角的平分线(尺规作图)

角平分线尺规作图方法
1.以点。

为中心，以任意长度为半径绘制弧，将两个弧的交叉角AoB的两侧设为点M、N o
2分别以点M、N为中心，以大于1/2MN的长度为半径绘制」弧,两个弧与点P交叉。

3、放射线0P。

需要线0P。

证书：连接PM、pN
在aPOM以及APON中
V0M=0N,PM=pN,p0=p0
Λ∆POM^∆PON(SSS)
POM=PON,即，放射线OP是角AOB角平分线
当然，角平分线的做法有很多种。

接着，进一步提供尺规作图用于参考的方法。

方法2:1。

两个OA、OB分另IJ剪切OM、OC、ON、OD、OM=ON> OC=OD;
2、将CN与DM连接，并与P交叉。

3、放射线0P。

需要线0P。

角平分线尺规作图方法
钝角三角形平分线的画法与普通的三角形画法相同，无论从哪个角的顶点开始，先用量角器半圆仪测量角的度数，然后从该角的顶点开始画线，将该线和角的两个边形成的角变为原来的一半您可以将这条线延伸到对边。

用同样的方法再画两个角平分线用三个三角形角平分线画的
角平分线尺规作图方法
1可以使用圆规画角平分线，具体的步骤是，以三角形顶点A为圆心，以任意的长度为半径制作圆弧，解析与三角形顶点的两个边分别相交1点M,No
2分别以交点M、N为中心，以相同长度为半径形成圆弧，使2个圆弧交叉于一点O o
连接3、A、。

两个点时，可以得到③角平分线。

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。

几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
利用几何画板可以很快速地作出角的平分线，但在研究角平分线的相关性质时会需要利用尺规作图，以便能更好地理解。

下面就介绍尺规作图法怎样构造几何画板角平分线。

（几何画板官网）
操作步骤如下：
1.利用线段工具构造一个角，顶点为O。

利用圆工具以O点为圆心，任意长为半径画圆。

利用线段工具和圆工具构造角与圆
2.圆O与角的两条边产交点分别为A、B。

选中点A、B，选择“构造”——“以圆心和圆周上的点绘圆”构造出圆A，同样的方法构造圆B。

两圆的交点为P。

利用圆工具分别以A、B为圆心AB为半径画圆
3.选中点O、点P，选择“构造”——“线段”，线段OP就是角的平分线。

选中多余的圆与点，按下“Ctrl+H”，尺规作图完成。

选中点O、点P构造线段即为角平分线
以上内容向大家介绍了尺规作图法构造几何画板角平分线的方法，操作非常简单，可以看到作图过程中利用了几何画板圆工具，利用圆工具可以辅助构造很多图形，比如等分线段。

第十五章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线第1课时角平分线的尺规作图一、教学目标1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．二、教学重点及难点重点：角平分线及垂线的尺规作法；难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明．三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】回顾：作出下面图形的对称轴插入轴对称图形什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了利用尺规作图作一个角的平分线，并证明了这种作法的科学性.若需使用，请插入微课【知识点解析】作一个角的平分线. 【合作探究】教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．任务：请在图中作出线段AD ，使其平分∠BAC 且长度等于m .要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．【探究新知】解析：首先以A 为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB 、AC 于E 、F ，然后以E 、F为圆心，大于12EF 长为半径作弧，交于点M ，那么AM 就是∠BAC 的角平分线，只需在射线AM 上截取AD ＝m 即可．答案：已知：线段m ，∠BAC ；如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．【典型例题】例题：如图，分别过点P作线段MN的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．答案：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P 作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．【新知应用】课本练习P143页1，2【随堂检测】1.如图，已知直线l及其两侧两点A、B.(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使P A＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.答案：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点；(2)如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于12AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴P A＝PB；(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关六、课堂小结直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计第十五章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．。

尺规作图：角的平分线、线段垂直平分线尺规作图是指用直尺和圆规作图，根据特定几何问题作出相应图形，这对培养大家动手能力和分析问题的能力非常有帮助。

必备工具：圆规、直尺、铅笔、橡皮1、作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线练：如图，在∠MON 的内部找一点P ，使得P 点到OM 、ON 距离相等.(不写作法，但是要保留作图痕迹)2、作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.求作：直线PQ 是线段MN 的垂直平分线.作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ.则直线PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

练：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到运动员公寓A .B .C 的距离相等．（1）若三所运动员公寓A .B .C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；(不写作法，但是要保留作图痕迹) （2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝ º.【操作】 3、某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 上建一个休息点M ，使他到A ，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点M 的位置；AB CN M B A O 4、如图，点A 是ON 上一点，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．(不写作法，但是要保留作图痕迹)5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。

6、如图所示,已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P,使得点P 到∠AOB 的两边距离相等,且PM=PN.7、如图所示,A,B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C,请你设计一个方案,使供水站的到两村庄的距离和最短写画法,但要保留作图痕迹，（预习课本获得答案）B O A N M A . . B l。

在平行四边形的角平分线垂直平分线尺规作图法
1.做角平分线：
以该角顶点为圆心以适当长度为半径画弧，与角的两边分别产生一个交点，分别以这两个焦点为圆心，一定长为半径画弧，（半径长度必须使两条弧有交点），产生一个交点，连接角的顶点和两弧交点并延长，所得射线即为所求。

2.线段的垂直平分线：
分别一线段的两个端点为圆心，以适当长度为半径（长度大于线段长度的一半，小于线段长）向另一端点方向画弧，两弧相交在线段两侧各产生一个交点，连接着两个交点并向两端延长所得直线即为所求。

2019-2020学年八年级数学《角平分线（尺规作图）》教案新人教版一.教学过程（简案）：1.复习提问：三角形中有那些重要的线段？学生回答：三角形的高、中线、角平分线，（老师强调角平分线与三角形角平分线的区别）。

2.新课：例1.在∠AOB边OA、OB上取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于点C.求证:∠MOC=∠NOC(学生自己动手证明，并让学生板书证明过程)老师提问：你做完此题后有何启示？经过学生讨论后，他们认为利用这种方法可作角平分线。

例2.角平分仪器操作原理：若A B=AD，BC=CD。

则AC平分∠DAB和∠BCD，为什么？学生们发现△ADC和△ABC全等，所以AC平分∠DAB和∠BCD。

例3.利用尺规作∠AOB的平分线（学生动手操作）老师强调两点：第一，以O为圆心适当长度为半径画弧交OA、OB于M、N。

第二，分别以M、N为圆心时，半径应大于MN的一半长度。

练习：作出∠AOB的平分线？二、对教学案例的分析这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 ,其中许多环节还需要进一步改进完善。

但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 , 一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1. 突出了数学课堂教学中的探索性关于尺规作角的平分线的引出 , 在本教学案例上没有像教材那样直接给出作法 , 而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画 , 量一量的方式 , 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 , 自己去发现结论 , 并用命题的形式表述结论。

关于例1.例2的证明 , 没有采用教师给学生演示角平分线的尺规作法 , 而是引导学生证明猜想 , 并做了进一步的完善。

这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。

这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 ,增强了学生参与数学活动的意识 , 又培养了学生的动手实践能力。

同时 , 也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。

作角平分线的方法
作角平分线是一个基本的几何作图问题，有许多不同的方法可以完成。

以下是其中两种常见的方法：
方法一：使用量角器和直尺
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。

2. 将量角器的中心对准顶点 O，并将 0 刻度线与 OA 或 OB 重合。

3. 找到量角器上与角的度数相等的刻度线，标记为点 C。

4. 连接 OC，即为角的平分线。

方法二：使用直尺和圆规
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。

2. 以顶点 O 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交 OA 和 OB 于点 D 和 E。

3. 分别以 D 和 E 为圆心，以大于 DE/2 的长度为半径画弧，两弧交于点 F。

4. 连接 OF，即为角的平分线。

这两种方法都是基于角的平分性质，即角的平分线将角分成两个相等的角。

无论使用哪种方法，关键是要准确地测量和绘制，以确保得到正确的角平分线。

考点一：角平分线的作法（尺规作图）1.①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．作角平分线的依据是全等三角形（SSS ）2.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知角AOB ∠的两边上，分别取ON OM =,再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB .【例1】作出∠1，∠2的角平分线.2_D _C _B_A_2 _1 【例2】作出∠A,∠D ，∠G 的角平分线。

考点2：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

此定理用数学语言表示：如图，OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE 考点3： 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．定理用数学语言表示：如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 考点4：角平分线常见辅助线精要：角的平分线角平分线的使用初等几何中共分为五个点 １. 角平分线做双垂利用角的平分线的性质证明线段或角相等 ２. 角平分线截全等利用角的平分线构造全等三角形以角的平分线为对称轴构造对称图形３. 角平分线的垂线产生三线合一延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 ４. 角平分线加平行产生等腰 利用角的平分线构造等腰三角形５. 角平分线交点到三边距离问题（内切圆圆心问题）角平分线---基础性质 ★★【例1】如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线,CD BD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F .求证：BE ＝CF 。

ABC D EFGHI★★【例2】如图，OC 平分AOB ∠，P 是OC 上一点，OB PE OA PD ⊥⊥,,F 是OC 上另一点，连结DF 、EF .求证：DF =EF .★★【例3】如图，AB ⊥BP ，AC ⊥PC ，BP =CP ，D 为AP 上一点.求证：∠BDP =∠CDP .★★【例4】如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ，连结DC ， 求证：CD OE ⊥．★★【例5】如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC ∠等于________．DPACBFEDC BA【例1】在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

角平分线的画法尺规作图
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。

2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。

3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。

4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。

5、最后两圆弧交于E点。

6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。

在三角形中的定义。

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

尺规作图角平分线原理
尺规作图是古代数学中非常重要的一部分，它是指利用尺规来完成一些特定的
几何图形构造。

其中，尺规作图角平分线原理是尺规作图中的一个重要原理，它在几何学中有着广泛的应用。

本文将对尺规作图角平分线原理进行详细的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一原理。

首先，我们来了解一下什么是尺规作图角平分线原理。

在平面几何中，角平分
线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

而尺规作图角平分线原理则是利用尺规和直尺来作出一个给定角的平分线。

这一原理在解决各种几何问题时具有重要的作用，例如构造等腰三角形、证明角的相等等。

接下来，我们来看一下尺规作图角平分线原理的具体步骤。

首先，我们需要有
一个待平分的角。

然后，我们利用尺规在这个角上作出一个任意长度的弧线。

接着，我们在这个角的两个边上各作一个等长的弧线，使得这两个弧线与之前作出的弧线相交于两个点。

最后，我们连接这两个点和角的顶点，就可以得到这个角的平分线。

在实际应用中，尺规作图角平分线原理可以帮助我们解决很多几何问题。

例如，当我们需要构造一个等腰三角形时，可以利用尺规作图角平分线原理来找到等腰三角形的顶点。

又如，当我们需要证明两个角相等时，也可以利用这一原理来作出这两个角的平分线，从而证明它们相等。

总之，尺规作图角平分线原理是几何学中非常重要的一个原理，它在解决各种
几何问题时具有广泛的应用。

通过利用尺规和直尺，我们可以轻松地作出一个给定角的平分线，从而解决各种与角平分线相关的问题。

希望本文对读者能够有所帮助，让大家更好地理解和应用尺规作图角平分线原理。