计量经济学：联立方程部分习题以及解析

第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法

一、内容提要

联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。

本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方程等相关概念。

本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别条件以及实际应用中的经验识别方法。

本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三个方面的问题。一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次，需要掌握联立模型两大类估计方法中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV ）、间接最小二乘法（ILS ）、二阶段最小二乘法（2SLS ），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS ）等。

本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。

二、典型例题分析

1、如果我们将“供给”1Y 与“需求”2Y 写成如下的联立方程的形式：

2

222211

11211u Z Y Y u Z Y Y ++=++=βαβα

其中，1Z 、2Z 为外生变量。 （1）若01=α或02=α，解释为什么存在1Y 的简化式？若01≠α、02=α，写出2Y 的简化式。

（2）若01≠α、02≠α，且21αα≠，求1Y 的简化式。这时，2Y 有简化式吗？

（3）在“供给-需求”的模型中，21αα≠的条件有可能满足吗？请解释。

解答：

（1）若01=α，则由第1个方程得：1111u Z Y +=β，这就是一个1Y 的简化式； 若02=α，则由第2个方程得：2221u Z Y +=β，这也是一个1Y 的简化式。 若01≠α、02=α，则将2221u Z Y +=β代入第1个方程得：

11121222u Z Y u Z ++=+βαβ

整理得： 1

121112122ααβαβu u Z Z Y -+-= （2）由第二个方程得：

222212/)(αβu Z Y Y --=

代入第一个方程得：

()1112222111/u Z u Z Y Y ++--=βαβα

整理得

21

21112221221112121u u Z Z Y ααααααααβαααβα---+---= 这就是1Y 的简化式。2Y 也有简化式，由两个方程易得：

1112122222u Z Y u Z Y ++=++βαβα

整理得

)(1211

221221121

2u u Z Z Y --+---=ααααβααβ （3）在“供给-需求”模型中，21αα≠的条件可以满足。例如，如果第一个方程是供

给方程，而第二个方程是需求方程，则这里的1Y 就代表供给量或需求量，而2Y 就代表这市场价格。于是，应有01>α，02<α。

2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略t-下标）

t t t t t u A S N P ++++=3210αααα

t t t t v M P N +++=210βββ

（1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。

（2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？

（3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？

（4）如果使用OLS 方法估计α，β会发生什么情况？

（5）可以使用ILS 方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。对β回答同样的问题。

（6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS 方法。

解答：

（1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M

（2）容易写出联立模型的结构参数矩阵

P N 常量 S A M

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-------=Γ2013

20

100101βββααααβ 对第1个方程，()()200ββ-=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。

对第二个方程，()()3200ααβ--=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。

该模型对应于13.3届中的模型4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的识别状况，该联立模型是过渡识别的。

（3）S,A,M 为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。而P,N 为内生的，所以他们与μ，υ都相关。具体说来，N 与P 同期相关，而P 与μ同期相关，所以N 与μ同期相关。另一方面，N 与v 同期相关，所以P 与v 同期相关。

（4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS 估计量有偏且是不一致的。

（5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。对第二个方程，由于是过渡识别的，因此ILS 法在这里并不适用。

（6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下：

第1阶段，让P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值t

P ˆ；同理，让N 对常量，S,A,M 回归并保存预测值t

N ˆ。 第2阶段，让t N 对常量、t

P ˆ、t M 作回归求第2个方程的2SLS 估计值。