三年级奥数.几何.一笔画与多笔画.

一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2）知道什么样的图形可以一笔画出。

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？J O I H G FED CBA GF E D CBA【例 3】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【例 5】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E CDB A 乙甲【例 6】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44 方阵。

知识要点一笔画一笔画【例1】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

【例2】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

(6)(4)(3)(2)(1)多笔画【例3】 下面各图至少需要几笔才能画成？（3）（2）（1）【例4】判断图中的三个图形各需要几笔才能画出？请把能一笔画的图形的画法用字母和箭头表示出来。

【例5】观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？多笔画改一笔画【例6】下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？【例7】下图能一笔画成吗？如果不能，请你添上或减去一根线段使它能一笔画出来。

【例8】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请说明需要几笔才能画出，并请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．FI H EBA G图aD C 图 bJ I H GDCLKF E BA 图 c【例9】 将下图改为一笔画．生活中的一笔画【例10】 （第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题（小学组））同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同，则贝贝至少需要＿＿＿种颜色的旗子。

如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就______（填“能”或“不能”）完成这项任务。

【例11】 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？HI FED CBA【例12】下图中每个小正方形的边长都是100米。

小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例13】小明假日去看画展，展览分四个展区，展览馆内外一共有六扇门，平面图如下，请问小明能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。

如果能，应从哪开始走？【例14】下图是某博物馆的平面图，共有五个主题展馆，相邻两馆之间有门相通，并且设有入口．博物馆的入口以及展馆门口挂了颜色各异的彩旗，请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门采集到所有颜色的彩旗吗？如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例15】在一条河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸？【例16】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个岛连接起来(如下图所示)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：⑴若再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能，请说明理由．⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？【例18】下图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径，若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？【例19】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图。

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题奇妙的一笔画（二）现在我们了解了什么是一笔画和一笔画图形的一些特点，接下来我们深入学习利用一笔画知识解决实际问题的方法，并且扩展出多笔画问题。

希望同学们能够对这类有趣的问题产生兴趣。

一、多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画。

多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半。

事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成。

奇点数÷2＝笔画数，即2n÷2＝n。

二、对于一笔画问题的应用，我们首先要理解题意，然后常需要改画图形，把代表实际的图形简化成能明确看出奇偶点的图形。

例1 观察下面的图形，看各至少用几笔画成？分析与解：图（1）有8个奇点，所以要4笔画出，图（2）有12个奇点，所以要6笔画出，图（3）能一笔画出。

例2 18世纪的哥尼斯堡是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来。

如果游人要一次走过这七座桥，而且每座桥只许走一次，问如何走才能成功?分析与解：图a中，用A,D表示两个小岛，点B,C表示河的左右两岸，若再用连结两点的线表示桥，从而得到一个由四个点和七条线组成的图形，点A、B、C、D四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形。

考虑如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥：若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时图形可以一笔画出，如我们可以选择奇点B、D之间连一条线，如图b。

考虑架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地：再在另外两个奇点A、C之间连一条线，使这两个奇点也变成偶点，如图c，可以以任意点为起点，最后仍回到这个点。

例3 有一个邮局，负责21个村庄的信件投递工作，图中的点表示村庄，线段表示道路。

邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析与解：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画出，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画出就不可能回到邮局。

一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点.重难点知识框架一笔画与多笔画C（2）知道什么样的图形可以一笔画出.（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？【解析】本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.【答案】甲先到达C.【例 2】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【答案】能【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 不能【例 3】 下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？【解析】 邮递员走的路程最短时，路线最合理.利用一笔画的知识分析可得：因为邮递员从邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最理想的，但实际上图中却有8个奇点，邮递员必须重复走某些路线.根据多笔画改为一笔画的方法得知：重复走的路线的两个端点应为奇点.重复的总路程应该尽可能短.我们把需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的路线如右图时，重复的路程最短，全程共走了56＋4＝60（里）.其中56为所有街道的总长，4为所重复走的路程.小结：本题属于最短邮递路线问题.解决这样的题目时，有两点值得注意：①在所给图中，每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员必须以邮局作为起点和终点，即在最后能一笔画出的图中，所有的点都必须是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同.E CDBA【例 4】右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？【解析】这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.【例 5】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【答案】【例 6】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图.【答案】关闭B门.【例 7】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有6个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：总路程为3102846⨯+⨯=．【答案】46【例 8】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．【答案】不能【巩固】 如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答 【答案】能.【例 9】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【考点】一笔画问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．【答案】30千米【随练1】 一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A 出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？例题精讲【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】【答案】如图，27；【随练2】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？【解析】 我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.上图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走.【答案】能，应该从A 或D 展室开始走.EDCBA【作业1】 下列图形分别是几笔画？怎样画？【答案】（1）1笔 （2）2笔 （3）1笔【作业2】 从A 点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A 点，怎样走才能使重复走的路程最短？【答案】【作业3】 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？A例题精讲【答案】【作业4】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？【答案】邮局213332邮局33322111 / 12【作业5】 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【答案】34厘米.【作业6】 在六面体的顶点B 和E 处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？【解析】 许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D 点，因而获胜.问题变为从B 到D 与从E 到D 哪个是一笔画问题.图中只有E ，D 两个奇点，所以从E 到D 可以一笔画出，而从B 到D 却不能，因此E 点的蚂蚁获胜.【答案】E 点的蚂蚁获胜.【作业7】 下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）.△ 邮局 3数学文化小故事：“0”的来历大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。

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例题精讲
【例 1】 下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍所有的 街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先 到达 C？余老师薇芯：69039270
【例 2】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一 个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
【作业 5】 在六面体的顶点 B 和 E 处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到 达终点 D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？
【作业 6】 下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一 条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）.
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.
二、一笔画问题
（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这
点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作
【例 5】 在 3×3 的方阵中每个小正方形的边长都是 100 米．小明沿线段从 A 点到 B 点，不许走重复路， 他最多能走多少米？欢迎关注：“奥数轻松学”
【例 6】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否 从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个 门就可以办到？

一、 一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、 多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2） 知道什么样的图形可以一笔画出。

（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图a 能，因为有2个奇点，图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA一笔画与多笔画B知识框架重难点例题精讲图b 不能，因为图形不是连通的， 图c 能，因为因为图中全是奇点【答案】a 能，b 不能，c 能【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要4种颜色的旗子。

小结 ：本题属于最短邮递路线问题 . 解决这样的题目时，有两点值得注意：①在所给图中，每 条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员必须以邮 局作为起点和终点， 即在最后能一笔画出的图中， 所有的点都必须是偶点 . 这也与前面游人可以选择 进出口的问题不同 .
【例 4 】 右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度 所有的街道，最后再回到 A. 问：如何设计洒水路线最合理？
一、 一笔画的认识
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一
次，不准重复 . 从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图
. 但是否所有的连通图都可以一笔画
出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法
.
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏 是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复 .
图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双
向通行的， 且每条街道都有一个长度值 （标在图中相应的线段处） ．一名邮递员传送报纸和信件，
要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）
．他合理
安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是
【答案】
【例 6 】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从
入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，
如果不能，应关闭哪个门
就可以办到？
【考点】一笔画问题 【难度】 4 星 【题型】解答
【解析】 可 以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通 厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形， 如下：

解析：图(1)有 8 个奇点，所以要 4 笔画出。图(2)有 12 个奇点，所以要 6 笔画出。图(3)能一笔画出。
【例 8】 如图 A 所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河 岸。问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
解析：通过画图，把一个实际问题转化为一个几何图形(如图 B)，成为一笔画 的问题了，而图 B 中有 2 个奇点，所以能一笔画出。 练习四 1、右边各图至少要用几笔画完？
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【例 1】 右图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？ 解析：我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫
做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。奇点有 J、D、 H，偶点有 A、B、C、E、F、G、I。
【例 2】 下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
解析：图 1 能一笔画，因为图中只有两个奇点。图 2 也能一笔画，因为图中全 是偶点，图 3 不能一笔画，因为有 4 个奇点。
条线，将其改成成可一笔画的图形。
G
H
A
I
J
F
B
K
L
E
C
图b
D
【例 2】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组 成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进 口和一个出口，问游人能否从入口进，从出口出，并且 一次不重复地穿过所有的门？
解析：将图形中的 6 个区域看成 6 个点，每个门看 成连结他们的线段，显然 6 个点都是偶点，所以游人能 一次不重复的走过所有的门。
2
【例 4】 右图中的线段表示小路，请你仔细观 察，认真思考，能够不重复地爬遍小路的是甲蚂 蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？
解析：要想不重复爬遍小路，需要图形能 一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从 奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够。

一笔画三年级奥数题及答案
一笔画三年级奥数题及答案
一笔画问题：
请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

分析与解：
首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;其次，在所给出的图形中，我们发现各行、
各列均没有重复的'图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和
正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：
①仅由圆、三角形、正方形组成;
②各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。

因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。

一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.重难点知识框架一笔画与多笔画A（2） 知道什么样的图形可以一笔画出。

（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【考点】一笔画问题 【难度】2星【题型】解答【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点： E C 偶点：A B D F G 【答案】奇点：E C 偶点：A B D F G【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.J O I H G FED CBA GF E D CBA例题精讲【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】(a)图：可以一笔画，因只有两个奇点A、B；画法为A→头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴。

一笔画与多笔画知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2）知道什么样的图形可以一笔画出。

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？J O I H G FED CBA GF E D CBA【例 3】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.【例 4】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？【例 5】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E CDB A 乙甲【例 6】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 7】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44 方阵。

知识框架一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.重难点（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点.（2）知道什么样的图形可以一笔画出.（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？一笔画与多笔画例题精讲【例1】下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？【例2】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A 【例3】下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？【例4】右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例5】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例6】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【例7】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．【例8】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【例9】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？课堂检测【随练1】一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？【随练2】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？家庭作业【作业1】下列图形分别是几笔画？怎样画？【作业2】从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？【作业3】邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？【作业4】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？欢迎关注：奥数轻松学【作业5】在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？【作业6】下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）.教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：2122△邮局2113。

三年级奥数专题：一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画.显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画.同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢?一笔画图形有哪些特点?关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题.哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图).所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功?当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功.后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢?经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理.欧拉是怎样解决七桥问题的呢?因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了.我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点.如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点.欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画.利用一笔画原理，七桥问题很容易解决.因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥.顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数.因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数.如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾.所以一个图形的奇点数目一定是偶数.(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成.例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画.如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了.将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即( 6 ÷2)笔画成.一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢?我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点.如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点.所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画.到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画.练习281.下列图形分别是几笔画?怎样画?2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短?4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥?答案与提示练习281.(1)(3)是一笔画，(2)是两笔画.2.能，因为是一笔画.3.见右图，走法不唯一.4.能.例如下图的走法.第29讲一笔画(二)利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题.例1右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走?分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走.例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样.例2一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局.怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?分析与解：图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画.在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米.走法参考右上图(走法不唯一).例3右图中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米?分析与解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解.首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点.所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图.或例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同.因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画.而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画.区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”. 例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜?分析与解：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.练习291.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短?全程多少千米?2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局?3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米?答案与提示练习291.50千米，走法见左下图.2.见右上图.3.最多爬行34厘米.提示：8个点都是奇点，故至少要少爬4条棱.少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图).。

三年级奥数专题：一笔画(一)如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。

显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。

后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。

欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。

如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。

欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

因为图中A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。

一、一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、一笔画问题（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．三、多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2）知道什么样的图形可以一笔画出。

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？【例 1】判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为因为图中全是奇点【答案】a 能，b 不能，c 能【例 2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要4种颜色的旗子。