第38讲 直线、平面平行与垂直的综合问题

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

直线与平面平行、垂直有关知识点直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。

其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。

本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。

一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。

1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。

直线可由一个点和一个方向确定。

在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。

2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。

平面由三个非共线的点决定。

在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。

二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。

同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。

2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。

(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。

三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。

2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。

(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。

四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。

同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。

一、教学目标1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课内容1、回顾上节课内容2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾3、经典例题讲解4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾1． 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内.那么这条直线在此平面内． 2． 直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3． 直线与平面平行的判定与性质4.二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中.有一条垂直于一个平面.那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面.则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角.叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线.则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直.则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点.在两个半平面内分别作与棱垂直的射线.则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理.即如果两个平面垂直.那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据.要过平面外一点P作平面的垂线.通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β.设β∩α＝l.在β内作直线a⊥l.则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b .a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β.a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β.α∩β＝l .a ⊂α.a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α.b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α.b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交.所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α.a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线.若这样的直线图中不存在.则可通过作辅助线来解决． 失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中.要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用.即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线.通常是先找这个平面的一个垂面.在这个垂面中.作交线的垂线即可．三、经典例题讲解（一）直线与平面垂直的判定与性质例1：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.（二）平面与平面垂直的判定与性质例2：如图.在直三棱柱ABC－A1B1C1中.A1B1＝A1C1.D.E分别是棱1上的点(点D不同于点C).且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.（三）线面、面面垂直的综合应用例3：如图所示.在四棱锥P—ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB∥DC.△PAD是等边三角形.已知BD＝2AD＝8.AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点.求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．（四）线面角、二面角的求法例4：如图.在四棱锥P—ABCD中.PA⊥底面ABCD.AB⊥AD.AC⊥CD.∠ABC＝60°.PA＝AB＝BC.E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．四、课堂练习 选择题：1、如图.四棱锥S －ABCD 的底面为正方形.SD ⊥底面ABCD .则下列结论中不正．．确的是 ( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角2、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.633、 已知l .m 是不同的两条直线.α.β是不重合的两个平面.则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α.α⊥β.则l ∥βB ．若l ∥α.α⊥β.则l ∥βC ．若l ⊥m .α∥β.m ⊂β.则l ⊥αD ．若l ⊥α.α∥β.m ⊂β.则l ⊥m4、已知矩形ABCD .AB ＝1.BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折.在翻折过程中 ( )A ．存在某个位置.使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置.使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置.使得直线AD 与直线BC 垂直D．对任意位置.三对直线“AC与BD”.“AB与CD”.“AD与BC”均不垂直填空题：1．在正四棱锥P—ABCD中.PA＝32AB.M是BC的中点.G是△PAD的重心.则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．2．已知a、b、l表示三条不同的直线.α、β、γ表示三个不同的平面.有下列四个命题：①若α∩β＝a.β∩γ＝b.且a∥b.则α∥γ；②若a、b相交.且都在α、β外.a∥α.a∥β.b∥α.b∥β.则α∥β；③若α⊥β.α∩β＝a.b⊂β.a⊥b.则b⊥α；④若a⊂α.b⊂α.l⊥a.l⊥b.l⊄α.则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解答题：1、(1)如图所示.证明命题“a是平面π内的一条直线.b是π外的一条直线(b不垂直于π).c是直线b在π上的投影.若a⊥b.则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题.并判断其真假(不需证明)．2、如图所示.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形.E 为线段AD 1的中点.F 为线段BD 1的中点. (1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点.当D 1DAD 的比值为多少时.DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．3、如图.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中.AA 1⊥BC .∠A 1AC ＝60°.A 1A ＝AC ＝BC ＝1.A 1B ＝ 2.(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1； (2)如果D 为AB 中点.求证：BC 1∥平面A 1CD .五、课后练习1、已知三棱锥S－ABC中.底面ABC为边长等于2的等边三角形.SA垂直于底面ABC.SA＝3.那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.342、已知P为△ABC所在平面外一点.且PA、PB、PC两两垂直.则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．3、如图.在四棱锥P－ABCD中.平面PAD⊥平面ABCD.AB＝AD.∠BAD ＝60°.E.F分别是AP.AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. . .。

直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。

判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。

1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。

（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。

（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。

直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。

（2）两个平行直线的斜率相同。

（3）两个平行直线的方向向量相同。

（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。

2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。

（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。

直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。

（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。

（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。

（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。

（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。

关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。

这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。

、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ii .思考：如图，设直线b 在平面a 内，直线a 在平面a 外，猜想在什么条件下直线a 与平面a 平行.（a||b ）直线与平面平行的判断直线和平面在空间平面永无交点，则 直线和平面平行（定义）'a ------ '平面外的一条直线一次平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行结论线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）※判定定理的证明图形条件a 与a 无交点文字描述a //a知识点二、直线与平面平行的性质线面平行，则线线平行 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线” 平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行知识点三、平面与平面平行的判定判定如果两个平面无公共 点，责成这两个平面平 行一个平面内有两条相交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行.如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面垂直。

图形 曲//CL/A /条件 a ， b?3 aP b= P alla bla结论a I (3al 3//1丄a1丄3a I 3性质文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行.图形条件a I a ? 3 a P 3= b结论a na= ?a II b文字描述知识点四、平面与平面平行的性质性质文字描述图形条件结论如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行虫打/ —al p PG Y= b aGY= a allb如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面allpa? pa//a二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定要点诠释：定义中“平面岀内的任意一条直线”就是指“平面①内的所有直线”，这与“无 数条直线”不同（线线垂直=线面垂直）知识点三、二面角I .二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角 一AB —.（简记P — AB — Q ）面角的平面角的三个特征：i. ii . iii.n .二面角的平面角：在二面角 一丨一 的棱I 上任取一点0，以点0为垂足，在半平面 作垂直于棱I 的射线0A和0B ，则射线0A 和0B 构成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围： 0°180°.dihedral angle ）.这条直线叫做二点在棱上线在面内 与棱垂直内分别例题1.如图，若 是长方体ABCD-AB i C i D 被平面EFGH 截去几何体 体，其中E为线段A i B 上异于B i 的点，F 为线段BB 上异于 则下列结论中不正确的是A. EH // FGEFGHBC 后得到的几何 B i 的点，且 EH// A i D i , B. 四边形EFGH 是矩形 C.是棱柱D.是棱台2能保证直线 A.a a C. b D. ba 与平面a 平行的条件是(,b a ,a // b a ,c / a ,a / b,a / ca ,A € a,B € a,C €A B .a ,a ) //€ b 且 AC = BD 3下列命题正确的是( D F平行于同一平面的两条直线平行若直线a //a ,则平面a 内有且仅有一条直线与 A. B. C. D. E. F. a 平行 若直线a //a ,则平面a 内任一条直线都与 a 平行 若直线a //a ,则平面a 内有无数条直线与 a 平行如果a 、b 是两条直线，且a /b ，那么a 平行于经过b 的任何平面如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b ，a / a ,b a ，那么b//a 4在空间，下列命题正确的是(A) 平行直线的平行投影重合 (B) 平行于同一直线的两个平面平行 (C) 垂直于同一平面的两个平面平行知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直aPlB=1 a -l- B =90口* a 丄 B (垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼)知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直(如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与 一个面平垂直)图形§0 ；71 ~■f/文字描述结果 71CAftI 叙題圈)(D )垂直于同一平面的两条直线平行(C) a C a,b 1 B'M0(D)8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：EFlI 平面BCD9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形, 且/ DAB=60 , ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点. ⑴证明：AD 丄平面DEF;(2)求二面角P-AD-B 的余弦值.A . m, n ,m //B ，n //B a/B B . a //B ，m ,nm // nC . m 丄a,m 丄nn // aD . n / m,n 丄 a m 丄a6.下列命题中错误的是(A )如果平面 丄平面，那么平面内 定直线平行于平面(B )如果平面 垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面(C ) 如果平面丄平面 ， 平面 丄平面，l ，那么1丄平面(D ) 如果平面丄平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面5已知m 、n 为两条不同的直线,a 、B 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是1.(A)£［丄 fl 上〃丄 0□丄◎，方丄题图*、\ 、、 \,设口上赴関条ft 线，么0是W 个Fl 弟则口丄b 的一个允分条件址课堂练习A 组己知是两条不HS 线，口』(是三个不同平而，下列命题中£确的是＜孑）a H pM H ng 丄 /Z n H 丄 p4.如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD ,AB=4, BC=CD=2,AA 1=2,5.在长方体 ABCD — A1B1C1D1(1) 作出过直线AC 且与直线BD1平行的截面，并说明理由. (2) 设E 、F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线 EF//平面ABCD.6.在图中所示的一块木料中，棱 BC 平行于平面A'C '.(1)要经过平面AC 内的一点P 和棱BC 将木料据开，应怎样画线?人.若打小wH uj 舫d 刃B.若《 —儿0丄“则《 ” B C*若加*卅卩用川0D*若耐丄《 E 丄G,则肝卩4.已為阳荼直线”两个平和力，7?,给出下面四个命题：0 fp MT" fh m 丄反 n H 丄 fZ（刃a#R 、mdiu 0 n m//u其屮正确命題萌序号是3.m 、n 是空间两条不同的直线,① m 丄a, ② m 丄n , n // 3, all 价IX ②④TxTi6②③a 3是两个不同的平面， 下面四个命题中，真命题的序号是m 丄n ; a // 3, m 丄 a?n // ③m 丄n , a // 3, m // a? ④m 丄a,m // n, al 3?的中点。