多目标分析2
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2-多目标决策分析方法
f i di d i f i (i 1,2,, K )
式中： i和 d i分别表示与 f i 相应的、与 f i* d 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 量；pl 表示第l个优先级； lk 、 lk表示在同一优
先级 pl 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
采用矩阵可记为
max(min) f1 ( X ) Z
Φ( X ) G
F1min F1 F1max
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
数，假定有K个目标，L个优先级
(L K ) 目标规划模型的数学形式为
，
，
f i 同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系
min Z pl ( lk d k lk d k ) l 1 k 1
L
K
（2.18） （2.19） （2.20）
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
2
多目标规划求解技术简介
效用最优化模型
罚款模型
约束模型 目标规划模型
为了求得多目标规划问题的非劣 解，常常需要将多目标规划问题转化 为单目标规划问题去处理。实现这种 转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目 标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过 效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单 目标规划问题
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可 以给出一个可供选择的范围，则该目标就 可以作为约束条件而被排除出目标组，进 入约束条件组中。
式中： i和 d i分别表示与 f i 相应的、与 f i* d 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 量；pl 表示第l个优先级； lk 、 lk表示在同一优
先级 pl 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
采用矩阵可记为
max(min) f1 ( X ) Z
Φ( X ) G
F1min F1 F1max
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
数，假定有K个目标，L个优先级
(L K ) 目标规划模型的数学形式为
，
，
f i 同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系
min Z pl ( lk d k lk d k ) l 1 k 1
L
K
（2.18） （2.19） （2.20）
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
2
多目标规划求解技术简介
效用最优化模型
罚款模型
约束模型 目标规划模型
为了求得多目标规划问题的非劣 解，常常需要将多目标规划问题转化 为单目标规划问题去处理。实现这种 转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目 标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过 效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单 目标规划问题
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可 以给出一个可供选择的范围，则该目标就 可以作为约束条件而被排除出目标组，进 入约束条件组中。
nsga2算法通俗讲解
nsga2算法通俗讲解摘要：一、nsga2 算法简介1.多目标优化问题的背景2.nsga2 算法的提出和发展二、nsga2 算法原理1.非支配排序2.拥挤距离3.选择操作4.交叉操作5.变异操作三、nsga2 算法应用1.参数优化2.机器学习模型调参3.工程设计四、nsga2 算法的优缺点1.优点a.处理多目标问题的能力b.全局搜索能力c.收敛速度较快2.缺点a.计算复杂度较高b.需要预先设置参数正文：一、nsga2 算法简介在实际应用中，我们经常面临多目标优化问题，即需要同时优化多个目标函数。
nsga2 算法是一种基于遗传算法的多目标优化算法，由Chang 和Chen 于2000 年提出。
nsga2 算法在多目标优化问题中具有较强的全局搜索能力和收敛速度，因此被广泛应用于参数优化、机器学习模型调参和工程设计等领域。
二、nsga2 算法原理sga2 算法的基本思想是通过选择、交叉和变异操作来生成新的个体，并使用非支配排序方法来选择优秀的个体。
具体来说，nsga2 算法包括以下步骤：1.非支配排序：首先对当前种群中的每个个体进行非支配排序，将个体按照非支配等级（rank）从小到大进行排序。
2.拥挤距离：计算当前种群中每个个体的拥挤距离（crowding distance），拥挤距离越小，表示个体在目标空间中越分散，搜索能力越强。
3.选择操作：根据非支配排序和拥挤距离，选择一定数量的个体进行交叉和变异操作。
4.交叉操作：对选中的个体进行交叉操作，生成新的后代。
5.变异操作：对后代进行变异操作，以一定的概率随机改变某些基因的值。
三、nsga2 算法应用sga2 算法在许多领域都有广泛的应用，如参数优化、机器学习模型调参和工程设计等。
1.参数优化：在机器学习和数据挖掘中，参数优化是一个重要的环节。
nsga2 算法可以用于优化模型的超参数，提高模型的性能。
2.机器学习模型调参：nsga2 算法可以用于对深度学习模型进行调参，提高模型的准确性和泛化能力。
油气开发多目标二层规划投资决策模型研究及应用——以X_油田为例
2023年6月第26卷第12期中国管理信息化China Management InformationizationJun.,2023Vol.26,No.12油气开发多目标二层规划投资决策模型研究及应用——以X油田为例陈普信（中海石油（中国）东海西湖石油天然气作业公司，上海200050）［摘 要］近年来，国内各大石油公司认真贯彻落实国家战略，保障能源安全。
在油气田高质量发展的新形势下，油田开发投资决策如何落实发展目标、优化投资结构、提升投资价值、确保发展规划目标的实现已成为亟待解决的头等要务。
文章以X油田为例，采用单变量因素分析法、蒙特卡洛分析法等，建立一套多目标二层规划投资决策模型，以期指导未来的投资规划，为实现发展目标奠定基础。
［关键词］多目标二层规划；投资决策；产量目标；盈亏平衡油价doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2023.12.051［中图分类号］F832.48 ［文献标识码］A ［文章编号］1673-0194（2023）12-0157-040 引 言油田开发过程中，随着资源量不断的开采、利用，资源量逐渐减少，原油生产能力也在日益降低。
为了保证油田的长期稳产与可持续发展，必须寻求新的资源接替区域，不断地部署新井位、找资源，加大资金的投入力度，因此投资是具有连续性的。
大部分油田随着开发的深入，含水逐年上升，产量逐年下降；同时，随着近几年国外主要石油产区的动荡，导致油价剧烈波动，需要将开发策略从原来的完成产量任务转变为如何获得较好的经济效益。
投资连续不断地增加，除了会增加新井产量，还会造成折旧折耗成本的增加，导致油田生产成本的增加。
如何优化好投资，协调好投资与产量之间的关系，既要完成产量任务，又要保证获得较好的经济效益成为投资决策者关心的主要 问题［1］。
以往基于产能项目投资及工作量的优化研究，未给出盈利目标，不能够全面支撑新形势下油田综合投资决策。
本文以X油田为例，在已有的二层规划模型基础上，以产量目标、盈亏平衡油价目标为基础，采用单变量因素分析法、蒙特卡洛分析等，对项目影响因子进行定量分析，总结经验公式，建立一套能够反映开发规律、成本控制、效益敏感性分析的综合投资决策模型，以此实现项目全生命周期的开发、投资、成本、效益评价的目标，为下一步产能建设项目的投资决策提供参考依据。
第5章 多目标决策1-2
一 多目标决策的目标系统
目标准则体系的意义
单目标决策问题的关键是合理的选择决策准则，对可行方 案进行比较和优选。同样，多目标决策的关键，也是合理 的选择和构造目标准则体系，从总体上对可行方案进行比 较和优选。目标准则体系的构建，是多目标决策的前提。 在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准 则直接进行评价和比较，有的目标难以直接评价。需要将 这些难以直接评价的目标分解成若干个级别较低的子目标， 直到可以直接用一个或几个准则进行比较和评价为止。
目标准则体系的结构
单层次目标准则体系：各个目标都属于同一层次，每个目 标无需分解就可以用单准则给出定量评价，其结构图如图 1所示。这类多目标决策问题，在微观经济管理中也经常 碰到。例如，选购某种设备和装置，就属于这类问题。企 业对设备和装置，都有一些常规的技术和经济指标要求， 这些指标均可以用单层次目标准则体系进行评价。
目标准则体系的结构
多目标决策目标准则体细的构建，是一项技术性较强的工作。 特别是社会经济发展战略和大型工程项目的多目标决策，目 标准则体系各目标的确定就十分困难。 决策分析人员应该做好调查研究，掌握准确而全面的第一手 资料，根据决策主体总的要求，初步拟定目标准则体系的系 统规划和层次结构。 由于问题涉及多学科、多技术、多部门的知识，单靠几个决 策分析人员，要把各个知识领域的问题弄清楚，把各目标准 则及其相对重要性无一遗漏的排列出来，无疑是相当困难的， 必须采用专门的方法才能完成这一任务。
一 多目标决策的目标系统
目标准则体系的意义
例如，某经济特区计划兴建一个大型汽车厂，厂址的选择 就是多目标决策问题。这四个分目标均不能直接用一个或 几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求， 逐级分解为若干子目标。例如，经济目标可以分解成直接 经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益 又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个 二级子目标，间接经济效益也可以继续分解为汽车销售收 入，地区贸易收益和国内贸易收益等三个二级子目标。
多目标策略
多目标策略多目标策略，即同时追求多个目标的策略。
在企业管理、决策和项目管理等领域中，多目标策略被广泛应用。
本文将介绍多目标策略的定义、优点、挑战以及如何制定和执行多目标策略。
多目标策略是指在管理决策中同时追求多个目标。
企业常见的目标包括利润最大化、市场份额提升、产品质量改进、成本降低等。
传统的单目标策略只关注一个目标的实现，而多目标策略则考虑多个目标的平衡与协调，能够提高企业的综合竞争力。
多目标策略有以下几个优点。
首先，可以降低风险。
在追求多个目标时，即使某个目标没有达到预期，其他目标的实现也能够保证企业的稳定发展。
其次，可以提高决策的灵活性。
多目标策略能够考虑到不同目标的权重和优先级，使企业能够根据实际情况进行调整和变更。
最后，多目标策略有助于提高企业的创新能力。
通过追求多个目标，企业可以在多个方面进行创新，推动企业的进一步发展。
然而，多目标策略也面临一些挑战。
首先是目标冲突的问题。
不同的目标可能存在相互矛盾的情况，企业需要找到权衡和平衡的方案。
其次是资源分配的问题。
追求多个目标需要投入相应的资源，但资源有限，如何合理分配资源是一个问题。
最后是目标衡量和评估的问题。
如何对不同的目标进行量化和评估，需要有合适的指标和方法。
制定和执行多目标策略需要以下几个步骤。
首先是明确目标。
企业需要明确追求的多个目标，并确定它们的优先级和权重。
其次是制定策略。
根据目标，企业需要制定相应的多目标策略，包括资源分配、组织架构和流程改进等方面。
然后是执行策略。
企业需要将策略落地，通过组织、领导和协调不同部门和团队的努力，实现多目标的达成。
最后是监控和评估。
企业需要设立合适的指标和评估体系，及时监控目标的实现情况，并对策略进行调整和改进。
在执行多目标策略时，企业需要充分利用信息技术和数据分析的手段。
数据分析可以帮助企业了解目标的实现情况和问题所在，为决策提供支持和依据。
信息技术可以提高企业的决策效率和资源利用率，例如通过信息系统实现资源的优化调配和流程的自动化管理。
基于多目标优化NSGA2改进算法的结构动力学模型确认
基于多目标优化NSGA2改进算法的结构动力学模型确认赖文星;邓忠民;张鑫杰【摘要】传统结构动力学模型确认方法通常采用单目标优化,存在精度不足和稳定性差等缺点,难以满足实际工程需求.基于此,提出一种采用神经网络作为代理模型,建立以马氏距离和鲁棒性为不确定性量化指标的多目标优化模型,并将NSGA2多目标进化算法用于求解.针对NSGA2存在无法有效识别伪非支配解、计算效率低和解集质量较差等设计缺陷,提出一种基于支配强度的NSGA2改进算法INSGA2-DS.INSGA2-DS将支配强度引入非支配排序,采用新型拥挤距离公式和自适应精英保留策略,以提高收敛效率和解集质量.GARTEUR飞机算例的仿真结果表明,INSGA2-DS求解复杂工程问题时具有更好的收敛性和分布性,而考虑鲁棒性的结构动力学模型确认方法可以获得同时满足多种目标要求的Parcto解集,提高了模型确认的精度和稳定性.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2018(035)006【总页数】6页(P669-674)【关键词】NSGA2;模型确认;结构动力学;鲁棒性;多目标优化【作者】赖文星;邓忠民;张鑫杰【作者单位】北京航空航天大学宇航学院,北京100191;北京航空航天大学宇航学院,北京100191;北京航空航天大学宇航学院,北京100191【正文语种】中文【中图分类】TH212;O3131 引言多目标进化算法从20世纪90年代开始迅速发展，Deb等［1］提出第二代带精英保留策略的快速非支配排序算法NSGA2。
NSGA2采用快速非支配排序方法，基于拥挤距离的分布性方法和精英保留策略，凭借简单及高效等优点，广泛应用于科学计算和工程设计等领域。
Kollat等［2］将Epsilon支配概念引入 NSGA2，提出Epsilon-NSGA2算法；Zhang等［3］提出了基于分解的多目标进化算法MOEA／D，MOEA／D将多个目标分为若干组，再并行优化求解；Elhossini等［4］提出粒子群算法和进化算法的混合算法；Deb等［5］提出一种基于参考点的NSGA2算法，以提高高维优化能力；Shim等［6］将非支配排序与目标分解结合，以提高算法优化性能；Qiu等［7］提出用于多目标优化的自适应交叉差分演化算子。
数学建模股票多目标规划模型
数学建模股票多目标规划模型
数学建模在股票多目标规划模型中可以起到非常重要的作用。
股票投资是一个复杂的决策过程，需要考虑多个目标和约束条件。
数学建模可以帮助我们将问题转化为数学表达式，并使用数学方法进行求解。
在股票多目标规划模型中，我们需要考虑的目标可能包括风险、收益、流动性等。
我们可以根据投资者的偏好和风险承受能力，权衡这些目标，并建立相应的数学模型。
例如，我们可以使用线性规划模型，将投资组合的权重作为决策变量，收益和风险等目标作为目标函数，约束条件可以包括资金限制、投资比例限制、行业限制等。
通过求解这个数学模型，我们可以得到一个最优的投资组合，从而实现多目标优化。
另外，还可以使用非线性规划或者多目标规划等方法进行建模，以更准确地表示实际情况。
同时，还可以考虑引入时间序列分析、模拟等方法，以提高模型的准确性和可靠性。
需要注意的是，股票市场的变化非常复杂，数学建模只是一种工具，不能保证投资的成功。
在进行股票投资时，还需要考虑市场风险、信息不对称等因素，并做出合理的决策。
nsga2算法加约束条件
nsga2算法加约束条件摘要：1.介绍nsga2 算法2.讲解nsga2 算法如何加约束条件3.分析加约束条件后的nsga2 算法优缺点4.总结加约束条件对nsga2 算法的影响正文：SGA2 算法是一种用于解决多目标优化问题的遗传算法。
在实际应用中，许多问题需要考虑约束条件，以保证解的合法性和可行性。
本文将介绍如何在NSGA2 算法中加入约束条件。
首先，我们需要了解NSGA2 算法的基本原理。
NSGA2 是一种基于Pareto 最优解的多目标优化算法，通过生成、评估和选择操作来搜索优良解。
其主要特点是具有两个不同的精英策略：支配策略和拥挤策略。
支配策略选择当前种群中最优解，而拥挤策略则选择具有最高拥挤度的解。
这种策略组合使得NSGA2 能够在搜索过程中保持多样性和收敛速度。
在NSGA2 算法中加入约束条件，可以通过以下方法实现：1.在目标函数中加入约束项：将约束条件转化为目标函数的一部分，从而在优化过程中自动满足约束条件。
具体做法是将约束条件的等式或不等式转化为一个或多个目标函数的项，并将其加到目标函数中。
这样，优化问题就变成了一个带约束的多目标优化问题。
2.使用惩罚函数：在目标函数中加入惩罚项，以防止解跨越约束边界。
这种方法的优点是简单易实现，但缺点是可能导致算法陷入局部最优解。
3.使用约束规划：将优化问题转化为约束规划问题，通过求解带约束条件的优化问题来满足约束条件。
这种方法可以在保证解的合法性的同时，寻找到全局最优解。
加入约束条件后，NSGA2 算法在处理多目标优化问题时具有更好的性能。
它可以有效地平衡目标函数之间的权衡关系，同时保证解的合法性。
然而，加约束条件也可能带来一些负面影响，如算法收敛速度减慢、计算复杂度增加等。
总之，在NSGA2 算法中加入约束条件有助于解决实际问题，提高优化性能。
然而，这也可能导致算法的收敛速度和计算复杂度降低。
2_多目标_NCGA_NSGA_STA_Beam_2Page
∗ 当下面两个条件满足时，称一个解x (1)支配（Ｄｏｒｍｉｎａｔｅ）另一个解x (2)： 1. x (1) 对应的所有目标函数值都不差于 x(2) 对应的目标函数值 ２．至少有一个x (1) 对应的目标函数值严格好于x (2)对应的相应的目标函数值
∗ 非支配解的全体构成有效解集（Ｐａｒｅｔｏ解集）
２、交互规划法
折中解满足法 ＳＴＡ （Ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ Ｔｒａｄｅｏｆｆ Ａｎａｌｙｓｉｓ） 领域繁殖法：ＮＣＧＡ （ Ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ Ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ＧＡ） 非支配解排序法：ＮＳＧＡ ＩＩ （Ｎｏｎ－ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ Ｓｏｒｔｉｎｇ ＧＡ） ｅ－Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ逐步宽容约束法
３、多目标遗传 算法
４、其他
目标规划法 Ｂｅｎｓｏｎ法
1、评价函数法 — — 线性加权法
10
2005-1-12
评价函数法
设u : E p → E 1 , f : S ⊂ E n → E m , 又设 x*是问题： min u( f ( x))
f2(x)= -x -1
O
f1(x)＝x 2-2x -1 B -2
O
A
Pareto Optimal Front
1
2
Pareto Optimal
x
原象：R pareto = Rweakpareto = [1,2]
（弱）有效解： E pareto = Eweakpareto = » AB
5
2005-1-12
PLEO
碰撞模型
Floor panel
Design Variables
Nine Plates Thickness: Plate1, plate2, plate3, plate4, plate5, plate6, plate7, plate8, plate9 Car Weight(M) Floor Panel Intrusion(D) Acceleration at Center Pillar(A)
∗ 非支配解的全体构成有效解集（Ｐａｒｅｔｏ解集）
２、交互规划法
折中解满足法 ＳＴＡ （Ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ Ｔｒａｄｅｏｆｆ Ａｎａｌｙｓｉｓ） 领域繁殖法：ＮＣＧＡ （ Ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ Ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ＧＡ） 非支配解排序法：ＮＳＧＡ ＩＩ （Ｎｏｎ－ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ Ｓｏｒｔｉｎｇ ＧＡ） ｅ－Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ逐步宽容约束法
３、多目标遗传 算法
４、其他
目标规划法 Ｂｅｎｓｏｎ法
1、评价函数法 — — 线性加权法
10
2005-1-12
评价函数法
设u : E p → E 1 , f : S ⊂ E n → E m , 又设 x*是问题： min u( f ( x))
f2(x)= -x -1
O
f1(x)＝x 2-2x -1 B -2
O
A
Pareto Optimal Front
1
2
Pareto Optimal
x
原象：R pareto = Rweakpareto = [1,2]
（弱）有效解： E pareto = Eweakpareto = » AB
5
2005-1-12
PLEO
碰撞模型
Floor panel
Design Variables
Nine Plates Thickness: Plate1, plate2, plate3, plate4, plate5, plate6, plate7, plate8, plate9 Car Weight(M) Floor Panel Intrusion(D) Acceleration at Center Pillar(A)
二次规划资料
向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，
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• 目标3：将投资资金控制在5500万美元以内
• 三个目标在重要性上的排序：目标1，目标2的前半部分避免减少 员工，目标3，目标2的后半部分避免增加员工
• 惩罚权重：总利润 5（低于目标每100万美元），员工水平 4（ 低于目标每100名员工）2（高于目标每100名员工）3（超过目标 每100万美元）
j 1
s.t.
f j (x)
y
j
y
j
fˆ j
j 1,2,, n
y
j
y
j
0
Ax b
x 0,
y
j
0,
y
j
0,
j 1,2,, n
对于许多实际问题,决策者对不同目标的要求不同，
为了反映这种情况，我们对yj 和yj 分别加权wj 和wj
如果
wj wj 1
希望
y
j
尽可能小
wj wj 1
线性目标规划
• 两类“权”系数 － “抢先优先权”：表达一种“质”的度量 － 普通权：表示“量”的差别
按抢先优先权，我们可以把n个目标f1 fn划分 成一定个数的优先类。Pl 表示第l级抢先优先权，有
Pl 1 Pl Pl 1 从而目标规划可以改写成：
Min
L
Pi
wj
y
j
wj
y j
i1 jJi
我们用某一范数d p定义方案间的偏差:
1
d p ( f (x), fˆ )
n
wj
f j (x) fˆj
p
p
j1
其中: fˆj , j 1,2,, n, 为理想点
从而, 多目标决策问题转化为:
1
Min
xX
d
p
(
f
(x),
fˆ )
n
wj
j 1
f j (x)
fˆj
p
p
线性目标规划
线性多目标问题：
Max xX
V
f1 ( x)
fn (x)
V (.)为一标量函数
多目标决策问题转化为在X中找一x*使V达到最大
这个解称为最佳调和解
然而，多目标决策问题的效用函数通常极难得到。
处理方法：
重点在如何获取和利用决策者的偏好信息
目标规划法
决策者通常很难说清楚自己的偏好，但在他心里会有一个理想的目 标(可能很模糊)。因此，我们取与决策者的理想目标最接近的方案 为“最优方案”。
s.t. 同前
线性目标规划
求解算法：
• 令K=1，求线性规划问题，使第一优先级中的各目标得以优
化
Z1
wj yj
wj
y
j
jJ1
• 如果K=L，或最优解是唯一解，则停止，否则下一步
• 令K=K＋1，在满足第K－1优先级及以前各类目标要求
的前提下，求线性规划问题，使第K优先级中所有目标
得以优化
因此，我们可以设 wj 0，wj 1，即
n
Min
w j
y
j
j 1
s.t. 同前
这两模型称为单侧目标规划。
求解线性目标规划
• 例题 某公司需要确定三种产品P1,P2,P3的产量，在做出决策
前，管理层希望达到如下的目标：
• 目标1：总利润不少于1.25亿美元
• 目标2：保持现有的4000人的员工水平
n
Min wj fˆj f j (x) j 1
s.t. Ax b, x 0
线性目标规划
设
y
j
1 2
fˆj f j (x) fˆj f j (x)
y
j
1 2
fˆj f j (x) fˆj f j (x)
显然，当
fˆj f j (x)，有
y
j
f j (x)－fˆj
希望
y
j
尽可能小
线性目标规划
考虑两种极端情况:
1) f j 为成本型目标(随f j 增加偏好降低)
显然，决策者不
希望出现y
j
f j (x)
fˆj
0
因此，我们可以设 wj 1，wj 0，即
n
Min
w j
y
j
j 1
s.t. 同前
2) f j 为效益型目标(随f j 增加偏好增加) 显然，与情况1）正相反
ZK
wj
y
j
wj
y
j
jJ K
s.t. (增加) Zi Zi* i 1,2,, K 1
最多需要求解L个线性规划问题。
Excel求解优先目标规划
• 续前例 公司再次明确了目标重要度差异较大，存在
不同的优先级，如下： • 优先级1 总利润不得少于 1.25亿美元 • 优先级2 避免员工人数少于4000人 • 优先级3 投资资金控制在5500万美元以内 • 优先级4 避免员工人数超过4000人
xX
其中：x [x1 xm ] 决策变量
fi (x),i 1,2,, n(n 2) 目标函数
X为决策变量的可行域
理想情况：找到一xs X，使每个fi (xs )，i 1,2,, n均达到最大，
即
fi
( xs
)
Max
xX
fi (x),
i 1,2,, n
无限方案多目标决策问题
引入效用函数后，问题可以改写为：
m
m
Max Min
f (x) f1(x)
c1 j x j
j 1
fn (x) cnj x j
j1
m
s.t. gi (x) aij x j bi i 1,2,, N
j 1
即：X x | Ax b, x Rm, x 0
其中：A aij , b bj
如采用绝对值表示方案间的偏差，则
案例讨论计算之古巴的良方
• 案例关键点
–b) c)说明了对于加权目标规划的影响因素，是目 标的偏离权重，以及资源的分配
–d)说明了在一定情况下，目标与约束条件的转换
• 产品的单位贡献
P1
P2
P3
利润
12
9
15
员工
5
3
4
资金
5
7
8
线性目标规划
人们通常对目标的要求可能有“数量级”的差别，如 ：〖船厂建设问题〗通常要考虑如下指标
–首要条件
－ 岸线 － 水文 － 地质 － 水域
–主要条件
－ 陆域 － 交通 － 生产服务 。。。。
–一般条件
。。。。
•可见决策者对不同的指标的要求有时会有“质”的 差别
0
且
y
j
0
当
fˆj f j (x)，有
y
j
fˆ j
f j (x) 0
且
y
j
0
因此，称
y
为
j
过偏差，y
为欠偏差
j
进一步，有
y
j
y
j
fˆj f j (x)
y
j
y
j
f j (x)
fˆj
y
j
y
j
0,
y
j
0,
y
j
0
线性目标规划
多目标决策问题表示为:
n
Min
wj
y
j
y
j
多目标决策分析(II)
内容提要
• 无限方案多目标决策问题
– 目标规划法 – 逐步求解法 – DIDASS – Geoffrion法 – 极小化极大法
• 不精确不完全判断
– 两两比较的典型类型 – 一种处理和分析方法
无限方案多目标决策问题
无限方案多目标决策问题，一般可以表示为：
Max Min
f (x) [ f1(x),, fn (x)]