a，b，c满足|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2＝2＋2ac，∴|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2－2ac＝2，…①且(a－3)b\S\UP6(2)必有意义，又∵2≥0，∴a－3≥0①当a－3＞0时，|2a－4|＞2，有|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2－2ac＞2，则这与①式相矛盾，即a－3＞0不成立；②当a－3＝0时，a＝3，则|2a－4|＋|b＋2|(a－3)b\S\UP6(2))＋a\S\UP6(2)＋c\S\UP6(2－2ac＝2＋|b＋2|2＝2，|b＋2|2＝0，又∵|b＋2|≥0，2≥0，∴必有b＋2＝0，c－3＝0即：b＝－2，c＝3∴a－b＋c＝3－（－2）＋3＝8选D．同类题型6.2已知a，b，c满足ab－ca＋c5，则a＋c2a＋b的值为（）A．12 B．34 C．1 D．2解：设ab－ca＋c5＝k，则a＝2k①，b－c＝3k②，a＋c＝5k③．①＋②＋③得：2a＋b＝10k．∴a＋c5k12．选A．专题02方程、不等式中的含参问题例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则x＋y＋zx－y＋z＝________．同类题型1.2 方程组4x＋3m＝28x－3y＝m)的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．910 B．109 C．1910 D．1019例2．关于x的方程2＋mx－9＝0和2)－3x＋m\S\UP6(2＋6m＝0有公共根，则m的值为________．同类题型2.1 已知a是一元二次方程2－2018x＋1＝0的一个根，则代数式2018a\S\UP6(2)＋1的值是___．同类题型2.2 已知关于x的方程2)－1）x\S\UP6(2＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．同类题型2.3 已知α、β是方程2－2x－4＝0的两个实数根，则3＋8β＋6的值为（）A．－1B．2C．22D．30例3．已知方程11a的两根分别为a，1a，则方程11a－1的根是（）A．a，1a－1 B．1a－1，a－1C．1a，a－1D．a，aa－1同类题型3.1 若关于x的方程2x－bx－1＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．同类题型3.2 观察分析下列方程：①2x＝3；②6x＝5；③12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程2)＋nx－4＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是_________________．同类题型3.3 已知关于x的方程2a＋13a x－1)(x＋2只有整数解，则整数a的值为_____________．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x ≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5D．1.5＜x＜2同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是52，那么关于x的不等式（b－a）x＋a ＋2b≤0的解集是____________．同类题型4.4 若关于x的不等式组\F(x＋4x2x－a＜0解集为x＜2，则a的取值范围是___________．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．参考答案例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．解：由题意可得3a＋2b＋c＝52a＋b－3c＝1m＝3a＋b－7c，解得7﹒(m＋2)3－3，11﹒(m＋2)3，m＋23，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴157．所以m_(最小值)＝57．故本题答案为：－57．同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则x＋y＋zx－y＋z＝________．解：由题意得：x＋2y－3z＝0①2x＋3y＋5z＝0②)，①×2－②得y＝11z，代入①得x＝－19z，原式x＋y＋z－19z＋11z＋z729．同类题型1.2 方程组4x＋3m＝28x－3y＝m)的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．910 B．109 C．1910 D．1019解：4x＋3m＝2①8x－3y＝m②)由①得2－3m4，代入②得，2－3m4－3y＝m，4－7m3．∵x＞y，即2－3m4－7m3，解得1019．选D．例2．关于x的方程2＋mx－9＝0和2)－3x＋m\S\UP6(2＋6m＝0有公共根，则m的值为________．解：设这个公共根为α．则方程2＋mx－9＝0的两根为α、－m－α；方程2)－3x＋m\S\UP6(2＋6m＝0的两根为α、3－α，由根与系数的关系有：α（－m－α）＝－9，2＋6m，整理得，2＋mα＝9①，2)－3α＋m\S\UP6(2＋6m＝0②，②－①得，2＋6m－3α－mα＝－9，即2－α（m＋3）＝0，（m＋3）（m＋3－α）＝0，所以m＋3＝0或m＋3－α＝0，解得m＝－3或α＝m＋3，把α＝m＋3代入①得，2＋m（m＋3）＝9，2)＋6m＋9＋m\S\UP6(2＋3m＝9，m（2m＋9）＝0，所以m＝0或2m＋9＝0，解得m＝0或m＝－4.5，综上所述，m的值为－3，0，－4.5．同类题型2.1 已知a是一元二次方程2－2018x＋1＝0的一个根，则代数式2018a\S\UP6(2)＋1的值是___．解：由题意，把根a代入2－2018x＋1＝0，可得：2－2018a＋1＝0，∴2－2017a－a＋1＝0，2＋1＝2018a；∴2－2017a＝a－1，∴20182)＋11a－122018a a－1＝2018－1，＝2017．同类题型2.2 已知关于x的方程2)－1）x\S\UP6(2＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．解：由题意知，k≠±1，2)－4（k\S\UP6(2－1）＝5－4k＞0∴54且k≠±1．同类题型2.3 已知α、β是方程2－2x－4＝0的两个实数根，则3＋8β＋6的值为（）A．－1 B．2 C．22 D．30解：∵α、β是方程2－2x－4＝0的两个实数根，∴α＋β＝2，2－2α－4＝0，∴2＝2α＋4∴3)＋8β＋6＝α﹒α\S\UP6(2＋8β＋6＝α﹒（2α＋4）＋8β＋62＋4α＋8β＋6＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6＝8α＋8β＋14＝8（α＋β）＋14＝30，故选D．例3．已知方程11a的两根分别为a，1a，则方程11a－1的根是（）A．a，1a－1 B．1a－1，a－1 C．1a，a－1 D．a，aa－1解：方程11a－1可以写成11a－1的形式，∵方程11a的两根分别为a，1a，∴方程11a－1的两根的关系式为x－1＝a－1，1a－1，即方程的根为x＝a或aa－1，∴方程11a－1的根是a，aa－1．选D．同类题型3.1 若关于x的方程2x－bx－1＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．解：去分母得，2x－b＝3x－3∴x＝3－b∵x≥0∴3－b≥0解得，b≤3又∵x－1≠0∴x≠1即3－b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．同类题型3.2 观察分析下列方程：①2x＝3；②6x＝5；③12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程2)＋nx－4＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是_________________．解：1×2x＝3，解得：x＝2或x＝1；2×3x＝5，解得：x＝2或x＝3；3×4x＝7，解得：x＝3或x＝4，得到规律mnx＝m＋n的解为：x＝m或x＝n，所求方程整理得：n(n＋1)x－4＝2n＋1，根据规律得：x－4＝n或x－4＝n＋1，解得：x＝n＋4或x＝n＋5．同类题型3.3 已知关于x的方程2a＋13a x－1)(x＋2只有整数解，则整数a的值为_____________．解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得：2（x＋2）－（a＋1）（x－1）＝3a，解得：2a－531－a，∵方程只有整数解，∴1－a＝3或1或－3或－1，当1－a＝3，即a＝－2时，x＝－2－1＝－3，检验，将x＝－3代入（x－1）（x＋2）＝4≠0，故x＝－3是原分式方程的解；当1－a＝1，即a＝0时，x＝－2－3＝－5，检验，将x＝－5代入（x－1）（x＋2）＝18≠0，故x＝－7是原分式方程的解；当1－a＝－3，即a＝4时，x＝－2＋1＝－1，检验，将x＝－1代入（x－1）（x＋2）＝－2≠0，故x＝－1是原分式方程的解；当1－a＝－1，即a＝2时，x＝1，检验，将x＝1代入（x－1）（x＋2）＝0，故x＝1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：－2，0或4．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．解：①当x＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x]＝－3，不相等，故原来的说法错误；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1是正确的；③当－1＜x＜0时，[1＋x]＋[1－x]＝0＋1＝1；当x＝0时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋1＝2；当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋0＝1；故当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2是正确的；④x－[x]的范围为0～1，4x－2[x]＋5＝0，－5≤2x＜－7，即－2.5≤x＜－3.5，x＝－2.75或x＝－3.25都是方程4x－2[x]＋5＝0，故原来的说法错误．故答案为：②③．同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x ≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2解：根据题意得：x＞0，若x≥2，则2x≥4，[x]≥2，3{x}≥6，4（x）≥8，不等式不成立．故只需分析0＜x＜2时的情形即可，①0＜x≤0.5时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x≤5.5，不符合不等式；②当0.5＜x≤1时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x≤3，因此0.5＜x≤1，符合不等式；③当1＜x＜1.5时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x≤1.5，因此1＜x＜1.5，符合不等式；④当1.5＜x＜2时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x≤－0.5，不符合不等式．故原不等式的解集为：0.5＜x＜1.5．故选C．同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．解：①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7）＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确；③4[x]＋3（x）＋[x）＝11，7[x]＋3＋[x）＝11，7[x]＋[x）＝8，1＜x＜1.5，故③正确；④∵－1＜x＜1时，∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1，当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1，当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，∵y＝4x，则x－1＝4x时，得13；x＋1＝4x时，得13；当x＝0时，y＝4x＝0，∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是52，那么关于x的不等式（b－a）x＋a ＋2b≤0的解集是____________．解：∵关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是52，∴b－2aa＋b，∴b－2a52，且a＋b＜0，即b＝－3a，a＋b＜0，∴a－3a＜0，即a＞0，∴b－a＝－4a＜0，∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是－a－2bb－a，∵－a－2b－a＋6a54，∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是54．同类题型4.4 若关于x的不等式组\F(x＋4x2x－a＜0解集为x＜2，则a的取值范围是___________．解：由x＋4x2＋1，得2x＋8＞3x＋6，解得x＜2，由x－a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组\F(x＋4x2x－a＜0解集为x＜2，所以a≥2．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．解：∵最后输出的数为656，∴5x＋1＝656，得：x＝131＞0，∴5x＋1＝131，得：x＝26＞0，∴5x＋1＝26，得：x＝5＞0，∴5x＋1＝5，得：x＝0.8＞0；∴5x＋1＝0.8，得：x＝－0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．专题03函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：3\R(33与x轴交于点1，以1为边长作等边三角形1)OB\S\DO(1，过点1作1)B\S\DO(2平行于x轴，交直线l于点2，以1)B\S\DO(2为边长作等边三角形2)A\S\DO(1)B\S\DO(2，过点2作2)B\S\DO(3平行于x轴，交直线l于点3，以2)B\S\DO(3为边长作等边三角形3)A\S\DO(2)B\S\DO(3，…，则点2017的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点1，在x轴正方向上取点1，使1)＝OA\S\DO(1；过点1作2)B\S\DO(1⊥x轴，交l于点2，在x轴正方向上取点2，使1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2；过点2作3)B\S\DO(2⊥x轴，交l于点3，在x轴正方向上取点3，使2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3；…记1)B\S\DO(1面积为1，1)A\S\DO(2)B\S\DO(2面积为2，2)A\S\DO(3)B\S\DO(3面积为3，…则2017等于（）A．4030 B．4031 C．4032 D．4033同类题型1.2 如图，已知直线l：33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点1；过点1作y轴的垂线交直线l于点1，过点1作直线l的垂线交y轴于点2；…；按此作法继续下去，则点4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作1⊥AB 交x轴于点1，过点1作1)A\S\DO(1⊥x轴交直线l于点2…依次作下去，则点n的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离1、2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个同类题型2.2 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟74h到达B地；（4）乙车行驶94小时或194小时，两车恰好相距50km．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3．如图，已知动点P在函数12x（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝－x＋1交于点E，F，则AF﹒BE的值为（）A．4B．2C．1D．12同类题型3.1 如图，在反比例函数32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数kx的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为（）A．－3B．－6C．－9D．－12同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°，若函数6x（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．2同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数1x和9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交1x的图象于点C，连结A C．若△ABC是等腰三角形，则k的值是___________．例4．如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数kx的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数kx图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM．若△ACM)＝S\S\DO(△ABN，则APAN的值为__________．同类题型4.1 当12≤x≤2时，函数y＝－2x＋b的图象上至少有一点在函数1x的图象下方，则b的取值范围为（）A．2 B．92 C．b＜3D．92同类题型4.2 方程2＋3x－1＝0的根可视为函数y＝x＋3的图象与函数1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程2＋2x－1＝0的实数根0所在的范围是（）A．0＜0 B．0＜1 C．0＜2 D．0＜3例5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2)＋2mx－m\S\UP6(2－m＋1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，则m＝__________．同类题型5.1 已知抛物线14)x\S\UP6(2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为3，3），P是抛物线14)x\S\UP6(2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6同类题型5.2 抛物线2＋bx＋3（a≠0）经过点A（－1，0），32，0），且与y轴相交于点C．设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为__________cm．参考答案例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：3\R(33与x轴交于点1，以1为边长作等边三角形1)OB\S\DO(1，过点1作1)B\S\DO(2平行于x轴，交直线l于点2，以1)B\S\DO(2为边长作等边三角形2)A\S\DO(1)B\S\DO(2，过点2作2)B\S\DO(3平行于x轴，交直线l于点3，以2)B\S\DO(3为边长作等边三角形3)A\S\DO(2)B\S\DO(3，…，则点2017的横坐标是____________．解：由直线l：3\R(33与x轴交于点1，可得1（1，0），D（0，33），∴1＝1，1D＝30°，如图所示，过1作1)A⊥OB\S\DO(1于A，则112，即1的横坐标为12\S\UP6(12，由题可得1)B\S\DO(2)B\S\DO(1)＝∠OB\S\DO(1D＝30°，2)A\S\DO(1)B\S\DO(1)＝∠A\S\DO(1)B\S\DO(1O ＝60°，∴1)B\S\DO(1)B\S\DO(2＝90°，∴1)B\S\DO(2)＝2A\S\DO(1)B\S\DO(1＝2，过2作2)B⊥A\S\DO(1)B\S\DO(2于B，则12)A\S\DO(1)B\S\DO(2＝1，即2的横坐标为132\S\UP6(22，过3作3)C⊥A\S\DO(2)B\S\DO(3于C，同理可得，2)B\S\DO(3)＝2A\S\DO(2)B\S\DO(2＝4，12)A\S\DO(2)B\S\DO(3＝2，即3的横坐标为172\S\UP6(32，同理可得，4的横坐标为1152\S\UP6(42，由此可得，n的横坐标为n)－12，∴点2017的横坐标是2017)－12．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点1，在x轴正方向上取点1，使1)＝OA\S\DO(1；过点1作2)B\S\DO(1⊥x轴，交l于点2，在x轴正方向上取点2，使1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2；过点2作3)B\S\DO(2⊥x轴，交l于点3，在x轴正方向上取点3，使2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3；…记1)B\S\DO(1面积为1，1)A\S\DO(2)B\S\DO(2面积为2，2)A\S\DO(3)B\S\DO(3面积为3，…则2017等于（）A．4030 B．4031 C．4032 D．4033解：∵1)＝OA\S\DO(1；过点1作2)B\S\DO(1⊥x轴，1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2)；A\S\DO(3)B\S\DO(2⊥x轴，2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3；…∴1)B\S\DO(1，1)A\S\DO(2)B\S\DO(2，2)A\S\DO(3)B\S\DO(3是等腰直角三角形，∵y＝x＋1交y轴于点1，∴1（0，1），∴1（1，0），∴1)＝OA\S\DO(1＝1，∴112，同理112，112；…∴12)×2\S\UP6(2n－2)＝2\S\UP6(2n－3，∴2017)＝2\S\UP6(2×2017－3)＝2\S\UP6(4031，选B．同类题型1.2 如图，已知直线l：33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点1；过点1作y轴的垂线交直线l于点1，过点1作直线l的垂线交y轴于点2；…；按此作法继续下去，则点4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）解：∵直线l的解析式为33x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴3，∵1B⊥l，∴1＝60°，∴1O＝4，∴1（0，4），同理可得2（0，16），…∴4纵坐标为4＝256，∴4（0，256）．选B．同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作1⊥AB 交x轴于点1，过点1作1)A\S\DO(1⊥x轴交直线l于点2…依次作下去，则点n的横坐标为____________．解：由直线l：33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，可得A（0，1），3，0），∴33，即∠ABO＝30°，∴BA＝2AO＝2，又∵1⊥AB交x轴于点1，AO＝1，∴23，∴1中，43；由题可得83，∴23，∴1)B\S\DO(2中，163；由题可得329，∴33，∴2)B\S\DO(3中，643，…以此类推，\F(4n3，又∵3，∴\F(4n3，∴点n的横坐标为4n3．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离1、2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．解：①450＋240＝690（千米）．故A、C之间的路程为690千米是正确的；②450÷5－240÷4＝90－60＝30（千米/小时）．故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；③690÷（450÷5＋240÷4）＝690÷（90＋60）＝690÷150＝4.6（小时）．故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；④（450－240）÷（450÷5－240÷4）＝210÷（90－60）＝210÷30＝7（小时），450÷5×7－450＝630－450＝180（千米）．故点E的坐标为（7，180）是正确的，故其中正确的有①②④．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个解：①由函数图象，得a＝120÷3＝40故①正确，②由题意，得5.5－3－120÷（40×2），＝2.5－1.5，＝1．∴甲车维修的时间为1小时；故②正确，③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）．∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达．∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3＝80，∴乙返回的时间为：240÷80＝3，∴F（8，0）．设BC的解析式为1)＝k\S\DO(1)t＋b\S\DO(1，EF的解析式为2)＝k\S\DO(2)t＋b\S\DO(2，由图象，得120＝4k\S\DO(1)＋b\S\DO(1)240＝5.5k\S\DO(1)＋b\S\DO(，))，240＝5k\S\DO(2)＋b\S\DO(2)0＝8k\S\DO(2)＋b\S\DO(2))解得k\S\DO(1)＝80b\S\DO(1)＝－200)，k\S\DO(2)＝－80b\S\DO(2)＝640)，∴1＝80t－200，2＝－80t＋640，当1)＝y\S\DO(2时，80t－200＝－80t＋640，t＝5.25．∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，故弄③正确，④当t＝3时，甲车行的路程为：120km，乙车行的路程为：80×（3－2）＝80km，∴两车相距的路程为：120－80＝40千米，故④正确，选A．同类题型2.2 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟74h到达B地；（4）乙车行驶94小时或194小时，两车恰好相距50km．。

九年级数学综合训练、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 如图，在平面直角坐标系中2条直线为11 : y=-3x+3 , 12：y=-3x+9,直线l i交x轴于点A,交y轴于点B,直线12交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交12于点C,点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a-b+c=0:②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5,其中正确的个数有（）A. 5B. 4C. 32. 如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如 A :ci r小表示a1=a2+a3，贝y a1的最小值为（）M是反比例函数y=??（x>0）的图象上位于直线上方的A. 32B. 36C. 38D. 403. 如图，直线y= v3x-6分别交x轴，y轴于A, B,一点，MC /x轴交AB于C, MD AMC交AB于D,AC?BD=4，则k 的值为（）A. -3B. -4C. -5D. -64.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45。

角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1, 0）,顶点A的坐标为（0, 2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C'的坐标为（）3A. (2,0)B. (2,0)5C. (2,0)D. (3,0)5.如图，在矩形ABCD中，AB v BC, E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°,点D的对应点为C,点A的对应点为F，过点E作ME丄AF交BC于点M , 连接AM、BD交于点N,现有下列结论：①AM=AD+MC;②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM ;④点N为△ABM的外心.其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a工0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2 倍,则称这样的方程为“倍根方程” •现有下列结论:①方程X2+2X-8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③ 若关于x 的方程ax 2-6ax+c=0（ a ^0是倍根方程，则抛物线y=ax 2-6ax+c 与x 轴的公共点的坐标是 （2, 0）和（4，0）；4④ 若点（m , n ）在反比例函数y=?的图象上，则关于 x 的方程mx 2+5x+ n=0是倍根方程.12. 如图，正方形 ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N .下列结论：①AF 丄BG ；4???? 31② BN =§NF ; 四边形CGNF=[S 四边形ANGD .其中正确的结论的序号是 __________ .13. 已知：如图，在 A AOB 中，ZAOB=90 ° AO=3cm ，BO=4cm .将A AOB 绕顶点 0,按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段 OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段 B 1D= __________ cm .7. 上述结论中正确的有（）A.①②B.③④C.②③D.②④如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，ZDAB=60 ° AB=DE ，则下列结论成立的个数是（ ①AB/DE :②EF /AD /BC ;③AF=CD :④四边形 ACDF 是平行 四边形；⑤六边形ABCDEF 既是中心对称图形， 又是轴对称图 形.A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，在Rt A ABC 中，/C=90 °以A ABC 的一边为边画等腰三角形,他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A. 4B. 5C. 6D. 79. 如图，矩形ABCD 延长线于点F ，且中，AE _LBD 于点E ，CF 平分ZBCD ，交EA 的 BC=4，CD=2，给出下列结论：① ZBAE=ZCAD ;②/DBC=30°③AE=4v5；④AF=2需，其中正确结论的个数有（A. 1个B. 2个C. 3个 二、填空题（本大题共 10小题，共30.0分）10. D. 4个如图，在Rt A ABC 中，ZBAC=30 °以直角边AB 为直径作半圆交 AC 于点D ， .（结果不取近似值）11. 延长ED 交BC 于点F , BC=2V 3，则图中阴影部分的面积为 1352斗23CS3 ah3如图，在6X 5的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、 每个小粗线宫中的数字不重复，则a>c= )使得它的第三个顶点在 △ABC 的其AB以AD 为边作等边A ADE ， D G CB14. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点 0重合，AF 仅轴，将正六边形 ABCDEF 绕原15.如图，在Rt ^ABC 中，BC=2 , /BAC=30 °斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动,下列结论：① 若C 、O 两点关于AB 对称，则OA=2霭; ② C 、O 两点距离的最大值为 4； ③ 若AB 平分CO ,贝U AB ±30;??④ 斜边AB 的中点D 运动路径的长为-?其中正确的是 _______ （把你认为正确结论的序号都填上）.16. ____________________________________________________________________ 如图，ZAOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点 P 是OA 上的一动点，点 N （ 3, 0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点，Z AOB=30° ,要使PM+PN 最小，则点 P 的坐标为 _________________________________________________ .17.在一条笔直的公路上有 A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从 A 地沿这条公路匀速驶向 C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向 A 地，在甲车 出发至甲车到达 C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （km ）与甲车行驶时间t （ h ）之间的函数关系如图所示.下列结论：①甲车出发2h 时,两车相遇；②乙车出发 1.5h 时，两车相距170km ;③乙车出发2寸人时，两车 相遇；④甲车到达 C 地时，两车相距40km .其中正确的是 ___________ （填写所 有正确结论的序号） OA=AB , ZOAB=90 °反比例函数y=??（x > 0）的图象经过A , B 两点•若18.如图，在平面直角坐标系中,点0顺时针旋转n 次，每次旋转60°当n=2017时，顶点A 的坐标为点A 的坐标为（n , 1），则19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A (-1, 1), B (0, -2), C ( 1, 0)，点P (0,2)绕点A旋转180。

九年级数学综合训练一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）yxlyxlxAyBl，交交+3，轴于点：=-3轴于点+9，：直线=-3，条直线为2如图，在平面直角坐标系中1.112lxDBxlCAEyyaxbxc2+，点=、直线轴的平行线交交于点轴于点轴对称，抛物线，过点关于作+22EBC三点，下列判断中：过、、abcabcxbcS=5，，+ =5；③抛物线关于直线①）；⑤-=1+；②2=0对称；④抛物线过点（+ABCD四边形其中正确的个数有（）A. B. C. D. 25 3 4个不同的正偶数按下图排列，箭头上如图，102.，方的每个数都等于其下方两数的和，如aaaa）表示 =的最小值为（+ ，则1123A. 32B. 36C. 38D. 40xBMyyxxyA）的图象上位于直线上方的（=是反比例函数-6分别交0轴，轴于＞，=如图，直线，3.BDDACABCMDMCABkMCx=4于，，轴交⊥于，则一点，的值为（）交∥?D.B.A.C.xOy45°角的直角三角板如图放置，直角中，将一块含有在平面直角坐标系4.BCA恰好落在第一），顶点0，的坐标为（1，0），顶点2顶点的坐标为（Ax恰好落在该象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点CC）′的坐标为（双曲线上时停止运动，则此时点的对应点D.A.B.C.ECDADEBCABCDABE顺时针如图，在矩形边的中点，将△中，＜为，绕点5.BCAFFEMEADC交，过点⊥的对应点为180°，点旋转作的对应点为，点NBDMAM，现有，连接、交于点于点下列结论：MCADAM +；①=BMAMDE②=；+CMDEAD2；?=③．NABM的外心．④点为△其中正确的个数为（）A. B. C. D. 4个3个2个 1个bxca2axx≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2+=0+（的一元二次方程规定：如果关于 6.倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：xx2-8=0是倍根方程；①方程+2xxaxa2=±3；的方程 +2=0+②若关于是倍根方程，则xaxaxcayaxaxcx22轴的公共点的坐标是（2≠0）是倍根方程，则抛物线③若关于+的方程=，-6与+（=0-60）和（4，0）；xmxxmnyn2=0）在反比例函数是倍根方程．+5=的图象上，则关于④若点（的方程，+上述结论中正确的有（）A.B.C.D.ABCDEFDABABDE，则下列结论成立的个数是（如图，六边形=的内角都相等，∠）=60°，7.ACDFBCAFCDDEABEFAD是；③；④四边形①∥∥；②=∥ABCDEF既是中心对称图形，又是轴平行四边形；⑤六边形对称图形．D. A. B. C. 54 3 2ABCCABCRtABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△△=90°，以△如图，在中，∠8.）的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（D. C. B. A. 76 5 4EABCDBDECFABCDAE的于点平分∠⊥，如图，矩形，交中， 9.CADBCCDBAEF；=4，=∠=2延长线于点，给出下列结论：①∠，且AFDBCAE）；④②∠=30°；③=2，其中正确结论的个数有（=D. C. B. A. 个3个个1 2个 4分）小题，共二、填空题（本大题共1030.0ADEADDBACRtABCABAC如图，为边作等边△△中，∠以直角边=30°，以为直径作半圆交于点，，在10.BCBCFED，则图中阴影部分的面积为______ ．（结果不取近似值）延长交于点，=2ac=每个小粗线宫中的数字不重复，则×至6的数字后，使每行、每列、如图，在6×6的网格内填入111.______ ．CGGDBGAEAFMNAFBGABCDBEEFFC，如图，正方形于=，．下列结论：①=2中，，⊥分别交=，； 2.1SBNSNF．其中正确的结论的序号是______②=；④==．；③ANGDCGNF四边形四边形AOBAOBAOcmBOcmAOBO，按顺时针方向旋已知：如图，在△，中，∠．将△=90°，=4=3绕顶点13.AOBOBABDABBDcm．处，此时线段的中点，则线段与= ______ 的交点恰好为转到△1111ABCDEFOAFxABCDEF绕重合，轴，将正六边形如图，边长为4的正六边形∥的中心与坐标原点14.OnnA的坐标为______．原点=2017顺时针旋转时，顶点次，每次旋转60°．当RtABCBCBACABOMON上的两个端点分别在相互垂直的射线中，，∠=2、如图，在=30°，斜边△15.滑动，下列结论：COABOA=2①若对称，则、；两点关于CO两点距离的最大值为4、；②ABCOABCO；③若平分⊥，则DAB运动路径的长为；④斜边的中点其中正确的是______（把你认为正确结论的序号都填上）．AOBOBxPOANOB上的一定点，0）是的边（与3轴正半轴重合，点，是上的一动点，点如图，∠16.MONAOBPMPNP的坐标为______点+是．的中点，∠=30°，要使最小，则点ABCCABA两地之间，甲车从三地，、、、在一条笔直的公路上有地位于17.ABC在甲车地沿这条公路匀速驶向地沿这条公路匀速驶向地，地，乙车从kmyCC）与甲地的过程中，甲、乙两车各自与出发至甲车到达（地的距离hht时，车行驶时间2（）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发hkmh时，两车；③乙车出发2两车相遇；②乙车出发1.5时，两车相距170kmC（填写所40______ 相遇；④甲车到达．其中正确的是地时，两车相距有正确结论的序号）．BxOABOAAByA如图，若两点．=（＞0）的图象经过反比例函数在平面直角坐标系中，=，∠=90°，，18.knA．），则点的坐标为（，1的值为______PBACABC，），点00，0-2），（（1如图，在平面直角坐标系中，△），的顶点坐标分别为（-1，1，（19.PPCBPAPP，旋转2）绕点旋转180°得到点，点180°得到点绕点旋转180°得到点，点绕点32211PAPP．______ ，…，按此作法进行下去，则点绕点点旋转180°得到点的坐标为201734答案和解析1.C【答案】【解析】解：∵直线l：y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，1∴A（1，0），B（0，3），∵点A、E关于y轴对称，∴E（-1，0）．∵直线l：y=-3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l于点C，22∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，把y=3代入y=-3x+9，得3=-3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．2+bx+c过E、By=ax、C三点，∵抛物线，解得，∴2+2x+3．-x ∴y=2+bx+c过E（-1，0①∵抛物线y=ax），∴a-b+c=0，故①正确；②∵a=-1，b=2，c=3，∴2a+b+c=-2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；）点，3，2（C，抛物线过c=3，b=2④∵．∴抛物线过点（b，c），故④正确；⑤∵直线l∥l，即AB∥CD，又BC∥AD，21∴四边形ABCD是平行四边形，∴S=BC?OB=2×3=6≠5，故⑤错误．ABCD四边形综上可知，正确的结论有3个．故选：C．根据直线l的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E1（-1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的2+2x+3，进而判断各选项即可．解析式为y=-x 本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．2.D【答案】【解析】解：∵a=a+a 312=a+a+a+a 6455=a+a+a+a+a+a+a+a 107988899=a+3（a+a）+a，10879∴要使a取得最小值，则a+a应尽可能的小，981取a=2、a=4，98∵a=a+a=6，985则a、a ，6中不能有107．若a=8、a=10，则a=10=a，不符合题意，舍去；107104若a=10、a=8，则a=12、a=4+8=12，不符合题意，舍去；61047若a=10、a=12，则a=10+2=12、a=4+12=16、a=12+6=18、a=6+16=22、a=18+22=40，13746210符合题意；综上，a的最小值为40，1故选：D．由a=a+3（a+a）+a知要使a取得最小值，则a+a应尽可能的小，取a=2、a=4，根据98199101878a=a+a=6，则a、a中不能有6，据此对于a、a，分别取8、10、12检验可得，从而得出89108775答案．本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a取得最小值的切入点是解题的关键．13.A【答案】【解析】F，作CF⊥x轴于点，过点解：过点D作DE⊥y轴于点ECx-6，代入y= 令x=0，∴y=-6 ∴B（0，-6），∴OB=6，，x-6y=令y=0代入∴x=2， 02∴（，），，∴OA=2∴勾股定理可知：， AB=4=AB==，cos∠O ∴sin∠OAB= 设M（x，y），∴CF=-y，ED=x，∴sin∠OAB=，，-y∴AC=∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC?BD=4，，- ∴y×2x=4∴xy=-3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=-3，故选（A）过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC?BD=4列出即可求出k的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．4.C【答案】【解析】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），y=，∴设反比例函数的解析式为y=，）代入（3，1将B∴k=3，∴y=，y=，∴把y=2代入∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上时，移动了个单位长度，A 此时点也移动了个单位长度，∴CC′的坐标为（，0的对应点）此时点C故选：C．过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求的对C的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出A出反比例函数的解析式，根据解析式与应点．本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5.B【答案】【解析】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，，∴AD=CF，AE=FE 又∵ME⊥AF， AF，∴ME垂直平分∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；，使得∠BAG=∠DAE，至G如图，延长CB AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，由可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BAM=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，=，由△ABG∽△ADE，可得BC=AD，而AB＜ DE，∴BG＜ DE+BM，∴BG+BM＜，即AM＜DE+BM∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，2=CM×CF，∴EC又∵EC=DE，AD=CF，2=AD?CM，故③正确；∴DE∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，，1BM∥AD∴当＜时，= 的中点，不是AM∴N 不是△ABM的外心，故④错误．∴点N 个，综上所述，正确的结论有2 故选：B．；根据AM=MC+AD根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出，即可得出AM=GM=BG+BM，再根据DE＜BG，即可得出BC＜AB△ABG∽△ADE，且．2=CM×CF，据此EC不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出AM=DE+BM2=AD?CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM可得DE的外心．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．6.C【答案】【解析】2-2x-8=0，得解：①由x（x-4）（x+2）=0，解得x=4，x=-2，21∵x≠2x，或x≠2x，12122-2x-8=0不是倍根方程．x ∴方程故①错误；2+ax+2=0是倍根方程， x②关于的方程x∴设x=2x，122=2，?x∴x=2x 112∴x=±1，1当x=1时，x=2，21当x=-1时，x=-2，21∴x+x=-a=±3，21∴a=±3，故②正确；2（a≠0）是倍根方程，-6ax+c=0ax的方程x③关于∴x=2x，122-6ax+c的对称轴是直线x=3，∵抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（∴抛物线y=ax4，0），故③正确；y=的图象上， m，n）在反比例函数④∵点（∴mn=4，2=-， =-解mx，+5x+n=0得xx21，∴x=4x122 +5x+n=0不是倍根方程；的方程∴关于xmx 故选：C．①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；2，于是得到结论；=-2x=-1时，x=2=1?x，得到②设x=2xx=2x=2，得到当x时，x，当212221111③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；2即可得，④若点（mn）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程+5x+n=0mx 到正确的结论；正确的理解倍根方程的定义是本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，解题的关键．7.D【答案】【解析】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，∵∠DAB=60°，∴∠DAF=60°，∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥EF∥CB，故②正确，∴∠FED+∠EDA=180°，∴∠EDA=∠ADC=60°，∴∠EDA=∠DAB，∴AB∥DE，故①正确，∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，是等腰梯形，，四边形BCDA∴四边形EFAD ，∴AF=DE，AB=CD ∵AB=DE，∴AF=CD，故③正确，．DB、、BEO交于点，连接DF、AC、AECF连接与AD ∵∠CDA=∠DAF，，∴AF∥CD，AF=CD 是平行四边形，故④正确，∴四边形AFDC AEDB同法可证四边形是平行四边形，互相平分，与，ADBE 与∴ADCF ，，OA=OD∴OF=OC，OE=OB ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，∴六边形．故选D中心的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，根据六边形ABCDEF 对称图形的定义一一判断即可．本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.D【答案】【解析】解：如图：故选：D．①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．9.C【答案】【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确； CD=2，∵BC=4，∴tan∠DBC=，= ∴∠DBC≠30°，故②错误；，∵BD==2，∵AB=CD=2，AD=BC=4 ∵△ABE∽△DBA，∴，，即；故③正确；∴AE= 平分∠BCD，∵CF ∴∠BCF=45°，∠ACB，∴∠ACF=45°- ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB， 2∠ACB，-∴∠EAC=90°．∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=2，，故④正确；∴AF=2．故选C根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到tan∠DBC==数的定义得到AE=BD==2，根据相似三角形的性质得到；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正确．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10.-π3 【答案】【解析】，G于点D作DG⊥AB，过解：如图所示：设半圆的圆心为O，连接DO N，于点D 过作DN⊥CB 中，∠BAC=30°，∵在Rt△ABC ∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，为边作等边△ADE，∵以AD ∴∠EAD=60°，∴∠EAB=60°+30°=90°，可得：AE∥BC，则△ADE∽△CDF，∴△CDF是等边三角形，∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2，，∠DOG=60°，∴AC=4，AB=6则AO=BO=3，DG=DO?sin60°=，故，，DC=AC-AD=则AD=3DN=DC?sin60°==，×故则S=S-S-S-S △DCF扇形△AODDOB阴影△ABC×××6=×2---×3×-π． =33故答案为：π． -根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC的长，进而利用S阴影=S-S-S-S求出答案．△DCF扇形△AODDOB△ABC此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，正确分割图形是解题关键．11.【答案】2【解析】解：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b 和c有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不确定，分两种情况：①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1和4，4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第三行，如下：观察上图可知：第五行缺少1和2，1不能在第1列，所以1在第五列，则2在第一列，即c=1，，如下：b=4所以．观察上图可知：第六列缺少1和2，1不能在第三行，则在第四行，所以2在第三行，如下：再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1不能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3和4，4不能在第三行，所以4在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第二列缺少5和6，5不能在第四行，所以5在第三行，则6在第四行，如下：观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：所以，a=2，c=1，ac=2；②当6在第一行，4在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2不能在第三列，所在第三列，如下：4列，2在第2以．观察上图可知：第三列缺少数字1和6，6不能在第五行，所以6在第三行，则1在第五行，所以c=4，b=1，如下：观察上图可知：第五列缺少数字3和6，6不能在第三行，所以6在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少数字1和2，2不能在第四行，所以2在第三行，则1在第四行，如下：观察上图可知：第三行缺少数字1和5，1和5都不能在第一列，所以此种情况不成立；综上所述：a=2，c=1，a×c=2；故答案为：2．粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或者一行、一列，再逐步的进行推算．12.【答案】①③【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，中，∵在△ABF和△BCG，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；中，，②∵在△BNF和△BCG=∴△BNF∽△BCG，，∴=；②错误；∴BN=NF ，BE=EF=CF=1，③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2AF==，AF?BN=AB?BF，=∵S △ABFBN=，∴BN=， NF=-NF=，∴AN=AF∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，NH=，BN∥EH，，∴EH=MN=∴AH=，，，解得：=MG=BG-BM=-MN=，，∴BM=BN =；③正确；∴④连接AG，FG，根据③中结论，NG=BG-BN=，则NF?NG=1+=S+SCG?CF+=∵S=，△GNF△CGNFCFG四边形AD?DG==+SAN?GN+， +=S=S△ADGANGD△ANG四边形≠S，④错误；∴S ANGDCGNF四边形四边形故答案为①③．①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S和S，即可解题．ANGD四边形四边形CGNF本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB==5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AOB处，11∴OB=OB=4cm，1∴BD=OB-OD=1.5cm．11故答案为1.5．先在直角△AOB中利用勾股定理求出再利用直角三角形斜边上的中线，=5cmAB=OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到等于斜边的一半得出OB=OB=4cm，那么1BD=OB-OD=1.5cm．11本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．14.2）2，【答案】（【解析】顺O解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点的坐标是一样的．次时点A时针旋转1 点重合．60°时，与原F当点A按顺时针旋转 H；F 作FH⊥x轴，垂足为，过点连接OF EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），由已知∴△OEF是等边三角形，∴OF=EF=4，），，2后点），即旋转2017A的坐标是（22∴F（2，2 ）．2，故答案是：（点所在的位所在的位置就是原AF顺时针旋转将正六边形ABCDEF绕原点O2017次时，点置．旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线-此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质的作法，注意数形结合思想的应用．15.①②③【答案】【解析】Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，解：在 =2，∴AB=4，AC=1，两点关于AB对称，如图①若C、O 的垂直平分线，∴AB是OC ；则OA=AC=2所以①正确；，、CEAB，取的中点为E，连接OE②如图1 ∵∠AOB=∠ACB=90°，AB=2，∴OE=CE= 最大，经过点E时，OC当OC ；O两点距离的最大值为4则C、所以②正确； OE=CE，，则③如图2，同理取AB的中点E CO，∵AB平分∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正确；为圆心，OD3④如图，斜边AB的中点运动路径是：以为半径的圆周的2，以=π．则：所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；故答案为：①②③．①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB⊥OC；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．16.，）【答案】（【解析】，OA于POAN关于的对称点N′，连接N′M交解：作最小，则此时，PM+PN NN′，∵OA垂直平分∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，的中点，是∵点MON ∴N′M⊥ON， 0），（∵点N3，∴ON=3，的中点，是∵点MON ∴OM=1.5，∴PM=，）．，∴P（，故答案为：（）．作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17.【答案】②③④【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5-1）=80（km/h），∵（240+200-60-170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；=2（h60+80）），）÷（③∵（240+200-602h∴乙车出发时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4-3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．18.【答案】【解析】，轴于C过B点作BC⊥yF解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于， G，如图所示：交AE于则AG⊥BC，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAG=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAB，，中，在△AOE和△BAG ），∴△AOE≌△BAG（AAS ∴OE=AG，AE=BG， 1），（∵点An，，∴AG=OE=n，BG=AE=1 1-n），，∴B（n+1 ），1-n）（n+1∴k=n×1=（．2+n-1=0，整理得：nn=（负值舍去），解得：∴n=，；∴k=故答案为：．作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE 于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，从而求得B （n+1，1-n），根据k=n×1=（n+1）（1-n）得出方程，解方程即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】（-2，0）【解析】解：如图所示，P（-2，0），P（2，-4），P（0，4），P（-2，-2），P（2，-2），P （0，6534212），次一个循环，发现6 ∵2017÷6=336…1， 0），（的坐标相同，即P-2，P ∴点P的坐标与201720171）．-2故答案为（，0 P，寻找规律后即可解决问题．～画出P61属于中考解题的关键是循环探究问题的方法，本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，常考题型．]此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好[。

九年级数学综合训练一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=-3x+3，l2：y=-3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（）A. 32B. 36C. 38D. 403.如图，直线y=√3x-6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=kx（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4√3，则k的值为（）A. −3B. −4C. −5D. −64.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A. (32,0) B. (2,0) C. (52,0) D. (3,0)5.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x-8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x 的方程ax 2-6ax +c =0（a ≠0）是倍根方程，则抛物线y =ax 2-6ax +c 与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m ，n ）在反比例函数y =4x 的图象上，则关于x 的方程mx 2+5x +n =0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④7. 如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB =60°，AB =DE ，则下列结论成立的个数是（ ）①AB ∥DE ；②EF ∥AD ∥BC ；③AF =CD ；④四边形ACDF 是平行四边形；⑤六边形ABCDEF 既是中心对称图形，又是轴对称图形．A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79. 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF 平分∠BCD ，交EA 的延长线于点F ，且BC =4，CD =2，给出下列结论：①∠BAE =∠CAD ；②∠DBC =30°；③AE =45√5；④AF =2√5，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边△ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC =2√3，则图中阴影部分的面积为______ ．（结果不取近似值）11. 如图，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a ×c = ______ ．12. 如图，正方形ABCD 中，BE =EF =FC ，CG =2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN =43NF ；③BM MG =38；④S 四边形CGNF =12S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是______．13. 已知：如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =3cm ，BO =4cm ．将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D = ______ cm ．14.如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为______．15.如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA=2√3；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；；④斜边AB的中点D运动路径的长为π2其中正确的是______（把你认为正确结论的序号都填上）．16.如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．17.在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，h时，两车两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发257相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是______ （填写所有正确结论的序号）．18.如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=k（x＞0）的图象经过A，B两点．若x点A的坐标为（n，1），则k的值为______．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，1），B（0，-2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为______ ．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线l1：y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（1，0），B（0，3），∵点A、E关于y轴对称，∴E（-1，0）．∵直线l2：y=-3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，把y=3代入y=-3x+9，得3=-3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．∵抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，∴，解得，∴y=-x2+2x+3．①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（-1，0），∴a-b+c=0，故①正确；②∵a=-1，b=2，c=3，∴2a+b+c=-2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确；⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S四边形ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．综上可知，正确的结论有3个．故选：C．根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（-1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，进而判断各选项即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵a1=a2+a3=a4+a5+a5+a6=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10=a7+3（a8+a9）+a10，∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，∵a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，若a7=8、a10=10，则a4=10=a10，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=8，则a4=12、a6=4+8=12，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=12，则a4=10+2=12、a6=4+12=16、a2=12+6=18、a3=6+16=22、a1=18+22=40，符合题意；综上，a1的最小值为40，故选：D．由a1=a7+3（a8+a9）+a10知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对于a7、a8，分别取8、10、12检验可得，从而得出答案．本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x=0代入y=x-6，∴y=-6，∴B（0，-6），∴OB=6，令y=0代入y=x-6，∴x=2，∴（2，0），∴OA=2，∴勾股定理可知：AB=4，∴sin∠OAB==，cos∠OAB==设M（x，y），∴CF=-y，ED=x，∴sin∠OAB=，∴AC=-y，∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴-y×2x=4，∴xy=-3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=-3，故选（A）过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD=4列出即可求出k的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．4.【答案】C【解析】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y=，将B（3，1）代入y=，∴k=3，∴y=，∴把y=2代入y=，∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：C．过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5.【答案】B【解析】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；如图，延长CB至G，使得∠BAG=∠DAE，由AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BAM=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，由△ABG∽△ADE，可得=，而AB＜BC=AD，∴BG＜DE，∴BG+BM＜DE+BM，即AM＜DE+BM，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，=＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误．综上所述，正确的结论有2个，故选：B．根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据△ABG∽△ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM=GM=BG+BM，即可得出AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：①由x2-2x-8=0，得（x-4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=-2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2-2x-8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1•x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，∴x1+x2=-a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线y=ax2-6ax+c的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=-，x2=-，∴x2=4x1，∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；故选：C．①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，∵∠DAB=60°，∴∠DAF=60°，∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥EF∥CB，故②正确，∴∠FED+∠EDA=180°，∴∠EDA=∠ADC=60°，∴∠EDA=∠DAB，∴AB∥DE，故①正确，∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，∴AF=DE，AB=CD，∵AB=DE，∴AF=CD，故③正确，连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．∵∠CDA=∠DAF，∴AF∥CD，AF=CD，∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，同法可证四边形AEDB是平行四边形，∴AD与CF，AD与BE互相平分，∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，故选D．根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：如图：故选：D．①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．9.【答案】C【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC==，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD==2，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE=；故③正确；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°-∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°-2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=2，∴AF=2，故④正确；故选C．根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC==，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD= =2，根据相似三角形的性质得到AE=；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正确．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10.【答案】3√3-3π2【解析】解：如图所示：设半圆的圆心为O，连接DO，过D作DG⊥AB于点G，过D作DN⊥CB于点N，∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，∵以AD为边作等边△ADE，∴∠EAD=60°，∴∠EAB=60°+30°=90°，可得：AE∥BC，则△ADE∽△CDF，∴△CDF是等边三角形，∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2，∴AC=4，AB=6，∠DOG=60°，则AO=BO=3，故DG=DO•sin60°=，则AD=3，DC=AC-AD=，故DN=DC•sin60°=×=，则S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形DOB-S△DCF=×2×6-×3×--××=3-π．故答案为：3-π．根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC的长，进而利用S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形DOB-S△DCF求出答案．此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，正确分割图形是解题关键．11.【答案】2【解析】解：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b和c有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不确定，分两种情况：①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1和4，4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第三行，如下：观察上图可知：第五行缺少1和2，1不能在第1列，所以1在第五列，则2在第一列，即c=1，所以b=4，如下：观察上图可知：第六列缺少1和2，1不能在第三行，则在第四行，所以2在第三行，如下：再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1不能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3和4，4不能在第三行，所以4在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第二列缺少5和6，5不能在第四行，所以5在第三行，则6在第四行，如下：观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：所以，a=2，c=1，ac=2；②当6在第一行，4在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第2列，4在第三列，如下：观察上图可知：第三列缺少数字1和6，6不能在第五行，所以6在第三行，则1在第五行，所以c=4，b=1，如下：观察上图可知：第五列缺少数字3和6，6不能在第三行，所以6在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少数字1和2，2不能在第四行，所以2在第三行，则1在第四行，如下：观察上图可知：第三行缺少数字1和5，1和5都不能在第一列，所以此种情况不成立；综上所述：a=2，c=1，a×c=2；故答案为：2．粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或者一行、一列，再逐步的进行推算．12.【答案】①③【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴==，∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF==，∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF-NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，=，解得：MN=，∴BM=BN-MN=，MG=BG-BM=，∴=；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG-BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=+=，∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故答案为①③．①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB==5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1-OD=1.5cm．故答案为1.5．先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1-OD=1.5cm．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．14.【答案】（2，2√3）【解析】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2），即旋转2017后点A的坐标是（2，2），故答案是：（2，2）．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15.【答案】①②③【解析】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，同理取AB的中点E，则OE=CE，∵AB平分CO，∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；故答案为：①②③．①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB ，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA=AC ；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB ⊥OC ；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可． 本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．16.【答案】（32，√32） 【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°， ∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM=， ∴P （，）．故答案为：（，）．作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17.【答案】②③④【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5-1）=80（km/h），∵（240+200-60-170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③∵（240+200-60）÷（60+80）=2（h），∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4-3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．18.【答案】√5−12【解析】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：则AG⊥BC，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAG=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAB，在△AOE和△BAG中，，∴△AOE≌△BAG（AAS），∴OE=AG，AE=BG，∵点A（n，1），∴AG=OE=n，BG=AE=1，∴B（n+1，1-n），∴k=n×1=（n+1）（1-n），整理得：n2+n-1=0，解得：n=（负值舍去），∴n=，∴k=；故答案为：．作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，从而求得B（n+1，1-n），根据k=n×1=（n+1）（1-n）得出方程，解方程即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】（-2，0）【解析】解：如图所示，P1（-2，0），P2（2，-4），P3（0，4），P4（-2，-2），P5（2，-2），P6（0，2），发现6次一个循环，∵2017÷6=336…1，∴点P2017的坐标与P1的坐标相同，即P2017（-2，0），故答案为（-2，0）．画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．。

专题06 四边形的综合问题例1．如图，△APB中，错误！未定义书签。

，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4 如图，在□ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点G ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点H ，AG 与BH 交于点O ，连接BE ，下列结论错误的是（ ）A ．BO ＝OHB ．DF ＝CEC ．DH ＝CGD ．AB ＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…，则四边形的周长是______________．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②；③AF＋BC＞CF；④若BCCD＝32，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，错误！未定义书签。