基于模式搜索的光谱消光粒径分布反演算法的研究

（ ） ： ；（ ） ：± ；（ ） ：± ａ Ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｂ ５ ％ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｃ １ ０ ％ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｎ ｏ ｉ ｓ ｅ
从图２和３可以看出，无噪声情况下，三种反演算法重 建结果都是令人满意的。峰值位置和高度都能够被准确重 建。但存在噪声的情况下， Ｐ Ｔ 算法和 Ｇ Ａ 算法特别是 Ｇ Ａ算 法与预设粒径分布产生较大偏差，同时出现明显伪峰和翘尾 现象。比较而言，本算法产生的 “ 毛刺 ” 和偏差较少，反演结 果基本令人满意。另外，将三种反演算法的反演误差和时间
（ ） ３ ２ 与正 式中， 为正则化参数 ， 用于调节残余误差 犈－犃 α ‖ 犳‖ 则化项‖ 犳‖２ 之间的相对权重。另外，考虑到具体实际应 用，还应附加一些物理约束条件
犖
１ 犼＝
， 犇） ０≤犳（ 犇） ＝１ ≤１ ∑犳（
犼 犼
（ ） ４
因此，粒径分布重建问题首先被转化为求目标函数的最 小化问题， Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ平滑泛函用于该目标函数的构建，在此 基础上，利用改进的模式搜索算法进行该最小化问题的求 解。 １ ２ 模式搜索算法 模式搜索算法是一种直接求解法，不需要目标函数的梯 度等辅助信息，只需建立简单的目标函数即可，算法示意图 如图１所示。算法从当前迭代中心点狓 预先给定步长 犽 开始 ， 放大因子η ， ） ，在从点狓 １和收缩因子β ０ １ ＞ ∈（ 犽 到点狓 犽 ＋ １的 轴向移动中，先从狓 犽 作为参考点 狔 出发，依次沿轴向的单位 正交向量犱 …， …， 犱 δ １， 狀 做变步长δ ，
作比较，列于表１ 。反演误差 ξ定义为设定与反演得到的粒 径分布之间的相对均方根误差。
（ ） ７ 犛 ／ １ ２ １ ２ ［ ］ 犇 ｒ ｅ（ 犳 ｐ 犼） ∑ 犛犼 １ ＝ 式中， 分别为设定粒径分布和反演粒径 和犳 犇 犇 ｒ ｅ（ ｉ ｎ ｖ（ 犳 ｐ 犼） 犼）
ξ＝
｛
１ ２ ［ ］ 犇 犇 －犳 ｒ ｅ（ ｉ ｎ ｖ（ 犳 ｐ 犼） 犼） ∑ 犛犼 １ ＝
（ ） 犽 １ （ ） 犽 犼
２ 仿真结果及分析
． ２Ｇ Ｈ ｚＣ Ｐ Ｕ 计算机数值模拟验 算法的性能首先通过 ２ 证。为接近实际测量，模拟中每个波长下的消光值均引入一 定的随机噪声。仅以粒径分布服从常见 Ｒ Ｒ 分布为例。 ） ｘ ５ － （ ）］ （ ｐ［ （ ） ×ｅ 犇 犇 犇 犽 ｘ × （ ） ×ｅ － （ ） ）＋ ｐ（ 犇） ＝狀 犳（ ［ ］ 犇 犇 犇 犇 犇 犽 （ ） ｘ × （ ） ×ｅ －（ ） ） ｐ（ １－狀） ６ ［ ］ （ 犇 犇 犇
基于模式搜索的光谱消光粒径分布反演算法的研究
王 丽，孙晓刚
哈尔滨工业大学自动检测与过程控制系统研究所，黑龙江 哈尔滨 １ ５ ０ ０ ０ １
摘 要 发展快速有效的反演算法用于粒径分布的重建是颗粒测量领域重要的研究课题之一。在光谱消光 法粒径测量中，提出将模式搜索算法用于独立模式下粒径分布的重建，同时引入 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ平滑泛函构建算 法的目标函数，为保证搜索过程的快速性和准确性，设计了关于初始点的优选策略。利用该算法测量国家标 准颗粒体积平均直径的相对误差为３ ． １ ４ ％，不超过国家标准物质局给出的± ８ ％的范围，且粒径分布宽度合 理，没有明显展宽和伪峰现象。与 Ｐ ｈ ｉ ｌ ｌ ｉ ｓ Ｔ ｗ ｏ ｍ ｅ ｐ ｙ方法和遗传算法的对比结果表明，在综合考虑反演精度 和反演时间条件下，该算法具有明显优势，更适合于快速准确的现场测量，具有较好的应用前景。 关键词 粒径分布；光谱消光；反演算法；模式搜索；测量 中图分类号： ， ： ／ （ ） ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ ０ ５ ９ ３ Ｔ Ｈ ７ ４ ４ Ｏ ４ ３ ６ Ａ 犇 犗 犐 １ ０ ． ３ ９ ６ ４ ２ ０ １ ３ ０ ３ ０ ６ １ ８ ０ ５ 文献标识码： ｊ
需要指出的是模式搜索算法虽具有很强的搜索能力，但 其搜索结果易受初始点的影响，为此，设计了关于初始点的
犉 犻 １ 犛 犮 犺 犲 犿 犪 狋 犻 犮 狅 犳 犪 狋 狋 犲 狉 狀 狊 犲 犪 狉 犮 犺犿 犲 狋 犺 狅 犱 犵 狆
， ， ） ，参数设置与图 ２ 相同，但迭代数目为 １８ ７ ． ０ １ ０ ０ ． ３ ０ ０ 代。
） 犉 犻 ２ 犐 狀 狏 犲 狉 狊 犻 狅 狀狉 犲 狊 狌 犾 狋 狊 狅 犳 犪 狉 狋 犻 犮 犾 犲 狊狑 犻 狋 犺狌 狀 犻 犿 狅 犱 犪 犾犚 犚犱 犻 狊 狋 狉 犻 犫 狌 狋 犻 狅 狀狌 狊 犻 狀 犻 犳 犳 犲 狉 犲 狀 狋犿 犲 狋 犺 狅 犱 狊（ 犿＝ １ ２ ３ ５ ＋ ０ 犻 犵 狆 犵犱
［ ］ ４ ７
犙 犿， 犇） 犇） λ ｅ ｘ ｔ（ 犻， 犳（ ｄ 犇 犇 ， ， …， （ ） ２ 犛 １ 犻＝１ 式中：（ ／ ） 为消光值 ， 由实际测量得到 。 为颗粒系厚 犐犐 犔 ０ λ 犻 度， 为消光 犖犇 为粒子总数， 犛 为入射波长数。 犙 犿， 犇） λ ｅ ｘ ｔ（ 犻，
犛
｝
／ １ ２
｛
｝
６ ２ ０ 分布。 犛 为入射波长数。
光谱学与光谱分析 第３ ３卷 方法特别是针对多峰粒径分布重建的情况。另外，还研究了 其他常见颗粒（ 如烟尘、雨滴） 采用不同反演算法得到的粒径 分布反演结果，结论与上述相似，限于篇幅，没有具体列出。 总结起来，综合考虑反演精度和反演时间，改进的模式搜索 算法在颗粒粒径分布重建方面具有明显优势，更适合于快速 准确的现场测量，具有很好的应用前景。
］ １ 尺寸范围的多分散颗粒系满足关系式［
消光粒径测量方法分为独立模式算法和非独立模式算法。比 较而言，独立模式算法不需要任何先验信息，更加普适，客 观
［ ］ ３
。目前已经发展了多种独立模式下的粒径分布反演算
法，每种算法都有各自的应用背景和局限性。传统算法如 Ｐ ｈ ｉ ｌ ｌ ｉ ｓ Ｔ ｗ ｏ ｍ ｅ Ｃ ｈ ａ ｈ ｉ ｎ ｅ迭代，共轭梯度法等广泛应 ｐ ｙ方法， 用于各类粒径测量中，但存在如目标函数及导数计算复杂， 抗噪声能力差及多峰粒径重建困难等问题。近年来，遗传算 法、模拟退火法等智能算法也已用于解决粒径测量问题。与 传统方法相比，智能算法具有很好的全局搜索和抗噪声能 力，但进化速度慢，计算费时费力等缺点突出
］ ８ 代，因而使反演计算更加简便高效［ 。
一般而言，粒径分布重建问题可直接归结为测量与反演 得到的消光光谱之间的最小二乘问题。然而由于消光矩阵 犃 中核函数犙ｅ 导致线性 ｘ ｔ随 犇 的变化是一个复杂的振荡函数 ， 方程组高度病态，求解很不稳定。为克服病态性，引入 Ｔ ｉ ｋ
，修订日期： ２ ０ １ ２ ０ ８ ０ ５ ２ ０ １ ２ １ １ ２ ２ 收稿日期： ） 资助 ６ １ ０ ７ １ ０ ３ ６ 基金项目：国家自然科学基金项目（ 作者简介 ： 王 丽 ， 女 ， 年生 ， 哈尔滨工业大学自动检测与过程控制系统研究所博士研究生 ： １ ９ ７ ８ ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ｌ ｗ ａ ｎ ｈ ｉ ｔ ｅ ａ ｈ ． ｎ ｅ ｔ ｇ ＠ｙ
ｌ ｎ
犐 ３ 犖 ＝－ 犔 （ 犐 ） ２ ∫
犇
０
犇ｍ ａ ｘ
λ 犻
犇ｍ ｉ ｎ
系数，是粒径 犇、波长λ 及复折射率犿 的函数。 为待求 犇） 犳（ 的体积频度分布函数。 用数值积分方法将式 （ ） 离散，可得如下矩阵表示的线 １ 性方程组 （ ） 犈 ＝犃 ２ 犳 Ｔ， 式中， ［ （ ／ ） ， …， （ ／ ） ］ 消光矩阵 的各元 犈＝ ｌ ｎ犐犐 ｌ ｎ犐犐 犃 ０ λ ０ λ １ 犛 素为犃 ／ （ ，（ ， …， ３ 犔 犖犇 犮 犙ｅ 犿， 犇 ２ 犇 犻 ＝ １ 犛； ＝ λ 犻 ｘ ｔ（ 犻， 犼 犼 ＝－ 犼 犼） 犼） ， …， ） ， 为粒径的分档数 。 为数值积分系数 。 待求体 １ 犖 犖 犮 犼
１
犇 犽 犇） × 犚 犚 狊 ＝ 犳（ 犇 犇
犚 犚 犫
１ １
犽 １ －
犇
犽
犽 １ － １
犽 １
１
的探测性移动，若
２
犽 １ － ２
பைடு நூலகம்犽 ２
则下次迭代从临近点 狓 进 狓 ′＝狓 狓 狓 犽 迭代成功 ， 犽＋ 犽－ 犽 － １） η（ 行。若狓 坐标搜索成功 ， 置 ， 并从 开始新的迭 ′ 狓 狓 ′ 狓 犽 ＋ １＝ 犽 ＋ １ 若在狓 则坐标搜索 代；否则，坐标搜索在狓 犽 展开 。 犽 不成功 ， （ ） （ ） 犽 犽 在狓 展开 ， 并且步长缩减 （ ） 。 若在 ＝ 狓 δ δ 犽 － １ 犽 － １仍然不成 犼 犼 β
第３期 光谱学与光谱分析
］ ９ 为［ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ平滑泛函构建目标函数φ（ 犳） ２ ｛ ｉ ｎ 犈－犃 ＝ｍ ‖ ‖ 犳） 犳‖ ＋α 犳‖２｝ φ（
６ １ ９
优选策略。即在确定最优初始点之前，先运行候选初始点的 优选程序，将随机产生的系列初始点及根据相关实验和文献 得到的经验初始点均作为候选初始点 狔 …， ， 狓 犻（ 犻＝ 犻＝ （ １ 犻， 犳 犳 ） ，计算所有候选点的目标函数值φ（ ，能够使目标函 犖， 犻） 犻） 犳 犳 数值最小的候选初始点即为优选的初始点 狔（ 。优选 狓 ０＝ ０） 犳 策略不仅能够保证模式搜索快速地收敛，而且能够保证较高 的反演精度。
］ １ ０ １ ２ 功，回溯并重复上述过程［ 。
２
２
２
式中下标 犚 犚 狊 和犚 犚 犱 分别代表单峰和双峰 Ｒ Ｒ 分布， 犇， ， ， ， ， 为特征参数 ， 。 犽， 犇 犽 犇 犽 狀 ０ 狀 １ ≤ ≤ １ １ ２ ２ 图２为粒径服从单峰 Ｒ Ｒ 分布的颗粒系采用本算法得 到的反演结果。为便于说明，同时给出了常用的反演算法， （ 方法 和 遗 传 算 法 （ 得到的反演结 Ｐ ｈ ｉ ｌ ｌ ｉ ｓ Ｔ ｗ ｏ ｍ ｅ Ｐ Ｔ） Ｇ Ａ） ｐ ｙ 果。设定待测颗粒系粒径服从分布 （ ， ） ，入 犇， 犽） ＝（ ３ ． ０ ７ ． ５ ５ 射波长选用可见近红外波段的 ３ ２ 个波长，粒径范围限定在 ０ ． １ １ ０ ． ０μ ｍ。正 则 化 参 数 的 确 定 应 采 用 广 义 交 叉 校 验 ～ ［ ９ （ 技术 ］。为客观比较，本算法与 Ｇ Ｇ Ｃ Ｖ） Ａ 算法均设置相同 迭代数目为１４ ０ ０代。由于 Ｇ Ａ 算法的随机搜索特性，将 １ ０ 次运行结果的平均值作为最终反演结果。图 ３ 为粒径服从双 峰Ｒ Ｒ 分布的颗粒系采用不同反演算法得到的反演结果。设 定待测颗粒系粒径服从分布 （ ， ， 犇 犽 犇 犽 狀） ＝（ ２ ． ５ ５ ． ９ １， １， ２， ２，