概率论与数理统计第11讲(1).my

2 2
定理
若X ~ N ( , )，则aX b ~ N (a b, a ).
2 2 2
若X ~ N ( , )，则Y
2
X

~ N (0,1).
正态分布r.v的任一线性函数仍然服从正 态分布。
例
X ~ N (1, 4 ), 则 Y 1 2 Y 1 2 X 1 ~ ( X 1) ~ N ( 0 ,1)
y 求导，得
两边同时关于
yb f Y y FY y f X a a 1
综上所述，
y b fY y fX |a| a 1
例：设X为区间[a,b]上的均匀分布，即
1 , X ~ f X ( x) b a 0, a xb 其它
ii)e(λ)或e( ) iii)N(μ, 2) ５. 随机变量函数的分布
2
fY ( y )
1 |a|
1
fX (
1
y b a
)
y b a 2
2
(
)
2
fY ( y)
f ( x) 1 2
( x ) 2
2 2

|a| 1
2
e

y ( a b ) 2
2a
2 2
e

2 | a |
e
Y aX b ~ N (a b, a )
即：
Y pi
整理得：
1 0.2
2
0 0.3
0 0.3
1 0.1
1 0.3
4 0.4
4 0.4
Y X pi
yi有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加。
例 设随机变量X具有以下的分布列，试求Y=(X-1)2 的分布列。
X pi -1 0.2 0 0.3 1 0.1 2 0.4
解：Y的分布列为 Y=(X-1)2 (-1-1)2 (0-1)2
一般正态分布的概率计算
若 X ~ N ( , 2 )
则Y X
x F ( x ) ;

~ N (0,1),
P{a X b} F (b) F (a)
b a .
正态分布的 “3 ” 准则
1
x0 x0
则称X服从参数为 的指数分布， 记为X～e( )。
3.正态分布
若r.v.X的密度函数为：
f ( x)
1 2

( x ) 2
2
2
e
( x )
则称r.v.X服从正态分布(高斯分布),记为:
X ~ N (, )
2
( R, 0)
标准正态分布N(0,1)
密度函数为:
( x)
1 2
x
2
e
2
( x )
分布函数为:
( x) 1 2

x

t
2

e
2
dt
标准正态分布表的使用:标准正态 分布的概率计算
（1）利用正态分布的对称性, 易见
( x) 1 ( x);
（2） 若 X ~ N (0,1),
则P{a X b} (b) (a);
2
(0 1)
则称 u 为标准正态分布的 双侧分位数;
例如 0.05, u u 0.05 1.96.
2 2
2.上侧分位数
若 u 满足 : PX u (0 1) 则称 u 为标准正态分布的 上侧分位数;
3.下侧分位数
若 u 满足 : P{ X u } (0 1) 则称 u 为标准正态分布的 下侧分位数.
2 2
上侧分位数为 :
u u 0 . 1 1 . 282
下侧分位数为 : u u 0 .1 1 . 282
标准正态分布的 上侧分位数 u 等于2 相应的双侧分位数.
§2.5 随机变量函数的概率分布

随机变量的函数
Y g( X )
X是r.v., Y也是r.v.
X
(

y 0
综上所述，
1 fY ( y ) 2 y
0,
f y f
X X
y ,

y 0
本章小结
1.随机变量(r.v.) 2.分布函数F(x)=P{X≤x} 3.离散型随机变量 1)概率函数(分布列或分布律) pk=P(X=k),k=1,2,3,…… 2)已知概率函数pk ,求分布函数 F(x)（区间必须是左闭右开）； 3)求P(a<X≤ b)=F(b)-F(a) (只用在左开右闭区间)
第三步：两边同时关于y求导，得
f Y y FY y
yb 1 fX a a
( 2 )当 a 0时，
y b y b FY y P X 1 PX a a
yb 1 FX a
4)常见离散型分布及其关系 i) B(1, p) ii) B(n, p) iii) P(λ) iv) H(n, M, N)
4.连续型r.v. 1)密度函数f(x) 2) f(x)与F(x)的关系 b 3)P(a<X<b)=F(b)-F(a) f ( x)dx a (不管区间是否含端点)
4)常见连续型分布 i) U(a,b)
例如 : Y X
2
Y 3X 4 Y ln X
问题:已知X的分布,求Y 的分布？
离散型随机变量函数的分布
例:设随机变量X的分布列为：
X pi
1 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
试求Y=X2的分布列.
解：Y的分布列为：
Y X pi
2
(1) 0.2
2
0
2
1
2
2
2
0.3
0.1
0.4
N(
1 2
,1)
X ~ N ( 70 , 5 ), 则 Y
2
X 70 5
~ N ( 0 ,1).
例 已知连续型r.v.X的概率密度函数是f(x),求Y=X2 的密度函数。 解： Y 的分布函数和密度函数 设 第一步：
分别为 FY y 和 f Y y .
2
FY ( y ) P {Y y } P { X
几种常见分布（连续型）
1. 均匀分布 若连续型r.v.X的密度函数为
1 f ( x) b a 0 a xb 其它
则称X在[a,b]上服从均匀分布， 记为X～U（a,b）。
2.
指数分布 若连续型r.v.X的密度函数为
1 x e f ( x) 0
求Y=2X+1的密度函数。
解:
y b fY y fX |a| a 1
2 a 1 y 2b 1 其它
1 1 1 y 1 fY ( y ) f X ( ) 2 b a 2 2 0
例
已知X ~ N ( , ), Y aX b, 求Y的分布.
例: 0.05
双侧分位数为 : u u 0 .0 5 1.960
2பைடு நூலகம்2
上侧分位数为 : u u 0 .0 5 1.645 下侧分位数为 : u u 0 .05 1 . 645
0.1
双侧分位数为 : u u 0 .1 1 .6 4 5
分
别为 FY y , f Y y , 求 f Y y .
——分布函数法
解：第一步：从FY y 入手
第二步：找到FY y 与FX
(1)当 a 0时，
FY ( y ) P {Y y } P { aX b y }
的关系
y b yb FY y P X FX a a
y}
y)
fY ( y ) F y Y
第三步：
2 2
2
1 y 1 y
1 y
FX (
1 F ( y) 2 y X 1 f ( y) 2 y X
y ) f X ( y)
y)
fX (
y)
f
服从N(μ, 2)的随机变量取值在 (μ－3, μ＋3)之内的概率大于99.7%
可见，服从正态分布的随机变量虽然取值 在（-∞，+∞），但其值落在 （-3，+3）内几乎是可以肯定的。
N(0,1)的分位数
设X~N(0,1) 1.双侧分位数
若 u 满足 :
2
P | X | u 2
2
y}
1) 若 y 0 , X 2 )若 y 0 ,
y 不 可 能 成 立 ， FY ( y ) 0 ,
f Y ( y ) FY ( y ) 0
FY ( y ) P {Y y } P { X
2
y}
第二步：
P{
FX (
y X
y ) FX (
pi 0.2 0.3
(1-1)2 (2-1)2
0.1
0.4
整理得：
Y ( X 1) pi
2
0 0.1
1 0.7
4 0.2
连续型随机变量函数的分布
设连续型 r .v . X 和 Y ， X 的密度函数为 f X x ，这里
设 Y aX b ( a 0 ). 若 Y 的分布函数和密度函数