数理方程试题

一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。

一．填空1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: 。

2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xx t u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w 。

3.方程0=xyu 的通解为 。

4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为 问题。

5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 。

二、选择题.1. 偏微分方程02222=-∂∂+∂∂+∂∂ru xux u rx t u σ,(0,>σr 均为常数)是 ( )A. 线性抛物方程;B. 双曲方程;C. 拟线性方程;D. 非线性方程.2. 固有值问题⎩⎨⎧='='<<=+''0)(,0)0(0,0ππλX X x X X 的固有函数系为( ) A.{}∞=0cos n nx ; B. {}∞=1sin n nx ; C. {}∞=1cos ,sin ,1n nx nx ; D. {}∞=1cos ,sin ,1n x n x n ππ.3.由数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<-∞+=∂∂=>+∞<<-∞∂∂=∂∂==x x t u u t x x ut u t t ,11,00,,2002222确定的弦振动位移在特征线0=-t x 上的位移值为 ( ) A. 0.5arctan2t; B. arctan2t; C. 4π; D. 0.三.解答题：1.设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2.利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x lx t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3.求出线性方程 254=++++y x yy xy xx u u u u u 的特征线。

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。

解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。

二、利用变量分离法求解方程。

（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。

0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。

解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。

进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。

试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。

用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。

由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。

下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。

作用在这段弧上的力有张力和外力。

可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。

于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。

因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。

第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。

第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交,并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式,写出具体的分离变量过程、进一步,当时,求与时的值、三、(方程非齐次的情形)求定解问题四、(边界非齐次的情形)求定解问题五、(Possion方程)求定解问题六、求定解问题:注意:1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种:2)3)4)2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)与椭圆型方程(无初值条件);3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,您可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。

第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意:只考应用Fourier 变换与Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型、二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调与函数,使1321cos r u θ==+(提示:边界条件仅与θ有关,解也同样)第五部分 Green 函数20、证明:()()0lim x x εεδρ→=(弱),其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明:()sin limN Nxx Nxδ→+∞=(弱) 22、证明:当时,弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ-。