二重积分的换元法

二重积分换元法证明：首先，我们考虑一个定义在[a, b]上的函数f(x)，并且它在[a, b]上可导。

我们假设要求的是函数f(x)的积分，即：∫a b f (x) dx 假设我们将[a, b]分成n等分，每一等分的宽度为h=b-a/n，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∑i=1 n f(x_i) 其中，x_i 为[a, b]区间内的每一等分的中点。

接下来，我们考虑一个新的变量y，它的定义域为[0, 1]，值域为[a, b]，其函数关系式为： y=a+h(x-1) 根据此关系式，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∫0 1 f (y) dy 于是，我们可以得到：∫a b f (x) dx = ∫0 1 h f (a+h(x-1)) dx 这就是所谓的“二重积分换元法”。

推广新思路：在二重积分换元法中，我们可以把原来的定积分变成一个双重积分，从而使得数学计算变得更加简单。

因此，我们可以推广这种思路，将复杂的数学问题转化为更为简单的形式，从而使得计算变得更加容易。

此外，我们也可以考虑用此思路更深入地研究函数的性质，从而更好地理解函数的特性。

αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。

用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式在信号处理和数学中有广泛应用。

在本文中，将使用二重积分换元法证明卷积公式。

卷积公式表达了两个实函数的卷积的定义。

假设有两个实函数f(x)和g(x)，它们的卷积定义为：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(t) * g(x-t) dt其中*表示函数的乘积运算。

为了证明卷积公式，我们首先引入一个新的变量u，然后进行变量替换。

令 u = x - t，根据变量替换的法则，当t=0时，u=x，当t=x时，u=0。

并且dt=-du。

对于新的变量u，上述积分变为：(f * g)(x) = -∫[x, 0] f(x-u) * g(u) du接下来，我们需要改变积分的上下限。

由于积分是在逆向变化的，因此上限和下限交换位置时需要加上一个负号。

将积分上下限改为0到x，并对被积函数中的u取负，得到：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(x-u) * g(u) du现在让我们回顾一下f(x)和g(x)的定义。

在卷积公式中，我们可以将它们替换成任意的实函数，这也是卷积公式的一般形式。

所以我们有：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(x-u) * g(u) du这正好是卷积公式的定义。

卷积公式的证明通过二重积分的换元法完成。

我们通过引入新的变量u，并进行变量替换，将原始积分转化为一个新的积分，并将上下限进行调整，最终得到了卷积公式的定义。

卷积公式在信号处理中有着广泛的应用，可以用于滤波、图像处理、线性系统等方面。

通过卷积操作，我们可以将两个信号进行混合和变换，从而获得一些有用的信息。

总结起来，卷积公式通过二重积分的换元法进行证明。

通过引入新的变量，并进行变量替换和上下限的调整，我们最终得到了卷积公式的定义。

这个公式在信号处理和数学中有着广泛的应用，并且可以帮助我们理解信号的混合和变换过程。

二重积分的换元积分法与极坐标法在微积分中，二重积分是求解平面区域上的函数面积或质量等问题的重要工具。

在进行二重积分的计算时，有时候使用常规方法会十分繁琐，这时候就可以考虑使用换元积分法或者极坐标法来简化计算过程。

本文将介绍二重积分的换元积分法和极坐标法，并通过实例进行详细说明。

一、换元积分法1. 换元积分法的基本思想换元积分法是利用变量代换的方式，将原积分转化为新变量下的积分形式。

在二重积分中，换元积分法实质上是一种坐标变换。

通过适当选择变量代换，可以简化积分的计算。

2. 换元积分法的步骤（1）确定新的变量代换。

（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。

（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。

（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。

（5）将结果转换回原变量。

3. 实例分析例如，求解二重积分∬D x^2y dxdy，其中D为区域(x,y)∈[a,b]×[c,d]上的有界闭区域。

（1）选择变量代换 u = x^2，v = xy。

（2）计算雅可比行列式J = ∣∣∣ ∂(x,y) ∂(u,v) ∣∣∣ = ∣∣∣ ∂x/∂u ∂x/∂v ∂y/∂u ∂y/∂v∣∣∣= ∣∣∣ 2x y x ∣∣∣ = 2x^2y - xy^2（3）将被积函数 x^2y 用新变量表示为 xy。

（4）根据换元公式，进行积分求解。

原积分变为∬D xy(2x^2y -xy^2) dudv。

（5）将结果转换回原变量。

所得二重积分的结果即为所求。

二、极坐标法1. 极坐标法的基本思想极坐标法是将平面上的点用极坐标表示，将二重积分转化为在极坐标下的累次积分。

通过极坐标的特点，可以简化被积函数并简化积分区域。

2. 极坐标法的步骤（1）确定将二维平面上的点转化为极坐标系下的点的变换关系。

（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。

（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。

（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。