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2017-2018学年河北省承德市联校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0 B．∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0 D．∀x∈R，x2﹣x﹣1≥02．已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．函数的导函数f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．5．“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x＜8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列正确的是（）A．若α⊥β，则l∥m B．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m 7．已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称，则直线l的方程是（）A．2x+y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=0 8．如图所示的长方体中，分别为AA1，A1B1的中点，则异面直线DE，BF所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．曲线在点（﹣1，﹣a）处的切线方程为2x﹣y+b=0，则（）A．a=1，b=﹣1 B．a=1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣3 D．a=﹣1，b=﹣2 10．在直线2x﹣y﹣4=0有一点P，使它与两点A（4，﹣1），B（3，4）的距离之差最大，则距离之差的最大值为（）A．3 B．C．5 D．11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．4∈A12．如图，直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若，则|AB|等于（）A．5 B．6 C．D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．点P（2，﹣1，4）关于y轴对称的点的坐标为．14．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是．15．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为．16．在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AB⊥CB1，AB=BC=2，AA1=4，则该三棱柱外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，三棱锥A﹣BCD，BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连接CE，G为CE上一点．（1）求证：平面CBD⊥平面ABD；（2）若GF∥平面ABD，求的值．18．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．19．设函数f（x）=x2+e x﹣xe x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？21．已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB 的面积．22．设函数，g（x）=2x2+4x+c．（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x∈[﹣3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．2015-2016学年河北省承德市联校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0 B．∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0 D．∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0【分析】利用特称的否定是全称进行否定即可．【解答】解：根据全称的否定是特称得∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0的否定是：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的的否定，要求熟练掌握特称的否定是全称，全称的否定是特称，比较基础．2．已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：∵直线ax+y+2=0的倾斜角为，∴﹣a=，∴a=1．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．3．函数的导函数f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】先化简，再求导，最后代值计算即可．【解答】解：=x3﹣2x的导函数f′（x）=3x2﹣2，∴f′（1）=3﹣2=1，故选：B．【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5．“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x＜8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论．【解答】解：由“x2﹣2x＜8”解得﹣2＜x＜4，则“﹣1＜x＜3”能推出“x2﹣2x＜8”，但x2﹣2x＜8”不能推出“﹣1＜x＜3”，故“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x＜8”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列正确的是（）A．若α⊥β，则l∥m B．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m 【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：对于A、B，∵如图，由图可知A，B不正确；∵直线l⊥平面α，l∥β，∴α⊥β，对于C，∵m⊂平面β，∴m与α不一定垂直，C不正确．对于D，∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，D正确；故选：D．【点评】本题考查了的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题．7．已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称，则直线l的方程是（）A．2x+y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=0【分析】求出直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A的坐标，根据所求直线的斜率和直线2x ﹣y+4=0的斜率互为相反数，求得所求直线的斜率，再用点斜式求得所求直线的方程．【解答】解：直线2x﹣y+4=0和直线x=1的交点A（1，6），由于所求直线的斜率和直线2x﹣y+4=0的斜率互为相反数，故所求直线的斜率为﹣2，故所求直线的方程为y﹣6=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣8=0，故选：A．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线关于一条直线对称的性质，属于基础题．8．如图所示的长方体中，分别为AA1，A1B1的中点，则异面直线DE，BF所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE，BF所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），E（，0，），B（，2，0），F（，，2），=（，0，），=（0，﹣，2），设异面直线DE，BF所成角为θ，cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线DE，BF所成角的大小为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．曲线在点（﹣1，﹣a）处的切线方程为2x﹣y+b=0，则（）A．a=1，b=﹣1 B．a=1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣3 D．a=﹣1，b=﹣2【分析】由题意求出导数：，进而根据切点坐标求出切线的斜率，求出切线的方程，再与已知条件比较，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：，所以在点（﹣1，﹣a）处的切线斜率为2a，所以在点（﹣1，﹣a）处的切线方程为：y+a=2a（x+1），即2ax﹣y+a=0．又切线方程为2x﹣y+b=0，∴a=1，b=1，故选B．【点评】此题考查学生熟练利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，能够根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道基础题．10．在直线2x﹣y﹣4=0有一点P，使它与两点A（4，﹣1），B（3，4）的距离之差最大，则距离之差的最大值为（）A．3 B．C．5 D．【分析】判断A，B与直线的位置关系，求出A关于直线的对称点A1的坐标，求出直线A1B的方程，与直线2x﹣y﹣4=0联立，求出P的坐标，从而求出距离之差的最大值．【解答】解：如图示：易知A（4，﹣1）、B（3，4）在直线l：2x﹣y﹣4=0的两侧．作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大，A1B的方程为：y﹣x﹣1=0…①直线2x﹣y﹣4=0…②解①②得P点的坐标是（5，6），∴PA﹣PB=5﹣2=3，故选：D．【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，两点间距离公式的应用，考查转化思想，计算能力，是中档题．11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．4∈A【分析】首先由几何体的三视图求出几何体，然后计算各棱长即可．【解答】解：由题意，几何体为底面为直角梯形的四棱锥，底面梯形的底为2，3，高为，棱锥的高为2，所以底面各棱长分别为2，3，，2；侧棱长度分别为2，2，，2，；A为此几何体所有棱的长度的集合，A={2，，3，2，}，故选B．【点评】本题考查了几何体的三视图，所求的关键是明确几何体的形状，求出个棱长．12．如图，直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若，则|AB|等于（）A．5 B．6 C．D．8【分析】作AM、BN垂直准线于点M、N，根据，和抛物线的定义，可得tan∠NCB=2，从而可得直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，∵，∴sin∠NCB=，∴tan∠NCB=2∴AF的方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0∴x1+x2=3，∴|AB|=x1+x2+2=5．故选：A．【点评】本题考查考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．点P（2，﹣1，4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣4）．【分析】根据空间直角坐标系中，点P（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为（﹣x，y，﹣z），直接写出对称点的坐标即可．【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，﹣1，4）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标轴对称点的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．14．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是．【分析】由直观图和原图的面积之间的关系=，直接求解即可．【解答】解：因为=，且若△A′B′C′的面积为×2××=，那么△ABC的面积为，故答案为：．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．15．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为﹣1．【分析】由题意圆F2的半径为c，∠F1MF2是直角，在直角三角形F1MF2中有（2a﹣c）2+c2=4c2，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心作圆F2，圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，∴圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，∴∠F1MF2是直角，∵|F1F2|=2c，|MF2|=c，|F1M|=2a﹣c，∴在直角三角形F1MF2中有（2a﹣c）2+c2=4c2，整理，得e2+2e﹣2=0，∴e=﹣1或e=﹣1﹣（舍），∴该椭圆的离心率e为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AB⊥CB1，AB=BC=2，AA1=4，则该三棱柱外接球的表面积为24π．【分析】根据题意判断直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积【解答】解：∵在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AB⊥CB1，AB=BC=2，AA1=4，∴AB⊥面BCC1B1，即AB⊥BC∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为R==，表面积为24π．故答案为：24π．【点评】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，三棱锥A﹣BCD，BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连接CE，G为CE上一点．（1）求证：平面CBD⊥平面ABD；（2）若GF∥平面ABD，求的值．【分析】（1）在△BCD中，BC=3，BD=4，CD=5，可得BC⊥BD，从而可证BC⊥平面ABD，即可证得平面CBD⊥平面ABD …7′（2）利用GF∥平面ABD，可证GF∥ED，利用F是棱CD的中点，可得G为线段CE的中点，即可求的值．【解答】（1）证明：在△BCD中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC⊥BD又∵BC⊥AD，BD∩AD=D，∴BC⊥平面ABD …4′又∵BC⊂平面BCD，∴平面CBD⊥平面ABD …7′（2）解：∵GF∥平面ABD，FG⊂平面CED，平面CED∩平面ABD=DE∴GF∥ED …10′∵F是棱CD的中点，∴G为线段CE的中点∴=1 …14′【点评】本题考查面面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握面面垂直的判定、线面垂直的性质，属于中档题．18．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；（Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2，①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0由①②解得D=2，E=﹣4∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，即||=，∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径．19．设函数f（x）=x2+e x﹣xe x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出导数，讨论x＞0，x＜0，导数的符号，注意运用指数函数的单调性，求出单调区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈[﹣2，2]时，f（x）min＞m，由（1）即可求出最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+e x﹣xe x．∴f（x）的定义域为R，f'（x）=x+e x﹣（e x+xe x）=x（1﹣e x），当x＜0时，1﹣e x＞0，f'（x）＜0；当x＞0时，1﹣e x＜0，f'（x）＜0∴f（x）在R上为减函数，即f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．（2）当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈[﹣2，2]时，f（x）min＞m．由（1）可知，f（x）在[﹣2，2]上单调递减，∴，∴m＜2﹣e2时，不等式f（x）＞m恒成立．【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间、求最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？【分析】（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．【解答】解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF∥C1E．…（3分）OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．…（6分）（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD⊥平面B1BCC1．而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF．…（11分）DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB 的面积．【分析】（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），先求出c=，由椭圆过点（，1），得=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1），∴设椭圆方程为=1（a＞b＞0），c为半焦距，c=，∴a 2﹣b 2=2，①由椭圆过点（，1），得=1，②由①②，得a 2=4，b 2=2，∴所求椭圆的标准方程为．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k 2+1）x 2+4kx ﹣2=0，解得x=，设，，则﹣=2，解得，∴△AOB 的面积S=|OP||x 1﹣x 2|===．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用．22．设函数，g （x ）=2x 2+4x+c ．（1）试问函数f （x ）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；（2）若a=﹣1，当x ∈[﹣3，4]时，函数f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，求c 的取值范围．【分析】（1）利用反证法：根据f （x ）的解析式求出f （x ）的导函数，假设x=﹣1时f （x ）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a 的值，把a 的值代入导函数中得到导函数在R 上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f （x ）取得极值矛盾，所以得到f （x ）在x=﹣1时无极值；（2）把a=﹣1代入f （x ）确定出f （x ），然后令f （x ）与g （x ）相等，移项并合并得到c 等于一个函数，设F （x ）等于这个函数，G （x ）等于c ，求出F （x ）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2ax﹣a，假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：x ﹣3 （﹣3，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，4）4f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）﹣9 ↑↓﹣9 ↑﹣由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，所以或c=﹣9．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．。
2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣12．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜03．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣87．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，故选：C．3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1中，其焦点在y轴上，a=2，b=，则c==3，其焦点坐标为（0，±3）；故选：B．5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣8【解答】解：点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，可得准线方程为：y=﹣，即﹣，解得a=．故选：A．7．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1的一条渐近线过点（2，），∴（2，）在y=x上，即=，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：B．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：对于命题p：若x∈R，则；显然当x≤0时，不成立，故p假对于命题q：若x≥0，则x2≥0．显然q真∴利用复合命题的真假判定p∨q为真，（￢p）∨q为真，（￢p）∧q为真，（￢p）∧（￢q）为假故选：D．9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，要求双曲线与﹣y2=1有相同的渐近线，可以设其方程为：﹣y2=k，又由其焦点为（0，6），则其焦点在y轴上且c=6，必有k＜0，故其标准方程为：﹣=1，则有c2=（﹣k）+（﹣2k）=36，解可得k=﹣12；故要求双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：B．10．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y+1=0，x﹣1=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为：x+2=0，6x+y﹣6=0，此时两条直线不垂直；当m≠0，时，两条直线分别化为：，y=，若此时两条直线垂直，则，解得m=﹣1．综上可得：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直的充要条件是：m=0或﹣1．因此“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的既不充分也不必要条件．故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：F（1，0），设P（m，n），则|PF|=m+1=5，∴m=4，∴n=±4，∴S==2．△POF故选：B．12．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24【解答】解：∵椭圆的方程：，则a=6，b=4，c==2．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=80，∴|PF1||PF2|=32．∴△PF1F2的面积=|PF1||PF2|=16．△PF1F2的面积为16，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2，∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0，∴F到其渐近线的距离d==．故答案为：．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为9．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1连结MF，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．故答案为：9．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是②．【解答】解：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3≥5x”，故错误；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，则￢p，￢q均为真命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”，正确；③“a＞2015”是“a＞2017”的必要不充分条件，故错误；④“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；故答案为：②．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．【解答】解：条件P中不等式解得﹣3≤x≤9，条件q中的不等式解得x＜1﹣m或x＞1+m，若￢p是q的充分非必要条件，可以推出￢q是p的充分非必要条件，分析可得：，解得0＜m≤4．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵双曲线E：．∴m=4时，双曲线方程转化为：，∴a=2，b=，c==3，∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），双曲线的顶点坐标A1（﹣2，0），A2（2，0），双曲线的渐近线方程为：y=．（2）∵双曲线E：，∴==1+，∵，∴，解得5＜m＜10，∴实数m的取值范围是（5，10）．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命题q：即不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为．所以a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=．（II）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得t=．又x02+2y02=4，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=++4=（0≤4）．因为（0≤4）．，当时等号成立，所以|AB|2≥8．故线段AB长度的最小值为2．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【解答】解：（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．==2≠3，舍去．则S△AMN②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．==3×=3，解得m=±1．则S△AMN∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．。
2017-2018学年河北省承德市联校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x＞0，lg（x+1）＞1”的否定是（）A．∃x＞0，lg（x+1）≤1B．∃x＞0，lg（x+1）＞1C．∀x＞0，lg（x+1）≤1D．∀x＞0，lg（x+1）＞12．（5分）双曲线的焦点坐标为（）A．（0，±1）B．（±1，0）C．（0，±3）D．（±3，0）3．（5分）某单位有员工147人，其中女员工有63人．为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是（）A．8B．9C．10D．124．（5分）已知空间向量＝（1，3，x），＝（x2，﹣1，2），则“x＝1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d＝（）A．4B．5C．7D．86．（5分）设命题p：若方程x2+my2＝m2表示双曲线，则m＜0．命题q：若P为双曲线x2﹣y2＝8右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且|PF1|+|PF2|＝6，则|PF1|＝5|PF2|．那么，下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）7．（5分）已知直线l：y＝kx+2（k∈R），圆M：（x﹣1）2+y2＝6，圆N：x2+（y+1）2＝9，则（）A．l必与圆M相切，l不可能与圆N相交B．l必与圆M相交，l不可能与圆N相切C．l必与圆M相切，l不可能与圆N相切D．l必与圆M相交，l不可能与圆N相离8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4B．﹣7C．﹣22D．﹣329．（5分）已知直线l交椭圆+＝1于A、B两点，且线段AB的中点为（﹣1，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣2B．﹣C．2D．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝60°，以4个顶点为圆心的扇形的半径均为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为p0，则圆周率π的近似值为（）A．7.74p0B．7.76p0C．7.79p0D．7.81p011．（5分）若实数x，y满足，则的最大值为（）A．B．C．D．112．（5分）若P为双曲线C：（a＞0，b＞0）右支上不在x轴上的任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，△PF1F2的内切圆与x轴的切点为M（m，0）（），则该双曲线离心率的最大值为（）A．B．C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆的焦距为整数的概率为．14．（5分）某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图．根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差（填甲或乙）更大．15．（5分）若抛物线C：y2＝4x上一点M（a，b）到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|＝．16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，且PD ＝AB，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，若PF：FC＝1：2，则直线EF与平面ABCD 所成角的正弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有800人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[20，30）内的人数．18．（12分）已知直线l：y＝x+b经过抛物线C：x2＝4y的焦点F，且与C交于A，B两点．（1）设P为C上一动点，P到直线y＝﹣1的距离为d，点M（3，0），求d+|PM|的最小值；（2）求|AB|．19．（12分）已知圆N的圆心在直线x﹣2y+5＝0上，且圆N经过点A（3，1）与点B（6，4）．（1）求圆N的方程；（2）过点D（6，9）作圆N的切线，求切线所在直线的方程．20．（12分）某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（）？相关公式：＝，．21．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F，G分别是棱CC1，AD的中点，E为棱AB上一点，且异面直线B1E与BG所成角的余弦值为．（1）证明：E为AB的中点；（2）求平面B1EF与平面ABC1D1所成锐二面角的余弦值．22．（12分）已知椭圆的短轴长为2，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过定点，且斜率为，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值．2017-2018学年河北省承德市联校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x＞0，lg（x+1）＞1”的否定是∀x＞0，lg（x+1）≤1．故选：C．2．【解答】解：双曲线，可得a＝2，b＝，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±3）．故选：C．3．【解答】解：男员工应抽取的人数为（147﹣63）×＝12．故选：D．4．【解答】解：空间向量＝（1，3，x），＝（x2，﹣1，2），当时，有1×x2+3×（﹣1）+2x＝0，解得x＝﹣3或x＝1，又“x＝1”是“x＝﹣3或x＝1”的充分不必要条件，所以“x＝1”是“”的充分不必要条件，故选：A．5．【解答】解：根据题意，抛物线x2＝2py（p＞0）经过点（4，1），则有16＝2p，解可得p＝8，则抛物线的标准方程为：x2＝16y，其焦点坐标为（0，4），点（4，1）到其焦点的距离d＝＝5；故选：B．6．【解答】解：若方程x2+my2＝m2表示双曲线，则m≠0，此时方程等价为+＝1，若表示双曲线，则m＜0，即命题p是真命题，若P为双曲线x2﹣y2＝8右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且|PF1|+|PF2|＝6，则双曲线的标准方程为﹣＝1，则a＝＝2，则|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，∵|PF1|+|PF2|＝6，∴|PF1|＝5，|PF2|＝，则|PF1|＝5|PF2|．则|PF1|＝5|PF2|成立，故命题q是真命题，则p∧q为真命题，其他为假命题，故选：C．7．【解答】解：∵直线l：y＝kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x﹣1）2+y2＝6内，∴直线l必与圆M相交，∵（0，2）在圆N：x2+（y+1）2＝9上，∴l不可能与圆N相离．故选：D．8．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i＝2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+4，i＝3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9，i＝4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9+16，i＝5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9+16﹣25，i＝6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣4．故选：A．9．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为M（﹣1，﹣1），则x1+x2＝﹣2，y1+y2＝﹣2则，两式相减得：＝0，∴＝﹣∴直线l的斜率k＝﹣，故选：B．10．【解答】解：由题意该点落在阴影部分的概率为p0＝，所以π＝p0≈7.79p0；故选：C．11．【解答】解：∵y＝1+，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），它表示圆心为（2，1）半径为1的圆的上半圆．因为z＝，所以y＝zx+z，即zx﹣y+z＝0所以直线zx﹣y+z与半圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），相切时，直线y＝zx+z的斜率最大，所以＝1，解得：z＝．故选：B．12．【解答】解：F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点M ∵|PF1|﹣|PF2|＝2a，及圆的切线长定理知，|MF1|﹣|MF2|＝2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|＝2a，∴x＝a，即|OM|＝a，又，∴，⇒，，，．∴则该双曲线离心率的最大值为：2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．【解答】解：m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，椭圆的焦距为整数包含的基本事件m的可能取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆的焦距为整数的概率p＝＝．故答案为：．14．【解答】解：某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图．根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差乙更大．故答案为：乙．15．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可得a+1＝5，解得a＝4，b＝±4，以M（4，±4）为圆心且过点F的圆的半径为，由圆心到y轴的距离为4，可得|AB|＝2＝6，故答案为：6．16．【解答】解：根据题意得，PD⊥平面ABCD，PF：FC＝1：2∴点E到平面ABCD的距离等于PD设FG⊥面ABCD∵PD＝AB，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BAD＝60°∴设PD＝AB＝6则EG＝∴EF＝，∴直线EF与平面ABCD所成角的正弦值＝故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M＝40．因为频数之和为40，所以10+25+m+2＝40，m＝3.．因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．（2）因为该校高一学生有800人，分组[20，30）内的频率是0.075+0.05＝0.125，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为800×0.125＝100人．18．【解答】解：（1）∵F的坐标为（0，1），直线y＝﹣1是C的准线．∴d＝|PF|，∴．（2）易知b＝1，由，得x2﹣4x﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，△＝32＞0，∴．19．【解答】解：（1）设线段AB的中点为，∵k AB＝1，∴线段AB的垂直平分线为x+y﹣7＝0，与x﹣2y+5＝0联立得交点N（3，4），∴|AN|＝3＝r．∴圆N的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9．（2）当切线斜率不存在时，切线方程为x＝6．当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣9＝k（x﹣6），即kx﹣y+9﹣6k＝0，则N到此直线的距离为，解得，∴切线方程为8x﹣15y+87＝0．故满足条件的切线方程为x＝6或8x﹣15y+87＝0．20．【解答】解：（1）∵＝12，＝26，∴＝，＝26﹣12×1.5＝8，故y关于x的线性回归方程为：＝1.5x+8（2）当x＝20时，＝38，对应的毛利率为，当x＝24时，＝44，对应的毛利率为，故投入成本20万元的毛利率更大．21．【解答】（1）证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．不妨令正方体的棱长为2，则D（0，0，0），G（1，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），F（0，2，1），设E（2，a，0），则，，∴|cos＜＞＝＝，∴a2﹣4a+3＝0，解得a＝1（a＝3舍去），即E为AB的中点；（2）解：由（1）可得，，设是平面B1EF的法向量，则．令z＝2，得．由图可得平面ABC1D1的一个法向量为，∴．故所求锐二面角的余弦值为．22．【解答】解：（1）∵椭圆C的短轴长为2，∴2b＝2，即b＝1．又点在C上，∴，∴a2＝2．∴椭圆C的方程为．（2）由题意设直线AB的方程为y＝kx+m（k≠0），由，消去y得，（k2+2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，∴△＞0，即m2﹣k2＜2，①且，，∴线段AB中点的横坐标，纵坐标，即线段AB的中点为．将代入直线可得，，②由①，②可得，，∴．又＝，且原点O到直线AB的距离，∴＝，∵，∴，∴当时，S△AOB取得最大值．。
河北省承德市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（）A . ac＞bdB .C . a+c＞b+dD . a﹣c＞b﹣d2. （2分）已知x=2a ，则命题：“∃y∈（0，+∞），xy=1”的否定为（）A . ∀y∈（0，+∞），xy≠1B . ∀y∈（﹣∞，0），xy=1C . ∃y∈（0，+∞），xy≠1D . ∃y∈（﹣∞，0），xy=13. （2分）(2018·广东模拟) 已知数列的前项和，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·黄冈期末) 已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于（）A . 5B .C . 2D . 15. （2分）已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A .B .C .D . 26. （2分）(2019·浙江模拟) 已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条8. （2分）已知M（x0,y0）是双曲线C：-y2=1上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若，则y0的取值范围是（）A . (-,)B . (-,)C . (-,)D . (-,)9. （2分）(2017·桂林模拟) 过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A的平面α与平面CB1D1平行，设α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，那么m，n所成角的余弦值等于（）A .B .C .D . 110. （2分）若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A . 12B . 10C . 8D . 6二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·泉州模拟) 已知F1 ， F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为________．12. （1分） (2017高一下·淮安期末) 已知△ABC中，AB= ，BC=1，A=30°，则AC=________．13. （1分）已知函数f（x）=sinx（x∈R），则下列四个说法：①函数g（x）=是奇函数；②函数f（x）满足：对任意x1 ，x2∈[0，π]且x1≠x2都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]；③若关于x的不等式f2（x）﹣f（x）+a≤0在R上有解，则实数a的取值范围是（﹣∞，]；④若关于x的方程3﹣2cos2x=f（x）﹣a在[0，π]恰有4个不相等的解x1 ， x2 ， x3 ， x4；则实数a的取值范围是[﹣1，﹣），且x1+x2+x3+x4=2π；其中说法正确的序号是________14. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1=2Sn+3，则S4=________．15. （1分） (2017高三上·静海开学考) 设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的________条件．三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分）(2017·郴州模拟) 如图，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．17. （10分） (2016高二上·郑州开学考) 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．18. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19. （5分） (2016高一上·普宁期中) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （10分） (2016高二上·吉林期中) 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点（，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、。
河北省承德市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
将正确答案选项填在答题纸上)1. 已知向量与向量垂直，则z 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣22. 圆（x+2）2+y 2=5关于y 轴对称的圆的方程为（ ）A ．x 2+（y+2）2=5B ．x 2+（y ﹣2）2=5C ．（x ﹣2）2+y 2=5D ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=53. 圆心为（2，﹣1）且与直线3x ﹣4y+5=0相切的圆方程是（ ）A ．x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4=0B ．x 2+y 2﹣4x+2y ﹣4=0C ．x 2+y 2﹣4x+2y+4=0D ．x 2+y 2+4x+2y ﹣6=04. 圆C 1：x 2+y 2+2x+8y ﹣8=0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣1=0的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含5. 对任意的实数m ，直线y=mx+1与圆x 2+y 2=4的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离6. 设曲线C 的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=9，直线l 的方程x ﹣3y+2=0，则曲线上的点到直线l 的距离为的点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47. 设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k ＝ （ ）A ．2B ． 4C ．－2D ．－48. 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若=z +x +y ，则x+y+z 的值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．9. 如果执行如程序框图，那么输出的S 等于（ ）A ．20B ．90C ．110D ．13210. 已知()0,12,1--=t t ，()t t ,,2=-的最小值为（ ）A. 2B. 6C. 5D. 311. 直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12. 正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D 1到平面A 1BD 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若点（2a ，a+1）在圆x 2+（y ﹣1）2=5的内部，则a 的取值范围是 .14. 已知圆x 2﹣4x ﹣4+y 2=0上的点P （x ，y ），求x 2+y 2的最大值 .15. 已知关于x ，y 的方程组有两组不同的解，则实数m 的取值范围是 .16. 在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)若圆经过点（2,0）,（0,4),（0,2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径18.(本题满分12分)已知圆C 经过点A （1，4）、B （3，﹣2），圆心C 到直线AB 的距离为，求圆C 的方程．19.(本题满分12分)已知圆C 的方程：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：x+2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且|MN|=，求m 的值．20.(本题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．21.(本题满分12分)已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．22. (本题满分12分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．一、选择题9如果执行如程序框图，那么输出的S等于（）A．20 B．90 C．110 D．132答案及解析：C【考点】循环结构．【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．【解答】解：根据题意可知该循环体运行10次第一次：s=2，第二次：s=2+4，第三次：s=2+4+6…∴S=2+4+6+…+20=110．故选C．1.已知向量与向量垂直，则z的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2答案及解析：C【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量与向量垂直，∴=﹣2×4+3×1+（﹣5）×z=0，解得z=﹣1．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．2圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣2）2+y2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5答案及解析：C【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径还是2，从而求得所求的圆的方程．【解答】解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：C．3圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0答案及解析：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线3x﹣4y+5=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程，整理后即可得到正确的选项．【解答】解：∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，∴所求圆的半径r=3，则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．故选B4圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含答案及解析：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1=5，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y ﹣1=0的圆心C2（2，2），半径r2=3，知|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，由此得到圆C1与圆C2相交．【解答】解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1==5，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2，2），半径r2==3，∴|C1C2|==3，|r1﹣r2|=2，，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1与圆C2相交．故选C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切 B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离答案及解析：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．6设曲线C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，直线l的方程x﹣3y+2=0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案及解析：B【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心坐标，利用圆心到直线的距离与条件之间的关系即可得到结论．【解答】解：由（x﹣2）2+（y+1）2=9，得圆心坐标为C（2，﹣1），半径r=3，圆心到直线l的距离d=．∴要使曲线上的点到直线l的距离为，∴此时对应的点位于过圆心C的直径上，故有两个点．故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．11直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．答案及解析：B【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线y=kx+3的距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2，∴≤1，解得，故选B．8已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若=z+x+y，则x+y+z的值为（）A．1 B．C．2 D．答案及解析：C【考点】空间向量的加减法．【分析】利用向量的三角形法则、空间向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，∵=+=+=++=z+x+y，∴z=，x=1，y=，∴x+y+z=2，故选：C．10.已知()0,12,1--=t t ，()t t ,,2=-的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. 5 D. 3 答案及解析：A7.设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k ＝ （ ） A ．2B ． 4C ．－2D ．－4答案及解析：B12. 正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D 1到平面A 1BD 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．答案及解析：D【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，知，，设面DBA 1的法向量，由，知，由向量法能求出D 1到平面A 1BD 的距离．【解答】解：以D 为原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∴D （0，0，0），A 1（2，0，2），B （2，2，0），D 1（0，0，2），∴，，设面DBA 1的法向量，∵，∴，∴，∴D1到平面A1BD的距离d===．故选D．【点评】本题考查点线面间的距离计算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）13若点（2a，a+1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，则a的取值范围是．答案及解析：﹣1＜a＜1【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】根据点（2a，a﹣1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，可得不等式4a2+a2＜5，解之即可求得a的取值范围【解答】解：由题意，4a2+a2＜5解之得：﹣1＜a＜1．故答案为：﹣1＜a＜1．14已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P（x，y），求x2+y2的最大值．答案及解析：【考点】点与圆的位置关系．【分析】利用圆的方程求出x的范围，然后整理出x2+y2的表达式，即可求出最大值．【解答】解：因为圆x 2﹣4x ﹣4+y 2=0化为（x ﹣2）2+y 2=8，所以（x ﹣2）2≤8，解得2﹣2≤x ≤2+2，圆上的点P （x ，y ），所以x 2+y 2=4x+4≤．故答案为：．15已知关于x ，y 的方程组有两组不同的解，则实数m 的取值范围是 ．答案及解析：[0，﹣1+）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】关于x ，y 的方程组有两组不同的解，则表示两个方程对应的曲线有两个不同的交点，从而可得满足条件的实数m 的取值范围．【解答】解：方程y=可化为（x+1）2+y 2=1（y ≥0）表示圆心为（﹣1，0）、半径为1的圆x 轴以上部分（含于x 轴交点）．设直线x+y ﹣m=0与圆相切，则=1，∴m=﹣1±直线x+y ﹣m=0过原点时，m=0，∴关于x ，y 的方程组有两组不同的解时，m ∈[0，﹣1+）．故答案为：[0，﹣1+）．16在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为________．答案及解析：9三、解答题18已知圆C 经过点A （1，4）、B （3，﹣2），圆心C 到直线AB 的距离为，求圆C 的方程．答案及解析：【考点】JE ：直线和圆的方程的应用．【分析】解法I：设圆心C（a，b），半径为r，圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），圆心C到直线AB的距离为，由垂径定理可得，圆心与直线AB的中点M的连线长度为，且与AB垂直，由此建立关于a，b，r的方程组，进而得到圆C的方程．解法II：由已知中圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），我们由垂径定理得到C点在AB的中垂线上，可设C点坐标为C（3b﹣1，b），进而根据圆心C到直线AB的距离为，构造方程求出b值，进而求出圆的半径，得到圆C的方程．【解答】解：法Ⅰ：设圆心C（a，b），半径为r易见线段AB的中点为M（2，1）…∵CM⊥AB，∴即：3b=a+1①…又∵∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=10②…联立①②得或即C（﹣1，0）或C（5，2）…∴r2=|CA|2=20故圆的方程为：（x+1）2+y2=20或（x﹣5）2+（y﹣2）2=20…法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，﹣2）∴直线AB的方程为：3x+y﹣7=0…∵线段AB的中点为M（2，1）∴圆心C落在直线AB的中垂线：x﹣3y+1=0上．…不妨设C（3b﹣1，b）…∴…解得b=0或b=2即C（﹣1，0）或C（5，2）…∴r2=|CA|2=20故圆的方程为：（x+1）2+y2=20或（x﹣5）2+（y﹣2）2=20…17若圆经过点（2,0）,（0,4),（0,2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径答案及解析：（1）086622=+--+y x y x ；（2）圆心为（3,3），半径10=r .试题分析：(1)已知圆上三点，设圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，将圆上三点代入，解得参数，即得圆的方程；（2）根据公式圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2-E D ,半径2422FE D r -+=.试题解析：（1）设圆的一般式为022=++++F Ey Dx y x 将已知点代入方程得{240416024=++=++=++F D F E F E 解得{668-=-==D E F 所以圆的方程为086622=+--+y x y x ................................5分（2）32,32=-=-ED ，所以圆心为（3,3）2422FE D r -+==10...............................................10分 考点：圆的方程19已知圆C 的方程：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0 （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：x+2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且|MN|=，求m 的值．答案及解析：【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0，可化为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5﹣m ，利用方程表示圆，即可求m 的取值范围；（2）求出圆心C （1，2）到直线l ：x+2y ﹣4=0的距离，利用|MN|=，求m 的值．【解答】解：（1）方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0，可化为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5﹣m ， ∵此方程表示圆， ∴5﹣m ＞0，即m ＜5．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心 C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为由于，则，有，∴，得m=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．21已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．答案及解析：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值；（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到符合题意m的值；（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d小于圆的半径列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，解得：﹣2＜m＜2．所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m＜2时，直线与圆有两个公共点．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，是一道综合题．20如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．答案及解析：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C，∵OD⊂平面A1DB，B1C⊄平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，∴B（0，，0），D（0，0，0），A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），=（0，﹣，0），=（﹣1，﹣，2），=（1，﹣，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，2，3），设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．22已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案及解析：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD ⊥A1C．（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．…（Ⅱ）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），…∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．设平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．∴．即，…令z1=1，则y1=2．∴=（0，2，1）．由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量为=（2，2，0）．…∴cos＜＞==．…∵二面角A﹣A1C﹣D1为钝二面角，∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值为﹣．…（Ⅲ）解：设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．∵=（x2，y2﹣2，z2），=（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．…即．∴P（0，2，）．…设平面PBD的法向量．∵，，∴．即．…令y3=1，得=（﹣1，1，﹣）．…若平面A1CD1⊥平面PBD，则=0．即2﹣=0，解得．所以当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．…。
河北省承德市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·开福月考) 等差数列中，，则的值为（）A . 12B . 18C . 9D . 202. （2分） (2020高一上·上海考) 若，且，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2018高二上·阜城月考) 命题“对任意，都有”的否定为（）A . 对任意，都有B . 不存在，都有C . 存在，使得D . 存在，使得4. （2分） (2019高二上·黄陵期中) 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（）A . 若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数B . 若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数C . 若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数D . 若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数5. （2分） (2020高二下·商丘期末) 已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2018高三上·东区期末) 若实数，则命题甲“ ”是命题乙“ ”的（）条件A . 充分非必要B . 必要非充分C . 充要D . 既非充分又非必要7. （2分）(2020·龙岩模拟) 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥的外接球的半径（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·六安月考) 设点(a,b)为区域内任意一点，则使函数f(x)=在区间[ ，+ ）上是增函数的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则=（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·湖南期中) 点P在以F为焦点的抛物线y2=4x上运动，点Q在直线x﹣y+5=0上运动，则||PF+|PQ|的最小值为（）A . 4B . 2C . 3D . 611. （2分） (2019高二下·宝安期末) 已知点在抛物线的准线上，为的焦点，过点的直线与相切于点，则的面积为（）A . 1B . 2C .D . 412. （2分） (2020高二上·桂林期末) 下列各点中，在二元一次不等式所表示的平面区域内的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·慈利期中) 等比数列中，是关于的方程两个实根，则________.14. （1分） (2018高一下·通辽期末) 在中，，则此三角形的最大边的长为________．15. （1分） (2019高三上·安义月考) 已知向量，其中，若与共线，则的最小值为________．16. （1分） (2019高三上·湖南月考) 已知直线：，抛物线：的焦点为，准线为，是抛物线上的一点，到，的距离分别为，，当取最小值时，，则 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·上饶期中) 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18. （5分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19. （10分） (2017高一下·正定期末) 已知等比数列的公比，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. （10分） (2017高二上·西华期中) 在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos （B+C）=1．（1）求角A；（2）若△ABC的面积S=10 ，b=5，求边a．21. （10分） (2018高一上·杭州期中) 已知函数f（x）=2x ， g（x）=-x2+2x+b．（1）若f（x）+ +1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范围；（2）若x1 ，x2∈[1，3]，对任意的x1 ，总存在x2 ，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．22. （10分）(2018·攀枝花模拟) 已知椭圆的右焦点为 ,坐标原点为 .椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为 ,过且垂直于线段的直线交射线于点 .(I)求点的横坐标;(II)当最大时，求的面积.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：考点：解析：。
