相似三角形的有关面积问题
复习引入：
求三角形面积常用方法
1、面积公式：
2、等高法：
3、相似三角形：
【精选例题】
【例题】如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3，则S △APE:S △CPD=______.
解答：4:25。
【例题】如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。
解答：∵平行四边形ABCD ，∴AB//CD ，AD//BC ∴△BME ∽△DAE ，△DHF ∽△BMF ∴BM ：DA=BE ：DE,DH ：BM=DF ：BF 又
∵BE=EF=FD,所以BE ：DE=DF ：BF=1：2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=4
3AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD=
8
3。
变式：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______.
解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD ， ∴∠EAF=∠DCF ，∠AEF=∠CDF ，∴△AEF ∽△CDF ，
S ΔABD S ΔACD =a b
h b a H D C
B
A
h a S=1
2
ah E S ΔADE S ΔABC =
a 2
b 2
b a D
C
B
A P E
D C
B
A
M 1F 1E 1M E
F
A B
C
∴△AEF 的周长：△CDF 的周长=AE ：CD=2：5.
变式：如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3，△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________.
答案∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB ， ∵DE:AB=2:3，∴DE:AE=2:5，∴S △DEF:S △AEB=4:25， ∵△BEF 的面积为4，∴S △AEB=25， ∴S 四边形ABFD=S △AEB−S △DEF=21， ∵AD=CB ，DE:AD=2:3，∴DEBC=23，
∵AB//CD ，∴△BEF ∽△CDF ，∴S △DEF:S △CBF=4:9，∴S △CBF=9， ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30
【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____.
答案:设S △AEE 1=x
∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似)
∴ 2
21
1AF AE AFF S AEE S =∆∆ (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=∆∆AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3
同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7
∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7
变式：如图，在△ABC 中，FG//DE//AB ，且AF=FG=CG 。设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1，S 2和S 3，求S 1：S 2：S 3。
解答：∵F 、G 为AC 边上的三等分点,D 、E 为AB 边上的三等分点 ∴ AF ：AG ：AC=1：2：3
∵ FD//EG//BC ,∴ S △CFG ：S △CDE ：S △CAB=1：4：9，∴ S1：S2：S3=1：3：5
变式：如图，DE//FG//BC ，设△ABC 被分成的三部分的面积分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 则AD:DF:FB= 。 G F
E
D A
答案：∵S1=S2，∴S△ADE:S△AFG=1:2，
∴DE2:FG2=1:2，∴DE:FG=1:2；
同理，DE:BC=1:3，∴DE：FG：BC=1:2:3。
【例题】如图：在梯形ABCD中,AD//BC,BC=2AD,对角线AC与BD相交于点O,把△ABO,△BCO,△COD,△DOA 的面积分别记作S1,S2,S3,S4,则下列结论中,正确的是( )。
A. S2=4S1
B. S2=3S1
C. S1=S3
D. S1+S3=S2+S4
解答：选C。∵AD//BC，∴△AOD∽△BOC，∴ON:OM=AD:BC=1:2，
∴ON:MN=2:3，∴2S△AOB=S△OBC,S2=2S1.同理S2=2S3.∴S2=2S1=2S3=4S4
变式:如图表示一个梯形两条对角线相交于一点，则图中面积相等的三角形共有( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D
【例题】如图，点D、E、F分别是△ABC三边上的中点．若△ABC的面积为12cm2，则△DEF的面积为____ cm2．
解答：∵点D、E、F分别是△ABC三边上的中点，
∴DF、DE、EF为△ABC的中位线，
∴△ABC∽△DEF，相似比为1:2，所以面积比为1:2，即
S△ABC：S△DEF=4:1=12:S△DEF，S△DEF=3cm2．
变式：如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF.若△ABC的边长为a.
(1)△DEF与△ABC相似吗?如果相似，相似比是多少?
(2)分别求出这两个三角形的面积。
