最新2019届高三第二次月考数学(理)试卷

福建省晋江市养正中学篇一：福建省晋江市养正中学2019-2019学年度高二第一学期第二次月考数学理试题晋江市养正中学2019-2019学年度第一学期第二次月考高二数学（理科）试卷（考试时间：120分钟试卷分值：150分）一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题纸的相应位置1．对于抛物线?42，下列描述正确的是（）开口向上开口向下开口向左开口向右2从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为()1000120013013003已知命题“如果?,那么2?2”的否命题是（）．如果?,那么2?2．如果2?2那么?．如果2?2，那么?如果?,那么2?24抛物线2?10的焦点到准线的距离是（）．515．5．．10222?2?1的渐近线方程是()5双曲线4??11??4????22422222?2?1和双曲线6已知椭圆那么2的值为（）?2＝1有公共的焦点，223231．2．4217如图，四面体中，设是的中点，则??2．．14?化简的结果是（）．．．．228“?0”是“方程??1表示双曲线”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件非充分非必要条件9经过点(3,?1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（）22222222??1??1??1??1Ａ10101010888810已知方程2?2?和??1?0（其中?0,?），它们所表示的曲线可能是（）ＡＢＣＤ二填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把正确答案写在题中横线上）11已知?(2,1,3),?(1,,2),??2，那么的值等于___________?612当?2时，右边的程序段输出的结果是413．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，那么椭圆的离心率等于___________12(第12题图)14有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3米，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，隧道高8米,宽16米为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为025米，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为_________________米（用分数表示）35822??1于，两点，使得15若动点在直线：??作直线交椭圆124||=||，再过作直线??,则?恒过定点，点的坐标为_____________．42(－，0)3三解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2216．设关于的一元二次方程?2??0（）若,都是从集合?1,2,3,4?中任取的数字，记为(,)，列出所有的情况;并求方程有实根的概率；（）若是从区间中任取的数字，是从区间中任取的数字，求方程有实根的概率．解：（）所有的情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）……2分一共16种且每种情况被取到的可能性相同……3分22∵关于的一元二次方程?2??0有实根22??4?4?0??,……4分∴∴设事件为“方程有实根”，事件包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分?()?105?1681?3?33()??3?48………12分∴∴方程有实根的概率是3………13分（第（）题评分标准说明：画图正确得2分，求概率4分，本小题7分）17．如图，正方体?1111的棱长为1，点在棱上，且?111已知异面直线1与所成角的余弦值等于3，求的值15解以为坐标原点，以、、所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，?1分则(0,0,0)、1(1,1,1)、(0,1,0)、(1,,0)??3分所以1?(1,1,1),?(1,?1,0),???5分,???7分|1|?2?12?12?3,|1|??(?1)?0??2?222221??1?1?1?(?1)?0?所以?1,1???2?22?10分2依题意得,即12??1?0，??12分?23??2?21511或??（舍去）431因此，的值等于???13分4解得?18已知抛物线??2和抛物线上一点?1,?2?2||（）求抛物线的准线方程；（）过点作斜率为2,?2的直线1,2，分别交抛物线于?1,1?,?2,2?，设的中点?0,0?求证：线段的中点在轴上解：（）抛物线??2,???所以准线方程是?221221；????4分8（）直线1???2??2??1?，即?2?4代入??222?2?4?0,?2??2?0,???2或?1，即1＝-2同理直线2???2???2??1?，即??2代入??2，有222?2?0,?2??0,??0或?1，即2＝0所以0??11?2??1,?0?0，即?022即线段的中点在轴上???????????????13分22??1(?0)的离心率19已知命题：??,??1?0，命题：双曲线25?(,??)2（Ⅰ）写出命题的命题否定?；并求出的取值范围，使得命题?为真命题；（Ⅱ）如果“?”为真命题，“?”为假命题，求的取值范围2解（1）?：?0?，0?0?1?0?????2分2若?为真命题，则??2?4?0,解得：??2,或?2故所求实数的取值范围为：???,?2???2,???????5分（2）若??,??1?0为真命题时，由???4?022的取值范围为?2??2????6分1225??1的离心率?(,??)为真命题时，则??8分双曲线222由“?”为真命题，“?”为假命题，故命题、中有且仅有一个真命题当真假时，实数的取值范围为：??2,2??(0,]?(0,]????10分当假真时，实数的取值范围为：????,?2???2,??????,?????2,?????12分综上可知实数的取值范围：(0,]??2,??????13分20．四棱锥?中，底面是直角梯形，,?，侧棱1212?1?2??12?底面，且??1,??2，是的中点（）求证：平面；（）线段上是否存在一点，使得?平面？若存在，求出在，请说明理由的值；若不存篇二：晋江市养正中学2019届高三第一次月考数学理试题2019届高三上学期第一次月考2019830数学试卷(理科）(范围集合,简易逻辑,函数,函数与导数;命题郑明铿,审题尤琳琪，完卷时间：120分钟)一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1命题“对任意的?,3?2?1?0”的否定是(）存在?,3?2?1?0存在?,3?2?1?0不存在?,??1?0对任意的?,??1?02已知集合?{1,2}，?{|?2?1,?}，则??(){1}{1,2}{1,2,3}?3已知()?|3|，则下列不等式成立的是（）．()?(2)323212．(?(3)．()?(．(2)?(3)?21314134设?23，?053，?3,则()．??．??．??．??5若“0??1”是“(?)[?(?2)]?0”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是()．[?1,0]．(?1,0)．(??,0]?[1,??)．(??,?1)?(0,??)6在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地?2?2?2(?1)?26127已知集合?{|2?2?0}，?{|?}，若?，则实数的取值范围是()．[2，＋∞)．(2，＋∞)．(－∞，0)．(－∞，0]8设???3?3?8,用二分法求方程3?3?8?0在??1,2?内近似解的过程中得?1??0,?15??0,?125??0,则方程必有一根落在区间（）9在同一直角坐标系中，函数()＝(≥0)，()＝的图像可能是()（1,125）（125,15）（15,2）不能确定10定义在上的偶函数?()满足(?1)??()，且当?(0,1]时单调递增，则（）153251．()?()?(?5)23．()?(?5)?()5215．(?5)?()?()32．()?()?(?5)1311已知曲线?3?3及点(2,2)，则过点可向曲线引切线，其切线共有()条．1．2．3．412定义在上的函数()可导，且()图像连续，当?0时?()??1()?0,则函数()?()??1的零点的个数为()．1．2．3．4二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分?2?,?0??0是奇函数,则(?2)的值为_________13已知函数()??0,??2?,?0?14如果对于任意实数，表示不超过的最大整数,例如327?3，06?0,那么,[2??????1]+[121]+[22]的值为_________35已知函数()??2?1(?0),定义函数()???(),?0,给出下列命题??(),?0①()?();②函数()是奇函数;③当?0时,若?0,??0,总有()?(?)成立0,其中所有正确命题的序号是16定义在上的可导函数(),已知则?()的增区间是三、解答题本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）22设集合??3?2?0，={|(?1)(??1)?0}，???2?0，??()的图像如图所示，????若??，??（Ⅰ）求实数的取值集合;（Ⅱ）求实数的取值集合．18（本小题满分12分）已知命题：函数()?2??1???0,且?命题：??,??1?0（Ⅰ）写出命题的命题否定?；并求出实数的取值范围，使得命题?为真命题；（Ⅱ）如果“?”为真命题，“?”为假命题，求实数的取值范围19（本小题满分12分）2??1??是增函数，2??2?已知定义域为的函数()??1是奇函数2?（Ⅰ）求实数,的值；（Ⅱ）若任意的?[?1,1]，不等式(2?)?(?2)?0恒成立，求实数的取值范围20（本小题满分12分）已知函数???2?,其中?0．（是自然对数的底数，=271828?）（）求??的单调区间；（）求??在?1,2?上的最大值21（本小题满分12分）已知函数()???的图像在?0处的切线方程为?（是自然对数的底数，=271828?）(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)若()??22（本小题满分12分）已知函数()?3?．（Ⅰ）求函数?()的零点的个数；??12?(?1)?1(?0)，求函数()?()?()的单调区间221（Ⅱ）设()?，若函数?()在(0，)内有极值，求实数的取值范围；1（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意?(1,??),?(0,1)，求证：()?()??2?2019届高三上学期第一次月考830数学试卷(理科）答案-6，-1，②③，(??,2)三、解答题本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）22设集合??3?2?0，={|(?1)(??1)?0}，???2?0，????若??，??（Ⅰ）求实数的取值集合;（Ⅱ）求实数的取值集合．解：（Ⅰ）由已知得={1，2}={|(?1)(??1)?0}由??，知?显见??当为单元素集合时，只需?2，此时={1}满足题意。

河北省隆化存瑞中学2023届高三下学期2月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列不等式中成立的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b<2．f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0且f （﹣1）＝0则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集为A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）3．已知集合{|24}A x x =<，{|3}B x a x a =-<+ ，若A B A = ，则a 取值范围是（）A ．2a >-B ．1a ≤-C ．1aD ．2a >4．已知向量()()2,3,1,2==- ab ，若ma nb + 与2a b - 共线，则m n等于（）A ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若//m α，//m β，则//αβ6．已知a<0，若直线1l ：210ax y ++=与直线2l ：()140x a y ++-=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD47．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（）A ．121619320C C C B ．12164320C C C C ．2112164164320C C C C C +D ．34320C 1C -8．已知将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度后得到曲线()y g x =，则函数()y g x =的单调递增区间是（）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．7[,)1212k k k Z ππππ--∈2ππππ二、多选题9．设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12iz =+10．下列命题中是假命题的有（）A ．函数2y x =和2ln e x y =为同一函数B ．若函数()y f x =是奇函数，则()00f =C ．命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R ,10x x ∀∈+≠”D ．函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是一段连续曲线，如果()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(),a b 上没有零点11．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题中，正确的是（）A ．在ABC 中，若sin sin AB = ，则A B=B ．在ABC中，若BC =sin 2sin C A =，则AB =C ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B = ，则a b =D ．在ABC 中，sin sin sin a b cA B C+=+12．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =，则（）A ．数列{}n a 的通项公式为24n a n =-B ．数列{}n a 的公差为12C ．数列{}n a 的前n 项和为234n n nS +=D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前22项和为116三、填空题13．曲线12x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为__________.14．若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．15．已知函数()()2f x k x =+-有两个不同的零点，则常数k 的取值范围是___________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，给出以下四个结论：1AC MN ⊥①；1AC //②平面MNPQ ；1AC ③与PM 相交；1NC ④与PM 异面.其中正确结论的序号是______．四、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）若b ，4a c +=，求ABC ∆的面积S .18．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，*N n ∈，且1573a a a +=，235a a S ⋅=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x 百万元)和年销量(y 万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x 百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y 与x 的相关系数(r 精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix ynxyr -=∑71246i i i x y ==∑②，721888ii x ==∑，72170i i y ==∑，36.28≈36.41≈20．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E ∠∠=====∥ 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90.(1)在直线PA 上找一点M ，使得直线//MC 平面PBE ，并求AMAP的值；(2)若直线CD 到平面PBE，求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.21．已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．已知函数()ln xf x x =，()()231m g x m R x x=--∈.（1）求函数()f x 的单调区间.（2）若()()2f x g x ≥对任意()0,x ∈+∞成立，求正实数m 的取值范围.（3）证明：()22ln 0xx x x x e e <->.参考答案：1．B【分析】A ，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；BCD ，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A.若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；B.若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C.若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D.若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误.故选：B 2．A【分析】构造函数h （x ）＝f （x ）g （x ），由已知得当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，得到f （x ）g （x ）＜0不等式的解集．【详解】设h （x ）＝f （x ）g （x ），因为当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0，所以当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，因为f （﹣1）＝0，所以函数y ＝h （x ）的大致图象如下：所以等式f （x ）g （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A ．【点睛】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题．3．C【分析】依题意可得A B ⊆，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由A B A = 知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+⎩，解得1a.故选：C .4．A【分析】先得出ma nb +与2a b - 的坐标，由共线得出147m n =-，进而得出答案.【详解】解：易得()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-，因为ma nb +与2a b - 共线，所以()()()21324m n m n -⨯-=+⨯，即147m n =-，所以12m n =-.故选：A .5．C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行，相交或异面，故A 错误；对于B ，若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ相交或平行，故B 错误；对于C ，若m α⊥，n α⊥，则//m n （垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C 正确；对于D ，若//m α，//m β，则,αβ相交或平行，故D 错误.故选：C.6．A【分析】根据题意结合两直线平行求得2a =-，再代入两平行线间距离公式运算求解.【详解】若直线1l ：210ax y ++=与直线2l ：()140x a y ++-=平行，则()120a a +-=，解得1a =或2a =-，当1a =时，直线1l ：210x y ++=与直线2l ：240x y +-=平行；当2a =-时，直线1l ：2210x y --=与直线2l ：40x y --=平行；综上所述：若直线1l 与直线2l 平行，则1a =或2a =-.∵a<0，则2a =-，此时直线1l ：2210x y --=，直线2l ：2280x y --=，故直线1l 、2l 之间的距离4d ==.故选：A.7．D【分析】根据给定条件，求出从20个零件中任取3个的试验所含基本事件种数，再求出没有一等品的事件含有的基本事件数，用对立事件的概率公式列式作答.【详解】依题意，从20个零件中任取3个的试验有320C 个基本事件，它们等可能，至少有一个是一等品的事件为A ，其对立事件A 是没有一等品的事件，有34C 个基本事件，所以至少有一个是一等品的概率34320C ()1()1C P A P A =-=-.故选：D 8．C【分析】首先根据三角函数的平移变换求出()y g x =的解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度得到()cos 2cos 263y g x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，故函数()y g x =的单调递增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；故选：C 9．AD【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i zz +=+，则12z z +=，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10．ABD【分析】根据相同函数的定义即可判断A ；根据奇函数的性质即可判断B ；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断C ；根据零点的存在性定理即可判断D.【详解】对于A ，函数2y x =的定义域为R ，函数2ln e x y =的定义域为{}0x x ≠，所以函数2y x =和2ln e x y =不是同一函数，故A 错误；对于B ，若奇函数()y f x =的定义域为{}0x x ≠，则()0f 不存在，故B 错误；对于C ，命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R ,10x x ∀∈+≠”，故C 正确；对于D ，函数()2f x x =在区间[]1,1-上的图象是一段连续曲线，且()()1110f f -=>，但函数()2f x x =在区间()1,1-上有零点0，故D 错误.故选：ABD.11．ABD【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD ；由sin2sin 2A B = 确定角A ，B 的关系判断C 作答.【详解】在ABC 中，由sin sin A B =及正弦定理得：a b =，因此A B =，A 正确；在ABC 中，由sin 2sin C A =及正弦定理得：2AB BC ==B 正确；在ABC 中，0π,0πA B <<<<，则022π,022πA B <<<<，因为sin2sin 2A B = ，则有22A B =或22πA B +=，即有A B =或π2A B +=，当A B =时，a b =，当π2A B +=时，a 与b 不一定相等，C 错误；令R 为ABC 外接圆半径，则2sin sin sin a b c R A B C===，于是2sin 2sin 2sin sin sin sin sin b c R B R C aR B C B C A++===++，D 正确.故选：ABD 12．BCD【分析】通过基本量计算得1a 和d ，可判断ABC ；用裂项相消法求和可判断D.【详解】由题知，11229332a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,2a d ==，则111(1)(1)22n a n n =+-=+，2(1)13224n n n n nS n -+=+⨯=，故A 错，BC 正确；记11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，因为11444(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以444444()()()(4442)21222233445n T nn n n n =-+-+-+⋅+-=-++⋅+⋅=+所以224411246T ==，故D 正确.故选：BCD 13．31y x =+【分析】求出函数12x y x -=+的导数及在=1x -处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】依题意，222(1)3(2)(2)x x y x x +--'==++，123|3(12)x y =-'==-+，所以曲线12x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为(21)3y x +=+，即31y x =+.故答案为：31y x =+14．3【分析】由已知得412x y =++，代入x y +，然后由基本不等式得最小值．【详解】因为26xy x y +-=，所以412x y =++，441(2)121322x y y y y y +=++=++-≥=++，当且仅当3,0x y ==时，等号成立．故答案为：3．15．0k ≤<【分析】根据题意，函数()()2f x k x -有两个不同的零点，等价于y ()2y k x =--的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.【详解】由函数()()2f x k x -有两个不同的零点，可知y ()2y k x =--的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当y =()2y k x =--1=，即k =，由图可知0k -<，故相切时3k =，因此结合图象可知，当03k ≤<时，y =()2y k x =--的图象有两个不同的交点，即当0k ≤<时，函数()()2f x k x =-有两个不同的零点.故答案为：0k ≤<.16．①③④【分析】①要证1AC MN ⊥，由于1//AD MN ，则只需证11A C AD ⊥，即只需证1AD ⊥面1ACD 即可；②由于1AC 与MP 交于一点，则1AC 与平面MNPQ 相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D AD ∴⊥，CD ⊥ 面AA1D1D ，AD1⊂面AA1D1D ，1CD AD ∴⊥，1AD ∴⊥面1A CD ，11A C AD ∴⊥M ，N 分别是1AA ，11A D 的中点，1AD //MN ∴，即1A C MN ⊥，故①正确；由于M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，则1AC 与PM 相交，故②不正确，③正确；N ∉ 面11ACC A ，而M ，P ，C ∈面11ACC A ，NC ∴与PM 异面，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．17．(1)60B =︒(2)4S =【详解】分析：（1）由()2cos cos -=a c B b C ，利用正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2B =；从而可得结果；（2）由余弦定理可得()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==可得3ac =，所以1·sin 24S ac B ==.详解：(1)∵()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅∴2sin cos sin cos sin cos A B B C C B⋅=⋅+⋅()2sin cos sin sin A B B C A⋅=+=1cos 2B =∴60B =︒（2）∵()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==∴3ac =∴1·sin 2S ac B ==点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．(1)31n a n =-(2)64n nT n =+【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，首项1a ，利用等差数列的通项公式及求和公式可求解；（2）由11133132n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的首项1a ，公差为()0d d ≠，因为1573a a a +=，235a a S ⋅=，所以()()111114462510a d a d a d a d a d +=+⎧⎨+⋅+=+⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）因为31n a n =-，所以132n a n +=+，得()()1111313233132n b n n n n ⎛⎫==- -+-+⎝⎭，所以121111111325573132n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111323264n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.19．(1)0.99r =,y 与x 的关系可以用线性回归方程模型拟合.(2)12【分析】（1）直接代入相关系数公式计算并判断即可；（2）先求出从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率，再按照二项分布的概率计算公式即可.【详解】（1）1(35610131518)107x =++++++=,1(1.52 2.53 3.54 4.5)37y =++++++=则770.99i ix y xyr -=≈∑可知0.990.75r =>，y 与x 的关系可以用线性回归方程模型拟合.（2）设从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率为2142p ==，则从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=.20．(1)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得AMAP的值；（2）先由直线CD 到平面PBE的距离为5求得PA 的长度，再利用平面PBE 与平面PBC 法向量的夹角公式去求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，90PAB ∠=o ，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .即,PA AB PA CD ⊥⊥,又AB CD 、为两相交直线，则PA ⊥平面ABCD 取PD 中点F ，连接EF ，又AE DE =，则//PA EF ，则EF ⊥平面ABCD 又四边形ABCD 中，1,90,12AD BC ADC BC CD AD ∠====∥，AE DE=则BE AD ⊥，则三直线BE AD EF 、、两两互相垂直以E 为原点，分别以ED 、EB 、EF 所在直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系如图：设(0)PA h h =>，则(0,0,0)E ，(1,0,0)A -，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(1,0,)P h -，(1,1,)PB h =- ,(1,0,)PE h =-设平面PBE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00PE n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111100x hz x y hz -=⎧⎨+-=⎩，令11z =，则110x h y ==，，则(,0,1)n h = 设(1,0,)M t -，则(2,1,)MC t =-由直线//MC 平面PBE ，可得MC n ⊥ ，即0MC n ⋅=则200h t +-=，解之得2t h =，则2AM h =，又PA h =，则22AM hAP h==（2）由直线CD 到平面PBE，得点C 到平面PBE，又(1,0,0)CB =- ，(,0,1)n h =为平面PBE 的一个法向量则CB n n⋅==，解之得2h =，则(1,0,2)P -，(2,0,1)n =，(1,1,2)PB =- 设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，又(1,0,0)CB =-则00CB m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222020x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令21z =，则2202x y ==，，则(0,2,1)m = 设平面PBE 与平面PBC 夹角为θ则1cos cos 5m n m n m nθ⋅===⋅ ，又π02θ≤≤，则sin 5θ=21．（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点M，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m+=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.22．（1）单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞；（2）(]0,4；（3）证明见解析.【分析】（1）求出()f x '，在定义域内，分别令()0f x ¢>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立等价于32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，利用导数可得32ln x x x++的最小值为4，从而可得结果；（3）原不等式等价于即()2e x xf x e<-，由（1）可得()f x 的最大值为1e ，利用导数可证明2e x xe-的最小值为1e ，从而可得结论.【详解】解析：（1）()ln xf x x=，()21ln x f x x -'∴=.令()0f x ¢>，解得0<<x e ；()0f x '<，解得>x e ，()f x \的单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞.（2）“()()2f x g x ≥对任意()0,∞+成立”等价于“32ln m x x x≤++对任意()0,x ∈+∞恒成立”.令()3=2ln h x x x x ++，则()()()2231231x x h x x x x+='-=+-.当()0,1x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞上单调递增.()()min 14h x h ∴==又0m > ，04m ∴<≤.即所求实数m 的取值范围是(]0,4.（3）证明：“22ln x x x x e e<-”等价于“ln 2x x x x e e <-”.据（1）求解知()()1f x f e e≤=，令()()20x x x x e eϕ=->，则()1x x x e ϕ-'=.分析知，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11x eϕϕ∴==.()()f x x ϕ∴<对()0,x ∈+∞恒成立即()22ln 0xx x x x e e <->.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.。

数学（二）试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1+3i1+i 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()2,4 B.()4,2 C.()1,2 D.()2,12.设集合{}=Z 2U x x ∈≤，{}1,0,1A =-，{}0,1B =，则()U A B = ð（）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}1,0,1- C.{}1- D.{}1,0-3.某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（）A.这10天内，每日游泳人数的极差大于106B.这10天内，每日游泳人数的平均值大于135C.这10天内，每日游泳人数的中位数大于145D.前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差4.一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（）A.442个B.408个C.340个D.306个5.已知1sin 23β=，()()2sin sin 3αβαβ++-=，则sin α=（）A.37B.38 C.37- D.38-6.已知0.11.1a-=，ln 3b =，c =，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<7.已知双线()222210,0:6x y C a ba =>>=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 在C 的右支上运动，12MF F 的内心为I ，若2IO IF =，则C 的离心率为（）A.2B.C.3D.8.已知1x ，2x 是方程e ln a x x =的根，且12x x <，则下列结论正确的是（）A.(],1a ∈-∞- B.()10,1x ∈ C.21,e ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈ D.122x x +>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则下列结论正确的是（）A.1BC 与11A B 的夹角为45°B.1BC 与平面ABC 所成角为45°C.1BC 与1AA 的夹角为45°D.1BC 与平面11ABB A 所成角为45°10.已知椭圆22:195x y E +=的左焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（）A.若直线l 垂直于x 轴，则103AB =B.10,63AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.若5AB =，则直线l 的斜率为33D.若2AF BF =，则154AB =11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用1A ，2A 表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B ，C 表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）A.()11=6P B A B.()21=2P C A C.()13P B =D.()115P A C =12.某制造企业一种原材料的年需求量为16000千克（该原材料的需求是均匀的，且不存在季节性因素），每千克该原材料标准价为200元.该原材料的供应商规定：每批购买量不足1000千克的，按照标准价格计算；每批购买量1000千克及以上，2000千克以下的，价格优惠5%；每批购买量2000千克及以上的，价格优惠10%.已知该企业每次订货成本为600元，每千克该原材料年平均库存成本为采购单价的15%.该企业资金充足，该原材料不允许缺货，则下列结论正确的是（）（采购总成本=采购价格成本Ap +订货成本AB Q +库存成本2CQ ，A 为原料年需求量，B 为平均每次订货成本，C 为单位原料年库存成本，Q 为订货批量即每批购买量，p 为采购单价）A.该原材料最低采购单价为180元/千克 B.该原材料最佳订货批量为800千克C.该原材料最佳订货批量为2000千克D.该企业采购总成本最低为2911800元三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量a 的模为2，向量,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且2a b -= ，则a 与b的夹角等于______.14.已知函数()()0bf x ax ab x=+≠，使()f x 在(0)+∞，上为增函数的a 与b 组成的有序实数对为(),a b ，则(),a b 可以是______.（写出一对符合题意的即可）15.已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球O 所得两个截面圆的半径分别为1O 的表面积等于______.16.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin b C =，1cos c B =.（1）求B ；（2）若b =，求ABC 的面积.18.某市从2017年到2021年新能源汽车保有量y （单位：千辆）与年份的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =，2t x =，对数据处理后得：y521ii x=∑521ii t=∑51iii x y=∑51iii t y=∑35559797153115（1）根据散点图判断，模型①y a bx =+与模型②2y c dx =+哪一个更适宜作为y 关于x 的回归模型？（给出结论即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程，并预测2022年该市新能源汽车保有量（计算结果都精确到1）.参考公式：回归方程 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n niii i i i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =- .19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足111b a =，且131n n n b b b +=+.（1）证明：数列{}n a 是等比数列，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .20.如图，在四面体ABCD 中，ABD △是边长为2的等边三角形，=AB AC ，BC CD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若二面角A BC D --的余弦值为55，求四面体ABCD 的体积.21.已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .（1）当=2k ，=5AF 时，求E 的方程；（2）若直线l '与l 平行，l '与E 交于B ，C 两点，且2BAC π∠=，设点F 到l '的距离为1d ，到l 的距离为2d ，试问：12d d 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.已知函数()()32,,,R,0f x ax bx cx d a b c d a =+++∈≠是奇函数，曲线()=y f x 在点()()2,2f 处的切线方程为93160x y +-=.（1）求()f x 的零点；（2）若()f x 在区间()2,10m m-内有最大值，求m 的取值范围.数学（二）试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】AB 【12题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】23π##120 【14题答案】【答案】()1,1-（答案不唯一）【15题答案】【答案】13π【16题答案】【答案】{}1,7,13四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）60B =︒（2）2【18题答案】【答案】（1）模型②2y c dx =+更适宜作为y 关于x 的回归方程（2） 223y x =+，预计2022年该市新能源汽车保有量约为110千辆【19题答案】【答案】（1）证明见解析，2nn a =，131n b n =-（2）()18342n n T n +=+-⋅【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）12【21题答案】【答案】（1）24x y=（2）12d d 是定值，定值为3【22题答案】【答案】（1）()f x 的零点有3个，分别是0（2）[)2,1-第9页/共9页。

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

2019届上海市洋泾中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．给定集合A ，B ，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈，若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *中的所有元素之和为（ ）A.15B.14C.27D.14-【答案】A【解析】根据集合的新定义，分别表示出符合A B *的集合的元素，再求和即可 【详解】由题可知，456m ,,=，1,2,3n =， 当4m =时，1,2,3n =时，321m n ,,-= 当5m =时，1,2,3n =时，432m n ,,-= 当6m =时，1,2,3n =时，543m n ,,-= 所以{}12345A B ,,,,*=，元素之和为15 故选：A 【点睛】本题考查对新定义的理解，元素与集合的关系，解题关键在于不遗漏,m n 的取值，正确算出m n -，属于基础题2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若m α⊥，n α，则m n ⊥；（2）若αβ∥，βγ，m α⊥，则m γ⊥；（3）若m α，n α，则m n ；（4）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥,其中正确命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质，结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确，从而求解 【详解】对于①，因为n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得n l ∥，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合n l ∥得m n ⊥，由此可得①是真命题；对于②，因为//αβ且βγ，所以αγP ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m α且n α成立，但不能推出m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出αβ∥，故④不正确综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A 【点睛】本题考查空间中线面位置关系，线面平行，面面平行的性质，线面垂直，面面垂直的判定与性质，属于中档题 3．已知集合(){},loglog 0aa A x y x y =+>，(){},B x y x y a =+<，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A.∅B.0a >且1a ≠C.02a <≤且1a ≠D.12a <≤ 【答案】D【解析】利用对数的运算性质化简集合A ，然后画出图形，数形结合求得使A B =∅的a 的取值范围 【详解】log log log 0log 1a a a a x y xy +=>=，当1a >时，有1xy >，1y x∴>当01a <<时，有01xy <<，1y x∴< (1)当01a <<时，1y x=与y x a +<的区域始终由公共点，01a ∴<<应舍去(2)当1a >时，要使AB =∅，需有x y a +=刚切过(1,1)时，即2a =时成立，将此直线向左下平移也成立，12a ∴<≤，故选：D 【点睛】本题考查简单的线性规划，交集及其运算，体现了数形结合的数学思想方法，数学转化思想方法，属于中档题 4．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）xA.[1,1]- B.[C.[2,2]- D.[ 【答案】C【解析】试题分析：由题意OM ON ⊥，PM OM OP =-，则()PM ON OM OP ON OM ON OP ON ⋅=-⋅=⋅-⋅ON OP =-⋅，由于1ON =，2OP =，所以ON OP ⋅的最大值为2，最小值为2-，即ON OP =-⋅[2,2]∈-.也可以这样做，OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM ，)cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.答案选C .【考点】向量的线性表示，与向量的数量积及其性质.二、填空题5．复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1【解析】先将复数化简，再求虚部即可 【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1故答案为：1 【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题 6．设全集U =R ，集合{}2log A x y x ==，{}210B x x =-<．则()UA B =ð______．【答案】{}10x x -<≤【解析】先求集合A 的补集，再求()U A B ð即可【详解】解得集合{}0A x x =>，故{}0U A x x =≤ð，{}11B x x =-<<，所以()U A B =ð{}10x x -<≤故答案为：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合的混合运算，遵循有括号先算括号原则，属于基础题7．已知函数()()arcsin 21f x x =+，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14-【解析】根据反函数定义,先求得()()arcsin 21f x x =+的反函数,再代入求解即可. 【详解】因为()()arcsin 21f x x =+ 即()arcsin 21y x =+令y x =,则()arcsin 21x y =+ 化简可得11sin 22y x =-+,（x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），即()111sin 22f x x -=-+ 所以1111162224fπ-⎛⎫=-+⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.8．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高，现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为______cm ．【答案】253【解析】由题可知，球体取出后，柱体水面下降的高度对应的体积即为球体的体积，根据等量关系计算即可 【详解】设圆柱体水面下降的高度为h ，球体半径为R ，则有=V V 球柱降，即()23423R R h ππ=，解得53h =，则容器中水面的高度为12523h R h =-=故答案为：253【点睛】本题考查球体体积公式，柱体体积公式的计算及等体积法的应用，属于基础题 10．双曲线(，)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2【解析】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.11．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率12．函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是____ 【答案】(3,)+∞【解析】若函数()f x 在区间[,)m +∞上存在反函数，则()f x 在该区间上单调，由此可得m 的范围。

专题08 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=，511711,12162a =>>+，【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.7．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____. 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.8．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （I ）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （II ）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（I ）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122nn b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（Ⅱ）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．11．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．12．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（I ）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（II）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（I ）()21n a n =-，()1n b n n =+；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（II）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132C ．-66D ．- 32【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-，又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 +∞)上的函数 )满足：当 时， ) ；当 时， ) ).记函数 )的极大值点从小到大依次记为 并记相应的极大值为 则 + + + 的值为 A ． + B ． + C ． + D ． +【答案】A【解析】由题意当 时，22()2(1)1f x x x x =-=--+ 极大值点为1，极大值为1，当 时，()()32f x f x =-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，故 . ,故 ) ，设S= + + + + + + + ， 3S= + + + ，两式相减得-2S=1+2( + + + )- + )∴S= + ， 故选：A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题. 15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列 中， ，且112(2)n n n n na a n a a --+=+≥-，则数列)前2019项和为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：∵ ++ （ ），∴()22112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得： ) ) ，∴ ) ) + )+ + ，又 ， ∴ ) ) ， 可得：))．则数列)前2019项和为：++ +． 故选：B ．【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．16．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A ．20% 369B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【答案】A【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =． 故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．17．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，记22122log log n n n b a a -=+，则数列(){}21nn b -⋅的前10项和为______．【答案】200【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+， ∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=， ∵312a a =，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴12222n nn a -=⨯=，1121122n n n a ---=⨯=，∴22122log log 121n n n b a a n n n -=+=-+=-， 则数列()()()221211nnn b n -⋅-=-，则(){}21nn b -⋅的前10项和为()()()22222231751917S =-+-++-()2412202836=⨯++++200=.故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.18．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1【解析】因为11,()(1)n n a a n n n *+=+∈+N所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.19．【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式为_______．【答案】13-=n n a ，n *∈N .【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为245a a a =，427a =， 所以223542427a a a a q q q ====，解得3q =，所以41327127a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N . 故答案为13-=n n a ，n *∈N .【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（I ）21,3nn n a n b =+=；（II ）()331(2)2n n n -++.【解析】（I ）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（II ）(21)3n n n a b n +=++， 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型.21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}2n na a 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）n a n =；（II ）222n nnT +=-. 【解析】（I ）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，所以2319a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =.所以1(1)n a a n d n =+-=.（II ）12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2311111112(1)22222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得1231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111111112211222212n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-. 所以222n n nT +=-. 【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．22．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由()13237n n <+，得9n <.∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.23．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足：1n a ≠，()112n na n a *+=-∈N ，数列}{nb 中，11n n b a =-，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （I ）求证：数列}{n b 是等差数列；（II ）若n S 是数列}{n b 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（I ）见解析；（II ）21nn +. 【解析】（I ）111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=------1111n n n a a a =-=--， ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列；（II ）由题意可得2214b b b =，即()()211113b b b +=+，所以11b =，所以1n b =，∴(1)2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111212231n T n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭122111nn n ⎛⎫=⨯-=⎪++⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n 项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2024-2025学年第一学期第二次月考高三数学试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟出题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2nn N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=3．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．254．已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()3f -=（）A ．2B ．3C ．4D ．85．定义a b ad bc cd=-，已知数列{}n a 为等比数列，且31a =，68808a a =，则7a =（）A ．4B ．±4C ．8D ．±86．下列有关回归分析的说法中不正确的是（）A ．回归直线必过点(),x yB ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数0r >时，两个变量正相关D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则r 就越接近于07．点()2,1到直线:220l x y -+=的距离是（）A ．25B ．5C ．5D 8．下面是一个22⨯列联表，其中a 、b 处填的值分别为（）1y 2y 总计1x a 21732x 22527总计b46100A ．52、54B ．54、52C ．94、146D ．146、94二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若{}n a 为等差数列，2511,5a a ==，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．20-是数列{}n a 中的项C ．数列{}n a 单调递减D ．数列{}n a 前7项和最大10．已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A ．圆M 的圆心为()4,3-B ．点()1,0在圆内C ．圆M 的半径为5D ．点()3,1-在圆内11．下列说法正确的有（）A ．若随机变量X 的数学期望()4E X =，则()217E X -=B ．若随机变量Y 的方差()3D Y =，则()256D Y +=C ．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X ，则X 服从二项分布D ．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X ，则X 服从超几何分布三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r，则λ=．13．已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．14．若等差数列{}n a 中，2589a a a ++=，则19a a +=．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC V 中，4a =，5b =，1cos 8C =.(1)求ABC V 的面积；(2)求c 及sin A 的值.16．已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．(1)求a ；(2)求()f x 的单调区间和极值．17．如图，在正方体1111A B C D ABCD -中，E 是1DD 的中点.(1)求证：11//A C 平面ACE ；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥B AEC -的体积．18．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)估计月平均用电量的中位数；(3)在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[)240,260的用户中应抽取多少户？19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点(5,)M m 到焦点F 的距离为6．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(2,1)P 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程．1．A【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.2．C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.3．B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．4．A【分析】根据分段函数解析式求得()3f -.【详解】依题意，()()1(3)32(1)12(1)22f f f f f -=-+=-=-+===.故选：A 5．C【分析】根据题意得到268764a a a =⋅=，再结合31a =即可求解7a 的值．【详解】依题意得268764a a a =⋅=，又30a >，所以78a =．故选：C ．6．B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点(),x y ，A 对；对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数0r >时，两个变量正相关，C 对；对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则r 就越接近于0，D 对.故选：B.7．B【分析】利用点线距离公式即可求解.【详解】因为点线距离公式为d ，所以5d =.故选：B.8．A【分析】根据22⨯列联表运算求解即可.【详解】由题意可得21732a a b +=⎧⎨+=⎩，解得5254a a =⎧⎨=⎩，所以a 、b 值分别为52、54.故选：A.9．ACD【分析】由{}n a 为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且2511,5a a ==，则111145a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113,2a d ==-，13(1)(2)215n a n n =+-⨯-=-+，故A 选项正确，由20215n -=-+，得*35N 2n =∉，故B 错误，因为0d <，所以数列{}n a 单调递减，故C 正确，由数列通项公式152n a n =-可知，前7项均为正数，81a =-，所以前7项和最大,故D 正确.故选：ACD 10．ABC。

2024届黑龙江省鸡西市高三数学试题2月月考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<2．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->> D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20179．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-210．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1B 2C ．2D ．411．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．12012．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A ．3B ．13C ．2D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。

河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，182．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 3．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3105．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,110．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+11．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105 C ．155D ．6312．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。