二重积分的换元法
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二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
重积分的换元法
(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
二重积分的换元法
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分的换元(变换) 计算二重积分时,由于某些几分区域的边
1
1 1
1/ 20
（x，y） 1 1
R
f
(x
y )dxdy
R`
f
(u) 1dudv 2
1
1
1
dv du
1 * (1 1) 1
f (u)du
2 1
1
2
1
1
f (u)du
1
两点说明：
1、若变换T：X=X（u，v），Y=Y（u，v）。在R` 的个别点上有J=0。则结论依然成立。
2、事实上，若 P`（u0，v0） R`。使J(u0,v0)=0。
X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y，
v=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R：
|x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`：
-1<=u<=1，-1<=v<=1。且 y
x y 1
y x 1
R`
o
x
y x 1
x y 1
y
1
-1
o 1x
-1
J
（（xx，，yy））
1 （x，y）
ｋ＝ｘ（ｋ，ｋ），ｋ＝ｙ（ｋ，ｋ）
于是积分和
n
f（
， ）
kk
k
k 1
n
f（x（ ， ），y（ ， ））J（ ， ）
k
k
k
k
k
k
k
k 1
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连 续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由 连续知必一致连续。
y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） R,
二重积分的换元(变换) 计算二重积分时,由于某些几分区域的边界曲线
R R`
2 2
u
V4
dudv
2
=n
（n − m ）（ − −m 1 1 （ − ） = 3 3 3 3 2 3 3
2
α
β
β α） 6α β
3 3
1
例2 ： 证明
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫ f (u)du
R −1
其中R： 其中 ：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示， 是由直线X+Y=1。X+Y=证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X+Y=1 X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， Y=1， Y=- 所组成。作变换得：u=x+y， v=xv=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R： 则此函数组将xy面上的正方形R xy面上的正方形 |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： uv面上的正方形R` -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 1<=u<=1， 1<=v<=1。 y
y=βx
y
y=αx
v
β
y2=nx R y2=mx
o x
α
0
R`
m
n
u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 2 作变换：ｕ＝ y 作变换：ｕ＝ v=y/x
x
∫∫ dxdxy
R
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 ｘｙ做表面上 ｕｖ α 矩形域Ｒ β 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
2 2
u
V4
dudv
2
=n
（n − m ）（ − −m 1 1 （ − ） = 3 3 3 3 2 3 3
2
α
β
β α） 6α β
3 3
1
例2 ： 证明
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫ f (u)du
R −1
其中R： 其中 ：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示， 是由直线X+Y=1。X+Y=证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X+Y=1 X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， Y=1， Y=- 所组成。作变换得：u=x+y， v=xv=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R： 则此函数组将xy面上的正方形R xy面上的正方形 |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： uv面上的正方形R` -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 1<=u<=1， 1<=v<=1。 y
y=βx
y
y=αx
v
β
y2=nx R y2=mx
o x
α
0
R`
m
n
u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 2 作变换：ｕ＝ y 作变换：ｕ＝ v=y/x
x
∫∫ dxdxy
R
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 ｘｙ做表面上 ｕｖ α 矩形域Ｒ β 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
二重积分换元法证明及推广新思路
二重积分换元法证明：首先，我们考虑一个定义在[a, b]上的函数f(x)，并且它在[a, b]上可导。
我们假设要求的是函数f(x)的积分，即：∫a b f (x) dx 假设我们将[a, b]分成n等分，每一等分的宽度为h=b-a/n，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∑i=1 n f(x_i) 其中，x_i 为[a, b]区间内的每一等分的中点。
接下来，我们考虑一个新的变量y，它的定义域为[0, 1]，值域为[a, b]，其函数关系式为： y=a+h(x-1) 根据此关系式，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∫0 1 f (y) dy 于是，我们可以得到：∫a b f (x) dx = ∫0 1 h f (a+h(x-1)) dx 这就是所谓的“二重积分换元法”。
推广新思路：在二重积分换元法中，我们可以把原来的定积分变成一个双重积分，从而使得数学计算变得更加简单。
因此，我们可以推广这种思路，将复杂的数学问题转化为更为简单的形式，从而使得计算变得更加容易。
此外，我们也可以考虑用此思路更深入地研究函数的性质，从而更好地理解函数的特性。
14-7.二重积分的换元法PPT
D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
重积分的换元法
D
o
u
D：x y 1 u 1
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、 x 2 y 2dxdy, 其 中D 是 由 两 条 双 曲 线xy 1 和
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u,
v)
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
例1 计算I (x y z) cos(x y z)2 dv, 其中
={(x, y, z) | 0 x y 1, 0 x z 1, 0 x y z 1}.
解: 为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：
x y u, x z v, x y z ,
于是 x 1 (u v ), y 1 (2u v ),
一、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
二重积分的换元法
机动
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结束
*三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
1
D3
机动
o
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8
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f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
例1
计算
2 2 ( 1 x y )dxdy D
y
D
0 d 0 (1 r
0
2
2
1
D
2
)rdr
1 2 1 4 1 [ r r ]0 d 2 4
0 d 0 (r r
0
2
2
1
其中积分区域D为( x a ) 2 y 2 a 2 .
解
故
( x a ) 2 y 2 a 2 r 2a cos y 0 r 2a cos D: o 2 2
3
)dr
1 d 2 4
1
其中积分区域 D为x 2 y 2 1. 由直角坐标化 x r cos 解 o 极坐标公式 y r sin 圆的极坐标方程为 r 1 0 r 1 故 D: 0 2 2 2 2 ( 1 x y ) dxdy (1 r )rdrd
x2 y2
dxdy 0 d0 e
2
a
r 2
rdr
a 2 2 1 2 1 2 a r r 2 d 0 d 0 e d ( r ) 0 e 0 2 2 2
(1 e a ).
例2
计算
D
x 2 y 2 d
第三讲 二重积分的换元法
• 内容提要
1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。
பைடு நூலகம்
• 教学要求
1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
复习：二重积分在直角坐标系下的计算 1. 在直角坐标系下二重积分
y
f ( x , y ) d f ( x , y ) dxdy D
故
o
r r r
f ( x , y )d f ( r cos , r sin ) r dr d D D
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
D
y dy y
D
d
2.二重积分在直角坐标系下的计算：
o
x x dx
x
D
f ( x , y )dxdy X 型
Y 型
a dx ( x )
b
1
2 ( x )
f ( x , y )dy
c
d
dy 1 ( y ) f ( x , y )dx
2( y)
预备知识：
1. 如图:
扇环的面积
的近似公式：
近似地看成以l 和 r 为邻边的矩形
即 l r r r
l
r
r
2. 曲线的极坐标方程: r r ( )
r r ( )
o
x
1.二重积分的换元法 (1) 在直角坐标系下计算二重积分时，
下非常烦琐，
在某些情况
D
r ( ) d 0
o
f ( r cos , r sin ) r dr
r r ( )
D
（3）极点 O 在区域 D 的内部
0 r r ( ) D: 0 2 f (r cos , r sin ) r dr d
D
o
0 d 0
如积分区域为a x y b
2 2 2
2
y
必须化为四个小区域来计算， 相当麻烦。
o
x
因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重 积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有