高中数学 1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》 一 新人教B版必修2

1·1·2棱柱、棱锥和棱台的结构特征（1）多面体的概念多面体的定义：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.把多面体的任一个平面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.一个多面体至少四个面.多面体按照它的面数分别叫做四面体.五面体.六面体等.（2）棱柱的概念大家注意到上面几个图所表示的几何体均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此我们可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察第一个图形．首先看面：从面和面的关系及面的形状得出结论：有两个面互相平行，其余各面为四边形．再看线：从线与线之间的关系得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行．①棱柱的定义如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的高（公垂线段的长度也简称高）.②棱柱的表示法棱柱的表示方法有两种，一种用底面各顶点的字母表示，如右图中的棱柱可表示为棱柱A1B1C1D1—ABCD，或者用表示一条对角线的两个端点的字母表示，如右图中的棱柱也可表示为棱柱D1B(强调一定要冠以“棱柱”两字)．③棱柱的分类a.棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．b.棱柱的底面可以是三角形.四边形.五边形……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱.四棱柱.五棱柱…….④棱柱的性质a.棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.b.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.c.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.（3）棱锥的概念想一想，下图中的几何体有哪些共同的几何特征？归纳：（1）有一个面是多边形.（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形.另外，要掌握棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高和对角面等概念，掌握棱锥的简单分类.有一种特殊的棱锥，叫做正棱锥.它的特征是：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心.学好正棱锥，关键是掌握它的特征，特别是如图所示的两个直角三角形：由正棱锥的高、棱、底面正多边形外接圆半径构成的直角三角形和由正棱锥的高.斜高.底面三角形内切圆半径构成的直角三角形.这是我们在棱锥中经常研究的东西.（4）棱台的概念如果一个棱锥被一个平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分我们称之为棱台.根据棱台的形成，我们就有了判断一个几何体是否是棱台的简单方法：延长棱台的所有的侧棱，如果它们能交于一点，就可以认定这是个棱台，这个方法叫做“还台为锥”.另外，要掌握棱台的底面.侧面.棱.侧棱.顶点.高和对角面等概念，掌握棱台的简单分类.也有一种特殊的棱台，叫做正棱台.它的特征是：上下两底面是两个相似的正多边形，并且两底面的中心的连线与两底面垂直.学好正棱台，关键是掌握它的特征，特别是如图所示的两个直角梯形：由正棱台的高.棱.两底面正多边形外接圆半径构成的直角梯形（浅紫色的梯形）和由正棱台的高.斜高.两底面正多边形的内切圆半径构成的直角梯形（浅蓝色的梯形）.这是我们在棱台中经常研究的东西.1.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1/4，求证：AB1⊥MN.【解析】解法二：以A 为原点，建立空间直角坐标系如图所示A －xyz 则由已知条件和正三棱柱的性质，得A(0,0,0),B 1(1,0,1), B(1,0,0),)41,23,21(),0,43,43(),0,23,21(N M C ∴ 041041),41,43,41(),1,0,1(11=++-=⋅∴-==∴AB AB∴AB 1⊥MN.变：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥CA 1， 求证：BC 1⊥CA 1. 解：设,,,1AA ===则BC CA AB +-=-=+=111,,由已知条件和正三棱柱的性质，得,0|,|||=⋅=⋅=c b c a b a∵AB 1⊥CA 1，即0)()(,011=-⋅+∴=⋅CA AB即2||21,0b b a c c b c c c b a c a =⋅=⋅=⋅-⋅+⋅-⋅0||21||||21)()(22211=+-=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=-⋅+-=⋅∴b c a b b b c c c a c b b c c a b CA BC∴BC 1⊥CA 1.2.如图所示，正四棱台AC ′的高是17cm ，两底面的边长分别是4cm 和16cm ,求这个棱台的侧棱长和斜高.【解析】设棱台两底面的中心分别是O ′和O ，B ′C ′.BC 的中点分别是E ′.E ，连结O ′O 、E ′E 、O ′B ′、OB 、O ′E ′、OE ，则OBB ′O ′、OEE ′O ′都是直角梯形. 在正方形ABCD 中，BC ＝16cm ，则OB=cm,OE ＝8cm在正方形A ′B ′C ′D ′中，B ′C ′＝4cm ，则O ′B ′＝cm ，O ′E ′=2cm. 在直角梯形O ′OBB ′中，在直角梯形O ′OEE ′中，所以，这个棱台的侧棱长为19cm ，斜高为.点评：解决正棱台的相关问题，只要用好那两个直角梯形就可以了.3. 设棱台的高为h ，上.下底面的面积分别为1S 和2S （21S S <）．一个平行于底面的截面的面积为1S 和2S 的等比中项．求这棱台的上底面和截面之间的距离． 【解析】如图，把已知棱台复原成棱锥．设棱锥顶点到棱台上底面距离为1h ，棱台上底面与截面之间的距离为x ．2822)cm (19)2228(17)B O OB (OO BB 2222=-+=''-+'=')cm (135)28(17)E O OE (OO EE 2222=-+=''-+'='cm 135由已知棱台截面面积为21S S .依据棱锥平行于底面的截面的性质定理，得 ，由此可得 ，由上述后一式可得 ，代入前一式中，得解得 即为所求．点评：把台体补形，复原成锥体是处理台体的常用方法．这里的图形仅是由棱锥的高和一条侧棱所决定的平面的一部分．这也是把空间问题转化成平面问题的常用方法．4. 如图，已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，，且．（1）求侧棱与底面所成角的大小；（2）求侧面与底面所成二面角的大小；（3）求点到侧面的距离．【解析】（1）过作，垂足是，∵面面，∴面，是与底面所成的角．∵，∴为所求．（2）过作，是垂足，连，因为面，所以，∴是面与底面所成二面角的平面角．∵∴为所求．（3）根据定义，点到平面的距离等于三棱锥的高．由得，∵又∴点评：本题以一多面体为依托，设置三个小问，设问形式以证明或计算为主，每一小问之间还有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算能力相结合进行考查．表面上三小问都是计算题，但绝非单纯考查计算，为了进行正确计算，对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理，还得适当引进辅助线．5. 如图，已知三棱锥P ABC -的侧面PAC 是底角为045的等腰三角形，PA PC =，且该侧面垂直于底面，90ACB ∠=，10,6AB BC ==，113B C =，(1)求证：二面角A PB C --是直二面角； (2)求二面角P AB C --的正切值；(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体111ABC A B C -，求几何体111ABC A B C -的侧面积．【解析】证 (1) 如图，在三棱锥P ABC -中，取AC 的中点D ． 由题设知PAC ∆是等腰直角三角形，且PA PC ⊥． ∴ PD AC ⊥ ． ∵ 平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴ PD ⊥平面ABC ，∵ AC BC ⊥ ∴ PA BC ⊥，∴ PA ⊥平面PBC ， ∵ PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PBC ， 即二面角A PB C --是直二面角．解 (2)作DE AB ⊥，E 为垂足，则 PE AB ⊥． ∴ PED ∠是二面角P AB C --的平面角．在Rt ABC ∆中，10,6AB BC ==，则8,4AC PD == 由Rt ADE Rt ABC∆∆ ，得BC AD DE AB⋅=＝1046⨯＝512，∴ 所求正切为tan PD PED DE ∠=＝35． PC 1 CB AA 1B 1图31－31P C 1CBAEA 1B 1D(3) ∵ 1132B C BC == ∴111,,A B C 分别是,,PA PB PC 的中点．∴ 184162PAC S ∆=⨯⨯=， 162PBC S ∆=⨯⨯=∵ PE =＝2514416+＝3454，1102PAB S ∆=⨯=344．∴ S 棱锥侧16PAB PBC PCA S S S ∆∆∆=++=，∴ 几何体111ABC A B C -的侧面积 3S 124S ==几何体棱锥侧。

《空间几何体的结构（一）》教学设计1、章节内容：本章学习空间几何体。

课时安排为8课时，本章重点是认识空间几何体的结构特征，画出空间几何体的三视图、直观图，培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。

由空间图形说出其结构特征，由结构特征想象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化。

1.1节安排两课时，学生通过观察图片认识空间几何体；1.2安排两课时，学生可以在平面上画出空间几何体的三视图、直观图；1.3安排两个课时，学生可以了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积与体积，后面一节“实习作业”，一节习题课，本章教学层层递进，学生可以深刻体会空间几何体图形来自于生活实际，又为研究实际物体图形服务。

《空间几何体的结构（一）》是人教版A版新课程高一数学必修2第一章第一节第一课时，这一章是是立体几何学习初步，教师在教学时要层层递进，逐步培养学生的空间立体感。

2、教学理念和教学思路：我觉得新课程标准重在培养学生的动手动脑能力，重在知识的形成过程，而且《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，重在逐步培养学生的空间立体感，所以本节教学应加强几何直观的教学，通过实物结合，得出空间几何体的概念。

同时，通过学生激趣学习、类比学习，增强学生参与数学学习的意愿。

其次，在学生学习过程中能够经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．3、教材及学生学情分析：空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，新课标改变以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，而改为从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面．这样设计巧妙解决了立体几何入门难的问题，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣．笨节为空间几何体第一课时，本节内容学生在初中数学课程“空间与图形”已有所涉及，但高中阶段要求不同，素材更为丰富，学习的深度和概括程度加大．教学时要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理．本节在教学中学生容易出现以下问题：一是在归纳总结几何体的结构特征时，不能从现实生活空间中抽象出空间图形。

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征【目标要求】1.了解多面体的概念；2.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念，了解棱柱的表示及其分类；3. 了解棱锥、正棱锥的概念；4. 了解棱台、正棱台的概念.【巩固教材——稳扎马步】1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：( )A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直2.设有三个命题甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体乙：底面是矩形的平行六面体是长方体A丙：直四棱柱是直平行六面体以上命题中，真命题的个数是 ( )A.0B.1C.2D.33.条件M：四棱锥P－ABCD的四个侧面都是全等的等腰三角形。

条件N:P－ABCD是正四棱锥，则M是N的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.两底面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体是棱台的 ( )A.充分但不必要条件B.充要条件C.必要但不充分条件D.既不充分也不必要条件【重难突破——重拳出击】6.设M＝{正四棱柱}，N＝｛长方体｝，P＝｛直四棱柱｝，Q＝｛正方体｝，则这些集合间的关系是( )A.M⊃P⊃N⊃QB.Q⊂⊂N⊂M⊂PC.Q⊃N⊃M⊃PD.Q⊂M⊂N⊂P7.以下几何体中，对角线长度一定相等的是( )A.直棱柱B.直平行六面体C.正四棱柱D.正三棱柱8.平行六面体是直平行六面体的一个充分必要条件是( )A.它有两个矩形的侧面B.它的一条侧棱垂直于底面C.它有两条侧棱垂直于底面的一边D.它有两个侧面都垂直于底面9.下列命题中是真命题的是( )A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥D.正四面体是正三棱锥10.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等.则该棱锥一定不是( )A.六棱锥B.五棱锥C.四棱锥D.三棱锥11.棱台的上下底面积为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截得的两棱台的高的比为( )A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶412.一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱13.过正棱台两底面中心的截面一定是 ( )A.直角梯形B.等腰梯形C.矩形D.一般梯形或等腰梯形【巩固提高——登峰揽月】14.六棱柱有个对角面；五棱柱有个对角面.15.棱台各条侧棱延长后；构成一个。