2018年中考数学复习 题型研究题型四新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针对演练

专题课件第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练１. 若x1，x2是关于x的方程x２＋bx＋ｃ=0的两个实数根，且|x１|＋|x2|=2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx+ｃ=0为“偶系二次方程”．如方程x２－６x-2７＝0，x２-2x－8＝0,x２+3x－错误!＝0,x2＋6x－2７=0，x2＋4x＋４=0都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x2＋x－１2=０是否是“偶系二次方程”,并说明理由；(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+ｂｘ+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2. 设二次函数ｙ１,y２的图象的顶点分别为（a，b）、(ｃ，d),当a＝－ｃ,ｂ=2ｄ，且开口方向相同时,则称y１是y２的“反倍顶二次函数”.(1）请写出二次函数y＝x2＋x+１的一个“反倍顶二次函数”；(2）已知关于x的二次函数y１=ｘ2＋nx和二次函数y2＝ｎx2+x;函数y1+ｙ２恰是ｙ1－y ２的“反倍顶二次函数”，求n.3. 函数y=错误!和ｙ=－错误!(k≠0)的图象关于y轴对称,我们定义函数y=错误!和y=－错误!(ｋ≠0)相互为“影像”函数:(1)请写出函数y＝2x－３的“影像”函数:_______＿；（2)函数＿____＿__的“影像”函数是y=x2-3ｘ-5；(3)若一条直线与一对“影像”函数ｙ＝错误!(x＞0)和y＝-错误!(ｘ＜0)的图象分别交于点A、B、C(点A、Ｂ在第一象限）,如图，如果ＣB∶ＢＡ＝1∶2,点C在函数ｙ=-错误!(x＜0)的“影像”函数上的对应点的横坐标是１，求点B的坐标.第3题图4. 如图,在平面直角坐标系中，已知点Ｐ0的坐标为(1,0）,将线段OP０按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP０的2倍，得到线段OP1,又将线段OP1按逆时针方向旋转４5°,长度伸长为ＯＰ1的２倍，得到线段OＰ2，如此下去，得到线段ＯＰ3，OP4…，OP n(为正整数).（1)求点P3的坐标；(2)我们规定：把点P n（xｎ,ｙn)(n=0，1,２,３…)的横坐标x n、纵坐标ｙn都取绝对值后得到的新坐标(|xｎ｜,|y n|)称为点P n的“绝对坐标”,根据图中P n的分布规律,求出点Ｐn的“绝对坐标”.第4题图考向2) 几何类(杭州：201５.1９；台州：2016．23，2０15、2０１3.２４;绍兴：２01７．22,２0１3.22,2012.21）针对训练1. (２0１7绍兴)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1)如图①，等腰直角四边形ＡＢＣD，AB＝ＢＣ,∠AＢC=9０°.①若AＢ=CD＝1,AB∥CD,求对角线BD的长；②若AC⊥ＢD,求证:AD=CＤ.(2)如图②,在矩形ＡBＣD中,AB=５,BC＝９，点P是对角线BＤ上一点，且ＢP＝2PＤ,过点P作直线分别交边AＤ，BＣ于点E,F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长．第1题图２. 阅读下面的材料:如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①,▱ABEＦ即为△AＢC的“友好平行四边形”.请解决下列问题:(1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；（2)若△ABＣ是钝角三角形，则△AＢC显然只有一个“友好矩形”,若△AＢC是直角三角形，其“友好矩形”有＿___＿_个；(３）若△ＡBC是锐角三角形,且AB<ＡC<BC,如图②，请画出△AＢC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”,并说明理由.第2题图）3. (２017常州)如图①,在四边形ABＣD中,如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中,____＿___一定是等角线四边形(填写图形名称）；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形AＢCD四边AＢ、ＢC、ＣD、DＡ的中点，当对角线AC、BD还需要满足_＿___＿__时,四边形MNPＱ是正方形；（2）如图②，已知△ABＣ中,∠ABC=９0°,AB＝４，BC＝3,D为平面内一点．①若四边形AＢCD是等角线四边形,且AＤ=BD，则四边形ＡBCD的面积是______＿_;②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形,写出四边形ABＥD面积的最大值,并说明理由.第3题图4. (２017黄石)在现实生活中,我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A４的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为错误!∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”.在“标准矩形”AＢCD中,Ｐ为DC边上一定点，且CＰ＝BC，如下图所示．（1）如图①，求证:BA＝BP;(２)如图②,点Q在DC上，且DQ=CP,若G为BC边上一动点,当△AGＱ的周长最小时,求错误!的值；(3)如图③，已知ＡD＝1，在(2)的条件下，连接AＧ并延长交DC的延长线于点F,连接BF，Ｔ为BＦ的中点,Ｍ、Ｎ分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明:△MNT 的面积Ｓ为定值，并求出这个定值.第4题图5．对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中,∠B＝∠D，AB=ＡD;如图②中,∠A=∠C,AB＝ＡＤ则这样的四边形均为奇特四边形.(1)在图①中，若AB＝ＡD=4，∠Ａ＝６0°,∠C=12０°，请求出四边形AＢCD的面积;(2)在图②中，若AB＝AＤ=4,∠A＝∠C=４5°，请直接写出四边形ABＣD面积的最大值;(３)如图③，在正方形ＡBＣD中,E为AB边上一点,F是AD延长线上一点，且ＢＥ=DF，连接EF,取ＥF的中点G,连接CＧ并延长交AＤ于点H,若EB＋BＣ=m，问四边形BCGE的面积是否为定值?如果是，请求出这个定值(用含m的代数式表示)；如果不是，请说明理由.第5题图6. 类比等腰三角形的定义，我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图①,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形A B CD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件;（2)小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗？请说明理由；（3)如图②，小红作了一个Rt△ABC，其中∠AＢC＝90°，AB=2,BC=１,并将Rt△ABC 沿∠ABC的平分线BＢ′方向平移得到△A′Ｂ′Ｃ′，连接AＡ′,ＢＣ′.小红要使平移后的四边形AＢC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB′的长）?第６题图7. （2017江西)我们定义：如图①，在△ＡBC中，把ＡB绕点Ａ顺时针旋转α（0°＜α＜１８0°)得到AB′,把ＡC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接Ｂ′Ｃ′.当α＋β=1８0°时,我们称△AB′C′是△AＢC的“旋补三角形”，△AB′C′边Ｂ′Ｃ′上的中线AD叫做△ＡBＣ的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1）在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ＡＢC的“旋补中线”.①如图②，当△AＢC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=＿＿_＿ＢC；②如图③,当∠BAC=90°，BC＝8时,则AＤ长为_______＿．猜想论证（２）在图①中,当△ＡB C为任意三角形时，猜想AＤ与BＣ的数量关系,并给予证明．拓展应用(3)如图④,在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝１50°,BC=１2,ＣD＝2＼ｒ（3),ＤA=６．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△ＰAB的“旋补三角形”？若存在,给予证明，并求△ＰAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由．第７题图答案1. 解:(１)不是．理由如下：∵解方程x２＋x-1２＝0,得x１＝－4，x2＝３,∴|x1|＋|x2|＝４＋3=2×|3．5｜，∵3.5不是整数,∴方程x 2＋x -12=０不是“偶系二次方程”；(２)存在.理由如下：∵方程x 2－6ｘ-2７＝0，x 2＋6x －27＝0是“偶系二次方程”,∴假设c ＝mb 2+n ，当b ＝-６，c ＝-2７时，有-27=36ｍ＋n ,∵x 2=0是“偶系二次方程”,∴ｎ=０，m =－错误!,∴ｃ＝-错误!b 2.又∵x ２＋3x -2７4＝０也是“偶系二次方程”, 当b ＝3时，c =-错误!=-错误!×32,∴可设c ＝－错误!b 2,对任意一个整数b ,当ｃ=－错误!ｂ２时,b 2-4ａｃ=ｂ2－４c =4b 2,∴ｘ＝＼f(－ｂ±2|b|,２),∴x 1=－错误!b ，x 2＝错误!ｂ，∴|x 1｜+|x 2｜＝错误!|b |+错误!｜ｂ｜=2|b |.∵ｂ是整数，∴对于任意一个整数b ,存在实数c ，当且仅当c =-错误!ｂ２时,关于ｘ的方程,x ２＋ｂx +ｃ＝０是“偶系二次方程”．2． 解:(1)∵y ＝ｘ2＋ｘ+1，∴y =(x ＋错误!)2＋错误!,∴二次函数ｙ＝x 2+ｘ＋１的顶点坐标为（－１２，34)， ∴二次函数ｙ=x 2+x +1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(＼f(1,2）,＼ｆ(3,2））,∴反倍顶二次函数的解析式为ｙ＝（x -１2）2+＼ｆ(3,2)=x 2－x ＋错误!； (２)y 1＋ｙ2=ｘ2+nx ＋nx 2+ｘ=(n ＋１）ｘ2+（n ＋1）x ＝（ｎ＋1）(x ２＋x ）=（n +1)(x ＋错误!)2-错误!,∴顶点的坐标为(-错误!,－错误!), y 1－y 2＝x 2＋nx -nx 2－x ＝(1-n )x 2+(n －1）ｘ=（1－n ）(x 2-x)=(1－n)(ｘ－错误!)2－错误!，∴顶点的坐标为(错误!，-错误!),由于函数y 1+ｙ2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，则－2×错误!＝-错误!,解得n ＝＼ｆ(1，３).３. 解:(1)y =-2x －3;【解法提示】令-x =ｘ得y =-2x －３．(2)y ＝x 2＋３x -5;【解法提示】令-x ＝x 得y ＝x 2＋3x －5.(3) 如解图,作CC ′⊥x 轴，BB ′⊥ｘ轴,AA ′⊥x 轴垂足分别为C′、B′、A′,第３题解图设点B (ｍ,＼ｆ(２,ｍ)）,A (n ,＼ｆ(2,n))，其中m ＞０,n ＞0，由题意，将x =-1代入y ＝－错误!中解得y =2,∴点C (－1,2),∴CC ′＝2，B Ｂ′＝ 错误!，ＡA ′＝错误! ，又∵Ａ′B′=n -m ，B ′Ｃ′＝ｍ＋1，ＣC ′∥BB ′∥AA ′,CB ∶AB =１∶2， 则Ｂ′C′∶A′Ｂ′＝1∶2，则错误!，消去n化简得到3m２－2ｍ－3＝0,解得m=错误!或错误!(舍弃)，∴错误!＝错误!=错误!，∴点Ｂ坐标为(错误!,错误!).4. 解:（１)根据题意，得OP3＝2ＯP2＝4OP1=8ＯP0=８,根据等腰直角三角形的性质，得P3(－42，42);（2)由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴,在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或ｙ轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此,各点的“绝对坐标”可分三种情况:①当P n的n＝0，４,８，12…,则点在x轴上,则“绝对坐标”为（2n,０) ,②当P n的n＝２,６,10,14…,则点在y轴上,则“绝对坐标”为(0,2ｎ) ；③当Ｐn的ｎ＝1，３，5，７，9…,则点在各象限的角平分线上,则“绝对坐标”为(2n －１错误!,2n－1错误!）.考向2 几何类针对演练1．解：(1)①∵AB=CD=1，AＢ∥CＤ,∴四边形AＢCD是平行四边形,又∵AB=BC，∴▱AＢCD是菱形.又∵∠ＡBC＝9０°，∴四边形ABCD为正方形,∴BＤ＝＼r(2)；②如解图①，连接AC，ＢD，第1题解图①∵AB＝BC,AＣ⊥ＢD,∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△ＣBD，∴AＤ＝CD;(2）若EF与ＢＣ垂直，则AＥ≠EＦ，BF≠EF,∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；若EF与ＢC不垂直，①当AE=AB时，如解图②,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,第1题解图②∴AE＝AＢ=5；②当BF=AB时,如解图③,此时四边形AＢFE是等腰直角四边形，第1题解图③∴BF＝AＢ=5.∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB,∴EDFB=PＤPB＝１2,∴DE＝2．5,∴ＡE=9－2．5=６．5.综上所述,AE的长为5或6．5.2. 解:(1)三角形的一边与矩形的一边重合,三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；（2)2;【解法提示】如解图①的矩形BCＡＦ、矩形ABEＤ为Ｒt△ＡBC的两个“友好矩形”;第2题解图(3）此时共有3个“友好矩形”,如解图②的矩形BCDE、矩形CAＦＧ及矩形ＡＢHＫ，其中的矩形ABHＫ的周长最小．理由如下：∵矩形BCDE、矩形ＣAFG及矩形ABHK均为△ABC的“友好矩形”，∴这三个矩形的面积相等，令其为Ｓ，设矩形BCDＥ，矩形CAＦG及矩形ABHK的周长分别为L１,Ｌ２,Ｌ３，△ABC的边长ＢＣ＝ａ，CＡ＝ｂ,AB＝c，则Ｌ1=＼ｆ（2S，a）+2a,L2＝错误!+2b,Ｌ3=错误!＋２c，∴L1－L2＝(错误!＋２a)－(错误!+2b）=错误!（b－a）+２（a－ｂ)＝2(a-b）·错误!,而ab＞Ｓ,ａ>ｂ，∴L1－L2>0，即L1＞L2，同理可得,Ｌ2＞L３,∴Ｌ3最小,即矩形ＡBHＫ的周长最小．3.解：(1)①矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等,矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形.②垂直;【解法提示】∵四边形A ＢCD 是等角线四边形，∴ＡC ＝B Ｄ，∵M 、Ｎ、P 、Q 分别是边AB 、B Ｃ、ＣD 、DA 的中点，∴MN ＝ＰＱ=错误!A Ｃ,PN=MQ ＝错误!BD,∴MN=ＰQ=ＰＮ=MQ,∴四边形MNPQ 是菱形,根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形ＭNPQ 有一个角是直角，又易知MN ∥P Ｑ∥AC ,PN ∥ＱＭ∥BD ,∴要使四边形MNP Ｑ是正方形需要A Ｃ⊥BD .(2）①３＋2错误!； ∵AD =BD ，∴D 在A Ｂ的垂直平分线上, ∵四边形ABCD 是等角线四边形， ∴ＡC =ＢＤ，在R ｔ△ABC 中，∠ABC =90°，ＡB =4，BC =3， ∴AC =５， ∴ＢD =5，如解图①，取AB 的中点为Ｍ，则D Ｍ⊥AB ,第3题解图①在Rt △ＡDM 中，AD =ＢＤ=5，ＡM ＝BM =2,由勾股定理得DM =２1; ∴S 四边形A ＢＣD =S △ABD ＋S △BCD ＝＼f （1,２)AB ·D Ｍ+12BC ·ＢM=错误!×4×错误!＋错误!×3×２＝3+2错误!；②四边形ＡBED 面积最大值为18，理由如下： 如解图②,设A Ｅ与ＢD 交于点O ,夹角为α，则第３题解图②S 四边形AB ＥD ＝S △AED ＋Ｓ△ABE ＝错误!AE ·O Ｄsin α＋错误!A Ｅ·O Ｂsin α＝错误!AE ·B Ｄsinα,∵ＡE =ＢD ，∴Ｓ四边形A ＢE Ｄ＝12AE 2si ｎα,∴当ＡE 最大，且α=90°时，四边形ＡBED 的面积最大, 此时延长AC 交圆C 于Ｅ,则AE 最大为5+1＝6, ∴四边形ＡBE Ｄ的最大面积为＼f （1,2)×６2=１8. 4. （1)证明:如解图①所示，第4题解图①∵ＰＣ＝ＢC ，∠B ＣP =90°, ∴ＢP ＝＼r （2)ＢＣ，又∵矩形ABCD 为“标准矩形”， ∴AB ＝错误!ＢC , ∴A Ｂ＝BP ;(2）解：如解图②，作点Q 关于直线BC 对称的点Ｆ,连接AF 交BC 于点E ,连接ＱE 、GＦ，第４题解图②∵DQ =CP ,∴CQ =DP =CF 且AQ 为定值, ∴ＥQ =ＥF ,G Ｑ＝GF ,∵ＡQ 为定值,要使△A ＧQ 的周长最小时, ∴只需A Ｇ＋GQ ＝AG +GF 最小， 显然AG +ＧＦ≥ＡF ＝AE ＋EF ＝AE +EQ ， 即当点G 与点Ｅ重合时，△AGQ 的周长最小，此时ＣGG Ｂ＝错误!=错误!＝错误!， ∵DP AB =CD －CP AB ＝＼f(ＡＢ-BC,ＡB)=１-B ＣＡB＝1－错误!, ∴当△AGQ 的周长最小时,ＣGGB=1－错误!; (3)证明：如解图③，MN 交ＡF 于点K ,连接KT ，第4题解图③由（2)可知,ＣF=DP ， ∴ＰＦ=A Ｂ且ＰF∥ＡＢ, ∴四边形ＡBFP 为平行四边形， 又由PM =BN , ∴MF =AN ,∴△MFＫ≌△NAK,∴点Ｋ为ＡF与ＭＮ的中点，又∵点Ｔ为BF的中点,∴KＴ为△FＡB的中位线，∴Ｓ△FＫＴ=S△TMＫ＝Ｓ△TKN，∴S△MNＴ＝2Ｓ△FＫT=＼f(１，2）S△ＦＡＢ=错误!S平行四边形ABFＰ=错误!×错误!＝错误!，∴△MNT的面积S为定值，这个定值为＼f（2，4).5．解:(1)如解图①，设AＣ与BＤ交于点Ｏ;第５题解图①∵AB=AD,∠A＝６0°,∴△AＢD是等边三角形,∴AB=AＤ＝ＢＤ＝４，∠AＢD＝∠ADＢ＝60°，∵∠ABC＝∠AＤC,∴∠CＢD＝∠CＤＢ,∵∠BCD＝12０°,∴∠CBD＝∠CＤＢ＝３０°，∴CB＝ＣＤ，∵AB＝ＡD，∴ＡC⊥ＢD,∴ＢＯ=OD=2，OA＝AB·sin６0°=23，OＣ=OB·ｔan30°=错误!,∴S四边形ABCD＝＼f(１，2)·BD·OA＋1２·BD·OC=＼f(1，2)·BD·（OＡ＋OC)=错误!;【解法提示】如解图②,作DH⊥ＡB于H，过点B、D、Ｃ作圆，连接BD,第５题解图②∵∠C′＝∠C＝４5°,∴当C′B＝C′D时,△ＢDC′的面积最大,此时四边形AＢC′D的面积最大，易证四边形ABC′D是菱形，在Rt△ＡHD中，∵∠Ａ＝45 °，∠AＨD=90°，AD=4，∴AH＝HD＝2错误!,∴四边形ABＣ′D的面积＝AB·ＤH＝82，∴四边形ABCＤ的面积的最大值为８ 2.(3)四边形BCＧE的面积是定值,理由如下：如解图③，连接EC、ＣＦ,作ＦM⊥ＢC于Ｍ.第５题解图③在△BCＥ和△ＤCF中,错误!∴△BＣＥ≌△ＤCF（ＳＡＳ）,∵EG=ＧF，∴S△EＣG=S△FＣG，∵四边形CDFM是矩形，∴ＢC=DＣ＝MF,ＤＦ=BE＝CＭ，∴BM＝m,ＢE+FM＝ｍ，∴△FＣM，△DCＦ,△BCE的面积相等，∴Ｓ四边形BCGE=＼f(1,2)·S四边形BEFM=＼f(1,2)·＼f（1,2)·m·m＝错误!m2.6.解:(1)AＢ＝ＢC或BＣ＝CD或CD=AD或AＤ＝AB;(2)解:小红的结论正确.理由如下:∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形,∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等,∴这个“等邻边四边形”是菱形;(３)由∠ＡBC=90°，ＡB=２,ＢC=1,得:AC＝＼r(５)，∵将Rｔ△ABC平移得到Rｔ△A′Ｂ′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB,A′B′=AB=2，B′Ｃ′=BＣ=１，A′C′＝ＡC=＼r(5)，(Ⅰ)如解图①，当AA′＝ＡＢ时,BＢ′＝AＡ′＝AＢ=2;第6题解图①(Ⅱ)如解图②,当ＡA′=A′Ｃ′时，BB′＝AA′=A′C′ =＼r(5);第6题解图②(Ⅲ）当A′C′＝ＢC′=错误!时,如解图③,延长C′B′交AB 与点D ，则C′Ｂ′⊥AB ，第6题解图③∵BB ′平分∠ABC ,∴∠A ＢB ′=错误!∠ABC ＝4５°， ∴∠ＢB ′D =∠ABB′=４５°， ∴Ｂ′D=ＢＤ，设B′D=BD＝ｘ，则Ｃ′D ＝x +1,ＢＢ′＝＼r(２）ｘ，∵根据在R ｔ△BC ′D 中，B Ｃ′２=C′D ２＋ＢD 2即x 2＋（ｘ＋1)2＝5, 解得：ｘ=1或x ＝－2（不合题意,舍去)， ∴BB ′=＼ｒ(２）ｘ=错误!;第６题解图④(Ⅳ)当ＢC′=ＡB =2时，如解图④,与(Ⅲ)方法同理可得:x =＼f （-1＋＼r （７),２）或ｘ=－1－7２(舍去)， ∴B Ｂ′＝２ｘ=错误!．故应平移2或5或错误!或错误!的距离. 7． 解：（1)①１2,②4;【解法提示】①如解图①中,第7题解图①∵△ＡBC 是等边三角形, ∴AB ＝BC=AC=AB′＝AC′， ∵ＤB ′=ＤC′， ∴A D ⊥B ′C ′,∵∠ＢＡC =60°，∠BAC ＋∠B′AC ′＝１８0°,∴∠Ｂ′A Ｃ′＝120°, ∴∠B ′=∠C′=30°, ∴A Ｄ＝12AB ′=１2ＢC .②如解图②中，第7题解图②∵∠BAC =9０°，∠ＢAC +∠B′AC′=１80°， ∴∠B ′AC ′＝∠BA Ｃ＝9０°， ∵ＡB=A Ｂ′,ＡC ＝A Ｃ′, ∴△ＢAC ≌△Ｂ′ＡC ′， ∴BC=Ｂ′C ′，∵B ′Ｄ=DC′，∴AD =＼f （1,2)B ′C ′=＼ｆ(1,2）BC =4; (2）猜想：ＡD ＝＼f(1,2)BC .理由:如解图③中,延长AD 到M ,使得ＡD =DM ,连接B′M ,C ′Ｍ，第7题解图③∵B ′D=DC ′，AD =DM ，∴四边形AC′ＭB′是平行四边形, ∴ＡＣ′=B′Ｍ=AC ，∵∠BAC ＋∠B′AC′=１80°， ∠Ｂ′AC ′＋∠AB′Ｍ＝180°， ∴∠BAC =∠ＭB ′A， ∵ＡB ＝ＡB ′,∴△ＢＡC ≌△ＡB ′Ｍ , ∴BC =AM , ∴AD ＝12ＢＣ;（3）存在．理由：如解图④中,延长ＡD 交ＢC 的延长线于M ,作ＢE ⊥AD 于Ｅ,作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交B Ｃ于F ，连接PA 、PD 、PC ，作△PC Ｄ的中线PN ，连接D Ｆ交ＰC 于O ，第７题解图④∵∠ＡＤC=150°，∴∠MDC=3０°，∴在Rt△ＤＣM中,∵ＣD=2＼ｒ（３)，∠ＤCM=9０°，∠MDC＝３0°, ∴ＣM＝2,DM=4，∠M=６0°，在Rｔ△BEM中，∵∠BEM＝9０°，BM＝BC＋CM＝１4,∠MBＥ=3０°，∴ＥＭ=＼f（1，2)BM=7，∴DE＝EＭ-DＭ=３,∵AD＝6,∴AＥ＝ＤE,∵BE⊥AＤ，∴PA＝PD,ＰB＝ＰＣ，在Ｒt△CＤF中,∵CD＝2３,ＣＦ＝6,∴∠ＣDF＝∠CPE=60°,易证△ＦCP≌△CFD,∴CD＝ＰF,∵ＣD∥PF，∴四边形CDＰF是矩形，∴∠CＤP＝90°，∴∠ADP=∠ADC-∠CDP＝60°,∴△ADＰ是等边三角形,∴∠APD＝６0°，∵∠BPF＝∠CPF＝６０°，∴∠BPＣ＝1２0°，∴∠ＡPD+∠BPC＝1８０°,∴△PDC是△PAＢ的“旋补三角形”,在Rt△PＤN中,∵∠PＤN＝90°，PＤ＝AD＝６，DN＝3，∴PＮ=错误!=错误!=错误!.。

一、选择题1.(2018滨州，12, 3分)如果规定卜]表示不大于x的最大整数，例如[2.3] = 2,那么函数y = x-[x]的答案.A,解析：根据题中的新定义，分x为正整数，负整数两种情况进行验证，即可排除B, C, D,故选 A.2.(2018 •达州市，6, 3分)平面直角坐标系中，点P的坐标为(加，”)，则向量OP可以用点P的坐标表不为OP = ("2,"),己知OA] =(X], ”)，OA, = (*2，旳)，右期•也+“ * 旳=0，则与04 互相垂直.下列四组向量：① 0B[ = (3, —9), OB2 = (1, — j )；②OG= (2, Tt° ), OC2 = (2= -1)；③OD, = (cos30° , tan45°), OD2 = (sin30° , tan45°)；④OE t= (A/5 +2, JI), OE2= Cy/5 -2, f).其中互相垂直的组有( ).A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组答案：A,解析：①0B]= (3, -9), OB2 = (1,V3X1+ (-9) X ( —g) KO, ：. OB】与OB?互相不垂直.②OC, = (2, 7T° ), OC2 = (2= -1)；V2X 2-1 + (-9) X (-1) =0, Z. OC X与OC]互相垂直.③OD X = (cos30° , tan45° ), OD2 = (sin30° , tan45°)；Vcos30° • sin30° +tan45° • tan45° HO, /. OD X与OD?互相不垂直.④OE X = (J?+2,血)，OE2 =(厉一2, f ).(石+2) X (厉一2) + 工0, Z. OE t与0坊互相不垂直.故选A.3.(2018-临沂，19, 3分)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢?我们以无限循环小数0.7,为例进行说明:设0.7 = x.由0.7=0.7777...可知，10兀=7.7777.…所以10x~x=7,解方程得：x 7 7 =—,于是，得0.7 = — .将0.36写成分数的形式是9 9419.—,解析：设0.36二兀，由0.36 =0.363636 ................ ,可知100x=36.3636 .......... ,所以lOQx—兀=36,解方程4. (2018•常德，8, 3分)阅读理解，a, b, c, d 是实数，我们把符号问题：对于用上面的方法解二元一次方程组l 2X+y=1时，下面说法错误的是[3x-2y = 122 1 A. D==-7 B. D x = -14 C. D v =273 -2二、填空题、 a/ 、1-(2018 •金华市，14, 4分)对于两个非零实数“定义-种新的运算：宀「+亍若1*(_1) = 2,将数值代入公式即可计算，注意符号不要出错即可.由(_2)*2 = ^ + | = -|(a-Z2)= -l.所以403=^42 +32 = 5.若x, y 满足方程组<V5<12, .,.xOy=5xl2=60.3. (2018 •聊城市，17, 3分)若x 为实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.6] =1,[兀]=3 , [-2.82] = - 3等.[x] +1是大于x 的最小整数，对任意的实数x 都满足不等式[x] Wx V[x] +1. ①利用这个不等式①，求出满足[x] = 2x- 1的所有解，其所有解为 ______________________________________________ •1 f2x-l < %,答案：1或一解析：把[x] = 2x- 1代入不等式[x] Wx V[x] +1,得 解不等式组，得2 x < 2% —1 + 1,= axd —bxc,例如3-1 2-2= 3x(—2)—2x( — 1) = —6+2=—4.二兀一次方程组< 1 '• 1的解可以a 2x +b 2y -c 2利用利用2x2阶行列式表示为｛ ；：其中 y =」 r D b ib2 C1 D x = C2 bj a. b 2，叨 a 2 ci C2D .方程组的解为r =2 b=-38. C,解析：因为Q 2x + y = 1 3x-2y = 12 a 】bj21a 2b 23 -2ciD x =C2b l b21 1 = 1x( —2)_1x12 = —14,12 -2aiCla2 C2,所以方程组的解为.b=-3,所以说法错误的是C,故选C.则(—2)*2的值是 ▲.答案• -1,解析：根据新定义运算, ab1*(—1) = —I ----- = 2,可得 a~b=2, '丿 1 —1 2. (2018•德州，17, 4)对于实数a, b 定义运算“◊” : aOb = 厂+0 ,a>b,例如,心，因为4>3,\a<b.f 4%-J = 8 ,则 2尸[x + 2y = 29'答案.60解析：解方程组得：x=5尸12',所以D== 2x(-2)-3xl = -7, Dy=2 3 1= 2x12-1x3=21,12OVxWl,当 x=l 时，[x ]= 2 x - 1 =1,解得 x=l ；当 OVxVl 时，[x ]= 2 x - 1 =0,解得 x=丄，综合2 起来，满足[x] = 2x - 1的所有解是1或丄.24. （2018 •怀化市，16, 4分）根据下列材料，解答问题.等比数列求和：概念：对于一列数G,血,…，a”，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即乞=q （常数），那么这一列数G,血，«3,…，a”，…成等比数列，这一常数q 叫 «2 做该数列的公比.例：求等比数列1, 3, 32, 33,…，3迦的和. 解：令 5=1+3+32+33+-+3100, 则 35=3+32+33+—+3100+3101,3101 -1因此，3S-S=31O1-1,所以 S= ----------- ,3101 -1即 1+3+32+33+-+3100=- --------- .2仿照例题，等比数列1, 5, 52, 53,…，5沁的和为 _____________ . 气 2019 _ ]答案： ---- ,解析：令 S=l+5+52+53+-+52018,则 5S=5+52+53+-+52018+52019,因此，5S-S=52019-l,所以45. （2018 •永州市，17, 4分）对于任意大于0的实数兀、y,满足log 2（x • y ）= log 2x +log 2y,若log 22=l,则 log 216=_________________ .答案.4,解析：log 216=log2（2X8）= log 22 +log 28=l+log2（2X4）=l+ log 22 +log 24=l+l+ log 2（2X2）=l+l+ log 22 +log22— l+l+l+l =4.三、解答题1. （2018 •济宁，21, 9分）知识背景当a>0且x>0时，因为（養一坐尸三0,所以尢一2丽+纟三0,从而x + -^14a （当x = 4^时 yjxXX 取等号）.设函数y =尢+纟（a >0, x>0）,由上述结论可知，当x = 4a 时，该函数有最小值为2石.x 应用举例已知函数y { = x （x>0）与函数y 2 = - （ x >0）,则当x ==2时，y x +y 2 = x+-有最小值■ X X为2扬=4.解决问题 （1） 已知函数yi = x + 3 （x> —3）与函数V 2 = （X + 3）2+9 （x> —3）,当x 限何值时，也有最一 ” 小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备 的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系 数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使 用成本最低？最低是多少元？分析：(1)将也表示成(“3) + 2,利用“知识背景”求解；(2)列出该设备平均每天的租赁使M 兀+ 352019 _I即 1+5+52+53+—+52018=52019 _I用成本的代数式490+ 200x +0.001/ ,再转化成0.001(490 0。

阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)一.选择题1.（2018•江苏无锡•3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表：A．100元B．95元C．98元D．97.5元【分析】根据加权平均数列式计算可得．【解答】解：由表可知，这5天中，A产品平均每件的售价为=98（元/件），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义及其计算公式．二.填空题1. （2018•金华、丽水•4分）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是________．【解析】【解答】解：∵，∴，则=故答案为：-1.【分析】给的新定义运算中，有a，b两个字母，而题中只给了一个条件，就不能把a，b两个值都能求出，但能求出a与b的数量关系，将a与b的数量等式代入到中即可得出。

2. （2018·湖北省恩施·3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为1946 个．【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2.0×6.3×6×6.2×6×6×6.1×6×6×6×6，然后把它们相加即可．【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946，故答案为：1946．【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．三.解答题1.（2018•江苏宿迁•8分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m 分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表.请根据以上信息，解决下列问题：（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数. 【答案】（1）0.2；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；（3）全市获得一等奖征文的篇数为300篇.【分析】（1）由频率之和为1，用1减去其余各组的频率即可求得c的值；（2）由频数分布表可知60≤m＜70的频数为：38，频率为：0.38，根据总数=频数÷频率得样本容量，再由频数=总数×频率求出A.b的值，根据A.b的值补全图形即可；（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，再用总篇数×一等奖的频率=全市一等奖征文篇数.【详解】（1）c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，故答案为：0.2；（2）38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，∴全市获得一等奖征文的篇数为：1000×0.3=300（篇），答：全市获得一等奖征文的篇数为300篇.【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解本题的关键.2.（2018•江苏徐州•7分）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表，请你根据图表信息完成下列各题：（1）该月小王手机话费共有多少元？（2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角为多少度？（3）请将表格补充完整；（4）请将条形统计图补充完整．【分析】（1）由于月功能费为5元，占的比例为4%，所以小王手机话费=5÷4%=125元；（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比×360度知，表示短信费的扇形的圆心角=（1﹣36%﹣40%﹣4%）×360°=72°；（3）基本话费=125×40%=50元，长途话费=125×36%=45元，短信费=125×（1﹣36%﹣40%﹣4%）=25元．【解答】解：（1）小王手机总话费=5÷4%=125元．（2）表示短信费的扇形的圆心角=（1﹣36%﹣40%﹣4%）×360°=72°．（3）50、45.2536%﹣40%﹣4%）=25元．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3.（2018•江苏徐州•8分）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2018年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象（其中a，b，c为常数）12ABCD表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：①填空：a= 7 ，b= 1.4 ，c= 2.1 ．②写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象．③函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由．【分析】①a由图可直接得出；B.c根据：运价÷路程=单价，代入数值，求出即可；②当x＞3时，y1与x的关系，有两部分组成，第一部分为6，第二部分为（x﹣3）×2.1，所以，两部分相加，就可得到函数式，并可画出图象；③当y1=y2时，交点存在，求出x的值，再代入其中一个式子中，就能得到y值；y值的意义就是指运价；【解答】解：①由图可知，a=7元，b=（11.2﹣7）÷（6﹣3）=1.4元，c=（13.3﹣11.2）÷（7﹣6）=2.1元；故答案为7，1.4，2.1；②由图得，当x＞3时，y1与x的关系式是：y1=6+（x﹣3）×2.1，整理得，y1=2.1x﹣0.3；函数图象如图所示：③由图得，当3＜x＜6时，y2与x的关系式是：y2=7+（x﹣3）×1.4，整理得，y2=1.4x+2.8；所以，当y1=y2时，交点存在，即，2.1x﹣0.3=1.4x+2.8，解得，x=，y=9；所以，函数y1与y2的图象存在交点（，9）；其意义为当 x时是方案调价前合算，当 x时方案调价后合算．【点评】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值；作图关键是确定交点；体现了数形结合思想．4.（2018•江苏无锡•6分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A.B.C.D.E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车3000 辆．（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为54 度．【分析】（1）根据B类别车辆的数量及其所占百分比可得总数量；（2）用总数量乘以C类别的百分比求得其数量，据此即可补全条形图；（3）用360°乘以D类车辆占总数量的比例即可得出答案．【解答】解：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车1080÷36%=3000辆，故答案为：3000；（2）C类别车辆人数为3000×25%=750辆，补全条形统计图如下：（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为360°×=54°，故答案为：54．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．5.（2018•江苏淮安•8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了50 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．【分析】（1）根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数，据此可得；（3）用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得．【解答】解：（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为20÷40%=50人，故答案为：50；（2）步行的人数为50﹣（20+10+5）=15人，补全图形如下：（3）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1500×=450人．【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．6.（2018•江苏淮安•12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°，故答案为：15°；（2）如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠A+∠BAE=90°，∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE=，∴BE=5﹣=．（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，∴A.B.F共线，∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍弃），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC===20．【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．7. （2018•嘉兴•12分）我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)一.填空题（2018·湖北十堰·3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 1 ．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．二.解答题1. （2018·湖北荆州·12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q （3，4），则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x 轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是；（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E.F两点，分别过E.F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②+为定值．【解答】解：（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），∴AD2=x2+（y﹣）2，∵直线y=kx+交y轴于点A，∴A（0，），∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，﹣），∴AB=1，∵点D到点A的距离等于线段AB长度，∴x2+（y﹣）2=1，故答案为：x2+（y﹣）2=1；（2）∵过点B作直线l平行于x轴，∴直线l的解析式为y=﹣，∵C（x，y），A（0，），∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，∴x2+（y﹣）2=（y+）2，∴动点C轨迹的函数表达式y=x2，（3）①如图，设点E（m，a）点F（n，b），∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E.F两点，∴，∴x2﹣2kx﹣1=0，∴m+n=2k，mn=﹣1，∵过E.F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，∴M（m，﹣），N（n，﹣），∵A（0，），∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，∴AM2+AN2=MN2，∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，∴Q（k，﹣），∵A（0，），∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，∵直线EF的解析式为y=kx+，∴AQ⊥EF，∴EF是△AMN外接圆的切线；②证明：∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，∴a=mk+，b=nk+，∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，∴+=+====2，即：+为定值，定值为2．2．（2018·重庆市B卷）（10.00分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m=99（100﹣10y﹣x），∴D（m）==3（100﹣10y﹣x），而m是四位数，∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．【点评】此题主要考查了完全平方数，新定义的理解和掌握，整除问题，掌握新定义和熟记300以内的完全平方数是解本题的关键．3. （2018•陕西•13分）问题提出(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为．问题探究(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决(3)如图③所示，AB.AC.BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB.AC路边分别建物资分站点E.F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E.F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE.EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE.EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．图① 图② 图③【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．【解析】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB.AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB.AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E.F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.4.（2018·辽宁大连·12分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC.FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．②结论：BD=k•DE．理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK．∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴ ==，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE5.（2018·江苏常州·10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2= ﹣2 ，x3= 1 ；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD.DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP 的长．【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0，x（x2+x﹣2）=0，x（x+2）（x﹣1）=0所以x=0或x+2=0或x﹣1=0∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；故答案为：﹣2，1；（2）=x，方程的两边平方，得2x+3=x2即x2﹣2x﹣3=0（x﹣3）（x+1）=0∴x﹣3=0或x+1=0∴x1=3，x2=﹣1，当x=﹣1时，==1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程=x的解是x=3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m设AP=xm，则PD=（8﹣x）m因为BP+CP=10，BP=，CP=∴+=10∴=10﹣两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20+9+x2整理，得5=4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0即（x﹣4）2=0所以x=4．经检验，x=4是方程的解．答：AP的长为4m．【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．。

走进2018年中考数学专题复习第四讲创新思维问题研究【专题分析】创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养,是素质教育中最具活力的课题,体现在数学教学方面,就是创新试题的命制.自新课改进行以来,创新类试题大量呈现,这类试题通常都源于新课程标准,又不完全拘泥于新课程标准.形式多样,有的是操作创新题,有的是新定义试题,有的是情境创新题,有的是规律探究创新题,有的是最优方案设计创新题,有的是信息迁移类创新题,有的是题型创新,有的是“老树新花”型创新.【知识归纳】在创新类题目中,体现更多的是新定义题,即定义一些考生从未接触过的新概念、新公式、新运算、新法则,它立意新,容量大,具有相当浓度和明确导向,更多体现了新课改精神,是创新题中的新宠.一般包含:规律中的新定义,运算中的新定义,探究中的新定义,开放中的新定义,阅读理解中的新定义.通常和其他知识综合在一起考查,灵活性较强,对考生的要求一般比较高,要求考生解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用.无论是哪种形式的创新题,要想解决这类问题,就要求平时加强对新课程理念的贯彻落实,平时教学中注重过程性教学,注意培养自主探究的学习习惯,注重积累数学活动经验,注重培养应用新知识解决问题的能力.【题型解析】题型1:新定义题例题：（2017山东枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．方法指导：“新定义型专题”关键要把握两点 :(1)掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法;(2)根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.题型2: 操作创新题例题: （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x 的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．方法指导：操作过程中注意对一些问题的全面性分析,点的位置及其角度的不同或许出现不同的答案.题型3: “老树新花”型例题：（2017江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为．【考点】11：正数和负数．【分析】根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣3，故答案为：﹣3．方法指导:理解题干中告诉我们的古代的数学知识是解题的关键所在.【提升训练】1. （2017张家界）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3= ﹣i ，i4= 1 ；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；（3）计算：i+i2+i3+ (i2017)【考点】2C：实数的运算．【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【解答】解：（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．故答案为：﹣i，1；（2）（1+i）×（3﹣4i）=3﹣4i+3i﹣4i2=3﹣i+4=7﹣i；（3）i+i2+i3+…+i2017=i﹣1﹣i+1+…+i=i．2.（2017重庆B）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=中，找出最大值即可．【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴或或，∴或或，∴或或，∴k的最大值为．【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．3.（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D4. （2017江西）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 4 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC 的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，∴PN===．5. （2017年江苏扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= 0 ，OC△OA= 7 ；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC=BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD=AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD==4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；（2）①如图2，取BC的中点D，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD=AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD===2，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB=AN=×OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3，∴S=BC×AO=6．△ABC。

第二篇热点难点篇专题07新定义与阅读理解题（讲案）一讲考点——考点梳理1、“新定义”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.注重考查学生应用新的知识解决问题的能力.2、阅读理解型问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.中考数学的阅读理解题考查学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力，决策判断能力。

3、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想、从特殊到一般思想等．二讲题型——题型解析（一）规律题型中的新概念例1、（1）填空：()()a b a b -+=；22()()a b a ab b -++=；3223()()a b a a b ab b -+++=．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b aa b ab b -----++++=（其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．(二)运算题型中的新概念例2、为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．（三）探索题型中的新概念例3、我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（）A．6B．8C．10D．12（四）开放题型中的新概念例4、如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A，B，与x 轴的另一个交点分别为M、N，如果点A 与点B，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________（五）阅读材料题型中的新概念例5、在直角坐标系xOy 中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是．（六）阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例6、理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则==2．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=tan tan1tan tanαβαβ±．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）=tan60tan451tan60tan45-+2-．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线112y x=-与双曲线4yx=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．（七）阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例7、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（）A．）B．C．）D．）三讲方法——方法点睛1.“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．2.解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.四练实题——随堂小练1.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．）D．）2.把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是2（1x x +）；当矩形成为正方形时，就有x=1x （x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（1x x +）=4最小，因此1x x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子2x 9x +（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．104.规定：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x+y）=si nx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos （-60°）=-12；②sin75°=4+；③sin2x=2sinx•cosx；④sin （x-y）=sinx•cosy-cosx•siny．5.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n （n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a-b）4的展开式，（a-b）4=．五练原创——预测提升1.“聪”和“明”是一对好朋友，聪说：“学数学就像玩游戏，一旦掌握了规则，就很容易了！”明说：“那我考考你，若规定：x◎y =x +|y|,如1◎（-2）=1+|-2|=1+2=3，那么（-2）◎1=（）？”聪很快说出了答案，你也试试吧！A．﹣3B．﹣1C．1D．32.a 为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（）A．1B．－1C．7D．－73.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数都为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）.1411211214161313121211A.160B．1168C．1252D．12804.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1,2,32335.阅读下面材料:小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线，,AB m AC n ==，求BDDC的值.小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，BDDC=________.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，AB AC ⊥，CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（1）AOOC=______.（2）tan DCO ∠=__________.。

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第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针对演练1。

求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多,更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数,得到差,然后用减数与差中的较大数减去较小数,以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数错误!91－56＝3556－35＝2135－21＝1421－14＝714－7＝7所以，91与56的最大公约数是7。

请用以上方法解决下列问题:(1）求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．2。

(2017青岛节选)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究：求不等式｜x－1｜< 2的解集(1)探究｜x－1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为|x－1｜，可记为A′O＝|x－1｜。