江苏省常州市教育学会2021届学业水平监测高三数学(含答案)

常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷一、单选题（8小题，每题5分，共40分）1、已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ={x |x 2-2x -3<0}，则A ∪B 等于（）A．（2，12）B．（一l，3）C．（一l，12）D．（2，3）2、函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．3、函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B. C. D.4、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A ．1800B ．2700C ．7290D ．81005、已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a B ．C ．c a b >>D ．c b a>>6、已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A.(),0-∞ B.()0,∞+ C.(),2-∞ D.()2,+∞7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()xf x e =，则()()()201820212022f f f ++等于（）A.1eB.1e-C.e- D.e 8、已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]二、多选题（4小题，每题5分，共20分）9.已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是A ．512πB ．712πC ．34πD ．1112π10.已知x>y>0,下列不等式成立的是（）A ．ln 1243ln x x+≥B ．23331x x x ++≥+C ．11x y yx +>+D ．44y y x x +<+11.对于函数()()1xf x x R x=∈+，下列判断正确的是（）A.()()110f x f x -++-=B.当()0,1m ∈时，方程()f x m =有唯一实数解C.函数()f x 的值域为(),-∞+∞ D.2x x ∀≠，()()1212-0f x f x x x >-12.设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x 时，()f x x '<．已知存在22011|()(1)(1)22x x f x x f x x ⎧⎫∈----⎨⎬⎩⎭ ，且0x 为函数()(x g x e ex a a R =--∈，e 为自然对数的底数）的一个零点，则实数a 的取值可能是()A ．12B ．2e C ．2e D e三、填空题（4小题，每题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14.已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________.15.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是.16.已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )(x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题（6小题，共70分）17.（本题共10分）已知集合2{|20}A x x x =-->，集合2{|2(25)50}B x x k x k =+++<，k R ∈．（1）求集合B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．18.（本题共12分）已知函数()()2sin(2x )2cos (x )066f x a a ππ=--+>，且满足.⑴求函数()f x 的解析式及最小正周期；⑵若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图像与直线y=-3的两个相邻点的距离等于π，③()f x 的图像过点(,0)6π这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19.（本题共12分）已知(),0,αβπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，求：（1）求tan α的值.（2）求的角2αβ-.20.（本题共12分）设函数()2()23f x ax b x =+-+．（1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14a b+的最小值；（2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围．21.（本题共12分）设a ，b R ∈，函数()f x lnx ax =-，()bg x x=．（Ⅰ）若()f x lnx ax =-与()bg x x=有公共点(1,)P m ，且在P 点处切线相同，求该切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >，1b =时，求()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值．22.（本题共12分）已知函数32()3(2)f x x x t x =-+-，()f x '为()f x 的导函数，其中t R ∈．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =有三个互不相同的根0，α，β，其中αβ<．①是否存在实数t ，使得()()f f αββα''=成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．②若对任意的[x α∈，]β，不等式()16f x t - 恒成立，求t 的取值范围．常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷参考答案一、选择题1、C2、B3、A.4、D5、D6、A7、A8、D9、AB10、BCD11、ABD12、BD二、填空题13、45-14、()4,3-15、16、a ＞3518三、解答题17、解：（1）{|(25)()0}B x x x k=++<∴当52k-<-，即52k>时，5(,)2B k=--；当52k-=-，即52k=时，B=∅；当52k->-，即52k<时，5(,)2B k=--；（2）1k≥18、解：（Ⅰ）函数f （x）＝a sin（2x ﹣）﹣2cos2（x+）＝a sin（2x﹣）﹣cos（2x +）﹣1＝a sin（2x﹣）﹣sin（﹣2x+）﹣1＝（a+1）sin（2x﹣）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin （2x﹣）﹣1；f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x﹣）＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为T＝＝π，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．19、19、解：⑴()()()tan tantan tan1tan tan11127113127ααββαββαββ=-+⎡⎤⎣⎦-+=--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⑵22122tan33tan21tan4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭()()31tan2tan47tan21311tan2tan147αβαβαβ+--===+⎛⎫-⨯⎪⎝⎭()()1tan 0,10,3ααπ=∈∈ 且0,4πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭20,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()13tan --1,00,,74πββπβπ⎛⎫=∈∈∴∈ ⎪⎝⎭ 且3--,-4πβπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭2-,-4παβπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭32=-4παβ∴-20、解:（1）函数()2()23f x ax b x =+-+，由()1233f a b =+-+=，可得2a b +=，所以141141419()55)2222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4b a a b =时等号成立，因为2a b +=，0,0a b >>，解得24,33a b ==时等号成立，此时14a b +的最小值是92.（2）由()1232f a b =+-+=，即1a b +=，又由()2232ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即()2110ax a x -++>在(1,1)-上恒成立，等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集，①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意；②当0a <时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<；③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1)(,)a-∞⋃+∞，满足题意；④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1(,(1,)a-∞⋃+∞，不满足题意，（舍去），综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-.21、解：（Ⅰ）由题意，得(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即1a b a b -=-⎧⎨-=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．g ∴'（1）12=，g （1）12=-，在点1(1,)2P -的切线方程为11(1)22y x +=-，即220x y --=；（Ⅱ）当0a 时，由1()0f x a x'=->恒成立，可知函数()f x 在定义域(0,)+∞单调递增，此时无极值；当0a >时，由1()0f x a x '=-=，得10x a=>．由1()0f x a x '=->，得1(0,x a ∈；1()0f x a x '=-<，得1(,)x a ∈+∞．于是，1x a =为极大值点，且1()(1max f x f lna a==--．由于函数()f x 无零点，因此1()(10max f x f lna a ==--<，解得1a e>；（Ⅲ）不妨设1()F x lnx ax x =--，得22211(1)()ax x F x a x x x ---'=-+=．设2()1h x ax x =--，0a > ，∴△140a =+>，设()0h x =的两根为1x ，2x ，且12x x <，由1210x x a =-< ，得10x <，20x >，且2x =．∴122()()()a x x x x F x x ---'=．由()0F x '=，得2x x =．∴当()0F x '>时，20x x >>；当()0F x '<时，2x x >．()F x ∴在(0，2]x 单调递增，在2[x ，)+∞上单调递减．①当201x < ，即112(1)0a h ⎧<⎪⎨⎪⎩ ，即2a 时，[1，22][x ⊆，)+∞，()F x 在[1，2]递减，()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；②当22x ，即h （2）0 ，即304a < 时，[1，2](0⊆，2]x ，()F x 在[1，2]递增，()min F x F ∴=（1）1a =--；③当212x <<，即324a <<时，()F x 在[1，2]x 递增，2[x ，2]递减，F ∴（2）F -（1）11221222ln a a ln a =--++=+-．()i 当1222ln a +< 时，F （2）F （1），()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；()ii 当31242a ln <<+时，F （2）F >（1），()min F x F ∴=（1）1a =--．综合①、②、③得，()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值为：11,(02)2()1122,(2)22mina a ln F x ln a a ln ⎧--<<+⎪⎪=⎨⎪--+⎪⎩ ．22、解：（1）当2t =时，2()36f x x x '=-，令2()360f x x x '=->，得2x >或0x <，所以()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；令2()360f x x x '=-<，得02x <<，所以()f x 的单调减区间为(0,2)．（2）①由题意知α，β是方程23(2)0x x t -+-=的两个实根，所以21(3)4(2)0t =---> ，得14t >-．且3αβ+=，2t αβ=-，2252t αβ+=+，由()()f f αββα''=成立得，()()f f ααββ''=，化简得223()6()(2)0t ααββαβ++-++-=，代入得3(522)63(2)0t t t ++--⨯+-=，即520t +=，解得52t =-，因为14t >-，所以这样的实数t 不存在．②因为对任意的[x α∈，]β，()16f x t - 恒成立．由3αβ+=，2t αβ=-，且αβ<，当124t -<<时，有0αβ<<，所以对[x α∈，]β，()0f x ，所以016t - ，解得16t ．所以124t -<<．当2t >时，有0αβ<<，2()36(2)f x x x t '=-+-，其判别式△2(6)12(2)12(1)0t t =---=+>．由()0f x '>，得x <或x >此时()f x 存在极大值点1(,0)x α∈，且1x =．由题得321111()3(2)16f x x x t x t =-+-- ，将1x =代入化简得(72t +，解得11t ．因此211t < ．综上，t 的取值范围是1(,2)(2,11]4-⋃．。

2021年江苏省常州市高级中学分校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（i是虚数单位）等于（）A．4+3i B．4－3i C．－4+3i D．－4－3i参考答案：D2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C． D．参考答案：A略3. 已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．28B．48C．28或48D．1或28参考答案：C4. 函数的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称参考答案：B略5. 在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】首先作出可行域，根据区域面积达到共赢a的方程，然后求抛物线的准线方程．【解答】解：作可行域如图：由题知：A（2，2a+1），B（1，a+1），C（1，0.5），D（2，0）所以s=，a=；所以抛物线为，即：x2=6y，准线方程为：．故选D．6. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值可能是A.B．C．D．参考答案：B略7. 函数的一个零点落在下列哪个区;间 (.）A．(0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)参考答案：B8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度Ks5u参考答案：B略9. 已知等比数列是等差数列，且等于A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案：D10. 已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C圆心为F（c，0），渐渐线为：，由题，所以，即离心率为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合，则。

常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2011.1一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

1．若()()125a i i i ++= （其中,a R i ∈为虚数单位），则a 的值是 ▲ ． 2．从集合{}1,0,1,2-中任取两个不同的元素,a b ，则事件“乘积0ab <”发生的概率为 ▲ ． 3．函数()sin 2042f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间是 ▲ ． 4．某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出 了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于 20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示， 则其中支出在[]50,60元的同学有 ▲ 人．5．已知函数()11,02(1),0x x f x f x x -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩， 则()21log 3f += ▲ ．6．如图所示的算法流程框图中，若输入4,48a b ==，则最后 输出的a 的值是 ▲ ．7．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若()*31n n S n N =-∈,则200920112010a a a +的值为 ▲ ．8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且 ()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为 ▲ ．9．设1e 、2e 是夹角为60︒的两个单位向量，已知OM =1e ，ON =2e ，OP x OM y ON =+(,x y 为实数) ．若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x y -取值的集合为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线频率l 的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 11．给出下列四个命题：⑴“直线a ∥直线b ”的必要不充分条件是“a 平行于b 所在的平面”；⑵“直线l ⊥平面α”的充要条件是“l 垂直于平面α内的无数条直线”；⑶“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件； ⑷“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l 垂直于β”． 上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．12．已知实数,x y 满足112213y x y x ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，则214z x y =+的最大值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为 ▲ ．14．若对任意的x D ∈,均有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()1f x 到函数()2f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()()()11,0,f x k x g x =--= ()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,2e 上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2021年江苏省常州市国际学校初高中部高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知A，B，C三点的坐标分别是，，，，若，则的值为（）A． B． C．2D．3参考答案：B2. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B3.若全集U=R，集合，则等于（） A．B．C． D．参考答案：答案:B4. 定义在上的函数满足（），，则等于（）A. 2 B 3 C 6 D 9参考答案：C略5. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞,0)上单调递增的函数是（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，B：函数为偶函数，在上单调递减，C：函数为偶函数，在上单调递增，D：函数为奇函数．所以综上可得：C正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．6. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．247参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，k的值，可得当k=63时满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得T=0，k=1T=1不满足条件k＞60，k=3，T=4不满足条件k＞60，k=7，T=11不满足条件k＞60，k=15，T=26不满足条件k＞60，k=31，T=57不满足条件k＞60，k=63，T=120满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．7. 某学校对高一新生的体重进行了抽样调查.右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55),[55，60)，[60，65),[65，70],已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是( ).A.90 B.75 C. 60 D.45参考答案：A8. 已知,，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B9. 已知sin（）=则cos（x）等于( )A．﹣B．﹣C．D．参考答案：D考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答：解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．10. 若复数，则的共轭复数所对应点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等边△ABC边长为6，过其中心O点的直线与边AB，AC交于P，Q两点，则当取最大值时，.参考答案：设，在中，，，在中，，，，当，即时，有最大值，此时，故答案为.12. 设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．参考答案：【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．【点评】本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量共线，那么存在唯一的参数λ，使得13. 已知函数f（x）=e|2x+a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．参考答案：[﹣2，+∞）【分析】令t=|2x+a|，根据外函数为增函数，要使f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，只需内函数t=|2x+a|在区间[1，+∞）上是增函数，由此求得a的取值范围．【解答】解：令t=|2x+a|，则外函数y=e t为增函数，要使f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则内函数t=|2x+a|在区间[1，+∞）上是增函数，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是基础题．14. 函数的定义域为__________.参考答案：略15. 设a、b 为两非零向量，且满足 | a |＝2| b|＝| 2a + 3b|，则两向量a、b 的夹角的余弦值为。

江苏省常州市教育学会2021-2022学年九年级学业水平监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如下表：则视力的众数是（ ） A ．4.5B ．4.6C ．4.7D ．4.82．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A ．21x =B ．2210x x -+=C ．220210x x --=D ．210x x ++=3．已知一个圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ） A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π4．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14C ．13D ．125．为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x 则可列出方程（ ） A ．200（+x )=288 B ．200（1+2x )=288 C ．200（1+x )²＝288D ．200（1+x ²)=2886．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，且DE =2AE ，连接BE 交AC 于点F，已知S△AFE=1，则S△ABD的值是（）A．9 B．10 C．12 D．147．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB 的正弦值是（）A B C．35D．128．已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB AC=3，则∠BAC的度数是（）A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°二、填空题9．求值：tan60︒=________．10．一组数据8，2，6，10，5的极差是_________．11．如图，东方明珠塔是上海的地标建筑之一，它的总高度是468米，塔身自下而上共有3个球体，其中第2个球体的位置恰好是总高度的黄金分割点，且它到地面的距离大于到塔顶的距离，则第2个球体到地面的距离是米_________．（结果保留根号）．12．已知关于x的一元二次方程260x kx+-=的一个根是2．则另一个根是______．13．如图，某班学生兴趣小组结合课堂所学的数学知识，利用木棒估测旗杆的高度．当学生甲的眼睛在点A处看学生乙所举的木棒DE时，发现旗杆BC恰好被木棒完全挡住．若DE∥BC，DE长为1.2m，测得此时点A到木棒和旗杆的距离分别为2m和20m，则旗杆BC的高度是________．14．如图，四边形ABCD内接于ΘO，DA=DC，若∠CBE=40°，则∠DAC的度数是________．=，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，15．如图，在ABC中，AD:DB2:3则BF:FC=________．16．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1)、（0，5)，点C在x轴正半轴上，且∠ACB=30°，则点C的坐标是________．三、解答题17．（1）解方程：x²-2x-8=0；（2）计算：5sin60°-cos245°．18．“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：（2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？19．小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3)、（2，1)、（4，1)．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆P，并写出圆心P的坐标；（3）将△ABC绕（2）中的点P将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是．21．如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．22．百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？23．如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC 中，∠A =30．①如图1，若∠B =100°，请过顶点C 画出△ABC 的“形似线段”CM ，并标注必要度数； ②如图2，若∠B =90°，BC =1，则△ABC 的“形似线段”的长是 ．（2）如图3，在DEF 中，4DE =，6EF =，8DF =，若EG 是DEF 的“形似线段”，求EG 的长．24．（问题）老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索： （方案一）小明构造了图1，在△ABC 中，AC =2，∠B =30°， ∠C =45°． 第一步：延长BA ，过点C 作CD ⊥BA ，垂足为D ，求出DC 的长； 第二步：在Rt △ADC 中，计算sin75°．（方案二）小华构造了图2，边长为a 的正方形ABCD 的顶点A 在直线EF 上，且∠DAF =30°．第一步：连接AC ，过点C 作CGEF ，垂足为G ，用含a 的代数式表示AC 和CG 的长： 第二步：在Rt △AGC 中，计算sin75°请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程，25．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P的速度从点D向点A运动，以点P为圆心，1cm为半径作ΘP，设点P的运动时间为t s．（1）当ΘP与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与ΘP相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当ΘP与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．参考答案1．C 【分析】出现次数最多的数据是样本的众数，根据定义解答． 【详解】解：∵4.7出现的次数最多，∴视力的众数是4.7， 故选：C ． 【点睛】此题考查了众数的定义，熟记定义是解题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A 、△0440=+=>，∴方程21x =有两个不等实数根，不符合题意；B 、△4410=-⨯=，∴方程2210x x -+=有两个相等实数根，符合题意；C 、△141202180850=+⨯⨯=>，∴方程220210x x --=有两个不相等实数根，不符合题意；D 、△1430=-=-<，∴方程210x x ++=没有实数根，不符合题意；故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根． 3．D 【分析】首先利用勾股定理求得底面半径的长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】4，则底面周长是：8π，则圆锥的侧面积是：185202ππ⨯⨯=．故选：D．【点睛】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是由三视图得到立体图形，及记住圆锥的侧面面积公式．4．D【分析】旋转阴影部分后，阴影部分是一个半圆，根据概率公式可求解【详解】解：旋转阴影部分，如图，∴该点取自阴影部分的概率是12故选：D【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．5．C【分析】设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．【详解】解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．故选C．【点睛】本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．6．C【分析】过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，证明△AFE∽△CFB，可证得13MFFN=，得MN=4MF，再根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC∴△AFE∽△CFB∴AE FM BC FN=∵DE=2AE∴AD=3AE=BC∴13 FM AEFN BC==∴14FMMN=，即4MN FM=又112AEFS AE MF∆==∴2 AE MF=∴113466212 22ABDS AD MN AE MF AE MF∆==⨯⨯=⨯=⨯=故选：C 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是能求出两三角形的高的数量关系． 7．A 【分析】勾股定理求得AB BC ==，根据网格的特点取AC 的中点D ，则BD AC ⊥，根据正弦的定义求解即可 【详解】如图取AC 的中点D ，连接BD ，BC AB ==BD AC ∴⊥Rt BDC 中，BD =∴i s n DB ACB BC ∠==、 故选A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，构造直角三角形是解题的关键． 8．B 【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC 与AB 在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分别作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别是D 、E ．∵OE ⊥AB ，OD ⊥AB ，∴AE =12AB AD =12AC =32，∴1sin 2AE AD AOE AOD AO AO ∠==∠==， ∴∠AOE =45°，∠AOD =30°，∴∠CAO =90°-30°=60°，∠BAO =90°-45°=45°，∴∠BAC =45°+60°=105°，同理可求，∠CAB ′=60°-45°=15°．∴∠BAC =15°或105°，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解． 9．【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．【详解】tan60°【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 10．8【分析】根据“极差”的定义，求出最大值与最小值的差即可．【详解】解：最大值与最小值的差为极差，所以极差为10-2=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了极差，掌握一组数据中最大值与最小值的差即为极差是正确判断的前提．11．234)【分析】根据黄金分割点的概念，结合图形可知第2个球体到塔底部的距离是较长线段，进一步计算出长度．【详解】解：设第2个球体到塔底部的距离为x ，根据题意得：468x =，解得：234x =，第2个球体到塔底部的距离为234)米．故答案为：234)．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，解题的关键是掌握如果线段上一点P 把线段分割为两条线段PA ，PB ，当2·PA PB AB =，即0.618PA AB ≈时，则称点P 是线段AB 的黄金分割点． 12．3-【分析】由根与系数关系来求方程的另一个根．【详解】 解：关于x 的一元二次方程260x kx +-=的一个根是12x =，设另一个根为x 2，则126x x =-，226x =-，23x ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键．13．12m【分析】根据题意可得ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质可得对应边的比等于相似比，进而求得BC 的长【详解】解：∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △△∽点A 到木棒和旗杆的距离分别为2m 和20m ，DE 长为1.2m220DE BC ∴= 12BC ∴=m故答案为：12m【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．70°【分析】根据邻补角互补求出ABC ∠，根据圆内接四边形的性质得出180D ABC ∠+∠=︒，求出D ∠，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DAC ∠即可．【详解】解：40CBE ∠=︒，180140ABC CBE ∴∠=︒-∠=︒，四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D ABC ，40D ∴∠=︒，AD CD =，1(180)702DAC DCA D ∴∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：70︒．本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补．15．52【分析】根据题意作辅助线，根据已知条件可证明△DGE ≌△CFE ，所以DG ＝FC ，根据比例关系得知DG ∥FC ，最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案．【详解】解：在AE 上取点G ，使EG ＝EF ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，又∵EG ＝EF ，∠DEG ＝∠CEF ，∴△DGE ≌△CFE ，∴DG ＝FC ，∠GDE ＝∠ECF∴DG ∥FC ，∵AD ：DB ＝2：3， ∴52BF BF AB FC DG AD ===． 故答案为52． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明及性质、平行线分线段成比例关系，难度适中．16．（0）或（0）．【分析】首先求得AB 的长，利用勾股定理求出AC 与BC ，根据三角形的面积公式S △ABC =12AB ×OC =12BC ×AD ，得出方程12×4×x =12⨯C 的坐标．解：设点C 坐标是（x ，0），过A 作AD ⊥BC 于D ，∵点A 、B 的坐标分别为（0，1)、（0，5)，∴AB =5-1=4，∴AC BC∴S △ABC =12AB ×OC =12BC ×AD ， ∵∠ACB =30°，AD ⊥BC ，∴AD =12AC ，即12×4×x =12⨯ 整理得4236250x x -+=，配方得()222548x x +=，∴250x -+=，∴484528∆=-⨯=，∴x ==∴点C （0）或（，0）．故答案为（0）或（，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，两点距离，三角形的面积，高次方程，关键是理解三角形的面积公式，利用辅助线构造直角三角形，利用30°直角三角形性质化角的关系转化为边的关系解决问题．17．（1）124,2x x ==-；（2【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）x ²-2x -8=0 (4)(2)0x x -+=∴124,2x x ==-；（2）原式=25⎝⎭． 【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握解一元二次方程的方法及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（1）90，90，80（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定（3）180名【分析】（1）根据中位数的定义，平均数，方差的公式进行计算即可；（2）根据平均数相等时，方差的意义进行分析即可；（3）600乘以满分的人数所占的比例即可．（1）解：∵八年级代表队：80，80，80，90，90，90，90，100，100，100；∴八年级代表队中位数为90 九年级代表队的平均数为()19080909010070100909010010+++++++++=90，九年级代表队的方差为()10100001004001000010010⨯+++++++++=80 故答案为：90,90,80（2） 八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定（3）360018010⨯=（名）． 答：九年级大约有180名学生可以获得奖状【点睛】本题考查了求中位数，平均数，方差，样本估计总体，根据方差作决策，掌握以上知识是解题的关键．19．（1）13（2）13【分析】（1）直接利用概率公式求解概率；（2）利用列表法，列举出所有的情况，选出满足条件的情况，再利用概率公式进行求解． （1）解：根据题意：小丽的爸爸被分配到C 组的概率是：13； （2）解：因为一共有9种等可能的结果，其中刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的有3种结果，所以P （两人被分到同一组）3193==． 答：刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是13． 【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求解概率，利用概率公式求解概率，解题的关键是掌握利用列表法或树状图法求解概率的方法．20．（1）见解析（2）图见解析，圆心P 的坐标是(3,4)（3 【分析】（1）根据题意可得()()()1110,6,4,2,8,2A B C ，再顺次连接，即可求解；（2）根据题意可得分别作出BC ，AC 边的垂直平分线，交于点P ，即可求解；（3）连接AP ，可得AP =，再利用弧长公式计算，即可求解．（1）解：根据题意得：()()()1110,6,4,2,8,2A B C ， 根据题意画出图形，如下图所示：111A B C △即为所求；（2）解：根据题意分别作出BC ，AB 边的垂直平分线，交于点P ，再以P 为圆心，BP 长为半径作圆，则P 即为所求，如图所示，∵点()()()0,3,2,1,4,1A B C ，∴点P 的横坐标为3，∵点P 在AB 的垂直平分线上，且AB 是边长为2的正方形的对角线，∴点P 位于边长为3的正方形的对角线上，∴点P 的纵坐标为4，∴圆心P 的坐标是(3,4)；（3）解：连接AP ，则AP ，∵将△ABC 绕（2）中的点P 将△ABC 绕点P 顺时针旋转90°，∴点A ． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，三角形的外接圆，求弧长，熟练掌握位似图形的性质，三角形的外接圆的性质，弧长公式是解题的关键．21．（1）相切，理由见解析（2）52 【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE ＝90°，而D 是圆上的一点；故可得直线DE 与⊙O 相切；（2）连接BD ，根据勾股定理得到AD ＝∠ADB ＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB ＝5，即可求解． （1）解：DE 所在直线与O 相切．理由：连接OD ．∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴OAD DAC ．∴ODA DAC ∠=∠．∴OD AC ∥．∴180ODE AED ∠+∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∵OD 是半径，∴DE 所在直线与O 相切．（2）解：连接DB ．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∴ADB AED ∠=∠．又∵DAB EAD ∠=∠，∴ADB AED ∽． ∴=AD AE AB AD． ∵90AED ∠=︒，4AE =，2ED =，∴AD ==∴5AB =．∴O 的半径为52． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．10元或20元【分析】设每件童装应降价x 元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可【详解】解：设每件童装应降价x 元根据题意，得(40)(303)1800x x -+=解这个方程，得1210,20x x ==答：每件童装应降价10元或20元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．23．（1）①见解析；（2）3【分析】（1）①使30BCM ∠=︒即可，②利用三角形相似求解，分论讨论，当30CBD ∠=︒时，当60CDB ∠=︒时，结合勾股定理求解；（2）进行分类讨论，若DEG DFE ∽，若FEG FDE ∽，结合4DE =，6EF =，8DF =进行求解．（1）①如图所示，②分论讨论如下：当30CBD ∠=︒时，如下图：1122DC BC ∴==， 30A ∠=︒，60C ∴∠=︒，BD ∴= 当60CDB ∠=︒时，如下图：设BD x =，则2DC x =，22(2)1x x =+，解得：x =DC ∴=则△ABC 的“形似线段”． （2） 解：①若DEG DFE ∽，则EG DE EF DF=． 4DE =，6EF =，8DF =，∴3EG =．②若FEG FDE ∽，则EG EF DE DF=． 4DE =，6EF =，8DF =，∴3EG =．综上，=3EG ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解．24．答案见解析【分析】[方案一]延长BA ，过点C 作CD ⊥BA ，垂足为D ，过A 作AM ⊥BC 于M ，在△ACM 中，AC =2，∠ACB =45°，由三角函数得到AM CM AC ===△ABM 中，求出AB 、BM ，得到BC ，根据面积相等求出CD ，由此求出答案；[方案二]连接AC ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长CD ，交EF 于点H ．先求出AC ，由18090ADH ADC ∠=-∠=︒︒，30DAF ∠=︒，求出DH ，得到CH 的长，根据9060DHA DAF ∠=-∠=︒︒，求出CG ，即可利用公式求出sin75°的值．【详解】[方案一]解：延长BA ，过点C 作CD ⊥BA ，垂足为D ，过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B =30°，∠ACB =45°，∴75CAD B ACB ∠=∠+∠=︒在△ACM 中，AC =2，∠ACB =45°．∴AM CM AC === 在△ABM 中，∠B =30°，2AB AM ==tan 30AM BM ==︒∴BC BM CM =+= ∵1122ABC S BC AM AB CD =⋅⋅=⋅⋅∴BC AM CD AB ⋅=，∴2sin 752CD AC ︒===[方案二]解：连接AC ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长CD ，交EF 于点H ．∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AD CD a ==，90ADC ∠=︒．∴AC =，45DAC DCA ∠=∠=︒．∵18090ADH ADC ∠=-∠=︒︒，30DAF ∠=︒，∴tan 30DH AD =⋅︒=．∴CH CD DH =+=． 又∵9060DHA DAF ∠=-∠=︒︒，∴sin 60CG CH =⋅=︒． ∵Rt AGC 中，75CAG CAD DAH ∠=∠+∠=︒，∴sin 75CG AC ==︒ 【点睛】此题考查了解直角三角形，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，利用面积法求三角形的高线，各特殊角度的三角函数值，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．25．（1）3（2）32t =32（3）0t ≤<3t =-33t -<≤ 【分析】（1）作PE AC ⊥，垂足为E ，P 与边AC 相切，1cm PE r ==．根据边长为6cm 的等边ABC中，AD =，22cm AP PE ==，根据PD AD AP =-建立等式求解；（2）需要进行分类讨论，若QM 在P 左侧与之相切，作PF QM ⊥，垂足为F ，若QM 在P 右侧与之相切，分别进行求解；（3）分论讨论，当01DP ≤<时，当2DP =时，当2DP <≤求解．（1）解：作PE AC ⊥，垂足为E ．∵P 与边AC 相切，∴1cm PE r ==．∵边长为6cm 的等边ABC 中，AD 是高，∴1302BAD DAC BAC ∠=∠=∠=︒，3cm BD DC ==，AD =． ∴22cm AP PE ==．∴2)cm PD AD AP =-=．2=．解得3t == （2） 解：若QM 在P 左侧与之相切，作PF QM ⊥，垂足为F ．∴1cm PF r ==．∵QM AB ∥，∴30QGD BAD ∠=∠=︒．∴22cm PG PF ==，)cm tan30QD DG t ===-︒． ∵PD PG DG +=，2)t +=-．解得32t =- 若QM 在P 右侧与之相切，作PF QM ⊥，垂足为F ．同理，22cm PG PF ==，)cm tan30QD DG t ===-︒． ∵PD PG DG -=2)t -=-．解得32t =+综上，32t =32 （3）解：当01DP ≤<时，当ΘP 与△ABC 的边共有两个公共点，01∴≤<，0t ∴≤<，当2DP =时，当ΘP 与△ABC 的边共有两个公共点，2∴=，3t ∴=当2DP <≤ΘP 与△ABC 的边共有两个公共点，2∴<≤33t ∴<≤，综上：当ΘP 与△ABC 的边共有两个公共点：0t ≤<3t =33t -<≤． 【点睛】 本题考查了圆与直线的位置关系，动点问题、等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是通过数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解．。

常州市教育学会学业水平监测高三数学2023年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}310,1A x x B x x ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭，则()R A B = ð（）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,32．i 是虚数单位，复数i1i+在复平面内的对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()()22ln 1f x x x =-的部分图象为（）A ．B ．C ．D ．4．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos2sin 1αα+=，则（）A ．()2sin 3πα-=B ．()2cos 3πα-=-C ．sin 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭D ．cos 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭6．已知四棱台1111ABCD A B C D -的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直若119,6,3AB AD A B ===，棱台的体积为）A ．60B ．+C ．60++D ．60++7．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，点,A B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB △为锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．20,2⎛⎫⎪⎝⎭В．22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()D ．2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8.．居民的某疾病发病率为1%，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A ．0.99B ．0.9C ．0.5D ．0.1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()31120f f f -<-==≤，则（）A ．2a =-B ．1b =C ．03c <≤D ．12c -<≤10．某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（）古文迷非古文迷男生2020女生4010参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.500.400.250.050.0250.0100k 0.4550.7081.3213.8415.0246.635A ．该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6B ．随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法C ．有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系D ．没有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系11．设ABC △内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，则下列说法正确的有（）A ．若2sin sin sin A B C ⋅>，则3C π<B ．若sin sin 2sin A BC +>，则3C π<C ．若2C π>，则可能有444a b c +=D ．若2C π<，则可能有112a b c+<12．已知AB 为圆柱的母线，BD 为圆柱底面圆的直径，且4AB BD O ==,为AD 的中点，点C 在底面圆周上运动（不与点,B D 重合），则（）A ．平面ABC ⊥平面OCDB ．当BC CD =时，点A 沿圆柱表面到点C C ．三棱锥D OBC -的体积最大值是163D ．AC 与平面ABD 所成角的正切值的最大值是212三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答）14．在提醒ABCD 中，已知,2,1,60AB DC AB AD BC ABC ===∠=︒∥，点,E F 分别在线段BC 和CD 上，则AE AF ⋅的最大值为_________．15．若关于x 的方程ln 2xt x =-有两个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是_________．16．在平面凸四边形ABCD 中，CB CD AB AD ===，且60,90BAD BCD ∠=︒∠=︒，将四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到达点E 的位置．若二面角E BD C --的大小范围是5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则三棱锥E BCD -的外接球表面积的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了x y 、的一组数据如下表所示：x234567y52.54540302517.5该社团对上述数据进行了分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系．附：在线性回归方程 y a bx=+ 中，1221ˆˆˆ,()ni ii nii x y nxyb ay bx xn x ==-==--∑∑，其中,x y 为样本平均值．（1）画出表中数据的散点图，并指出y 与x 之间的相关系数r 是正还是负；（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并写出当9x =时，预测数据y 的值．18．（12分）已知ABC △中，90BAC ∠=︒，点,M N 在边BC 上，,AM AN 三等分BAC ∠，M 靠近,B N 靠近C ．（1）若2AN MN =，且4AB =，求BM ；（2）若11BC BM =，求BNBM．19．（12分）已知函数()()2212ln ,2a f x x a x x a =+--∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）对于[][)1,e ,2,x b ∀∈∃∈+∞，使得()f x b ≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．两次展示的颜色中，黑色的次数记为X ，求随机变量X 的分布和数学期望．21．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -，2AB AC ==，111360AA A AB A AC BAC =∠=∠=∠=︒，,M N 为线段11,AC BA 上的点，且满足11(01)AM BNt t AC BA ==<<．（1）求证：MN ∥平面ABC ；（2）求证：1BB BC ⊥；（3）设平面MNA 平面ABC l =，已知二面角M l C --的正弦值为3，求t 的值．22．（12分）已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象．（1）求函数()f x 的解析式，并直接写出函数()(),g x h x 的解析式；（2）若()()2F x g x ah x π⎛⎫=++⎪⎝⎭在()()*0,n n π∈N 内恰有2023个零点，求实数a 与正整数n 的值．常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.1．【答案】C【解析】{}{}{}R 1,03,03A x x B x x x B x x =≥=<≥=≤<或ð，{}R 13A B x x =≤< ð，选C ．2．【答案】A【解析】()2i 1i i i i 1i 1i 222--+===+位于第一象限，选A ．3．【答案】D【解析】()f x 为奇函数关于原点对称，排除BC ，12x <<时，()0f x <，排除A ，选D ．4．【答案】D【解析】若甲是冠军，则三位预测正确，A 错．若乙是冠军，则一位预测正确，B 错．若丙是冠军，则没人预测正确，C 错．若丁是冠军，则两人预测正确，D 对，选D ．5．【答案】A【解析】3cos2sin 1αα+=，则()2312sinsin 1αα-+=，则()22sin sin 33απα=-=，A 对．()cos cos 3παα-=-=-，В错．sin cos 23παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，C 错，2cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，D 错，选A ．6．【答案】D【解析】54S =上，326S =⨯=下，(15463V h =++=，h ∴=侧棱14AA ==，()11111393ABB A CDD C S S =+==，()11111622ADD A BCC B S S =+⋅==，60S =++底D ．7．【答案】B【解析】2,1,,1,A B AOB ππωω⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△为锐角三角形，2220,10OA OB πω⋅>∴-> ，20,202AO AB πωω><⋅⋅∴+> 恒成立；0BO BA ⋅> ，2220πω∴-+>，22ω∴>，选B ．8．【答案】C【解析】记“阳性”为A ，记“患病”为B ，()99%P A B =，()1%P B A =，()()()()1%99%1%P AB P AB P B P B ===，()99%1%P AB ∴=⨯，()()()1%99%1%P A P A P AB B =+=+⨯，()()()99%1%0.51%99%1%P AB P B A P A ⨯===+⨯，选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】()()()()112f x x x x m =+--+，30m -<≤，2c m =+，12c -<≤，D 对，C 错．112,2a a -++=-∴=-，A 对．()111212,1b b -⨯+-⨯+⨯=∴=-，B 错．本题考查知识点：三次函数韦达定理：()32f x ax bx cx d =+++有三个零点123,,x x x ，则123bx x x a++=-，121323123,c dx x x x x x x x x a a++==-．10．【答案】BC 【解析】6010.69000150=≠，A 错．4000:500040:50=，B 对．2290(20102040)9 6.63560304050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，C 对，D 错，选BC ．11．【答案】ABD【解析】2sin sin sin A B C >，则2ab c >，2222221cos ,22223a b c a b ab ab ab C C ab ab ab π+-+--=>≥=∴<，A对．sin sin 2sin ,2,2a bA B C a b c c ++>∴+><，()2222222222()4424cos 228a b a b a b a ab b a b c C ab ab ab++-+-+++-=>=22332621,8823a b ab ab ab C ab ab π+--=≥=∴<，B 对．2C π>，则2220a b c +-<，即222a b c +<，则442242a b a b c ++<与444a b c +>矛盾，C 错．2C π<，则222a b c +>，不妨设2,1a b c ===，则122+<，D 对．选ABD ．12．【答案】AB【解析】C 在以BD 为直径的圆上，CD CB ∴⊥，又,AB CD CD ⊥∴⊥ 面ABC ，∴面ABC ⊥面OCD ，A 对．BC CD =时，C 为半圆中点，展开后BC π=，min AC ∴=，B对．O 到面BCD 的距离为2，14242BCD S ≤⨯⨯=△，184233O BCD V -∴≤⨯⨯=，C 错．BD 为直径作EF BD ⊥为另一条直径，EF 为面ABD 的直径，以BD 中点建系，面ABD 的法向量的()1,0,0n =，()0,2,4A -，()4cos ,4sin ,0C θθ，()4cos ,4sin 2,4AC θθ=+- 设AC 与面ABD 所成的角为α，sin cos ,AC n α=〈〉===，[]4sin 9,5,13,sin t t θα⎡+=∈=⎢⎣，max 1sin 2α=-，tan α最大值不是12-，D 错，选AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】216【解析】5本书送4人共有2454C A 240=，甲，乙送一人有44A 24=个结果，24024216-=．14．【答案】3【解析】如图建系，()12,0,2B BM AN ==，3,212C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，设313,,222E m m ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令BF BC λ= ，[]32,,0,122F λλλ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3333322224424224m m AE AF m m m m λλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=+-≤+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭93344≤+=．15．【答案】()0,+∞【解析】()()()22122ln 1ln ln ,2(2)(2)x x x x x x f x f x x x x '----===---，()()2222121ln ,0,2xg x x g x x x x x x-=--=-==='，()g x 在()0,2 ，()2,+∞ ，()max ()211ln20g x g ==--<，()0f x ∴'<．()f x ∴在()0,2 ，()2,+∞ ，01x <<时，()0f x >；2x >时，()0f x >；12x <<，()0f x <，()f x t ∴=有两个根0t ⇔>．16．【答案】1628,33ππ⎡⎤⎢⎣⎦【解析】90,2CB CD BCD BD AB AD ==∠=︒∴===，利用双距离单交线公式，EBD △外心1O 到BD 的距离3132233m =⨯⨯=，BCD △的外心2O 到BD 的距离0,n E BD C =--交线2l BD ==，设二面角E BD C --平面角为θ，外接球半径为R ，22222212cos 531,,sin 4sin 36m n mn l R θππθθθ+-⎡⎤∴=+=+∈⎢⎥⎣⎦ ，22147sin 1,433R θ∴≤≤∴≤≤，∴三棱锥E BCD -外接球的表面积216284,33S R πππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦表．应填：1628,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：第16题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）r是负．（2）23456752.54540302517.54.5,3566x y ++++++++++====66211882.5,139i i i i i x yx ====∑∑61622216822.56 4.535ˆ71396 4.56i i i i i x y xy b xx ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑ˆˆ35(7) 4.566.5a y bx =-=--⨯=，∴关于x 线性回归方程为 66.57y x=-当9x =时， 3.5y =．18．【解析】（1）30BAM MAN NAC ∠︒∠=∠== ，在AMN △中，,2sin sin30AN MN AN MN AMN ==∠︒，sin 1,90,4sin 302AMN AMN BM ∴∠=∴∠=︒∴=︒=．（2）设BM t =，1111BC BM t ∴==，故10CM t =，在ACM △中，由正弦定理()sin 90sin 60AM CM B ⇒=︒-︒10cos AM t B B ⇒=⋅，在ABM △中，由正弦定理2sin sin sin30AM BM AM t B B =⇒=︒⇒，2sin ,tan t B B =∴=．在AMN △中，()sin sin 30sin 120sin 30AM MN AM MN ANM B =⇒=∠︒︒-︒2013t MN ∴==，20331313tt BN BMt +∴==．19．【解析】（1）()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x+---'+=+--==，①当0a ≤时，()()0f x f x '<，在()0,+∞上 ；②当0a >时，令()10f x x a=⇒='．且当10x a <<时，()()0,f x f x <' ；当1x a>时，()()0,f x f x >' ．（2）()min 2f x b ≥=对[]1,e x ∀∈恒成立．①当1a <时，()51122a f =-< ，舍去．②当1a ≥时，()()0f x f x '≥，在[]1,e 上，故只需()5611225a f a =-≥⇒≥符合．综上：65a ≥．20．【解析】（1）记事件A 为展示的一面颜色是红色，事件B 为剩下一面的颜色也是红色()()()()()11111,,33223P AB P B A P A P AB P A ∴==+⨯==，()123132P B A ∴==．（2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为()112P A -=，12,2X B ⎛⎫∴~ ⎪⎝⎭的二项分布X 的所有可能取值为0，1，2()211024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()212111C 22P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()124P X ==，X 的分布列如下：X 012P 141214()11122E X =+=或由()1212E X nP ==⨯=．21．【解析】（1）过,M N 分别作1ME CC ∥交AC 于点1,E NF A A ∥交AB 于点F ，11ME AM CC AC ∴=且111111,,NF BN AM BN ME NF AA BA AC BA CC AA ==∴= ，ME NF ∴∥，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF MN ∴∴∥，∥平面ABC ．（2）11113,2,BB BC B C AC AB AC AB AA ===-=-- ，2111144922222322313222B C ∴=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，1B C ∴=22211BB BC B C ∴+=，1BB BC ∴⊥．（3）取BC 中点D ，连接1,,A D AD ABC △为等边三角形且2AB =，AD ∴=在1A AB △中，1A B ==，由111,A AB A AC AC ∴=△≌△在1AA C △中，D 为BC 中点，1A D BC ∴⊥，1A D ∴==，222111,A D AD AA A D AD∴+=∴⊥如图，分别以1,,DA DB DA 为,,x y z轴建立空间直角坐标系．)()()((11,0,1,0,0,1,0,0,0,,1,A B C A C ∴--．)1,,AM t AC M t =⇒- ，又1BN tBA =，()0,1N t ∴-，()(),,MN AM t ∴=-=-- ，设平面AMN 的一个法向量(),,n x y z =，(1032,20x y n ty ⎧+=⎛⎫⎪∴⇒=- ⎪⎨⎝⎭⎪--+=⎩ 而平面ABC 的一个法向量()122120,0,1n n n n n ⋅==，63==，12t =或722．22．【解析】（1）由图象知()f x 周期2,2T ππωπ=∴==，且52,12k k πϕπ⨯+=∈Z 5,0,,626k πππϕπϕϕ⎛⎫⇒=-∈∴= ⎪⎝⎭．再由()()01sin 12,2sin 26f A A f x x πϕ⎛⎫=⇒=⇒=∴=+ ⎪⎝⎭，()()2sin 22sin 22cos2,2cos 662g x x x x h x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）()()22cos22cos 212sin 2sin 02F x x a x x a x π⎛⎫=+⋅+=--= ⎪⎝⎭22sin sin 10x a x ⇒+-=令2sin ,210x t t at =∴+-=两根记为12,t t ，其中120t t <<，作出sin y x =在()0,x n π∈上的大致图象如下：显然12,t t 中有一个为1-或1．①当11t =-时1a =，此时212t =，当n 为偶数时，1sin 2t =有n 个交点，sin 1t =-有2n 个交点，此时2023,2n n n +=∈Z 舍去．当n 为奇数时，1sin 2t =有1n +个解，sin 1t =-有12n -个解，有3120232n n +=⇒∈Z ，舍去．②当21t =时，1a =-，此时112t =-．当n 为偶数时，sin 1t =有2n 个交点，1sin 2t =-有n 个交点，此时32023,2n n =∈Z 舍去．当n 为奇数时，sin 1t =有12n +个解，1sin 2t =-有1n -个解．11202313492n n n +∴+-=⇒=，故1,1349a n =-=．。

2021年江苏省常州市高级中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]参考答案：B2. 函数f（x）=k﹣（k＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θ＞φ），则以下有关两零点关系的结论正确的是（）A．sinφ=φcosθB．sinφ=﹣φcosθC．sinθ=θcosφD．sinθ=﹣θcosφ参考答案：D【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意构造函数y1=sin|x|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．【解答】解：依题意可知x不能等于0．令y1=sin|x|，y2=kx，显然函数y1为偶函数，y2=kx为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．然后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与y1仅有两个交点，且φ是y1和y2相切的点的横坐标，即点（φ，sin|φ|）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣sinφ）′=﹣cosφ，所以切线的斜率k=﹣cosφ．再根据切线的斜率为 k==，∴﹣cosφ=，即sinθ=﹣θcosφ，故选：D．3. 设则二项式的展开式中的系数为（）A． B． C．D．参考答案：B4. 若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A. B.160 C. D.参考答案：C6. ，则（A）；（B）；（C）；（D）．参考答案：A略7. 在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲ ）。