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中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2 14．n 2+n 15．3016．()1,∞−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分。
17．（12分）（1） 3=AB ，1=AC ， 60=∠A ，所以由余弦定理可知，22231-231cos60BC ，7BC .......3分.根据正弦定理，14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 （2）222AB AC BC ，ACB 为钝角，则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD，在ACD ∆中，根据余弦定理，2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.（12分）（1）取PC 中点F ， E 是PD 的中点，∴CD EF //，又由题意知Q 是FC 的中点，M 是EC 的中点，∴QM EF //，...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面， ∴PAB QM 平面// ............4分方法一：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下：由（1）知，当F 为PC 中点时，AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形，∴AD AB ⊥，∴PAD AB 平面⊥，∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥，BC AB ⊥，∴PAB BC 平面⊥，∴PAB PBC 平面平面⊥，∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角，∴45PBA............12分方法二：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
2018全国中学生数理化创新能力大赛（预赛）高三数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.已知数列{n 1>0,a n+1=2−|a n |,n ∈N ∗。
（1）若a 1,a 2,a 3成等比数列，求a 1的值。
（2）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由。
2.有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在ΔABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。
已知a =√6,且2cos 2A+C 2=(√2−1)cosB ，求角A 。
3.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0．2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C （单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x （单位：平方米）之间的函数关系是()50250kC x x =+（x≥0，k 为常数）．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（1） 试解释()0C 的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简; （2） 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 4.若a,b,c 为实常数，又实数x,y 满足ay−bx =c√(x −a )2+(y −b )2≠0，求a,b,c 之间应满足的关系。
5.我们把由半椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(x ≥0)与半椭圆y 2b2+x 2c 2=1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a 2=b 2+c 2,a >0,b >c >0。
[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ，贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数，若g (x) =f (x - 2)是奇函数，且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个，贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立，则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题：木题共6道题，共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小；(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题（含答案）2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位，^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°，使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °，使得(X。
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(6x y C b +=上的一点满足MF MF ⋅=参考答案：【详解】中点，连接,AE BE ，,,AB BC BD ABC ABD =∠=∠，≌ABD △，AC AD ∴=，AE ∴π,3BD DBC ∠=，BCD ∴△是边长为,26CD BE =，故选：C 8．DGGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线距离为定值，即可判断A；∠的平分线根据椭圆的对称性，AOB【详解】AI ：如图，作OM AB⊥于M，则点AB斜率不存在时，设直线AB设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，所以正四棱锥的体积13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--，故当0V '<，函数V 单调递减，因为2SA =，则()0,0,0A 、(S 设平面AMC 的法向量为(m x =则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取设()(2,22,22SP SC λλ==-=()(f x>恒成立．即2a-e<-时，不等式()0。
数学（理）答案2018.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请答案填在横线上. 13. 12e -14. 12- 15.1a ≥ 16.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17. 解: （Ⅰ）f(x)＝2sinx(32sinx ＋12cosx)＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin(2x －π3)＋32.函数f(x)的最小正周期为T ＝π由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间是[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， sin(2x －π3)∈[－32，1]，f(x)∈[0，1＋32]．所以当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[0，1＋32]． 18. 解：（Ⅰ）由 解得 所以（Ⅱ）19. 解:（Ⅰ）正弦定理得又（Ⅱ）在，根据余弦定理得即又又 ,20.解:（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ． ∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1． 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系： O xyz -，如图所示，则B (1，0，0)，D (-1，1，0)， A 1(0，2，A (0，0，B 1(1，2，0)，∴(11,2,AB =，()2,1,0BD =-，(1BA =-． ∴10AB BD ⋅=，110AB BA ⋅=，∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ． （Ⅱ）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ． 1,1,3()AD =--，1,2,0(0)AA =．∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n，∴020x y y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，0y x ==⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =得(3,,1)0=n 为平面A 1AD 的一个法向量．由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量，∴111cos AB AB AB ⋅-===⋅n n,n ． ∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为21. 解:（Ⅰ）证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．则()'2x f x e x =-，令()2x g x e x =-，则()'2x g x e =-，令()'0g x =，得l n 2x =．当()0,l n 2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x >∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=． （Ⅱ）()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，2x e a x ⇔=在()0,+∞有两个根，即函数y a =与()2xe G x x=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3e 2'x x G x x -=，当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递减当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增所以()G x 最小值为()2e 24G =， 当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，错误！未找到引用源。
BC7 7 132= 7中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．2 14．n 2+n 15．30 16． (- ∞,1)三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分。
17．（12 分）（1） AB = 3， AC =1， ∠A = 60 ，所以由余弦定理可知，BC 2 ， .......3 分.根据正弦定理， 3 s in ∠ACB ,∴sin ∠ACB = 314 2........6 分（2） AB2AC 2 BC 2 ，ACB 为钝角，则c os ∠ACB = - = - ......8 分 14，在∆ACD 中，根据余弦定理，AD2.....10 分求得 AD....12 分32 12 -2 3 1 cos60 3 21⎛ 3 21 ⎫21-⎝ 14 ⎪ ⎭ AC 1,CD7 2127 2 2-2 1 7 2- 7 14⎬ ⎭ 18.（12 分）（1）取 PC 中点 F ， E 是 PD 的中点，∴ EF // CD ，又由题意知Q 是 FC 的中点，M 是 EC 的中点，∴ EF //QM ，...........2 分∴ QM //CD // AB .又QM ⊄ 平面PAB , AB ⊂ 平面PAB ，∴ QM // 平面PAB ............4 分方法一：（2）当∠PBA = 45 时，存在线段 PC 上的中点 F ，使得 EF //平面 P AD ，且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立。
BC 713 2中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．2 14．n 2+n 15．30 16． (-∞,1)三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分。
17．（12 分）（1） AB = 3， AC =1， ∠A = 60 ，所以由余弦定理可知，BC 2 ， ............... 3 分.根据正弦定理， 3 = s in ∠ACB 7 ,∴sin ∠ACB = 3 142........6 分（2）AB 2 AC 2 BC 2 ， ACB 为钝角，则7 c os ∠ACB = - = - 8 分 14，在∆ACD 中，根据余弦定理，AD 2.....10 分求得 AD ................. 12 分32 12-2 3 1 cos60 3 211-⎝ ⎛ 3 21 ⎫214 ⎪ ⎭ AC 1,CD7 2127 2 2-2 1 7 2- 7 14⎬ ⎭ 18.（12 分）（1） 取 PC 中点 F ， E 是 PD 的中点，∴ EF // CD ，又由题意知Q 是 FC 的中点，M 是 EC 的中点，∴ EF //QM ，.... 2 分∴ QM //CD // AB .又QM ⊄ 平面PAB , AB ⊂ 平面PAB ，∴ QM // 平面PAB ............4 分方法一：（2）当∠PBA = 45 时，存在线段 PC 上的中点 F ，使得 EF //平面 P AD ，且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立。
2 PF , PFA 60 30⎨ ⎩中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数 z 满足(1- i )2+ z (1 - i ) + i = 0 ，则 z =（）⎧x + 2 y - 4 ≤ 0 9．若实数 x,y 满足⎪x - y -1 ≤ 0 ⎪x ≥ 1，则 x 2 + ⎛y - ⎝1 ⎫2⎪ ⎭的取值范围是（ ）2．已知集合 A = {x | log x < 2}, B = {x | 1≤ 2x ≤ 8}，则 A B =（ ）10．在[-4, 4] 上随机地取一个数m ，则事件“直线 x - y + m = 0 与圆(x-1)2+ y 2 = 2 有公共点”发生的概率为（ ）3. 将 420 名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本，且随机抽得的号码为 005．这 420 名工人来自三个工厂，从 001 到 200 为 A 工厂，从 201 到 355 为 B 工厂，从 356 到 420 为 C 工x 2y 211．已知 P 为双曲线C :1 （a > 0,b > 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F (4 3, 0) 为其右焦点，满足 厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（）A ．28，23，9B ．27，23，10C ．27，22，11D ．28，22，104. 已知公差不为0 的等差数列{a n } 的首项 a 1 = 3 ，若 a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列，则{a n } 的前 5 项之和为（ ）a2b 2AF ，则点 F 到 PA 的距离为（ ）A ． -23B ． -25C ． -43D ． -455. 设曲线 y = ax 2- b ln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x - 2 ，则a,b 的值分别为（ ）A ．2,1 B ． 2, 1C ．3,1 D ． 3, 112．在三棱锥 A- BCD 中，BC = BD = AC = AD =10 ， AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = ，设异面直线 BP 与 CD 所成角为α ，则sin α 的最小值为（ ）6. 在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若2AE = ED ，则OE = （）3 10 10 A.B ．10 102 5 5 C ． D ．557. 已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm 2A ．9 + 9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．x 2 2, x 0y = f (x ) - xB. 9 +1813. 已知函数 f (x )2x ，则6 ln x , x 0的零点个数为．C ．18 14. 已知数列{a } 满足a= 2 ， (n -1)a = na + n (n -1)(n ≥ 2) ，则{a } 的通项公式为．n1nn -1nD ．278. 设抛物线 C ： y2= 4x 的焦点为 F ，直线l 过 F 且与抛物线 C 交于 A , B 两点．若 AB=（ ）16 ，且 AF 3> BF ， 则15. 某校开设A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．16. 已知函数 f (x ) = ln(x +1)(x > 0) 与 g (x ) = 2x- a 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是．A ． 1 + 1i2 2B ． 1 - 1 i2 2 C ． - 1 + 1i2 2 D ． - 1 - 1i2 22 AFBF2 A ．[-1,3] 2 2 B ．(0,3]C ．[-1,4)D ．(0, 4)A ． 1 BA + 1BC2 6B ． 1 BA - 1BC2 6 C ． - 1 BA + 1BC2 6D ． - 1 BA - 1BC2 6A ．3B ． 52C ．2D ．4A ． [1,2]B ． ⎡⎢ 5 ,2⎤⎥⎣ 4 ⎦ C ． ⎡ 5 ,17 ⎤⎢⎣ 4 4 ⎥⎦D ． ⎡ , 17 ⎤⎢1⎥ ⎣ 4 ⎦A ． 14B ． 13C ． 12D ． 235 3 A ． 2 B ． 7 2 7 3 C ． 2D ．152y 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．17．（12 分）在∆ABC 中， AB = 3 ， AC =1 ， ∠A = 60．清题号．22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）⎧2⎪ x = -2 + 2 t （1） 求sin ∠ACB ；（2） 若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎨ ⎪y = -4 + 2 t ⎩ 2（ t 为参数），点 M (-2, -4) .以坐标原点为极点，x 轴18．（12 分）如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD为矩形，E 是 PD 的中点，M 是 EC 的中点，点 Q 在线段 PC 上且 PQ =3QC ．（1） 证明 QM //平面 PAB ；（2） 当∠PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥平面 PAD 且 EF与平面 PBC 所成角为 45°同时成立？19．（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得a 分，取出一个白球得b 分，取出一个黑球得c 分，其中 a ，b ，c 都为正整数．（1） 当 a =1，b = 2 ，c = 3时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量ξ为取出此 2 球所得分数之和，求ξ 的分布列；（2） 当a =1时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量η 为取出此球所得分数．若E η = 5 ， D η = 5，求b 和c ．正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ sin 2 θ - 2a cos θ = 0 (a > 0) ．（1） 当a =1时，求曲线C 的直角坐标方程；（2） 设曲线C 与直线l 交于点 A , B ，若| AB |2=| MA | ⋅ | MB | ，求 a 的值．23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）已知 f (x ) =| x + 2 | -| ax - 3|．（1）当a = 2 时，求不等式 f (x ) > 2 的解集；（2）当0 < a ≤ 3 时，若 x ∈(0, 2) ，求证： f (x ) > x -1 ．320．（12 分）设椭圆C : 9 x 2 + 24= 1 的右焦点为 F ，过点(m ,0) （| m |≥1）作直线l 与椭圆C 交于 A , B 两点，且坐标原点O (0,0) 到直线l 的距离为 1．（1） 当m =1时，求直线 AF 的方程； （2） 求∆ABF 面积的最大值．21．（12 分）已知函数 f (x ) = ln(ax +1) -2ax- 2ln 2 + 3（ a > 0 ， a 为常数， x > 0 )（1）讨论 f (x ) 的单调性；x + 2 2（2）当0 < a ≤ 3时，求证： f (x ) ≥ 0 ．2第 18 题。
中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2 14．n 2+n 15．3016．()1,∞−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分。
17．（12分）（1） 3=AB ，1=AC ， 60=∠A ，所以由余弦定理可知，22231-231cos60BC ，7BC .......3分.根据正弦定理，14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 （2）222AB AC BC ，ACB 为钝角，则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD，在ACD ∆中，根据余弦定理，2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.（12分）（1）取PC 中点F ， E 是PD 的中点，∴CD EF //，又由题意知Q 是FC 的中点，M 是EC 的中点，∴QM EF //，...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面， ∴PAB QM 平面// ............4分方法一：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下：由（1）知，当F 为PC 中点时，AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形，∴AD AB ⊥，∴PAD AB 平面⊥，∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥，BC AB ⊥，∴PAB BC 平面⊥，∴PAB PBC 平面平面⊥，∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角，∴45PBA............12分方法二：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 已知，0），，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．2. 圆锥曲线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将化成，即，即该圆锥曲线的直角坐标方程为，其准线方程为，即；故选D.3. 设函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，则，当时，，则，综上：或.选D.【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点，经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等，是高考的热点之一.4. 函数的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意，得；故选A.5. 已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则= （）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.6. 已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设内接圆柱的底面半径为，母线长为，则，即，则该圆柱的全面积为，因为，所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.7. 已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】设这个四个根为,则所以8. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意设该双曲线方程为，且，，的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D.点睛：在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量.9. 若为所在平面内任一点，且满足，则一定是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，即，即是等腰三角形；故选B.10. 已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则的取值范围是（）A. （，1）B. （，）C. （，）D. （，）【答案】C【解析】设B=x，∠B=θ，则C=1-x，∠C、∠D、∠A均为θ，∴tanθ=．又tanθ=，∴．而tanθ=，∴．又tanθ=,∴．依题设1＜＜2，即1＜＜2，∴4＜＜5，<x<．∴<tanθ<，故选C11. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )A. B. C. D.【答案】A..................点睛：在处理本题时，利用题意和合理构造是关键.12. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.考点：球内接多面体第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13. 的展开式中系数是___________【答案】【解析】试题分析：的展开式的通项为，令，得，所以含的项的系数为.考点：二项式定理.14. 使成立的的取值范围是___________【答案】（-1，0）【解析】在同一坐标系中分别画出函数和的图象（如图所示），由图象，得使成立的的取值范围是；故填.15. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种（以数字作答）【答案】72【解析】由题意可知，当选用三种颜色着色，由乘法原理种方法，当选用四种颜色时，由乘法原理则种方法，再据加法原理可得种方法．点睛：涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析：以颜色为主分类讨论，适用于区域，点，线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．16. 下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是______________（写出所有符合要求的图形序号）【答案】①④⑤解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BA l D，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CB l D l内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17. 已知数列中，，其前项的和为，且满足.(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；(Ⅱ) 证明：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用进行化简，再利用等差数列的的定义进行求解；（Ⅱ）利用裂项抵消法求和，再利用放缩法进行证明.试题解析：（Ⅰ）当时，, ，，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，..点睛：裂项抵消法是数列求和的常见方法，主要适用于以下题型：18. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心(Ⅰ)求与平面ABD所成角的余弦值(Ⅱ)求点到平面的距离【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线面角的定义找出线面角，再利用解直角三角形进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，再利用利用面面垂直的性质作出线面垂直，得到点到平面的距离.试题解析：（Ⅰ）连结，则是在的射影，即是与平面所成的角.设为中点，连结，∵分别是的中点，又平面，则为正方形，连接，是的重心，且，在直角三角形中，，，，，即（Ⅱ），又，即平面平面，作，垂足为，所以平面，即是到平面的距离，在三角形中，，则到平面的距离为。
