数学的化归思想

浅谈化归思想数学思想方法是数学的灵魂所在，而化归思想不仅是一种重要数学思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种非常有效的数学思维方式和解题方法。

一、什么是化归从字面上来看，化归，可以理解为转化和归结。

数学方法论中提到的“化归”，是指把需要解决的问题，运用一些手段方法先把它转化（或再转化）然后归结到已经能解决（或容易解决）的问题中去，采用迂回的方式以先求转化后的问题答案再反过来，求未解决的问题，最终得到原问题答案的一种方法。

数学中的化归形成，还与数学本身的根源有关即公理化方法。

数学总是用已有的概念去定义新出现的概念，并且以此为据去处理解决各种新出现的未解决问题或者说把未知转化归结为已知，这就是化归思想。

化归有三个最基本的要素：化归对象（把什么进行转化），化归目标（化归对象转化成什么形式），化归途径（用什么方法进行转化）。

二、化归原则一般情况下，化归的时应遵循以下几个原则：1.熟悉化原则（也叫一般化原则），把我们所遇到的“陌生”问题转化成相对熟悉的问题以便于解答。

2.简单化原则，把复杂的问题转化为简单且容易解答的问题。

这里的简单与复杂是相对而言，简单也可以是解决问题的方案或处理方式简单。

3.直观化原则，把抽象的或内部关系模糊不清的问题转化为比较直观具体的问题。

有利于理清并把握问题涉及的各对象间的相互关系。

4.和谐化原则，指的是在对未知问题进行转化时应注意问题内部的和谐统一，便于制定解决问题的程序和选择处理方法。

5.寻找对立面原则，是指在解决问题时，如果从正面无法处理或很难处理，此时可以解决问题的反面从中找到处理原问题的灵感和方法。

化归的过程中这几个基本原则是相互联系、相互渗透和相互补充的，在解决实际性问题的过程中,常常需要把它们结合起来使用，这样可以让化归过程更加快速和简洁，会收到更好的效果。

三、化归方法进行化归时，选择适当的方法可以使转化处理问题更快捷。

化归有五种基本方法：分割法与组合法、一般化与特殊化法、恒等变形法、RMI方法和基本模型法。

中学数学教学中的化归思想作者：徐进军来源：《江西教育·综合版》2008年第12期一、化归思想化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是矛盾的转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。

笛卡尔在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；第二，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

本文将结合中学数学教学来谈谈化归思想。

1.化归的含义化归即转化和归结的意思，就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思维方式。

2.化归的意义化归在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。

不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。

化归思想是解决问题总的策略，在数学教学中渗透化归思想，可使许多疑难问题迎刃而解，有利于提高教学效率和教学质量。

3.化归的策略我们常常有这种感受，知道要化归，也想要化归，但却无法实现化归。

所以，实现化归，我们还要掌握一定的化归策略。

(1)一般与特殊的转化。

从一般与特殊的关系出发，有两种化归途径：一是将一般问题特殊化，通过对特殊形式的研究寻求解决原问题的方法，即一般?邛特殊?邛一般；二是把所给问题作为特殊形式，将特殊问题一般化，通过解决一般问题来求得所给特殊问题的解决，即特殊?邛一般?邛特殊。

(2)具体与抽象的转化。

解题时，对某些抽象的问题，可采用具体化的方法，如作图或赋予问题以实际意义，从而在某种具体意义的指导下讨论问题，寻求解答。

也可将某一问题的具体内容暂时舍弃，仅就它们的关系和结构形成一个纯粹数学的问题去进行讨论，从而得到原问题的解答。

(3)已知与未知的转化。

已知与未知的转化，常常能转换问题的条件，避实就虚，使问题得到巧妙解决。

(4)数与形的转化。

几何图形中往往蕴涵着一定的数量关系，而数又常常可以通过儿何图形作出直观的描述和反映。

化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想1．化归思想的概念。

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。

从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2．化归所遵循的原则。

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。

因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

数学来源于生活，应用于生活。

学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。

因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。

从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。

因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。

因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。

“化归”思想在小学数学教学中的运用一、“化归”思想的内涵“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。

而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。

”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。

翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。

二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透1、数与代数----在简单计算中体验“化归”例１：计算48×53＋47×48机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。

将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数4 8，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。

化归思想1. 化归思想的概念。

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。

从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2. 化归所遵循的原则。

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。

因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

数学来源于生活，应用于生活。

学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。

因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。

从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。

因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。

因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。

（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。

“化归”思想及其在小学数学教学中的渗透最近翻阅了《小学教学》2008年第一期至第五期有关刘家霞老师写的几篇文章，刘老师着重谈了“数形结合”和“函数”两种数学思想在小学数学教学中的渗透，我看了之后受益颇丰，也想来谈谈另一种重要的数学思想方法----“化归”思想在我们小学数学教学中的渗透。

本文重点分析“化归”思想的内涵及其在小学数学教学过程中的渗透。

一、“化归”思想的内涵“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。

而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。

二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透1、感知形成阶段----在简单计算中体验“化归”人们学习新知识之前往往会利用已有的知识去认识，从而形成新的经验，变成自己的知识，而这一过程其实就是一个“化归”的过程。

小学伊始，虽然学生们年纪还小，但利用旧知识来解决新问题，在现实生活中肯定实践过，所以人教版一年级课标教材中，就可以渗透“化归”的思想来指导学生的学习。

例如，人教版课标教材一年级上册。

一年级开始，孩子们就相继开始学习“10以内的加减法”、“20以内的进位加法”，对于一年级孩子来说，通过对“1-20”各数的认识，特别是学习了1-10的组成之后，学生对“拆小数，凑大数”和“拆大数，凑小数”这种方法比较容易接受，这也是学习后来的“20以内的进位加法”重要基础之一。

20以内进位加法的口算方法不只一种，教材中呈现了多种计算方法，如“点数”，“接着数”和“凑十法”等等，而“凑十法”则是其中最重要的方法，“凑十法”通过将大数拆成小数（或者小数拆成大数），和其它另一小数（大数）凑成十，使得20以内进位加法转化成一题简单的十加几计算题，从而使计算变得比较简便。

浅谈化归思想在中学数学中的应用1、化归思想的概念与作用1.1化归思想的概念化归思想是中学数学中最基本、最重要的解题思想和思维策略之一。

所谓化归就是把那些待解决的问题，通过某种手段将之转化为已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种方法。

实际解题的过程，就是转化的过程。

中学数学中的转化方法有很多，比如将复杂的问题转化为简单的问题，未知问题转化为已知问题，空间问题转化为平面问题，高次问题转化为低次问题，多元问题转化为一元问题等，它们都是化归思想的具体体现。

在化归的过程中需要确定化归的对象，就是待解决问题;化归的目标，就是能解决的问题；化归的途径，就是采用什么手段化归;只有确定了这些我们才能实现问题的有效转化和顺利的解决问题。

1.2化归思想的在中学数学中的基本功能及实质数学的发展就是不断的提出问题，分析问题，解决问题。

而化归思想在分析问题和解决问题时起到重要的作用。

在中学数学学习中应用化归思想解决问题的例子很多。

例如，在代数中解方程的一般思想是多元向一元、高次向低次的化归，分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归等。

在解决这些数学问题的过程中，要善于通过观察、分析、联想、类比的等思想方法去研究对象的来龙去脉和内部结构与联系，在复杂的数学环境中找到规律，实现化未知为已知，化复杂为简单，从而解答待解问题。

由此可见，化归思想几乎已经渗透到了中学数学的每个角落，是中学数学中的一种最重要、最基本的解题和思维方法。

在以上的这些化归的过程中，我们都是用运动发展的观点透过题目问题，看清楚题目问题的本质，使之与我们所熟悉的、掌握的知识联系起来，从而把问题化归为我们能解答的问题。

例如，解方程的根，这道题目是一元四次方程，这是我们所不熟悉的题目，我们最最熟悉的是一元二次方程。

可是我们可以把写成，然后用代入方程，得到这样的一个方程，这是一个一元二次方程，我们能很快的算出结果，从而解答出一元四次方程的根。

化归的数学思想1、化归思想的概念。

人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。

从小学到中学，数学知识呈现出由易到难，由简单到复杂的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，往往是通过把不熟悉的知识变成熟悉的知识，把难懂的知识变成简单的知识，一步步地学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归不仅是一种广义的数学思想方法，而且具有普遍意义。

同时，转化思想也是克服各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2、化归所遵循的原则。

化归思想的实质是在已有的简单、具体、基础知识的基础上，把未知的变成已知的，把复杂的变成简单的，把概括的变成特殊的，把抽象的变成具体的，把非常的规划成常规的，从而解决各种问题。

因此，在应用转换思想时，应遵循以下基本原则:（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

数学来源于生活，应用于生活。

学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。

因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。

从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。

因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。

因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。

(4)形象化原则，即将抽象的问题变成具体的问题。

化归思想在数学分析中的应用化归是数学的灵魂,它是数学中解决问题的一种非常重要的方法。

简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉的问题的一种数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,并选择恰当的变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上,最终解决原始问题。

由此可见,运用化归的方法可以使要解决的问题简算化、熟悉化、具体化。

这种思想现在已经渗透到数学学习的各个分支中,特别是在数学分析中。

一、极限中的化归思想1.数列问题化归为级数问题数列的敛散性和级数的敛散性实质上是等价的。

事实上,设x1=a1,…,x n=a1+a2+…+a n(n≥1),则数列收敛{x n}级数收敛∞n=1a n,当二者都收敛时有limx→∞x n=∞n=1a n。

因此,判定数列{x n}的敛散性与求limx→∞x n存在与否,可归结为判定∞n=1a n的敛散性与求S=∞n=1a n.例1证明limx→∞(n+1)!(2n)!!=0.证明设a n(n+1)!(2n)!!,则有limn→∞a n+1a n=limn→∞n+22n+2=12<1,因此由比式判别法的极限形式知:∞n=1=∞n=1a n(n+1)!(2n)!!是收敛的,所以limn→∞(n+1)!(2n)!!=0.2.数列极限化归为函数极限海涅定理说明数列极限和函数极限是可以相互转化的,而计算函数极限有“L’Hospital法则”“泰勒公式”这样强有力的方法可以利用,从而在计算数列极限时,应优先考虑将其转化为函数极限。

一般方法是:选取函数f(x)与数列{x n},使a n=f(x n)且x n→a(n→∞),于是有limn→∞a n=limn→∞f(x n)=limn→∞f(x)。

这样计算数列极限就转化为计算函数极限了,这种化归思想在某些时候是特别有效的。

例2计算limn→∞[ne-n(ne-1)].解设x=1n,那么n→∞就相当于x=1n→0,于是有limn→∞n[ne-n(ne-1)]=limx→0x-1[e x-1]=limx→0xe x-e x+1x2,那么原式=limx→∞xe x-e x+1x2(利用了L’Hospital法则)=limx→∞xe x+e x-e x2x=limx→∞12e x=12.3.多元函数极限化归为一元函数极限多元函数极限的计算,有许多技巧,需要灵活掌握和运用。