非均匀有理B样条(NURBS)方法在外形设计中的应用研究解析

高精度数控机床非均匀有理B样条曲线 插 * 补控制研究
□ 张盼盼 口 吴凤彪 □ 张子英
山西能源学院机电工程系太原030600
摘 要：在复杂曲面数控加工中，经常应用非均匀有理B样条曲线。介绍了非均匀有理B样条曲
线插补原理，分析了传统非均匀有理B样条曲线插补方法，即泰勒展开法，确认泰勒展开法在计算精度
proposed to adopt the secant method to carry out NURBS curve interpolation. The principle of secant
interpolation was introduced, and the problems of the initial value and the termination judgment of iterative
(1) 确定初始插补点的参数“，和初始点的坐标 G {%(“；) ,y(u；) ,z(u. )}；
(2) 根据设定的插补算法，利用初始插补点参数 对下一处的插补点参数““，进行计算；
(3) 将插补点参数代入NURBS曲线方程，计 算新的插补点坐标 C,.| { x( uifI ) ,y( uitl ) ,z( uit, ) | o
high-precision NC machine tool.
Keywords: NC Machine Tool NURBS Curve Interpolation Control
1研究背景
插补计算是数控系统的核心技术，也是系统软件 对机床实时运动控制的关键，可以实现对刀具加工轨 迹的插值细化，使刀具轨迹逼近给定零件的轮廓外形， 并在各插补周期内输出机床运动的实时控制数据。中 低精度数控机床在复杂曲线加工中，通常采用直线插 补法或圆弧插补法，将曲线分解为多段微小线段或圆 弧。这种方法的问题在于线段连接处一阶不可导，从 而严重影响加工曲线的光滑性、加工精度和刀具寿命。 另一方面，为提高精度，这种方法会生成大量数据点， 从而造成机床负载严重，传输错误概率增大。为解决 以上问题，在高端数控领域引入了非均匀有理B样条 (NURBS)曲线插补控制技术，但对于具体插补算法， 仍有诸多问题需要解决，笔者对此进行研究。

基函数与度数的关系
度数和基函数共同决定了曲线的形状和性质。选择合适的 度数和基函数可以实现各种复杂的曲线形状，同时保证曲 线的光滑度和连续性。
03 NURBS曲线的生成方法
初始曲线生成
确定曲线起点和终点
根据设计需求，确定曲线的起点和终点坐标。
选择控制点
根据曲线形状要求，选择合适的控制点，控制点的数量和位置将影 响曲线的形状和精度。
确定权重因子
权重因子用于控制曲线的形状，通过调整权重因子可以改变曲线的 弯曲程度。
曲线细分与光顺
细分
将初始曲线细分成若干个小段， 每段曲线采用B样条曲线进行拟合 ，提高曲线的精度。
光顺
对细分后的曲线进行光顺处理， 消除曲线中的拐点和平滑曲线的 形状，使曲线更加平滑和连续。
曲线修改与调整
修改控制点
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精 确。
控制点与权因子的影响
控制点
控制点和权因子的关系
控制点是NURBS曲线中的重要元素， 它们决定了曲线的形状和位置。通过 调整控制点的位置，可以改变曲线的 形状。
控制点和权因子共同决定了曲线的形 状，通过合理设置它们的值，可以实 现各种复杂的曲线形状。
非均匀有理B样条（ NURBS曲线课件
目录
Contents
• NURBS曲线的基本概念 • NURBS曲线的数学表示 • NURBS曲线的生成方法 • NURBS曲线的应用实例 • NURBS曲线的优缺点分析
01 NURBS曲线的基本概念
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是一种参数曲线， 它由非均匀有理基函数（ NURBS基函数）定义。
易于实现
NURBS曲线的数学模型相对简单，易于在计算机上实现，并且 已经有了许多现成的软件工具可供使用。

Nurbs 即是非均匀有理样条（Non uniform rational B-spline，NURBS），是在计算机图形学中常用的数学模型，用于产生和表示曲线及曲面。
而Fanuc系统里面的NURBS插补（NURBS Interpolation）功能特点如下：
汽车和飞机等工业用的模具多数用CAD设计，为了确保精度，设计中采用了非均匀有理化B-样条函数（NURBS）描述雕刻（Sculpture）曲面和曲线。因此，CNC系统设计了相应的插补功能，这样，NURBS曲线的表示式就可以直接指令CNC，避免了用微小的直线线段逼近的方法加工复杂轮廓的曲面或曲线。其优点是：①.程序短，从而使得占用的内存少。②.因为轮廓不是用微小线段模拟，故加工精度高。③.程序段间无中断，故加工速度快。④.主机与CNC之间无需高速传送数据，普通RS-232C口速度即可满足。
Байду номын сангаас
备注：a.FANUC的CNC，NURBS曲线的编程用3个参数描述：控制点，节点和权。
b.选购NURBS插补功能必须同时选购AI纳米高精度轮廓控制功能（AI nano high precision contour control）。
c.选购NURBS插补功能，与贵司的设计\编程人员有直接关联。也就是说贵司的加工程序为Nurbs曲面和曲线的话，而数控系统里面的NURBS插补功能才能发挥相应效用。

《基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术》篇一一、引言随着计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助制造（CAM）技术的飞速发展，参数化建模技术已经成为现代制造业中不可或缺的一部分。

尤其在金属结构设计和制造领域，参数化建模技术为空间弯扭构件的精确建模和优化提供了有效的工具。

非均匀有理B样条（NURBS）作为一种重要的参数化建模方法，具有高度的灵活性和准确性，广泛应用于复杂金属结构空间弯扭构件的建模。

本文将详细介绍基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术。

二、非均匀有理B样条概述非均匀有理B样条（NURBS）是一种结合了贝塞尔样条和有理样条的参数化建模方法。

它不仅具有贝塞尔样条的平滑性和连续性，还具有有理样条的精确性和灵活性。

NURBS通过控制点、权重和节点向量等参数，可以精确地描述复杂的三维形状，包括空间弯扭构件。

此外，NURBS还具有高度的兼容性，可以与多种CAD/CAM系统无缝集成。

三、参数化金属结构空间弯扭构件建模技术1. 模型构建基于非均匀有理B样条的参数化建模技术，可以通过调整控制点、权重和节点向量等参数，精确地构建出复杂的金属结构空间弯扭构件。

首先，根据设计要求，确定构件的几何形状和尺寸。

然后，利用NURBS方法，创建出对应的三维模型。

在建模过程中，可以实时预览和调整模型，确保其满足设计要求。

2. 参数化设计参数化设计是NURBS建模技术的核心。

通过设定一系列参数，如控制点的位置、权重和节点向量的分布等，可以实现对模型形状的精确控制。

这种参数化设计方法具有高度的灵活性和可重复性，便于设计师进行反复修改和优化。

此外，参数化设计还可以与优化算法相结合，实现自动优化和设计。

3. 模型优化在完成初步建模后，可以通过模型优化技术进一步提高模型的精度和性能。

优化过程主要包括形状优化、尺寸优化和拓扑优化等。

利用NURBS模型的参数化特性，可以方便地对模型进行局部或全局的优化。

02
边界表示
截面线表示
• 利用B样条曲线表示三维模型的边界曲面
• B样条曲线用于表示三维模型的截面线
• 可以提高模型重建的精度和效率
• 可以用于模型的参数化设计和编辑
B样条曲线在三维曲线与曲面绘制中的应用
曲面绘制
• B样条曲线用于表示三维曲面的参数化表示
• 可以用于曲面的细分、拼接等操作
曲线绘制
• 利用B样条曲线表示三维曲线
• 可以实现高质量的图像修复
• 可以实现有效的图像去噪效
效果
果
B样条曲线在图像压缩与编码中的
应用
01
图像压缩
• 利用B样条曲线进行图像的降维表示
• 可以实现高效的图像压缩效果
02
图像编码
• B样条曲线用于表示图像中的关键点信
息
• 可以提高图像编码的效率和可靠性
06
B样条曲线在其他领域中的应用
B样条曲线在建筑设计中的应用


图像分割
边缘检测
• 利用B样条曲线逼近图像中的纹理和颜色信息
• B样条曲线用于表示图像中的边缘信息
• 可以实现精确的图像分割效果
• 可以提高边缘检测的准确性和鲁棒性
B样条曲线在图像修复与去噪中的应用
图像修复
图像去噪
• 利用B样条曲线进行图像的局
• B样条曲线用于表示图像中的
部修复和填充
平滑区域
• 可以实现平滑、连贯的曲线效果
B样条曲线在三维动画与游戏设计中的应用
模型动画
角色动画
01
02
• B样条曲线用于表示三维模
• 利用B样条曲线表示角色的
型的运动轨迹和形状变化
骨骼关节运动轨迹

Nurbs曲线详解NURBS（Non Uniform Rational B-spline）曲线通常称为非均匀有理B样条曲线，其数学定义如下：基函数由递推公式定义：非均匀：指节点向量的值与间距可以为任意值。

这样我们可以在不同区间上得到不同的混合函数形状，为自由控制曲线形状提供了更大自由。

均匀与非均匀的主要区别在于节点向量的值。

如果适当设定节点向量，可以生成一种开放均匀样条，它是均匀与非均匀的交叉部分。

开放样条在两端的节点值会重复d次，其节点间距是均匀的。

例如：{0,0,1,2,3,3}，（d=2，n=3）{0,0,0,1,2,2,2}，（d=4,n=4）开放均匀B样条与贝泽尔样条性质非常类似，如果d=n+1（即多项式次数为n），那么开放B样条就变成了贝泽尔样条，所有节点值为0或1。

如四个控制点的三次开放B样条，节点向量为：{0,0,0,0,1,1,1}。

有理B样条：有理函数是两个多项式之比，有理样条(rationalspline)是两个样条函数之比，有理B样条用向量描述。

URBS曲线由以下三个参数定义：（1）控制点：确定曲线的位置，通常不在曲线上，形成控制多边形。

（见图1,图中）图1 控制点移动对曲线的影响（2）权因子：确定控制点的权值，它相当于控制点的“引力”，其值越大曲线就越接近控制点（见图2，Bi为控制点）。

图2 曲线随权因子变化（3）节点矢量K：NURBS曲线随着参数K的变化而变化，与控制顶点相对应的参数化点K称为节点，节点的集合Ki：[K0，K1…，Kn…,Kn+m+1]称为节点矢量。

节点：在曲线上任意一点有多于一个控制点产生影响（除了bezier的端点），节点就象一种边界，在这个边界上一个控制点失去影响作用，另一个控制点取得影响。

2、NURBS曲线怎样通过首末节点多重节点序列使得样条曲线更靠近于重复节点位置。

如果末端节点重复d+1次，则d 阶B-样条必须插值最后一个控制点。

因此，解决样条曲线不能横跨整个控制顶点序列的一个方法是，重复首尾两个节点，这样得到的样条曲线将插值首尾两个控制点。

3DMAX技术中的曲面建模与NURBS工具3DMAX技术中的曲面建模与NURBS工具曲面建模是三维建模过程中的重要环节，也是现代计算机图形学的一个研究热点。

在3DMAX软件中，曲面建模技术可以通过使用NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）工具来实现。

本文将介绍曲面建模的概念与原理，并详细讨论在3DMAX中使用NURBS工具进行曲面建模的方法和技巧。

一、曲面建模的概念和原理曲面建模是指在三维建模过程中利用曲面来表达模型的形状和表面特征的技术。

与传统的多边形建模相比，曲面建模具有更高的精度和自由度，能够更准确地表达模型的形态和细节。

曲面建模广泛应用于汽车造型、产品设计、角色建模等领域。

曲面建模的原理基于数学曲面理论和控制点的概念。

数学曲面理论研究了曲面的表示方法和变形计算等数学原理，而控制点则是曲面构建的基本单元。

通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲面的形状，实现模型的建模和编辑。

二、NURBS工具的介绍NURBS是非均匀有理B样条的缩写，是一种用于曲面建模的数学表示方法。

NURBS曲面具有良好的数学性质和控制性，能够精确地表达各种复杂的曲面形状。

在3DMAX软件中，NURBS工具提供了强大的曲面建模功能，可以满足不同用户的需求。

三、使用NURBS工具进行曲面建模的方法和技巧1. 创建NURBS曲线：首先，可以使用NURBS工具创建基础的曲线，如控制点曲线、曲率连续曲线等。

通过调整控制点和曲线的参数，可以实现曲线的形状调整和变形。

2. 创建基础曲面：在创建曲面之前，可以先创建NURBS曲线作为基础。

通过选择曲线并设置曲面拟合参数，可以生成基础的曲面结构。

3. 编辑曲面形状：在曲面建模中，可以通过调整控制点的位置和权重来编辑曲面的形状。

例如，通过移动控制点来改变曲面的凹凸度和曲率，通过修改权重来调整曲面上不同区域的弯曲程度。

4. 添加细节和纹理：除了调整曲面的形状，还可以通过添加细节和纹理来丰富模型的表现力。

２０ ０ ６年 １ １月 １ ３日收到 国家 ８ ３项 目（０ ２ Ａ １ １０ ６ ２０ Ａ ４ １ １ ） 资助
一 ， 、
∑ ） ， （
Ｐ ｕ——一 （ ）＝ ． （） １
∑ （） Ｍ
（） １ 式中 Ｖ 为控制顶点 ， 为权 因子 ， ｉ（ ） ｉ ｗｉ Ｂ． ｕ 为ｋ 次 样条基 函数 。基 函数仍 由递推 公式定义
模技术 的产 品创新设计 中特征 曲面数据 的获取及其优 势。最后 以一辆 雪地 车的创 新概念设 计为 例， 密结合 专 业工业产 品 紧 造型设计软件 Ｒ ｉｏｅ ｓ深入讨论 了 Ｎ Ｒ Ｓ曲面建模技术在产 品开发过程 中实际应用 过程 ， ｈｎｃｒ ｏ ＵＢ 并对其 车身造 型 曲面进行 了特 征分析。最终通过 Ｕ Ｇ的 Ｎ Ｒ Ｓ功 能重构 曲线将 其转换 为三维数 字化制造模 型。 ＵＢ
高新 科 技领 域 。
条 曲线 的一套标准算 法 ， ７ １ ４年 Ｇ ｒ ｎ和 Ｒｅｅ． ９ ｏｏ ｄ ｉ ｎ ｓ ｆｄ又把 Ｂ样条理论应用 于曲面形状描述 ， ｅ ｌ 最终提 出了 Ｂ样条 方法。为 了满足工业设计及 制造 的进
一
１ Ｎ Ｒ Ｓ 非均 匀有理 Ｂ样条 ） ＵＢ（ 曲线和曲面 及其性质
Ｎ Ｒ Ｓ 非均匀有理 Ｂ样条 曲线 ） ＵＢ（ 和曲面的简 称， 表达式（ ） １ 为
步要求 ， 服 Ｂ 样条 曲线 在解 析 曲面 的不足 ， 克
１７ ９ ５年美 国 Ｓｒｃｓ ｙ ｕｅ大学 的 Ｖ ｒ ｒｌ ａ ｅ ｐｉ ｓ ｌ ｅ首次提出有 理 Ｂ样条方法 。但随着生产的发展 ， Ｂ样条方法显 示 出明显不足 ， 且不 能精确表示 圆锥截线 及初 等解 析曲面， 这就造成 了产 品几何定 义的不确定性 ， 使

图1-12
在杯柄处每隔一行选择一条线上的几个控制点，直到有一半的点被选取，如图1-13所示。
单击缩放工具按钮，向上拖动Y轴上的绿色小方块并同时按住键盘上的Ctrl键，这样可以同时缩小X和Z两个轴上的物体。调整大小，直到杯柄成为很圆滑的六棱柱体为止，如图1-14所示。
图1-13
图1-14
效果2——制作瓶子。
图1-1是运用旋转法制作的画面；图1-2是运用放样法制作的画面；图1-3是运用挤压法制作的画面；图1-4是运用倒角法制作的画面。每一种技法都有它的特点和不同属性。
图1-1图1-2
图1-3图1-4NURBS建技法具体包含以下技法：1
1.2.1
1
【技法描述】围绕一个轴向旋转一个轮廓曲线，创建光滑的曲面。主要步骤：创建轮廓曲线→旋转放样→修改→渲染。
效果1——制作杯子。
新建一个场景，单击Front视图，按空格键，即可放大Front视图。
打开视图菜单。执行View→Camera Attribute Editor命令，如图1-5所示，打开摄影机的属性编辑器。在Environment（环境）卷展栏下单击Image Plane（图像平面）的Create按钮，如图1-6所示，建立一个新的图像平面。
图1-8
将imagePlane(属性面板)关闭，执行Create→CV Curve Tool（CV曲线建立工具）命令，从酒杯底面开始，建立曲线，如图1-9所示。
图1-9
在建立第一个点和最后一个点时，一定要按住X键进行网格锁定，这样可以使这两个点在网格的中轴线上。在建立曲线的过程中，只要还没有按Enter键确定，随时可以按Insert键进入CV点修改状态，按上下键选择修改点，如图1-10所示。
NURBS建模最适合于创建器官表面和流体表面，例如，动物和人的身体以及水果等。NURBS（非均匀有理B样条）也很适合于创建工业品的曲面，例如，汽车、钟表和烤面包炉等。

3DMAX技术中的NURBS曲面细分与优化3DMAX技术中的NURBS曲面细分与优化在3DMAX软件中，NURBS曲线和曲面是常用的建模工具，它们能够实现复杂形状的建模和设计。

NURBS曲面的细分和优化是提高模型质量和渲染效果的重要步骤。

本文将探讨3DMAX技术中的NURBS曲面细分与优化的方法和技巧。

一、NURBS曲面细分的原理和方法NURBS曲面是一种基于非均匀有理B样条的数学模型，其面的细分可以通过增加节点数来实现。

细分操作可以使曲面更加光滑和细腻，提高模型的表现力和真实感。

在3DMAX软件中，可以通过以下几种方法进行NURBS曲面细分：1.次级曲面细分次级曲面细分是最常用的方法之一，它通过增加曲面的节点数来实现细分。

在3DMAX中，可以选择要细分的曲面，然后使用细分命令进行操作。

用户可以根据需要选择细分的级别，细分级别越高，曲面的细节越丰富。

2.插值细分插值细分是另一种常用的细分方法，它通过插值计算来生成新的曲面点。

在3DMAX中，可以选择曲面上的一些控制点，然后使用插值细分命令进行操作。

插值细分可以根据已有的曲面点来生成新的曲面点，从而实现曲面的细分。

3.规则细分规则细分是一种比较灵活和高级的细分方法，它通过定义规则来控制曲面的细分方式。

在3DMAX中，可以使用自定义脚本或插件来实现规则细分。

规则细分可以根据用户自定义的算法和参数来进行细分，从而实现更加个性化的曲面细分效果。

二、NURBS曲面优化的原理和方法NURBS曲面优化是为了改善曲面的性能和表现效果，使得模型更加真实和精细。

在3DMAX软件中，可以使用以下方法进行NURBS曲面优化：1.调整控制点控制点的位置和数量对曲面的质量和表现效果有很大的影响。

用户可以通过调整控制点的位置和数量，来改变曲面的形状和曲率。

在3DMAX中，可以使用控制点编辑工具来调整NURBS曲面的控制点，从而优化曲面的形状。

2.增加曲面精度曲面精度是指曲面分割的密度和精细程度。

2013-2014学年第二学期硕士研究生课程《NURBS曲线曲面基础》大作业一．课程大作业内容：请同学们结合所学的《NURBS曲线曲面基础》和《数值分析》等课程知识，研读施法中编著的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》一书，写一篇3--5万字左右的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》研读报告。

报告要把握全局，重点研究曲线曲面的基本理论和贝齐尔—B样条—NURBS方法；要着重论述它们的由来、基本思路或解决问题的途径、基本概念、基本性质、数学模型及其计算算法。

报告还要对本学科的发展进行综述和展望。

二．交卷日期：2014年6月20日前三．交卷形式：同时提高纸质文档和与纸质文档相同版本的电子文档。

四．文档格式：要求文档具有长安大学研究生大作业首页、试题页、中英文摘要、目录和具体章节内容，可参考长安大学硕士学位研究生论文撰写规范的相关要求。

目录摘要 (8)ABSTRACT (9)第一章绪论 (10)1．CAGD的发展史研读 (10)2.CAGD研究问题描述 (12)3.计算机对形状处理的要求 (12)第二章曲线和曲面的基本理论 (13)2.1 CAGD中矢量、点与直线 (13)2.2 曲线与曲面的参数表示 (15)2.2.1 曲线曲面参数表示的基础知识 (16)2.2.2 显式、隐式和参数表示 (16)2.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 (18)2.3 曲线论知识点 (18)2.4 曲面论 (26)第三章 NURBS曲线 (34)3.1曲线应用概述 (34)3.2参数有理曲线 (35)3.2.1参数有理曲线的定义 (35)3.2.2参数有理曲线的性质 (37)3.3 权因子的几何意义 (38)3.4二次曲线的NURBS表示 (40)3.4.1二次曲线的隐式方程 (40)3.4.2 二次曲线的有理Bézier表示 (41)3.4.3 圆的NURBS表示 (44)3.4.4 有理Bézier曲线的参数变换 (48)3.4.5 有理二次Bézier曲线的确定 (50)第四章曲线的几何处理技术 (52)4.1曲线求交 (52)4.1.1两直线段相交 (53)4.1.2直线段与曲线段相交 (53)4.1.3曲线与曲线相交 (53)4.1.4 Bézier曲线的离散求交算法 (55)4.2 曲线的等距线 (56)4.3曲线的过渡 (57)第五章参数多项式插值与逼近 (59)5.1插值与逼近的问题引入 (59)5.2参数差值方法简述 (60)5.2.1 对数据点实行参数化 (60)5.2.2其它方法概述 (60)第六章参数样条曲线曲面 (62)6.1参数样条曲线曲面基础知识 (62)6.2参数双三次样条曲面 (63)6.2.1曲面设计技术概述 (63)6.2.2曲面模型 (64)6.2.3曲面造型的要求 (66)6.2.4高维曲面 (66)6.2.5 曲面表示形式的选取 (67)6.2.6曲面造型方法及显示 (68)6.3双三次样条函数 (68)6.3.1双三次样条函数的定义 (68)6.3.2 双三次插值样条函数的确定 (70)6.3.2.1双三次样条函数的表示 (70)6.3.2.2 边界条件 (71)6.3.2.3存在唯一性定理 (71)6.2.3.4三次插值样条函数的求解 (72)6.4参数双三次样条曲面 (75)6.4.1曲面数据点的参数化 (75)6.4.2参数双三次样条曲面方程 (77)6.4.3未知偏导矢的求解 (78)6.4.4计算插值曲面 (79)6.5 FERGUSON样条曲面 (79)6.6COONS双三次样条曲面 (80)第七章BÉZIER曲面 (80)7.1BÉZIER曲面的定义及性质 (81)7.2低次BÉZIER曲面 (82)7.2.1双一次Bézier曲面 (82)7.2.2双二次Bézier曲面 (83)7.2.3双三次Bézier曲面 (83)7.3DE CASTELJAU算法 (84)7.4BÉZIER曲面的分割 (86)7.5BÉZIER曲面的升阶 (87)7.6BÉZIER曲面的偏导矢与法矢 (88)7.7非参数BÉZIER曲面 (89)7.8BÉZIER曲面的矩阵表示 (90)C连续性 (91)7.9BÉZIER曲面片的r7.10BÉZIER曲面片的几何连续性 (94)7.10.1 1G连续性条件 (94)7.10.2 2G连续性条件 (95)7.10.3 参数曲面的r G连续性 (98)G拼接 (98)7.11具有n面角点的BÉZIER曲面片的1第八章几何连续性 (103)8.1参数连续性分析 (103)G连续性条件 (105)8.228.3NU三次样条曲线 (106)8.4参数曲线几何连续性定义 (108)8.5几何连续的组合BÉZIER曲线 (113)8.5.1Bézier曲线2G连续的几何关系 (113)8.5.22G组合三次Bézier曲线的构造 (116)8.5.31G二次Beta样条曲线 (123)8.5.42G三次Beta样条曲线 (123)8.6有理参数曲线的连续性 (124)8.6.1有理参数连续性条件 (125)8.6.2有理几何连续性条件 (126)8.6.3Frenet标架连续性 (127)8.6.4有理Frenet标架连续性约束 (129)8.7几何连续的有理参数样条曲线 (129)8.7.1曲率连续的有理二次样条曲线 (129)8.7.2曲率连续的有理三次样条曲线 (133)8.7.2.1几何连续性条件 (133)8.7.2.2曲率连续的有理三次样条曲线的构造 (134)第九章 B样条曲线曲面Ⅰ (135)9.1 B样条曲线方程 (135)9.2 B样条曲线与贝齐尔曲线差别 (136)9.3 B样条曲线分类 (136)第十章 B样条曲线曲面Ⅱ (137)10.1 K次B样条曲线 (137)10.2确定问题新控制顶点方法 (138)10.3用B样条曲线对数据点整体逼近 (139)第十一章有理B样条曲线曲面 (140)11.1有理B样条曲线曲面（一） (140)11.1.1基本概念 (140)11.1.2 NURBS方法的优缺点; (140)11.1.3三种等价的NURBS曲线方程 (141)11.1.4权因子 (142)11.1.5二次曲线 (143)11.1.6 反求曲线参数与权因子 (144)11.2 有理B样条曲线曲面（二） (145)11.2.1 NURBS圆弧 (145)11.2.2 有理三次贝齐尔曲线 (146)11.2.3有理三次贝齐尔曲线方程 (146)11.3 有理B样条曲线曲面（三） (148)11.3.1有理曲线连续性 (148)11.3.2齐次曲线 (149)11.3.3标准型有理二次贝齐尔曲线 (150)11.3.4整体有理插值 (151)11.3.5局部有理二次、三次插值步骤 (152)11.3.6 NURBS曲线形状修改方法 (153)11.4 有理B样条曲线曲面(四) (154)11.4.1 k*l次NURBS曲面等价表示 (154)11.4.2有理双变量基函数 (155)11.4.3曲面权因子 (155)11.4.4 常用曲面的NURBS表示 (156)11.4.5相关算法 (157)第十二章孔斯曲面 (159)第十三章三边贝齐尔曲面片 (159)第十四章个人感悟与总结 (161)致谢 (163)摘要计算机辅助设计(CAD)系统的根本任务就是为产品的设计和开发建立起一个信息模型，曲线曲面的精确描述以及灵活操作能力是评定计算机辅助设计(CAD)系统功能强大与否的重要因素。

ＮＵＲＢＳ方法在外形设计中的应用研究一、主要理论内容及相关知识1.NURBS曲线插值拟合在几何造型过程中,需要对模型进行测量,然后根据这些型值点插值拟合曲线。

对于给定的型值点q j(j=0,1,…,n)构造k次NURBS插值曲线,通常节点序列采用累计弦长的方法。

端节点取k+1重节点,将节点序列带入方程中,得到插值线性方程组:其中含有n个方程,n+2个未知的控制顶点,故需要补充两个通常有边界条件给定的附加条件。

2.NURBS曲面的插值拟合同样采用曲线的插值方法进行曲面的拟合。

设型值点q j及权因子ωi,j,利用类似于曲面生成的节点序列的确定方法分两步进行,第一步用单参数曲线插值M行型值点,得到中间顶点{p i,j}(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n+1);第二步,在令一个参数方向插值N+2列中间顶点{p i,j}(i=0,1,…m+1,j=0,1,…+1),从而得到插值曲面的控制顶点网格,故可以生成插值曲面。

二、关键问题与探索点众所周知,定义参数值的常用方法:有理法、弦长法、向心法。

在参数曲线插值中,对一系列数据点的参数值的选择使得插值结果中曲线的形状有很大的不同。

尽管在这个领域中人们已作了大量的研究工作,但是在自动化、工业中对设计复杂的曲线改进参数还是极有必要的。

一种新的参数法的构思:把每个有理B样条基函数的最大值处的参数值定义为相伴数据点处的参数值。

其理论依据是:如果一个带状矩阵有主对角元素,可以得到带有主对角元素的逆矩阵。

通过取基函数的最大值处的参数值作为数据点的参数值,我们得到一个含有主对角元素的R维带状矩阵。

这可以得到更好的曲线插值。

1.反算NURBS曲线控制顶点的算法在NURBS曲线插值拟合中对于边界条件不易给出确定的情况,将根据实际情况利用矩阵表达式,若能巧妙选取曲线上的型值点数据,则不需要添加边界条件却能反求NURBS插值曲线控制点。

如根据二次NURBS曲线矩阵表达式,对于任意曲线上的2N+1个型值点,给出利用这些型值数据点,反算二次非均匀有理B样条曲线控制顶点的算法。

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计算机图形学（ConputerGraphics）：⾮均匀有理B样条
计算机图形学（Conputer Graphics）：⾮均匀有理B样条
⾮均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline）英⽂缩写，NURBS。

它是贝塞尔曲线的⼀个推⼴，⽽贝塞尔曲线可以视为均匀有理B样条。

NURBS是计算机辅助设计（CAD）、制造（CAM）和⼯程（CAE）中重要的组成部分，同时也是很多业界⼴泛采⽤的标准的⼀部分，例如IGES, STEP和PHIGS。

连续性
⼀个结构的曲⾯，例如，⼀艘机动游艇的船体，通常由⼏个NURBS曲⾯构成，称之为包（patches）。

这些包
以边界不可见的⽅式组装到⼀起。

这在数学上表达为⼏何连续性的概念。

受益于NURBS的这种能⼒，更⾼级别的⼯具可⽤于创建和建⽴不同级别的⼏何连续性：
点连续（G0）:只要两条曲线和曲⾯的末端位置重合就会保持位置连续性。

曲线或曲⾯可能仍然会以⼀定⾓度相交，从⽽产⽣尖锐的⾓落或边缘并导致残缺的突出部分。

切向连续性（G1）:切向连续性（G¹）要求曲线或曲⾯的末端⽮量平⾏并以相同的⽅式指向，排除锐边。

曲率连续性（G2）:曲率连续性进⼀步要求末端⽮量具有相同的长度和长度变化率。

《基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术》篇一一、引言随着计算机辅助设计（CAD）技术的快速发展，参数化建模技术已成为金属结构设计中不可或缺的一部分。

在空间弯扭构件的建模过程中，非均匀有理B样条（NURBS）作为一种强大的数学工具，在表达复杂几何形状时表现出色。

本文将探讨基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术，以及其在金属结构设计中的应用。

二、非均匀有理B样条（NURBS）基础非均匀有理B样条（NURBS）是一种强大的几何表示方法，它结合了B样条和有理表示的优点。

NURBS不仅可以表示简单的几何形状，还可以表示复杂的、具有弯曲和扭曲特性的空间结构。

通过NURBS，我们可以精确地描述金属结构的形状、尺寸和位置，为参数化建模提供有力的支持。

三、参数化金属结构空间弯扭构件建模在金属结构设计中，空间弯扭构件的建模是一个具有挑战性的任务。

传统的建模方法往往难以处理复杂的几何形状和精确的尺寸控制。

而基于NURBS的参数化建模技术可以有效地解决这一问题。

通过定义一组控制点、权重和B样条基函数，我们可以精确地描述空间弯扭构件的几何形状。

此外，通过调整控制点和权重的参数，我们可以方便地修改模型，实现参数化设计。

四、建模技术的应用基于NURBS的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术在金属结构设计中具有广泛的应用。

首先，它可以用于复杂结构的快速建模，提高设计效率。

其次，通过参数化设计，我们可以方便地修改模型，满足不同的设计需求。

此外，该技术还可以用于结构分析和优化，帮助设计师更好地理解结构的力学性能，为优化设计提供依据。

最后，该技术还可以用于模型的可视化和渲染，为设计师提供更加直观的设计效果预览。

五、结论基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术是一种高效、精确的建模方法。

它不仅可以用于复杂结构的快速建模和修改，还可以用于结构分析和优化。

通过NURBS的参数化设计，我们可以更好地控制模型的几何形状和尺寸，提高设计的精度和效率。

《基于非均匀有理B样条的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术》篇一一、引言随着计算机辅助设计（CAD）和有限元分析（FEA）的不断发展，对于金属结构中空间弯扭构件的精确建模变得越来越重要。

参数化建模技术能够实现对复杂几何形状的准确表达，对于实现结构的优化设计、提高生产效率和降低生产成本具有重要作用。

本文旨在介绍一种基于非均匀有理B样条（NURBS）的参数化金属结构空间弯扭构件建模技术，为工程实践提供技术支持。

二、非均匀有理B样条（NURBS）技术非均匀有理B样条（NURBS）是一种强大的几何表示方法，它结合了B样条和有理表示的优点，能够精确地表示复杂的几何形状。

NURBS模型由控制点、权重和基函数组成，具有局部可调、连续性和光滑性等优点。

在参数化建模中，NURBS能够灵活地表示空间弯扭构件的几何形状和表面细节。

三、基于NURBS的参数化建模方法1. 构建几何模型：根据金属结构空间弯扭构件的几何特征，确定控制点的分布和权重。

利用NURBS技术，构建精确的几何模型。

2. 参数化设计：根据设计要求，对几何模型进行参数化处理，实现结构的优化设计。

通过调整控制点的权重和位置，可以方便地调整结构的形状和尺寸。

3. 模型优化：利用有限元分析（FEA）对模型进行性能分析，根据分析结果对模型进行优化。

优化过程可以通过调整控制点的位置和权重来实现。

4. 导出制造数据：将优化后的模型导出为制造数据，用于指导金属结构的加工和制造。

四、应用实例以某航空器的金属结构空间弯扭构件为例，采用基于NURBS的参数化建模技术进行建模。

首先，根据构件的几何特征和控制要求，构建精确的NURBS几何模型。

然后，进行参数化设计，实现结构的优化。

通过有限元分析（FEA）对模型进行性能分析，根据分析结果对模型进行优化。

最后，将优化后的模型导出为制造数据，用于指导金属结构的加工和制造。

实践证明，该方法能够实现对空间弯扭构件的精确建模和优化设计，提高生产效率和降低生产成本。

几何造型系统中非均匀有理B-样条的表示方法
戴春祥
【期刊名称】《上海航天》
【年(卷),期】1991(000)006
【摘要】无
【总页数】1页(P40)
【作者】戴春祥
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.鞋楦定制中非均匀有理B样条特征曲线的自适应变形 [J], 任怀艺;王伯雄;刘辉;罗秀芝
2.用二次非均匀有理B样条表示圆锥曲线和二次曲面 [J], 张申生
3.DXF文件中非均匀有理B样条曲线接口的研究 [J], 倪宁晖;徐兆军;陈有福
4.均匀有理B-样条与有理Bézier表示之间的变换 [J], 王晶昕;于巍;许爽爽
5.形状优化几何造型的有理EE样条方法 [J], 郭太勇;王妮;梁迎春;孙靖民
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