第三讲：化简绝对值-找规律-定义新运算

内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )中考要求例题精讲绝 对 值 化 简A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸ (2002年江苏省竞赛题)若220x x -+-=，求x 的取值范围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【巩固】 （2级）绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个 【解析】 2；9个【巩固】 （2级）绝对值小于31⋅的整数有哪些？它们的和为多少？ 【解析】 绝对值小于31⋅的整数有0，1±，2±，3±，和为0．【巩固】 （2级）有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( ) A ．a b > B ．a b = C ．a b < D ．无法确定 【解析】 选择D ．【例2】 （2级）已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，因为22b b ==±，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例3】 （2级）已知2332x x -=-，求x 的取值范围【解析】 因为23x -的绝对值等于它的相反数，所以230x -≤，即32x ≤【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数 【解析】 由分析可知a b ，中的较小数b 一定是负数，故选D【例4】 （6级）（2010人大附中练习题）求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【解析】 根据题意a b -和ab 两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对()()()011011，，，，，【巩固】 （6级）（2005年江苏省数学文化节基础闯关试题）非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有 【解析】 16【例5】 （4级）(人大附单元测试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【解析】 先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简原式()(1)()(1)a b b a c c =-++-+---112a b b a c c =--+-+--+=-【巩固】 （6级）已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【解析】 由00xy x z ><<，可得0y z <<，又因为y z x >>，所以y x z <<，原式0x z y z x y =+---+=【例6】 （10级）（第4届希望杯2试）abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【解析】 当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取得最大值8；当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】 （8级）（河南省竞赛试题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y的最小值为【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【巩固】 （10级）（华罗庚金杯赛前培训题）a 、b 、c 分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a b c ≤≤，则a b b c c a -+-+-可能取得的最大值是多少？【解析】 由a b c ≤≤，得2()a b b c c a b a c b c a c a -+-+-=-+-+-=-，要想结果尽可能大，取9c =，1a =即可，最大值为16．【例8】 （8级）（希望杯邀请赛试题）设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【巩固】 （6级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-= 【解析】 2或0【例9】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +< （3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=-这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重 要作用．【例10】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例11】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例12】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 （2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例13】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例14】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】 （2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例15】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例16】 （8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例17】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为 ()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例18】 （6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例19】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x abcabc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值 【解析】 4或0或4-【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】 （2级）若0a >，则_____aa =；若0a <，则_____a a=. 【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+； 当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例20】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）A ．1a b a b +=B ．2a b ca b c++=C ．3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd+++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】 （6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例21】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例22】 （8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例23】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例24】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？从总体出发：2008()1aa =，所以原式1111=-+=．【例25】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b =+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c a b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例26】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例27】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值． 【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c da b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d a b c d+++=；若含有3个负数，则2a b c d a b c d +++=-．【例28】 （6级）已知0ab ≠，求a bab+的值 【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a ba b += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b+= ⑶若a b ，都是负数，则2a bab+=-【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b a b--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b a b --=-=． 当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=． 当0a <，0b >时，112a b ab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0a b ab--=---=．综上所述，a b a b --的值为2-，0，2．【例29】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例30】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例31】 （6级）求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例32】 （4级）化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例33】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5； 当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即max (13)4x x --+=．法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题）若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． （4级）若0a <，化简a a --.课后练习【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． （6级）若0a <，试化简233a a a a--．【解析】2323553443a a a a a a a a a a-+===-----．练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 【解析】 要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9． （8级）（第6届希望杯2试）a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b ca b c a b c+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论： 当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=；当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x ---+--的值．【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x xx x x--=++=-++=--．。

第3讲 探索规律考点1. 定义新运算知识点链接新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算．新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．【例1】 定义运算“*”，规定by ax y x +=*2，其中b a 、为常数，且61*2,52*1==则.________3*2=变式训练1定义运算：()b a b a -=⊗1．下面给出了关于这种运算的几种结论：①()622=-⊗，①a b b a ⊗=⊗，①若0=+b a ，则()()ab b b a a 2=⊗+⊗，①若0=⊗b a ，则10==b a 或，其中结论正确的序号是（ ） A.①①B.①①C.①①①D.①①①2定义[]x 为不超过x 的最大整数，如[][][]46.306.036.3-=-==，，；对于任意实数x ，下列式子中错误的是（ ）A.[]()为整数x x x =B.[]10＜x x -≤C.[][][]y x y x +≤+D.[][]()为整数n x n x n +=+考点2. 数字类找规律知识点链接数字规律和代数式规律，常见的几种数字规律形式：①②【例2】 观察下列关于x 的单项式，探究其规律：⋅⋅⋅6543211,9,7,5,3,x x x x x x ，则第2018个单项式是( ). A.20182018x B.40354035xC.20184035xD.20174035x变式训练 1观察下列数表：第四行第三行第二行第一行⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅76546543543243212根据数表反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为（ ）A. 12-nB.12+nC.12-nD.2n3观察下列图形，他们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳.考点3. 数式类找规律【例3】 观察下列等式⋅⋅⋅⋅⋅⋅=======，，21873,7293,2433813,273,93,337654321解答下列问题：201743233333+++++ 的末位数字是（ ）A.0B.1C.2D.3变式训练1观察下列解题过程，求和252432555551++++++ .解 设252432555551++++++= S ① 则 262524325555555++++++= S②①②-得15426-=S ，所以41526-=S . 通过阅读，你一定学会这种解法了吧！请仿此方法计算：20183233331+++++ 的值为_________. 2阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛---413121514131211514131214131211. 令t =++413121，则 原式=()t t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-511511=5154515122=+---+t t t t t .问题：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛----201512014151413121201414131211 -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2014141312120151514131211 =______________.3填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出.________=++c b a .考点4. 图形类找规律知识点链接探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例4】将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成________段．变式训练1观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点， ，按此规律第5个图中共有点的个数是（）A.31B.46C.51D.662用若干张大小相同的黑白两种颜色的正方形纸片，按下列拼图的规律拼成一列图案，则第6个图案中黑色正方形纸片的张数是( )A.22B.21C.20D.193将正方形ABCD(如图1)作如下划分:（1）第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；（2）第2次划分:将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有______个正方形；（3）若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_____个正方形； 继续划分下去，能否将正方形ABCD 划分成有2011个正方形的图形?需说明理由.考点5. 周期性找规律【例5】 如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ，第三次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A ，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是________.变式训练1求证：对于任意自然数n 来说，总能使()()n n n n 311200520052005--+++被10整除.自我挑战1对于两个不相等的实数b a 、，我们规定符号{}b a Max ，表示b a 、中的较大值，如：{}4,2Max ，按照这个规定，方程{}12,+=-x x x Max 的解为_________. 2如图，按此规律，第6行最后一个数字是______，第673行最后一个数是_____.•••109876547654343213如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有_______根火柴棒.（用含n 的代数式表示.） 4如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形， 依此规律，第n 个图案有_____个三角形(用含n 的代数式表示)5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图(2)比图(1)多出2个“树枝”，图(3)比图(2)多出5个“树枝”，图(4)比图(3)多出10个“树枝”，照此规律，图(7)比图(6)多出___个“树枝”。

七年级上册期中考试常考五大拓展题型一、绝对值板块1，丨1 - x丨+丨y - 3丨=0，则x + y =2，若丨a - 3丨与丨b + 4丨互为相反数，则a+b =3，已知丨2 x + 1丨与（y - 2）²互为相反数，则（x y + 2 y - 4）²= 4，若x>0，y<0，则丨x - y + 2丨-丨y - x - 3丨=5，找出丨x+2丨和丨x - 4丨零点值，并化简丨x+2丨+丨x - 4丨6，丨x+1丨的最小值7，丨x+1丨+丨x+2丨最小值8，丨x+1丨+丨x+2丨+丨x+3丨最小值9，求丨x+2丨-丨x-4丨的最大值和最小值10，求丨x-3丨-丨x-7丨的最大值和最小值二、找规律看符号，看系数，看次数，看奇偶，看倍数三、新定义运算a -3b，试计算12★（-2）的值若a★b= 34若A＠B￥C=2AC-3BC+4AB，试计算5＠6￥7的值四、代数式1，已知x²-xy+3=0，2xy-y²+8=0,求多项式2x²+4xy-3y²的值2，已知x+y=9，y+z=13，x+z=14，求x+2y-z的值3，已知a²+a-1=0，求a³+2a²+2018的值4，已知x²+2x-3=0，求x⁴+7x³+8x²-13x+15的值5，如果（2x-1）⁵=Ax⁵+Bx⁴+Cx³+Dx²+Ex+F（1）求A+B+C+D+E+F （2）求F-E+D-C+B-A （3）求F+D+B 6，若5n x n+1yz2是八次单项式，则n 的值7，若（m+3）x³y丨m丨+1是关于x，y的七次单项式，求m²-3m+1 8，若关于(3a+2)x²+（9a+10b）xy-x+2y+7不含二次项，求3a-5b9，若（2x²+ax-y+6）-2(2bx²-3x-5y-1)的值与字母的取值无关，求a+2b五、动点问题数轴上A、B 所对应的数分别为-5，10，0 为原点，点P以每秒2 个单位长度，点Q 以每秒3 个单位长度，分别自A、B 两点同时出发，在数轴上运动，设运动时间为t秒。

绝对值的化解和求值 The final edition was revised on December 14th, 2020.“解读绝对值”例题解析1. 绝对值的意义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

即2. 绝对值的性质一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，显然，任何数的绝对值都是非负值，即。

结论：若则3. 绝对值的化简和求值例1. 计算。

思路点拨：若先计算绝对值里的值，非常烦琐。

注意到两个绝对值里的分数，其分母分别相同，可以先去绝对值符号，然后再计算。

要脱掉绝对值符号，首先要考虑绝对值内的数的正负。

对于第一个绝对值符号内的数，由于分子相同容易得出；对于第二个绝对值符号内的数，由于。

解：原式例2. （1）已知，那么__________。

（2）已知，那么___________。

思路点拨：要求原式的值，就是要去掉分母中的绝对值符号。

条件告诉我们，并没有确定还是，因此，我们要分和两种情况考虑。

解：（1）当时，原式；当时，原式故应填1或。

（2）由（1）知的取值取决于a的符号，有两种可能：当时，，当时，；的取值也有两种可能：当时，，当时，因此的取值就有四种可能：当时，；当；当；当所以，当a、b同为正数时，原式=2；当a、b一正一负时，原式=0；当a、b同为负数时，原式。

例3. 已知，且，那么__________。

思路点拨：由条件求出a、b、c的值，注意条件的约束。

解：由，知又因为，所以，或当；当例4. 表示a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，化简。

思路点拨：由表示字母的点在数轴上的位置，可以知道a、b、c的正负及它们之间的大小关系，利用这些关系，将绝对值符号去掉，然后化简。

解：由图可知。

例5. 已知，求代数式的值。

思路点拨：运用非负数的概念和性质，先求出a、b的值，然后再利用拆项法计算。

解：，，演练反馈：1. 计算：2. 若，则的值等于___________。

知识导航1在数轴上表示2有理数3有理数1若2当有理数3已知1如果2已知3设知识导航1已知2若1已知2先化简再求值．3若C. D.练习9A. B. C. D.或若非零有理数，，满足：，则的值为（）．四、课后故事高斯奖高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss,1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学家。

高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上首次颁发。

高斯奖包含一笔奖金和一枚奖章；奖金目前为一万欧元，资金来源于1998 年在柏林召开的ICM 的结余。

高斯奖章正反图案均以数学中的基本元素点、线、曲线来构图。

正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“为应用数学”）；反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟大成就之一：以最小二乘法来确定行星的轨迹。

这是应用数学的典范。

1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi ）发现了后来被命名为谷神星的小行星。

皮亚齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太阳背后而丢失。

科学家们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测谷神星出现位置。

时年只有24 岁的高斯运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神星的轨迹。

同年底，天文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。

高斯绘谷神星的轨迹图1809 年高斯在题为《围绕太阳沿圆锥曲线轨道公转的天体的运动理论》一文中，正式发表了最小二乘法理论。

此前法国的勒让德（Adrien-Marie Legendre）也独立发现了最小二乘法原理。

不过高斯对最小二乘法的贡献确实很大。

他在1822 年证明了回归分析中最小二乘法在一定意义上是最优的。

他还利用最小二乘理论，得出了拉普拉斯等人苦思不得的误差分布——现在常称的高斯分布。

绝对值化简步骤：（1）先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系；（2）再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负；（3）然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来；（4）最后，绝对值符号全都去掉了之后，再进行加减运算（有的可能需要先去括号再运算），得到最简结果。

绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。

绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做ab 的绝对值，记作|ab|。

◎绝对值的知识扩展1、定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

2、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

3、绝对值的有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0；（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

七年级化简求值知识点化简求值是初中数学中的重要知识点，也是后续学习中的基础。

本文将就七年级化简求值知识点进行详细的阐述和解说，以期同学们进一步理解和掌握相关知识。

一、基本概念1.1 化简化简是指数学计算中的一种简化运算，主要指将一些式子通过特定的变换，得到更加简洁、明了的结果。

化简的目的是为了更好地理解计算过程，更方便地处理数学问题。

1.2 求值求值是指根据已知条件，计算出某个数学式子的具体数值。

求值通常需要遵循一定的计算规则和运算法则，常用于解决数学问题中的实际应用问题。

二、化简运算法则2.1 代数运算法则代数运算法则是化简求值中的基础，常用的代数运算法则包括加法、减法、乘法、除法、开方、平方等。

我们通过这些运算法则进行化简求值时，需要遵循对等性原则。

2.2 对等性原则对等性原则是指化简求值运算过程中，等式左右两边必须保持相等的原则。

换句话说，对等式进行变形时，等式左右两边必须同时进行相同的运算，以保持等式的平衡。

2.3 公因数法则公因数法则是指在一个多项式中，如果各项都有一个公共因式，则可以提取出这个公共因式，从而进行化简求值。

例如：6x+9y=3(2x+3y)2.4 合并同类项法则合并同类项法则是指在一个多项式中，将相同的项进行合并，从而化简求值。

这里所说的“相同项”指的是各项中的代数变量和指数都相同，例如：2a+3a=5a2.5 分配率分配率是指在运算中，将一个数和一个括号中的数相乘时，可以先将数与括号中的每一项分别相乘，再将结果相加或相减。

例如：2(3x+4y)=6x+8y三、常见例题3.1 题目一将表达式 3x-2y+4y-3x 化简求值。

解答：利用合并同类项法则，将同类项进行合并，可得：3x-2y+4y-3x=2y3.2 题目二将表达式 4(x-y)+7y 进行化简求值。

解答：利用分配率和合并同类项法则，可将该式化简如下：4(x-y)+7y=4x-4y+7y=4x+3y3.3 题目三将表达式 2x+3(x-2y)-4x+2y 进行化简求值。

三种绝对值化简题型的解析在数学中，绝对值是常见的概念之一。

对于大多数人来说，绝对值的定义和基本性质并不陌生。

然而，在解决涉及绝对值的问题时，有一些特定的题型需要我们注意和掌握。

本文将针对三种常见的绝对值化简题型进行解析和讨论。

我们将以从简到繁、由浅入深的方式逐步展开，以帮助读者更深入地理解这些题型的解题方法。

一、绝对值的定义和基本性质回顾在进一步讨论绝对值化简题型之前，让我们先回顾一下绝对值的定义和基本性质。

绝对值是表示一个数到原点的距离，它可以表示为一个非负数。

对于任意实数x，绝对值的定义如下：x | = { x, 若x ≥ 0, -x, 若 x < 0 }绝对值具有以下基本性质： 1. 非负性：对于任意实数x，| x | ≥ 0； 2. 非负数的绝对值等于其本身：对于任意非负实数x，| x | = x； 3. 负数的绝对值等于其相反数：对于任意负实数x，| x | = -x。

了解绝对值的定义和基本性质是解决绝对值化简题型的关键。

二、绝对值的基本化简法则在解决绝对值化简题型时，我们可以根据绝对值的基本化简法则进行推导。

以下是三种常见的绝对值化简题型及其解析。

1.绝对值的加减法化简题型对于形如| a ± b | 的绝对值，我们可以将其化简为两个绝对值的和或差。

具体方法如下： - 若 a ≥ b，则| a ± b | = | a ± b | = | a ± b | = a ± b。

- 若 a < b，则| a ± b | = | b ± a | = | b ± a | = b ± a。

对于题目 | 3 - 5 |，由于 3 < 5，我们可以将其化简为 | 5 - 3 | = | 2 | = 2。

2.绝对值的乘法化简题型对于形如 | a * b | 的绝对值，我们可以将其化简为两个绝对值的乘积。

化简绝对值的再认识我是一名从教多年的乡村数学教师，从这些年的数学教学经历中发现，绝对值一直都是一个难点，学生不易掌握，有没有比较浅显易懂的方法把这个知识点教跟孩子们呢?下面就我的理解同大家分享一下。

一、绝对值的概念部分在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值用“ |a|”来表示(a为原数)。

一个正数的绝对值是它的本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数。

书上把它分成了三种情况，这是用具体的数字举例得出的结论。

它带有一定的局限性。

孩子们在做▏x-2 ▏=x-2 中x的取值范围时会搞错，常常会把x=2这种情况漏掉，而且不易改过来。

为什么会是这样呢?我认为就是原本教材上的三种情况的结论影响了孩子们，在后面的总结中书上是 |a|=而不是看成两类，及|a|=。

我们要让孩子们一开始就知道去掉绝对值只有两种情况，这样孩子们会更容易理解，从而增强了他们学数学的信心，有助于学生数学素养的形成。

还可以从绝对值是一个非负数这一性质入手来解决这一类型题。

只看等式的右侧，直接令x-20 再解出着个不等式就可以了。

这种方法有时还有立竿见影的作用，用好了效果很明显。

二、化简绝对值(去掉绝对值符号)有两种情况：利用数轴上的位置关系去掉绝对值。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离，叫做a-b或b-a的绝对值，记作 |a-b|或|b-a|.若有多个这样的绝对值的化简很大一部分学生找不到入手点和突破口。

其实他们都知道绝对值的定义，只是不能熟练地运用绝对值的性质进行化解。

其实还是有规律可循的。

化简▏b-c ▏+ ▏a+b ▏- ▏c-a ▏去掉绝对值符号，要先判断绝对值里面的代数式的值是非负数()还是非正数()，0是去掉绝对值的分界点，因为0的相反数是－0，－0＝0，也就是说0的绝对值等于它的相反数，归于，0的绝对值又是它本身，归于a 。

在数轴上看，两数相减时，右-左>0，归于a,去掉绝对值后不变符号。