三角形四心竞赛讲义

三角形的中线和垂线
中线
探讨三角形中线的定义和 性质。
垂线
探索三角形垂线的概念以 及与三角形边的关系。
垂线定理
研究垂心以及和垂线定理 的应用。
三角形的重心和质心
1
重心
了解三角形的重心是如何定义的，并探索其性质。
2
质心
讨论质心和质心定理在实际问题中的应用。
3
重心与重心定理
研究重心与重心定理对三角形的性质的关系。
1角平分线的应用2源自讨论角平分线在实际问题中的应用。
3
定理介绍
了解角平分线定理的表述及其重要 性。
常见三角形中心位置关系
探索内心、外心、重心、垂心在三 角形中的相对位置关系。
勾股定理与三角形
勾股定理
学习勾股定理的表述和证明方法。
勾股定理的应用
探讨勾股定理在解决实际问题中的应用。
闵可夫斯基不等式
介绍闵可夫斯基不等式，了解其应用和重要性。
带权重心的应用
1 带权重心的定义
研究带权重心的概念及其性质。
2 带权重心的应用
探索带权重心在解决实际问题中的应用。
三角形的性质及应用
三角形的性质
总结三角形的各种性质 和特点。
三角形的应用
讨论三角形在几何学和 实际生活中的广泛应用。
例题和练习
通过例题和练习来巩固 学习的知识。
总结和展望
回顾三角形的各个重要概念和定理，展望将来继续研究和探索三角形的更多 奥秘。
三角形的外心及外心定理
外心的定义
介绍三角形的外心及其相关 定理。
外心定理
了解外心定理在三角形中的 应用。
外心与周长关系
探索外心与三角形周长的关 联。

三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。

2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

图3图4三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1 ，在三角形△ABC 中，有三条边,,AB BC CA ，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.一、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 1、三角形的三条中线必交于一点1.已知：如图3中△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点O ，连结并延长CO ，交AB 于点F 。

求证：AF=CF证明：延长OF 到点G ，使OG=OC ∵OG=OC, ∴点O 是CG 的中点又∵点D 是BC 的中点 ∴OD 是△BGC 的一条中位线 ∴AD ∥BG ∵点O 是CG 的中点，点E 是AC 的中点 ∴OE 是△CGA 的一条中位线 ∴BE ∥AG∵AD ∥BG ，BE ∥AG ,∴四边形AOBG 是平行四边形 ∴AB 、OG 互相平分,∴AF=CF2、三角形重心的性质(1).重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

(2).重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

例1：如图4中，已知三角形的一边和重心，你能找到三角形的第三个顶点吗?请你画出它的位置。

图1图2图5图6三角形的三条高线相交于一点，这个交点称为三角形的垂心. 1、三角形的三条高必交于一点已知：如图5中△ABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F 求证：CF ⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB 同旁，∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°∴△AEO ∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF ⊥AB2、三角形垂心的性质(1).锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外(2).△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF例2：如图6，点H 是等腰△ABC 的垂心，在底边BC 长度不变的情况下，顶点A 到底边BC 的距离变化时，乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值是否变化？证明你的结论.图7图8图9三角形的三条内角平分线相交于一点，这个交点称为三角形的内心. 1、三角形的三条内角平分线必交于一点己知：如图7，在△ABC 中，∠A 与∠B 的角平分线交于点O ，连接OC求证：OC 平分∠ACB 证明：过O 点作OD,OE,OF 分别垂直于BC,AC,AB,垂足分别为D,E,F∵AO 平分∠BAC,∴OE=OF ；∵BO 平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OD=OE ∴O 在∠ACB 角平分线上 ∴CO 平分∠ACB2、三角形内心的性质(1).三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形的内切圆半径r ，cb a S r ABC++=∆2(2).在Rt △ABC 中，∠C=90°，2cb a r -+=． (3).∠BOC = 90 °+∠A/2， ∠BOA = 90 °+∠C/2， ∠AOC = 90 °+∠B/2例3：已知：如图8，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，PE ⊥AB 于E 点，BC=3，AC=4，求BE AE ⋅的值.例4：已知：如图9，△ABC 三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为△ABC 的内心，且I 在△ABC 的边B C A CA B 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==.图10四、三角形的外心三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个交点称为三角形的外心.1、三角形的三边垂直平分线必交于一点已知：如图10，在△ABC 中，AB,AC 的垂直平分线DO,EO 相交于点O求证：O 点在BC 的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO ，∵DO 垂直平分AB ，∴AO=BO ∵EO 垂直平分AC ，∴AO=CO∴BO=CO 即O 点在BC 的垂直平分线上2、三角形外心的性质(1).三角形的外心到三个顶点的距离相等，都等于三角形的外接圆半径R ，即OA=OB=OC=R; (2).锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合;(3).∠BOC=2∠BAC ，∠AOB=2∠ACB ，∠COA=2∠CBA.例5：已知：△ABC 中，AB=AC=13，BC=10. 求：（1）△ABC 内切圆的半径r ； （2）△ABC 外接圆的半径R.例6：已知△ABC 的重心和内心为同点O ，求证：△ABC 为正三角形.图11 练习1.若想在一块质地均匀的三角形木板上穿一根线，使它水平地悬在空中，则穿线的位置应该是三角形木板的（ ）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心2.如图11，D 是△ABC 的边BC 上的上点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，连结EF 交AD 于点G ，则GADG___________.3.若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.4． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.5.求证：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．。

三角形四心讲义(学生版)【知识展示】1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。

△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。

(2)AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

△ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，则D 与顶点B 、C 、内心I 等距(即D 为△BCI 的外心)。

(3)∠BIC =90º+21∠A ，∠CIA =90º+21∠B ，∠AIB =90º+21∠C 。

3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。

△ABC 的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB 。

(2)若H 在△ABC 内，且AH 、BH 、CH 分别与对边相交于D 、E 、F ，则A 、F 、H 、E ；B 、D 、H 、F ；C 、E 、H 、D ；B 、C 、E 、F ；C 、A 、F 、D ；A 、B 、D 、E 共六组四点共圆。

(3)△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。

4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。

△ABC 的重心一般用字母G 表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G 的连线必平分对边。

(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

(3)ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

5、三角形各心间的联系①外心、垂心、内心之间具有变通性如图，对于非直角三角形ABC ，三边垂直平分线交于一点O ，则O 是△ABC的外心。

GEFDCBAICBAOCBAH FEDCBA第24讲 三角形的四心几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位， 几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加 勇气，提高修养。

------阿蒂亚知识纵横重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。

（1）重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。

如图，设G 是ABC ∆的重心，则 ①;21===GC GF GB GE GA GD ②.31ABC ABGAGC BGC S S S S ∆∆∆∆=== （2）外心三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。

如图，设O 是ABC ∆的外心，则 ①;OC OB OA ==②,2,2ABC AOC BAC BOC ∠=∠∠=∠.2ACB AOB ∠=∠ （2）内心三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。

如图，设O 是ABC ∆的内心，则 ①I 到三角形各边距离相等；②,2190,2190B CIA A BIC O O∠+=∠∠+=∠ .2190C AIB O ∠+=∠（3）垂心三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。

如图，设H 是ABC ∆的垂心，则 ①;,,AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥②;;;F E C B D H E C F H D B E H F A 、、、；、、、、、、、、、OED CBAE D B A DF A C 、、、、、、;共六组四点共圆。

例题求解【例1】如图，ABC ∆中，c AB b AC a BC ===,,．若BC AC 、上的中线 AD BE 、垂直相交于点O ，则C 可用b a 、的代数式表示为 。

（第19届江苏省竞赛题）思路点拨 设，y OE x OD ==,则由重心性质有；y BO x AO 2,2==建立y x 、的方程组。

【例2】已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，111C B A 、、分别是点I 关于边AB CA BC 、、的对称点， 若点B 在111C B A ∆的外接圆上，则ABC ∠等于．( )A.︒36B.︒45C.︒60D.︒90（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛题） 思路点拨 由r IC IB IA 2111===（r 为ABC ∆的内切圆半径），得I 同时是111C B A ∆外接圆 的圆心。

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．解：∵BD 、CE 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △BCE ，∴S △ABD ﹣S △BEF ＝S △BCE ﹣S △BEF ，即S 四边形AEFD ＝S △BCF ＝6，故答案为：6．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．解：∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，∴OC是△ABC斜边AB上的中线，∴OA＝OC，∵AE是△ABC的中线，∴点F是△ABC的重心，∴OF：OC＝1：3，∴＝，故答案为：．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．解：∵OB＝BC，点M为△OBC的重心，∴BM⊥CO，∴∠OMH＝90°，∵点B（﹣2，3），∴点M（﹣2，1），即MH＝1，HO＝2，①△OBC绕着点O顺时针旋转90°，如图①，过点M′作M′D⊥x轴，∴∠MOM′＝∠M′DO＝90°，∴∠MOC+∠M′OD＝∠M′+∠M′OD＝90°，∴∠M′＝∠MOC，∵∠OMH＝∠M′DO＝90°，OM＝OM′，∴△MOH≌△M′OD（AAS），∴OD＝MH＝1，M′D＝OH＝2∴M′（1，2）；②△OBC绕着点O逆时针旋转90°，如图②，过点M″作M′E⊥y轴，同理可得M″（﹣1，﹣2），综上所述：旋转后三角形的重心的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）．故答案为：（﹣1，﹣2）或（1，2）．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．解：连接OA，作△ABC的外接圆⊙O，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝17°，∴∠AOB＝180°﹣2×17°＝146°，∴∠C＝∠AOB＝73°，故答案为：73．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．解：∵|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，∴（b+1﹣4+4）+（a2﹣10b+25）+|c﹣4|＝0，∴（﹣2）2+（a﹣5）2+|c﹣4|＝0，∴﹣2＝0，a﹣5＝0，c﹣4＝0，解得，a＝5，b＝3，c＝4，∴AC＝3，BC＝5，AB＝4，∵52＝32+42，∴BC2＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，BC为斜边，∴△ABC的外接圆的半径为BC＝．故答案为：．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有＝＝，即（4﹣x）2+（6﹣y）2＝（2﹣x）2+（4﹣y）2＝（2﹣x）2+y2，化简后得x＝6，y＝2，因此圆心坐标为（6，2）．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8；根据勾股定理AB＝＝10；四边形OECF中，OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF；∴CE＝CF＝（AC+BC﹣AB）；即：r＝（6+8﹣10）＝2．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13解：如图；解方程x2﹣13x+30＝0，得：x＝10，x＝3，∴AD＝AF＝10，BD＝BE＝3；设CE＝CF＝x，则AC＝10+x，BC＝3+x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，即132＝（10+x）2+（3+x）2，解得：x＝2（负值舍去），∴AC＝12，BC＝5；＝AC•BC＝×5×12＝30．因此S△ABC故选：A．【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．解：Rt△ABD中，BD＝10，由勾股定理，得：AB2+AD2＝AB2＝100…①；设△ABD内切圆的半径为R，则有：R＝＝2，即AB+AD＝14…②；联立①②得：，解得．故AB的长为6，AD的长为8．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．解：∵BE和AD为△ABC的高，∴∠AEH＝∠BDH＝∠BEC＝90°，∵∠AHE＝∠BHD，∴∠EAH＝∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴AE＝BE，∵∠AEB＝90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，故答案为：45°．变式训练【变式4-1】．在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．解：设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，即25﹣x2＝36﹣（7﹣x）2，解得：x＝；在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即25﹣y2＝49﹣（6﹣y）2，解得：y＝1；在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，∴AD＝2；又∵△AHE∽△ACD，∴＝，即＝，解得：AH＝．故答案为：．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连接AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°解：∵∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，∴∠C＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∴∠AOB＝2∠C＝130°．故选：C．2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．解：∵AB＝BC＝AC＝3，＝，∴S△ABC∵△ABC≌△A′B′C′，∴每个小三角形的边长与大三角形边长之比为：1：3，即相似比为：1：3，∴小三角形与大三角形面积之比为：1：9，∴每一个小三角形的面积是，∴阴影部分的面积是．故选：A．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：由题意画图如下，则△ABC为等边三角形，且内接于⊙O，∴AB＝AC＝BC＝6cm，∠A＝60°．过点O作OD⊥BC于点D，则BD＝CD＝BC＝3cm，连接OB，OC，则OB＝OC，∵OD⊥BC，∴∠DOB＝∠BOC．∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠DOB＝60°．在Rt△OBD中，∵sin∠DOB＝，∴．∴OB＝2．故选：A．4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°解：连接OD，OF，则∠ADO＝∠AFO＝90°；由圆周角定理知，∠DOF＝2∠E＝104°；∴∠A＝180°﹣∠DOF＝76°．故选：B．5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．解：如图，连接AC交BD于E，过点B作BF⊥CD于G，交AC于点F，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∵∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BCD＝60°，BC＝DC，∴△BCD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∴点E是△BAD的外心，点F是△BCD的内心，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝5，∴BD＝10，∴BE＝DE＝5，在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°，BE＝5，∴BF＝2EF，∵BE2+EF2＝BF2，∴（5）2+EF2＝（2EF）2，∴EF＝5．∴△ABD外心与△BCD内心的距离为5．故选：A．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD＝30°，OD＝R；AD＝＝R，即AB＝2R；同理可求得A1B1＝R；∴＝＝．故选：A．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．56解：设三边分别为7a，24a，25a，则：（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2＝24×7÷2，解得：a＝，∴构成的三角形的三边分别是，16，，∴周长＝+16＝．故选：C．8．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．解：∵点G是△ABC的重心，∴AG：DG＝2：1，AD是BC边上的中线，：S△DGC＝2：1，∴S△ACG∵△DGC的面积为4，＝8，∴S△ACG＝4+8＝12，∴S△ACD又∵AD是BC边上的中线，＝2S△ACD＝2×12＝24．∴S△ABC故答案为：24．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，AB＝，∴∠ADC＝90°，AD＝＝＝4；在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴＝，即2R＝＝＝5；∴⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．解：延长CD交AB于H，如图，∵点D是等腰Rt△ABC的重心，∴CH为斜边AB上的中线，CD＝2DH，∴CH⊥AB，CH＝AB，∴CD＝CH＝AB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴CD＝AC，∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴△CDE为等腰直角三角形，∴△CDE∽△CAB，∴△DCE的周长：△ABC的周长＝CD：CA，∴△DCE的周长＝×6＝4．故答案为：4．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．解：连接OC，OE，∵⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，∴AD＝AF，CE＝CF，BD＝BE，∵OE＝1，∠C＝60°，∴∠OCE＝30°，∴CE＝，OE＝1，∴CE+CF＝2，∴AD+BD＝AF+BE＝AB＝5，∴AB+BE+AF＝10，∴△ABC的周长为10+2．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．解：如图，延长CP交AB于G，∵点P是△ABC的重心，∴CP：PG＝2：1，∵DE∥AB，∴，，∴，，∵ED∥AB，DF∥BC，∴△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC，∴S，S＝4，＝S△ABC﹣S△CED﹣S△AFD∴S四边形BEDF＝36﹣16﹣4＝16，故答案为：16．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，而∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝160°，∴∠BAC＝180°﹣160°＝20°．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．解：解方程x2﹣7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，当4为直角边长时，斜边长＝＝5，则此直角三角形外接圆的半径为，当4为斜边长时，此直角三角形外接圆的半径为2，综上所述：此直角三角形外接圆的半径等于或2，故答案为：或2．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．解：过点C作CD⊥AB，垂足为．设AD＝x，则BD＝8﹣x．由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．∴72﹣x2＝52﹣（8﹣x）2．解得：x＝5.5．∴CD＝＝．由△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×r可知：．解得：r＝．故答案为：．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．解：如图所示，连接CG并延长，交AB于F，连接AG并延长，交BC于H，连接FH交DE于N，则FH是△ABC的中位线，∴FH∥AC，∵BD＝BC，∴BD＝BH＝CH，∵NH∥EC，∴＝＝，即EC＝NH，∵NH∥AE，∴＝＝，即AE＝2NH，∴＝＝，∴＝．故答案为：．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．解：连接OA，设EF＝x∵△ABC是⊙O的内接等边三角形∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°∴△AEF为等边三角形∴AO⊥EF∴OF＝＝1∴EF＝2OF＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12；∴AC＝13，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、E，过O2作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于F、G、H；∵∠B＝90°，∴四边形O1NBE是正方形；设圆的半径为r，根据切线长定理5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2，∴BE＝BN＝2，同理DG＝HD＝CF＝2，∴CG＝FO2＝3，EF＝12﹣4＝8；过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝EF＝8，FM＝BN＝2，∴O2M＝1，在Rt△O1O2M中，O1O2＝＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，∴AO＝2OD，OB＝2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝5，∴AB＝＝．故答案为．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是解：如图，延长CF交△ABC的外接圆于M，连接BM，AM，∴△ABC的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径是2，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△ABM的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFC＝∠BEC＝90°，∴∠CAB+∠ACF＝90°，∠ABE+∠CAB＝90°，∴∠ACF＝∠ABE，∵∠ACF＝∠ABM，∴∠ABE＝∠ABM，同理：∠BAH＝∠BAM，在△AHB和△AMB中，，∴△AHB≌△AMB（ASA），∴△AHB的外接圆的半径等于△AMB的外接圆的半径，∵△ABM的外接圆半径为2，∴△ABH的外接圆的半径为2，故答案为2．22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．解：设初始位置的等边三角形为△ABC设第一次等边三角形落在l上的三角形的内心为O′，连接OC，O′C，过点O作OD⊥BC于点D，如图，∵点O，O∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∠O′CB＝∠BCA＝30°，∴∠OCO′＝120°．∴点O移动一次的轨迹为以等边三角形的一个顶点为圆心，OC的长为半径，圆心角的度数为120°的弧，∵OD⊥BC，△ABC为等边三角形，BC＝2，∴CD＝BC＝1．∴OC＝＝．∴点O移动一次的弧长为．∴当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为：9×＝4，故答案为：4．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．解：如图，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，CF，AH，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∵HE⊥BC，∵点H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∴点A，H，E三点共线，连接CH并延长交AB于G，∵点H是△ABC的垂心，∴CG⊥AB，∴∠AGC＝90°＝∠BAF，∴AF∥GC，∵AH⊥BC，CF⊥BC，∴AH∥FC，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝90°＝∠BCF，∴OD∥FC，∵点O是BF的中点，OD是△BCF的中位线，∴CF＝2OD＝4，∴AE＝AH+HE＝4+3＝7．故答案为：7．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．解：如图；Rt△O1BD中，∠O1BD＝30°；∴＝cos30°＝；∴＝＝，＝S△ABC＝；∴S△O1BP1＝S△O1BP1＝×S△ABC＝（）2×8；同理可求得S△O2BP2＝（）n×8＝；依此类推，S△OnBPn当n＝2009时，△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．解：连结AP，延长AP交x轴于点Q，作AM⊥x轴于点M，作PN⊥x轴于点N，则AM//PN，∴△PNQ∽△AMQ，∴，∵P为△AOB的重心，∴，∴，∴A，P的纵坐标之比为3：1，设A（a，3m），P（x P，m），则3ma＝x P•m，∴x P＝3a，P（3a，m），设直线AP为y＝kx+b，∴，∴，∴，令，∴x＝4a，∴B（8a，0），设直线AB为：y＝px+q，∴，∴，∴，∴，得：3ax2﹣24ax+21a2＝0，整理得：x2﹣8ax+7a2＝0，解得：x1＝a（舍去），x2＝7a，∴C，∴，∴故答案为：3：1，6．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．解：如图，连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，∵点H是△ABC的垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，即∠AFC＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠CHE＝90°﹣∠ACF＝60°，∴∠BHC＝180°﹣∠CHE＝120°，连接OB，OC，∵点O是△ABC的外心，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵O是△ABC的外心，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∴∠BOC＝∠BHC，∴B、C、H、O四点共圆，∴∠OHB＝∠OCB＝30°，∴∠PHE＝∠OHB＝30°，∴∠CHP＝∠CHE﹣∠PHE＝30°，∴∠OHC＝180°﹣∠PHC＝150°，∵∠OCB＝30°，∴∠OCP＝180°﹣∠OCB＝150°＝∠OHC，∵∠COH＝∠POC，∴△OHC∽△OCP，∴，∴OH•OP＝OC2＝4，故答案为：4．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．解：取AC的中点M，连接BM，MF，∵△ABC与△EBD为全等的直角三角形，∴AB＝BF，BD＝BC，∴∠BAF＝∠BFA，∠BCD＝∠BDC，∵∠ABC＝∠DBF＝90°，∴∠ABF＝∠CBD，∴∠BAF＝∠BCD，∴∠BAF+∠BCF＝180°，∴A、B、C、F四点共圆，∵∠ABC＝90°，∴AC的中点M为圆心，BM为半径，∴F点在以M为圆心BM为半径的圆上，∵AB＝2，BC＝1，∴AC＝，∴0≤BF≤，故答案为：0≤BF≤．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，∵BF＝BC，点D为线段CO′的中点，∴BD是△CFO′的中位线，∴BD＝FO′，∵将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，∴点O′在以A为圆心、AO为半径的圆上运动，当点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，∵AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，∴BE＝EC＝BC＝8，AE⊥∴AE＝＝＝6，∴AO＝AO′＝AE＝4，∵BF＝BC＝16，∴FE＝FB+BE＝16+8＝24，∴AF＝＝＝6，∴FO′＝FA+AO′＝6+4，∴BD＝FO′＝×（6+4）＝3+2，故答案为：3+2．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．解：如图，连接OB和OC，过点O作OH⊥DE于H，∵△ABC是等边三角形，点O为三条中线的交点，∴OB＝OC，∠DBO＝∠ECO＝30°，∠BOC＝120°，∵∠DOE＝120°，∴∠DOB＝∠EOC，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OD＝OE，∵∠DOE＝120°，∴∠OEH＝30°，设OH＝x，则OE＝2x，EH＝x，∴DH＝EH＝x，∴DE＝2x，∴，∴当OE最小时，DE最小，∵当OE⊥BC时，OE最小，此时△BDE是等边三角形，∴DE的最小值为BC的一半，即．故答案为：2．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴OM＝．故答案为．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．解：如图1，连接AG并延长，交BC于点F，连接OF，OB，过G作GE∥OF，交x轴于点E，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOF＝45°，∴△BOF是等腰直角三角形，∵OB＝3，∴OF＝BF＝，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，∵EG∥OF，∴＝，△AGE∽△AFO，∴GE＝，∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（1，0），当D、G、E三点共线时，DG的长最小，∴DE＝＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．解：（1）如图1，设AC的中点为E，连接BE，∵半圆D经过AC的中点，AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC且BE平分AC，∴点B到点A，C的距离相等，∴BC＝AB＝4，（2）①当CB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥CB于点H，如图2，设BH＝x，则72﹣（4+x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴CH＝，AH＝，∴tan C＝，②当CB＝CA时，内心、外心与顶点C在同一条直线上，作AH⊥CB于点H，如图3，设BH＝x，则72﹣（7﹣x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴CH＝，AH＝，∴tan C＝，综上，tan C＝或tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．解：（1）当然是GH不变，重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变，PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；则GH＝（OP）＝（×6）＝2；（2）延长OG交PH于点K，延长HG交OP于点F，∵△PGH为Rt△，FG＝GH＝1，PF＝OP＝3，∴PG＝2，∴PH＝，∴KG＝∴OG＝∴OG：PG：HG＝：2：2＝：：1；（3）△PGH是等腰三角形有3种可能性，①当GP＝PH时，PH＝，②当GP＝GH时，PH＝0（不存在），③当PH＝GH时，PH＝2，∴PH＝或PH＝2．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH＝DG＝GF，H为半圆的圆心，不妨设GH＝a，则GF＝2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF＝．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a＝：2；②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD＝x，AD＝y，则BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；在直角三角形AEB中，∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，于是得到ED2＝AD•BD，即102＝x•y②．解①式和②式，得x+y＝21，即半圆的直径AB＝21．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣4，∵点D与点G关于坐标原点对称，∴G（﹣2，6），把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x﹣4，得：y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6，∴G（﹣2，6）在此抛物线上；（2）设直线DG的解析式为y＝mx+n，∵D（2，﹣6），G（﹣2，6），∴，解得，∴直线DG的解析式为y＝﹣3x，假设此抛物线上存在这样的点P（x，x2﹣3x﹣4），使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线DG上，∵M（x，﹣x2+3x+4），N（﹣x，x2﹣3x﹣4），∴x2﹣3x﹣4＝3x，解得，故所求点P的坐标为或；（3）如图1，连接BI．OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过点M作MH⊥y轴于点H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝2，∴MI＝OM＝2，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝2，∴CH＝OH+OC＝2+4＝6，∴CM＝＝2，∵CI≥CM﹣MI，∴当且仅当C，M，I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为．。

第19讲三角形的“四心”有一个人开始跟欧几里德学习几何学，当他学完第一个命题时，他就问欧几里德：我能通过学习这些东西得到什么好处呢？于是欧几里德叫来他的仆人，并说：给他三个便士，因为他想从所学的知识中获取实利。

——斯托比亚斯知识方法扫描1．三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。

如果△ABC的内心为I，则有①I 到△ABC的三边距离相等；1∠C；②∠AIB＝90°＋2③若延长CI交三角形ABC的外接圆于D，则DA=DB=DI。

2．三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心，称为三角形的外心。

如果△ABC的外心为O，则有①O到三个顶点的距离相等；②∠AOB＝2∠C；③外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。

3．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如果△ABC的重心为G，则有①重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍；②△ABG，△BCG，△CAG的面积相等。

4．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。

如果△ABC的垂心为H ，则有①若△ABC是锐角三角形，则∠AHB＝180°－∠C；②若AD是△ABC的高，AD交三角形ABC的外接圆于E，则DE=DH。

经典例题解析例1（1995年全国初中数学联赛试题）如图, 已知∠ACE＝∠CDE＝90°, 点B在CE上, CA＝CB＝CD, 过A、C、D三点的圆交AB于F. 求证：F为△CDE 的内心.分析若连结DF、CF, 显然要证明DF平分∠CDE,CF平分∠DCE. 证明DF平分∠CDE只要证∠CDF＝45°,这是容易解决的. 证明CF平分∠DCE可以转证∠CFD＝∠CFB, 这样便于与已知条件CA＝CD沟通起来.证明∵∠ACE＝90°, CA＝CB, ∴∠A＝45°.连结DF, 则∠CDF＝∠A＝45°.∵∠CDE＝90°, ∴DF平分∠CDE.连结AD、CF. ∵CA＝CD, ∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CFD 与∠CAD 互补, ∠CFB 与∠CFA 互补, 而∠CFA ＝∠CDA, ∴∠CFB 与∠CDA 互补. ∴∠CFD ＝∠CFB. ∴F 是△CDE 的内心.例2 (河南省第三届初中数学竞赛试题) 一条直线DE 平分△ABC 的周长, 同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.证明 如图, 设点D 、E 分别在边AB 、AC 上, r 为△ABC 的内切圆半径, 连结AO 、BO 、CO 、DO 、EO, 由题设, 得：AD ＋AE ＝BD ＋BC ＋CE,∵r ＞0, ∴2r (AD ＋AE)＝2r (BD ＋BC ＋CE).结合图形, 得：S △AOD ＋S △AOE ＝S △DOB ＋S △BOC ＋S △COE ① 又∵DE 平分△ABC 的面积, 由图可知 S △ADE ＝S 四边形BCED ②比较①、②, 可知只有当S △DOE ＝0时, 才能使两个等式都成立.，所以直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.从而O 点必在DE 上, 即直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心.例3（2001年我爱数学初中生夏令试题）在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足；DE ⊥AC ，E 为垂足；DF ⊥AB ，F 为垂足，O 为△ABC 的外心，求证：（1）△ABC ∽△AEF ；（2）AO ⊥EF 。

⋅ = + ⋅ ⇒ = − ， ①
同理,由 ⋅ = + ⋅ ⇒ = − + , ②
联立①②以及 = = 即可解得
+ = = ×
故答案为
−
.

−

=
−
（2） OA
2
+ BC
2
= OB
（3）若动点P满足AP = λ
2
+ CA
2
AB
AB cos B
2
2
= OC + AB ；
+
AC
AC cos C
λ ∈ 0, +∞ ，则动点P经过三角形的垂心.
或OP = OA + λ
AB
AB cos B
+
AC
AC cos C
,
3.设P是△ ABC的内心，则有以下结论:
（1） AB PC + BC PA + CA PB = （或aPA + bPB + cPC = ），其中a,b,c分别
是△ ABC的三边BC，AC，AB的长；
（2）若动点P满足AP = λ
AB
AB
+
AC
AC
或OP = OA + λ
AB
AB
+
AC
AC
,λ ∈ 0, +∞ ，则动
点P经过三角形的内心.
故选B.
题型四 垂心问题
例4（1） 已知△ ABC的外接圆的圆心是M，若PA + PB + PC = 2PM，则P是△ ABC
的( D )
A.内心

第十九讲三角形的四心【趣题引路】你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,•变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,•空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,•微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,•在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 .初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗?证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径,如图1,BO=OE,做OD⊥BC•于点D,•则BD=DC.∴OD//12EC.∵BE是直径.∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形.∴AH//EC,∴AH=2OD;（1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2.OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′.∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′.∴AG′=2G′D.又∵AD是中线,∴G′与△ABC重心重合.∴三角形的外心,重心,•垂心三点共线.即H、G′、O共线.【知识延伸】三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.•由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础.外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC•的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC.内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC•的内心.则有:(1)∠BIC=90°+12∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)•内心I 到△ABC 的三边距离相等;(4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC.(5)•在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=12(a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G•分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ;(3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,•则有AD 2=12(AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理).垂心是三角形三条高所在直线的交点,•常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC .(3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC =12AB ·r. S △ALC =12AC ·r.∵AB>AC,∴S △ALB > S △ALC .当△ABC 为钝角三角形时,若H 为△ABC 的垂心,显然S △ABC ≠S △AHC + S △BHC+ S △BHA . 故选B. 点评利用重心、内心、垂心的性质,用排除法排除了甲和丙不成立,最后确定乙成立. 例2 如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,BC=a,CA=b,AB=c,I 为其内心,则tan 2B +tan 2C 的值为( ). A.2a a b c ++ B.aa b c ++C.22a a b c++ D.以上答案均不对 解析 连BI,AI,CI,过I 分别作三边的垂线ID,IE,IF,垂足分别为点D 、E 、F,•设△ABC 的内切圆I 的半径为r,则ID=IE=IF=r.在Rt △CIF 中,tan 2C =rCE .在Rt △BIF 中,tan 2B rBF=,∴tan 2B +tan 2C =r rCF BF +=()BF CF r BF CF +=ar BF CF.由切线长可知:CF+BF=a,CE+AE=b,AD+BD=c.又∵CE=CF,AD=AE,BD=BF,∴CF=12(a+b-c),BF=12(a+c-b). ∴CF ·BF=12(a+b-c)(a+c-b)=14[a 2-(c-b )2]=14[b 2+c 2-(c-b)2]=12bc.又∵12bc= (a+b+c)r =S △ABC ,∴bc=(a+b+c)r.∴BF ·CF=12(a+b+c)r. ∴tan 2B +tan 2C =2ara b c r ++=2a a b c ++.选A.点评由于I 为内心,由2B , 2C联想到连结BI,IC.在Rt △ABC 中用BF,CF 来表示出tan 2B ,tan 2C的值.再利用切线长定理表示出CF,BF 的长.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,△ABC 的外接圆为⊙O,∠ACB=60°,N 是弧AB 的中点,H 是垂心. 求证:CN ⊥OH.证明 连OC 、ON,延长AH 交⊙O 于H ′,连OH ′,CH ′. 由∠ACB=60°,得∠CAH ′=•30°, ∴∠COH ′=2∠CAH ′=60°.∵OC=OH ′,∴△OCH ′是正三角形,即OC=OH ′=CH ′. ∵AH ⊥BC,CH ⊥AB.∴B 、•Q 、H 、P 四点共圆,得∠CHH ′=∠CBA. 又∠CH ′B=∠CBA,从而知∠CHH ′=∠CH ′A,• 于是△CHH ′为等腰三角形.且有CH=CH ′. 由于H 为垂心,N 为AB 的中点. ∴CH ⊥AB,ON ⊥AB,从而得CH ∥OH.又ON=OC=CH ′=CH,由此知四边形OCHN 为菱形. ∴OH ⊥CN. 点评本题设法证明OH,CN 是菱形的对角线,从而使问题获证.例2 在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=90°,CD 和BE 是△ABC 的两条中线,•且CD ⊥BE,求a:b:c.解析 如图,设CD 、BE 相交于点F,则F 为△ABC 的重心.设EF=x,DF=y,•则FB=2x,CF=2y. 在Rt △BCE 中,∵CF ⊥BE,∴Rt △BCF ∽Rt △BEC, ∴a 2=2x ·3x=6x 2.同理,(12b )2=x ·3x, 即b 2=12x 2.在Rt △DFB 中,由勾股定理,得 (12c )2=(2x)2+y 2,∴c 2=16x 2+4y 2. ① 又∵Rt △FEC ∽Rt △FCB,∴C F 2=EF ·BF.即(2y 2)=x ·2x,∴y 2=12x 2. ②以②式代入①得c 2=18x 2,∴a 2:b 2:c 2=6x 2:12x 2:18x 2=1:2:3 ∴点评由F 为Rt △ACB 的重心,因而a 、b 、•c•均能用两条中线长的代数式来表示.•又由CF 2=EF ·BF,问题获解.本题应用方程的思想方法处理平面几何的有关计算问题,其思路清晰,解题步骤规范.中考真题欣赏例1 (2003年南宁市中考题) 已知E 是△ABC 的内心,∠A 的平分线交BC 于点F,且与△ABC 的外接圆相交于点D,如图. (1)求证:∠DBE=∠DEB;(2)若AD=8cm,DF:FA=1:3,求DE 的长.证明 (1)∵E 是△ABC 的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠BED=∠3+∠1,∠5=∠2, ∴∠4+∠5=∠3+∠2=∠3+∠1, 即∠EBD=∠BED;(2)∵∠EBD=∠BED,∴DE=DB.∵∠D=∠D,∠5=∠2=∠1,∴BD 2=AD ·FD.∵DF:FA=1:3,AD=8, ∴FD:AD=1:4,184DF ,∴DF=2(cm). ∴B D 2=8×2=16,∴DE=BD=4(cm).点评利用内心,圆周角等性质将已知和未知关系联系起来,从而使问题获解.例2 (2001年上海市业务数学招生试题)如图,已知O 是△ABC 的边AB 、AC 的中垂线的交点,I 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点,且∠I+∠BOC=180°.求∠BAC 的度数.解析 ∵O,I 分别是△ABC 的外心和内心,∴∠BOC=2∠BAC,∠I=90°+12∠BAC, 又∵∠I+∠BOC=180°, ∴90°+12∠BAC+2∠BAC=180°. ∴∠BAC=36°. 点评利用外心和内心的性质,将∠BOC 、∠BIC 用∠BAC 来表示,然后建立方程得解.竞赛样题展示例1 (2003年黄冈数学特长生选拔试题)如图,△ABC 中,AB=1998,BC=1999,AC=2000,I 为内心,G 为重心,求IG 的长.解析 连结AI 并延长交BC 于O,连AG 并延长交BC 于J,连BI,IG,由角平分线的性质定理得又∵BO+OC=1999,∴BO=999,OC=1000.又∵BJ=JC=19992,∴OJ=12又∵BI 为角的平分线,∴1998999AB AI BO IO ===2,而AG GJ=2, ∴IG ∥OJ,∴23IG OJ =, GI=23×12=13.点评连结AI,AG 并延长交边BC 于O 、J,连BI.由角平分线的性质可求出BO 、OC 的长,利用角的平分线的性质可计算出AI IO 的值,因为G 为重心,同样可知AG GJ 的值,发现AI IO =AG GJ,从而计算出IG 的长.例2 (第23届加拿大奥赛预选题)△ABC 的外心为O,AB=AC,如图,D 是AB•的中点,E 是△ACD 的重心.证明:OE ⊥CD.证明 设F 、F 分别为AC 、BC 的中点,连结AG 、DF,设AG 交DC 于H,GF 交DC 于I,• 则O 在AG 上,E 在OF 上. ∵AB=AC,AG ⊥BC,DF //12BC. ∴HO ⊥DE,∵D 、F 、G 分别为AB 、AC 和BC 的中点,知H 为△ABC 的重心, ∴DH=13DC=23DI. 由E 为△ADC 的重心,知DE=23DF. 由23DH DEDI DF==,∴EH ∥IF,即EH ∥AB, 由O 为△ABC 的外心,知OD ⊥AB,OD ⊥EH,OH ⊥DE,OD ⊥HE.知O 为△DEH 的垂心.∴EO ⊥DH,即EO ⊥CD. 点评本例综合运用了重心,垂心和外心的概念与性质.全能训练A 卷1.在△ABC 中,∠A 是钝角,O 是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是( )2.设G 为△ABC 的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,则△ABC 的面积为( )A.58B.66C.72D.843.在△ABC 中,BC=3,AC=4,BC 和AC 的中线AE,BD 互相垂直,则AB 等于( ).4.如图,△ABC 的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,则m:n:p 等于( ) A.111::a b cB.a:b:cC.cosA:cosB:cosCD.sinA:sinB:sinC 5.如图,在锐角△ABC 中,AD ⊥BC,点D 为垂足,DE ⊥AC,点E 为垂足,DF ⊥AB,•F 为垂曲心,O 为△ABC 的外心. 求证:(1)△AEF ∽△ABC; (2)AO ⊥EF.6.如图,直线PQ过△ABC的重心M,P、Q分别内分AB、AC的比值为p、q。

引言：
在高考中，往往将“向量作为载体”对三 角形的“四心”进行考查。在了解三角形 的“四心”定义及向量的运算的基础上读 懂向量的几何意义。下面从三个方面加以 阐述：
1. 三角形的“四心”定义和性质
2.与三角形的“四心”有关的一些常见的向 量关系式；
3. 与三角形的“四心”有关的高考连接题
及其应用；
依次是 （ C ）
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.内心 重心 外心
【练习】：若点O是ABC的外心，O A O B C O 0， 则 ABC的内角C等于（D ）
A. 45 B. 60 C. 90 D. 120
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例２．过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于
三角形的四心问题
河高高三数学组 王波
温馨寄语：惜时、勤奋、自信、 专心，才会开出成功之花。
学习目标：了解三角形四心的概念及性质， 能根 据题目的特点，利用向量知识，结合向量的运算， 结合图形处理一些简单问题。 课 型：复习课 学 法：练习归纳、总结巩固。
学习重点：三角形四心的概念及性质 学习难点：问题的转化，知识的综合应用
的内部，且有 O A 2 O B 3 O C 0，则
ABC的面积与AOC的面积的比为( C )
3
A. 2 B. 2
5
C. 3 D. 3
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课堂小结
1.________________________________
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一、要点梳理
1.三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

学科: 奥数教学内容：三角形的四心【内容综述】三角形的四心，指的是三角形的垂心。

重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。

（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。

垂心常用字母H来表示。

（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。

重心常用字母G来表示。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。

（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。

内心常用字母I来表示。

内心到三边的距离相等。

（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

【例题分析】★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。

求证：AO=BE+CF。

思路直接证AO=BE+CF比较困难。

可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。

证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。

∵G是重心，BD=DC。

过D 点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。

★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。

思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。

解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。

从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。

因而ID=IE。

在△DIE中，即由余弦定理解得★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。

思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。

证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。

又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。

同理可证AB=2BT。

第二十八讲 三角形的四心一、三角形的外心1．定义：三角形三边中垂线的交点（即外接圆的圆心）。

2．性质与判定：⑴ 点O 为△ABC 的外心OA OB OC ⇔==；⑵ 点O 为△ABC 的外心且90A ∠≤,2OB OC BOC A ⇔=∠=∠；⑶ 点O 为△ABC 的外心且90A ∠>,3602OB OC BOC A ⇔=∠=-∠。

二、三角形的重心1．定义：三角形三边中线的交点。

2．性质与判定：⑴ 点G 为△ABC 的重心⇔点G 分任一条中线之比为2:1；⑵ 点G 为△ABC 的重心⇔S △GBC = S △GAB = S △GCA =13S △ABC 。

三、三角形的内心1．定义：三角形三条角平分线的交点（即内切圆的圆心）。

2．性质与判定：点I 为△ABC 的内心⇔点I 到三边的距离相等且点I 在三角形内部；3．三角形面积与内切圆半径及三边关系：1()2S a b c r =++⋅。

四、三角形的垂心定义：三角形三高的交点。

五、四心间的关系三角形的四心之间有十分密切的关系，其中最典型的是欧拉线，三角形的垂心H 、重心G 以及外心三点共线且HG=2OG ；欧拉公式：22222,4OI R Rr OH R Rr =-=-； 对于正三角形来说，四心重合，这个点也叫做三角形的中心；对于锐角三角形来说，设点P 为△ABC 内一点，且P 点到BC 、CA 、AB 的距离分别为x,y,z ，则：⑴ 若P 为内心：::1:1:1x y z =⑵ 若P 为重心：111::::x y z a b c= ⑶ 若P 为外心：::cos :cos :cos x y z A B C =⑷ 若P 为垂心：111::::cos cos cos x y z A B C=【例1】如图，已知平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12。

求平行四边形ABCD 的面积。

思路点拨：设AC 交DE 于O ，可推出G 为△ABD 重心。

知识点、重点、难点三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容,是初中数学竞赛的热点。

1.外心三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心,即该三角形外接圆的圆心,△ABC 的外心通常用字母O 表示。

它具有如下性质：(1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中,若∠A 是锐角,则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角,则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即是该三角形内切圆的圆心,△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质：(1)内心在△ABC 三边距离相等,这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径；(2)若I 是△ABC 的内心,则11190,90,90222BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠；(3)若I 是△ABC 的内心,AI 延长线交△ABC 外接圆于D ,则有DI =DB ＝DC ,即D 为△BCI 的外心。

3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G 是△ABC 的重点,则13GBC GCA GAB ABC S S S S ∆∆∆∆===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。

4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”,它具有如下性质：(1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ；(2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上；(3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中,以垂足△DEF的周长最短。

三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论 (2)1、外心 (2)2、内心 (3)3、垂心 (5)4、重心 (6)5、外心与内心 (8)6、重心与内心 (9)7、外心与垂心 (9)8、外心与重心 (11)9、垂心与内心 (11)10、垂心、重心、外心 (11)旁心 (12)二、“四心”的联想 (13)1、由内心、重心性质产生的联想 (13)2、重心的巧用 (14)3、三角形“四心”与一组面积公式 (16)三角形各心间的联系 (20)与三角形的心有关的几何命题的证明 (21)三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。

由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。

92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。

本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。

一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。

△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。

(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。

如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。

下面我们举例说明。

例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC 中，XX ′，YY ′，ZZ ′分别是BC ，AC ，AB 边的垂直平分线，求证：XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点(图3－111)．分析先证XX ′，YY ′交于一点O ，再证O 点必在ZZ ′上即可．证因为XX ′，YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线，所以XX ′，YY ′必相交于一点，设为O(否则，XX ′∥YY ′，那么∠C 必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC ，OC=OA ，所以OB=OA ，所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上，所以XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点．说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离相等，所以以O 点为圆心，以OA 长为半径作圆，此圆必过A ，B ，C 三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O 点称为三角形的外心．例1、如图9-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共圆。

1、掌握三角形的重心的定义与性质。

2、掌握三角形的内心。

3、理解三角形的外心与垂心的定义。

1、重心：如图，三角形三边的中线交于一点，该点称为三角形的重心。

GDAG =GFCG =GEBG =122、内心：如图，三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心，内心到三角形三边距离相等。

是三角形内切圆的圆心。

若三角形三条边长分别为a 、b 、c ，面积为s ，则其内切圆半径r=cb a s ++2直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的二分之一。

3、外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点叫做三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。

外心到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心。

4、垂心：三角形三边的高线相交于一点，这点叫做三角形的垂心。

锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心在直角的顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。

类型一 重心【典例1】如图，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 、BF求证证明：的中点，∴M 是△ABD 的重心， ∴AM=2AMO同理，N 是△BCD的重心，CN=2NO ， ∴AM=31AO ，ON=31OC ，AM=32AO ，NC=32OC ，变式训练1：△ ABC 的顶点A （0，0）B （0，2） 重心G （1，1求D 、C 的坐标。

解：∵D 为AB 的中点，∴D （0，1）又∵M 为 DN 的中点，N （1，2） 又∵N 为CN 的中点，∴C类型二 内心【典例2】在RT △ABC 中，∠C=90°AC=8 BC=6，求RT △ABC 的内切圆I 的半径r 。

解：方法1：在RT △ABC 中，AB=10，∴r=2ABBC AC -+=2 方法2：S RT △ABC =21×6×8=24 ∴r=10862++S =2448=2度数。

三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。