人教版期末复习(二) 勾股定理

勾股定理（人教版）一、单选题(共10道，每道9分)1.一个直角三角形两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的边长为( )A.16B.4C.34D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A.6B.C. D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长为( )A.4B.3.5C.2D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理6.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理7.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图8.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理9.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A.5B.C. D.5或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.5B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图二、填空题(共1道，每道10分)11.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____．答案：7解题思路：试题难度：知识点：勾股定理。

第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等bacbac cabcab cba HG FEDCBAa bc c baED CBA例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286-=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=23AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=623+，BC=512(6+23)=1553+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623231553++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=23AD ∴MD=222(3)3AD AD -=3AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°，AC=12BC，AB=3BC∴AC+AB+BC=12BC+3BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。

八年级数学期末复习资料《勾股定理》期末复习题1勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c ，那____________________勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 __________1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°,若c=13，b=12，则a=________；2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，则此三角形的第三边长度为_____________3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是__________5.如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部 12米处.树折断之前有______米.6在等腰△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,则高AD 的长为________7、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________， 它是 ________（填入“真”或“假”）命题。

8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE则CD 等于_________cm.9. 在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A. a 2+b 2=c 2B.b 2+c 2=a 2C.a 2-b 2=c 2D.a 2-c 2=b 210、如果正方形ABCD 的面积为92，则对角线AC 的长度为（ ）；11．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米， 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.《勾股定理》期末复习题21．下列各组不能构成直角三角形的是（ ）A.11 12 15B. 5 5 25C.45 143 D. 1 3 22.在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积 等于( )A 108cm 2B 90cm 2C 180cm 2D 54cm 2 3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4. 如下图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F分别对应的数是_________。

人教版八下数学专题二勾股定理的常见题型1.如图，有一块直角三角形纸片，AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD长．2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN=2−√3，求CD的长．3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：(1) 线段CE的长度；(2) 点E到直线AC的距离．4.在甲村至乙村的公路旁一块山地正在开发．现C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围250m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁，请通过计算进行说明．5.如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口处宽AB 为 3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60∘角时，停止杆的端点C恰好与地面接触，此时CA=0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，则这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.73）6.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的试验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得PO⊥l，PO=100m，∠PBO=45∘．这时，一辆轿车在公路l上由B匀速驶向A，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3s，并测得∠APO=60∘．此路段限速每小时80km，试判断此车是否超速，并说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）7.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．8.在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB=2，求PC+PE的最小值．9.如图，有三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm．点A和点B是三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离．10.阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的位置有以下三种情形：①如果AB∥x轴，则y1=y2，AB=∣x1−x2∣；②如果AB∥y轴，则x1=x2，AB=∣y1−y2∣；③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线和过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C的坐标为(x2,y1)，由①得AC=∣x1−x2∣，由②得BC=∣y1−y2∣，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2．(1) 若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(1,2)，则AB=．(2) 若点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(6,6)，点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB的最小值=．(3) 已知M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，利用数形结合思想，求出M的最小值．答案1. 【答案】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．△ADE是由△ACD翻折所得，∴AC=AE=6，EB=AB−AE=10−6=4．设CD=DE=x，在Rt△DEB中，∵DE2+EB2=DB2，∴x2+42=(8−x)2，∴x=3，即CD=3．2. 【答案】设CD=x，则BF=AB=x，BM=12BC=12x，在Rt△BFM中，MF=√BF2−BM2=√32x，又因为MN=AB=x，FN=2−√3，所以2−√3+√32x=x，解得x=2，即CD=2．3. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB，∴∠EAC=∠ACE，∴EA=EC．在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即(8−EC)2+62=CE2，解得CE=254．(2) 设点E到直线AC的距离为ℎ，AC=√AB2+BC2=10，由三角形的面积公式可知，12×AE×CD=12×AC×ℎ，则ℎ=254×610=154，即点E到直线AC的距离为154．4. 【答案】如图，过C作CD⊥AB，垂足为点D．∵BC=400m，AC=300m，∠ACB=90∘，根据勾股定理得AB=500m．∵12AB⋅CD=12BC⋅AC，∴CD=240m．∵240m<250m，故有危险，AB段公路需要暂时封锁．5. 【答案】不能通过．理由如下：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB=3.3m，CA=0.7m，BF=2.5m，∴CF=AB−BF+CA=1.5m．∵∠ECA=60∘，∴∠CGF=30∘，∴CG=2CF=3m，∴GF=√CG2−CF2=√32−1.52=32√3≈2.6(m)，∵2.6<3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口通过．6. 【答案】此车超速．理由如下：∵∠POB=90∘，∠PBO=45∘，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB=OP=100m．∵∠APO=60∘，∴OA=√3OP=100√3≈173(m)，∴AB=OA−OB≈73m，∴733≈24(m/s)，24m/s≈86km/h>80km/h，∴此车超速．7. 【答案】将长方体表面展开，连接AB，分以下三种情形：（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=√202+152=√625=25．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√302+52=√925=5√37．（3）如图③，BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=√BD2+AD2=√252+102=√725=5√29．由于25<5√29<5√37，因此爬行的最短距离为25．8. 【答案】如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，与AD交于点P，此时PE+PC最小．∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE即BE就是PE+PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的正三角形，BE⊥AC，AC=1，∴∠BEC=90∘，CE=12∴BE=√22−12=√3，∴PE+PC的最小值是√3．9. 【答案】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=82+[(2+3)×3]2=172，解得x=17．∴蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离是17dm．10. 【答案】(1) 5(2) 3√10(3) M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，当M取最小值时，M表示点(x,0)到点(6,4)的距离与点(x,0)到点(3,2)的距离之和（或M表示点(x,0)到点(6,−4)的距离与点(x,0)到点(3,−2)的距离之和），=√(6−3)2+(4+2)2=3√5．此时M最小值【解析】(1) AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(4−1)2+(6−2)2=5．(2) 如图，∵点A的坐标为(3,3)，∴点A关于x轴对称的点Aʹ的坐标是(3,−3)，此时AP+PB=AʹB=√(6−3)2+(6+3)2=3√10．。

勾股定理知识点总结人教版一、勾股定理的定义勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

换句话说，设有一个直角三角形，其三个边长分别为a、b、c，且c为斜边，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

其中a和b为直角两边的边长，c为斜边的边长。

勾股定理可以帮助我们快速判断一个三角形是否是直角三角形，也可以用来求解直角三角形的边长和角度等问题。

因此，勾股定理在数学中具有非常重要的地位。

二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早是通过几何方法来证明的。

我们可以通过绘制一个正方形，然后在正方形的对角线上分别画出边长为 a 和 b 的正方形，最后发现这两个正方形的面积之和等于边长为 c 的正方形的面积，从而证明了勾股定理。

2. 代数证明：后来，人们通过代数方法也证明了勾股定理。

通过对勾股定理进行平方运算，然后进行因式分解和运算，最终也可以得到a² + b² = c²的结论。

这种方法一般需要借助一些高等数学知识来进行证明。

三、勾股定理的应用1. 在几何学中，勾股定理可以帮助我们判断一个三角形是否是直角三角形，同时可以求解直角三角形的边长和角度等问题。

2. 在物理学中，勾股定理被广泛运用于力学、光学等领域，例如可以用来解决物体受力后的位移和速度问题。

3. 在工程学中，勾股定理也有着重要的应用，例如在建筑设计和工程测量中，可以用来计算建筑物的高度和长度。

总结：勾股定理是数学中的一个重要定理，通过勾股定理我们可以解决许多与直角三角形相关的问题。

勾股定理的证明方法有几何法和代数法，应用领域广泛，包括几何学、物理学、工程学等。

因此，我们在学习和工作中都需要掌握勾股定理的理论知识和应用技巧，这对于我们的学习和工作都是非常有益的。

希望本文的介绍和总结对勾股定理有所帮助，也希望大家能够在日常学习和工作中多加练习，提高自己的数学能力和应用能力。