三角形内角和课件(微课)

多样性
不等腰三角形可以有各种不同的 形状和大小。
现实世界中的例子
不等腰三角形可以在自然和人造 结构中找到，例如建筑物和山脉。
等腰三角形
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
1 特点
等腰三角形具有两个等长的边和两个相等的 角，称为底角。
2 性质
通过等腰三角形的对称性，我们可以得出许 多关于角度和边长的结论。
三角形分类
三角形可以根据边长和角度的属性进行分类。
等边三角形
等边三角形的三条边都相等， 每个角度都为60度。
等腰三角形
等腰三角形的两条边相等，两 个底角度数相等。
直角三角形
直角三角形具有一个90度的直 角和两个边长。
不等腰三角形
不等腰三角形是指两条边的长度不相等的三角形。
无特殊性质
不等腰三角形没有特殊的角度或 边长关系。
2 示例应用
使用内角和定理，我们可以计算未知角度，解决各种几何问题。
证明三角形的内角和定理
要证明三角形的内角和定理，我们可以使用几何证明或代数证明的方法。这里展示几何证明方法：
1
步骤一
根据三角形的定义，我们创建一个任意的三角形。
2
步骤二
构造一条平行线通过其中一个角，并找到三角形内部的一对等边三角形。
3
步骤三
应用平行线和三角形内部等边三角形的性质来推导出三角形的内角和。
应用三角形的内角和定理解题
内角和定理可以应用于各种几何问题，例如：
角度测量
通过使用内角和定理，我们可以计算未知角度的度数。
角度关系
通过分析三角形的内角和，我们可以确定角度之间的关系。
形状构造
使用内角和定理，我们可以构建具有特定角度的三角形。

讲解：XX
31
∠1=40º
２
∠ 2=48º
∠
3 3=92º
１
2021/3/10
猜猜∠3有多少度？
讲解：XX
32
把一个三角形从一个顶点用一条直线分成
两个三角形,其中一个三角形的内角和（D）
A、比90°小 B、比90°大 C、可能等于90°，
大于90°或小于90° D、还是180°
2021/3/10
讲解：XX
33
一个三角形，有两个角是锐角，
则第三个角（ D ）
A.一定是锐角 B.一定是钝角 C.一定是直角 D.可能是锐角或钝角或直角。
2021/3/10
讲解：XX
34
1.判断：
（1）三角形的内角和是180°。
（√ ）
（2）钝角三角形的内角和比锐
角三角形的大。（ × ）
（3）三角形越大，它的内角和
1800－700×2
700
700
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是700，它 的顶角是多少度？
2021/3/10
讲解：XX
30
一个直角三角形，一个锐角 是50°，另一个锐角是几度？
180°－90°－50°=40° 50° 180° －（50°+90°）=40 °
90°－50°＝40°
2021/3/10
）个直角，
一个钝角三角形中最多有（ 为什么？
）个钝角，
2021/3/10
讲解：XX
27
一个等边三角形它的 内角各是多少度？
180°÷3=60°
2021/3/10
讲解：XX
28
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是700，它 的顶角是多少度？

度或边长。
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免

平角
知识讲解
有什么方法能验证你们的想法？说一说，做一
做。
1
2
213
3
三角形内角和等于180°。
知识讲解
试一试。 猜一猜，可能是什么三角形？
80° 60° 40°
锐角三角形
180°-60°-40°=80°
根据三角形的内角和等于180°，且已知三角 形中两个角的度数，可以求出第三个角的度 数，从而判断该三角形是什么三角形。
A
B 75° 28° C35°AB20° 45°
∠A= 77° ∠C= 55° ∠B= 115°
小结
通过今天的学习你收获了什么？
三角形内角和
课前导入
我的三个内角的 和一定比你大。
是这样吗？
知识讲解
小组活动，每人准备一个三角形，量一 量，填一填。
说一说：你发现了什么？
大小、形状不同的三角形，它们 三个内角的和都是180°左右。
实际上，三角形的三个内角和就是180°， 只是因为测量有误差……
知识讲解
有什么方法能验证你们的想法？说一说， 做一做。
知识讲解
试一试。 猜一猜，可能是什么三角形？
等边三角形
80°60° 60°60°4600°°
锐角三角形
新知探究 试一试。 猜一猜，可能是什么三角形？
直角三角形
10900°° 606°0° 230°
钝角三角形
练习
1.三角形内角和等于多少？回顾探索与交 流的过程。
练习
2.填出下面各角的度数。 C

按边可分为等边三角形、等腰三角 形和一般三角形；按角可分为锐角 三角形、直角三角形和钝角三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和等于180°，外角和等于 360°。
特殊三角形性质介绍
等腰三角形
有两条边相等，两 个底角相等。
学生自主发言，分享学习心得
分享对三角形内角和定理的理解
01
学生可以分享自己在学习过程中对三角形内角和定理的理解，
包括定理的表述、证明方法以及在实际问题中的应用等。
交流学习方法和经验
02
学生可以交流自己在学习三角形内角和定理过程中采用的方法
和经验，如如何记忆定理、如何应用定理解决问题等。
提出问题和困惑
锐角三角形
三个角都是锐角 （小于90°）。
等边三角形
三边相等，三个角 都是60°。
直角三角形
有一个角是90°，其 余两个角互余。
钝角三角形
有一个角是钝角 （大于90°），其余 两个角是锐角。
02 三角形内角和定理推导
直观感知法
01
通过测量不同类型的三角形的三个 内角，并求和，观察结果是否接近 或等于180度。
1 2
三角形内角和
已知三角形的内角和为180°。
多边形内角和公式 多边形的内角和 = (n - 2) × 180°，其中n为多 边形的边数。
3
公式推导
根据多边形划分为三角形的策略，多边形可以划 分为(n - 2)个三角形，因此多边形的内角和等于 三角形内角和的(n - 2)倍。
典型例题分析
例题1
求一个六边形的内角和。
已知三角形两边及夹角，判断三 角形形状

三角形的内角和PPT课与性质 • 三角形内角和定理及其证明 • 三角形外角性质与计算 • 三角形角度计算技巧与方法 • 三角形内角和在生活中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形。
04
CATALOGUE
三角形角度计算技巧与方法
利用平行线求角度
平行线性质
两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
示例
已知三角形ABC中，角A=60度，角B=45度，求角C的度数。可以过点C作AB的 平行线，将角C分为两个与角A、角B分别相等或互补的角，从而求得角C的度数 。
利用相似三角形求角度
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰 三角形；按角可分为锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形。
三角形边与角关系
三角形边的关系
任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边。
三角形角的关系
三个内角之和等于180°，外角等于与 它不相邻的两个内角之和。
特殊三角形性质
01
02
03
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等； 三线合一（即顶角的平分 线、底边上的中线、底边 上的高重合）。
相似三角形性质
两个三角形如果三边对应成比例，则这两个三角形相似。相 似三角形的对应角相等。
示例
已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且BD=DC。 求角BAD的度数。可以通过构造与三角形ABD相似的三角形 ，利用相似三角形的性质求得角BAD的度数。
利用三角函数求角度
三角函数性质
正弦、余弦、正切等三角函数在特定角度下有确定的值。

600 300
这节课 你有什么收获？
多边形的内角和怎么求？
谢谢
4、认真填写你们的验证报告。
验证报告
一、我们用的方法是________。 二、我们验证的是______三角形 。 三、结果怎样？
______________________。
三角形的内角和是Байду номын сангаас80度。
哈哈！我遮住的角是多少度？
50
等腰三角形
60
70
帕斯卡
法国的数学家、物理学家
帕斯卡的父亲是个数学家，不过他 不让帕斯卡学习数学。但是聪明的 帕斯卡天天偷偷地学习、研究数学， 就在他12岁的那一年，他告诉父亲三角 形的内角和是180度。他的父亲惊呆了。
三角形的内角和
90°
90°
内角和360°
90°
90°
直角三角形的内角和是 180°.
那么其它三角形的内角 和也是180°吗？
拼
180°
平角
折一折
3 2
180°
锐角三角形
1、每个小组先确定自己最喜欢的验证 方法。
2、小组长做好分工，每两位同学用一 个三角形进行验证。
3、验证结束后，小组内交流你的发现 。
从此，他再也不阻拦小帕斯卡学习数学了。后来帕斯 卡 就成了世界上最著名的数学家和物理学家。同学们到 了初中、高中以后，还要学习帕斯卡的许多数学知识。
猜一猜，我是多少度？
？
？ 等腰直角三角形
？
？
？
等边三角形
游戏：帮角找朋友
（每组卡片中，哪三个角可以组成三角形？）
600 900
450 300
500 1000

180°
180°
180°
课堂练习
2.用一张正方形纸折一折，填一填。
内角和（360）°。 内角和（180）°。 内角和（180）°。
课堂练习
3.算出下面三角形中∠3的度数，说说它们各是什么三角形。
（1）∠1=42°，∠2=38°，∠3=（ 10）0 ° （2）∠1=90°，∠2=56°，∠3=（ 3）4 ° （3）∠1=∠2=63°，∠3=（ 54）°
我把这个六边形分成了6个三角形，把6 个三角形的内角加起来再减去中间的一 个周角就是六边形的内角和，180º×6－ 360º＝720º
这两种方法都是将六边形分成了三角形再计算， 虽然分法不同，但求出的结果是一样的。
新知运用
人民教育出版社 四年级 | 下册
1.判断
（1）三角形的内角和是180°。 （ ） √
（直角）三角形。
课后作业
3.判断题。
（1）一个三角形的一个角是72°，另一个角是28°，求第三个角的列式是：
180°－72°＋28°。
（ⅹ ）
（2）直角三角形中，一个锐角32°，求另一个锐角的列式是：180°－90°
－32°。
（√ ）
（3）一个三角形可能有两个钝角，也可能有两个直角。
（ⅹ ）
（4）等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形也是直角三角形。（√ ）
课后作业
1.计算下面第三个角的度数。
60° 40° 80°
40° 30°
课后作业
2.填一填。
（1）三角形的内角和是（ 180）°。 （2）在一个等腰三角形中，一个顶角是50°，那么它的底角是（65°），
如果它的一个底角是50°，那么它的顶角是（ 80）°。 （3）一个直角三角形中的一个锐角是52°，另一个锐角是（ 38°）。 （4）一个三角形中，∠1=25°，∠2=65°，∠3=（ 9）0°度，这是一个

1800－1400－250 1800－（1400＋250）
=400－250
=1800－1650
=150
=150
答：∠2的度数为150。
一个直角三角形，一个锐角 是50°，另一个锐角是多少度？
180°－90°－50°=40° 180° －（50°+90°）=40 ° 50°
90°－50°＝40°
已知等腰三角形的风 筝，一个底角70°，顶 角多少度？
三角形内角和180°。
人教版四年级下册数学
三角形内角和
我不但三边之 和比你长，而 且三个内角之 和也比你大！
你的三边之和 是比我长，但 三个内角之和 并不比我大
你能提出什么问题？
2
1
3
• 我们把图形里面的角叫做内角。
• 三角形三个内角的度数和叫做三角 形的内角和。
我不但三边之 和比你长，而 且三个内角之 和也比你大！
我的一个角是多少度？ 我的一个底角是多少度？
1800÷3＝60°
(1800－960) ÷2 =840÷2 =42°

数学小知识
他是法国著名的数学家和物理学 家，名字叫帕斯卡。早在300多年 前，这位著名的科学家就已经发现了 ‘任何三角形的内角和都是180 度’，而他当时只有12岁。
谈谈大家本节课有什么收获？
1800－700 －700 =1100 －700 =400
70° 70°
1800－700×2 =1800 －1400 =400
答：它的顶角是400。
判断下列说法对吗?
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角 和。（ × ） ②在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º。 （√ ） ③在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º。 （× ） ④三角形中有一个角是60 º，那么这个三角形 一定是个锐角三角形。（ × ） ⑤一个三角形中一定不可能有两个钝角。（√ ）

三角形分类
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和一般三角形；按角可分为 锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和为180°，外角和为360°。
特殊三角形性质介绍
等边三角形性质 三边相等，三个角都是60°。
01
02
03
知识掌握情况
学生自我评价对于三角形 内角和的定义、性质以及 推导过程有清晰的认识和 理解。
解决问题能力
学生能够运用三角形内角 和的知识解决一些简单的 三角形角度计算问题。
学习态度与习惯
学生表现出积极的学习态 度和良好的学习习惯，能 够认真听讲、积极思考并 主动发言。
课后作业布置及要求
作业内容
判断形状类问题解析
已知三边判断形状
01
通过三边关系判断三角形的形状，如等边、等腰或一般三角形
。
已知两角及夹边判断形状
02
根据角边角（ASA）或角角边（AAS）关系判断三角形的形状
。
已知三角判断形状
03
通过三角形内角和定理及三角形形状的判断条件进行综合分析
。
一题多解类问题探讨
多种方法求角度
除了直接应用三角形内角和定理 外，还可以利用正弦、余弦定理
若三角形中三边相等，则三个角也 相等，每个角均为60°，可以快速判 断出所有角的大小。
05
典型例题解析与思路拓展
求角度类问题解析
1 2
已知两角求第三角
通过三角形内角和定理，直接计算第三角的度数 。
已知两边及夹角求其他角
利用正弦、余弦定理求解其他角度。