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北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（一）（一模）一、选择题(共45分)本部分共15题，每题3分，共45分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1.某同学在一幅“极地为中心的半球图”中发现了有不少错误。
你认为错误有A. 2处B. 3处C. 4处D. 5处『答案』D『解析』『详解』图中热带范围以30°N为北界，而按地球上五带划分，热带应以北回归线为北界，这是错误一；图中北印度洋沿岸的夏季风由西南风转为西北风，而当地夏季风为西南风，这是错误二；地球上东西半球以20°W、160°E为界，而图中以0°、180°经线为界，这是错误三；北极圈以内的大洋为北冰洋，而图中大西洋标注范围涉及到北冰洋范围内，这是错误四；图中位于东南亚的加里曼丹岛标注为南美洲，这是错误五。
因此图中错误有5处，D符合题意，排除A、B、C。
故选D。
2.海口、杭州、西安、沈阳四地的学生合作，测得四个日期当地正午时直立在平地上等长竹竿的影长及朝向，并绘制了示意图。
下列正确的是A. B.C. D.『答案』B『解析』『详解』海口、杭州、西安、沈阳四地，只有海口位于北回归线以南，因此正午竹竿影子朝向，只有海口有可能朝向南方，其余三地一年中竹竿影子正午朝向只能朝向北方，ACD错，B正确（B这种情况是：太阳直射点所在纬度位于海口所在纬度以南，所以四地的竹竿影子均朝向当地北方，并且当日正午太阳高度角从大到小为海口＞杭州＞西安＞沈阳，正午太阳高度角越小，正午竹竿影子越长，所以四地正午竹竿的影长从大到小的排序为沈阳＞西安＞杭州＞海口），故选B。
3.左图为福建省7月气温分布(单位:℃)，右图为M地年内各月气温和降水量分布图。
图中A. M地气温高于N地，地势低于N地B. M地森林防火重点时期是冬、春季C. 因海水比热容大，N地夏季增温慢D. 地势最大高差大约为3000米『答案』C『解析』『详解』N地更靠近沿海，地势低于M地（结合所学地理知识可知，M地应位于武夷山区附近），A错；根据M地年内各月气温和降水量分布图可知，冬春季节该地气温相对较低，并不是森林防火的重点时期（夏秋季节，如7～9月前后，受副热带高气压的影响，降水相对较少，同时气温较高，应为森林防火的重点时期），B错；N地位于沿海地区，受海洋的影响更强，因海水的比热容大，夏季增温较慢，C正确；图中山地和平地等温线温差范围是4-8℃，高差在667-1334米左右，不到3000米（福建省位于我国第三级阶梯，该区域最低海拔位于海岸线附近，约为0m，福建省缺少海拔超过3000m的高山），D错。
2024北京东城高三一模地理（答案在最后）2024.4本试卷共12页，共100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共45分)本部分共15小题，每小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
请将所选答案前的字母，按规定要求填涂在答题卡第1~15题的相应位置上。
(每小题3分，选对一项得3分，多选则该小题不得分。
)位于广东省汕头市的南澳岛海岸多为岩石陡岸，岛上的“自然之门”是我国北回归线标志塔之一。
图1为南澳岛示意图，图2为“自然之门”景观图。
读图，回答第1、2题。
1.南澳岛A.纬度低，正午太阳位于正南方B.年降水总量大，季节分配均匀C.河流众多，内河航运比较发达D.低山丘陵为主，海岸地貌发育2.图2所示时刻大约为A.4时B.10时C.14时D.16时“透风”是明清宫廷建筑中常见的建筑设置，图3为故宫博物院大殿墙体“透风”设置示意图。
读图，回答第3题。
3.“透风”设置主要利用的原理及作用分别是A.大气热量平衡提高大殿内冬季温度B.大气保温作用增加大殿内光照面积C.大气热力环流减少墙体内木柱糟损D.大气削弱作用降低墙体内空气密度热带气旋“弗雷迪”入选2023年国外十大天气气候事件。
图4为“弗雷迪”移动路径示意图。
读图，回答第4、5题。
4.热带气旋“弗雷迪”A.生成于南印度洋东部的热带洋面B.逆时针旋转，中心气流辐合上升C.受南赤道暖流推动不断向西运动D.2月19日势力最强，之后逐渐减弱5.图示天气系统A.标志着澳大利亚进入水循环活跃季节B.引发马达加斯加滑坡、泥石流灾害C.加快了大洋洲到非洲船只航行速度D.导致马拉维遭受了风暴潮灾害袭击图5为我国某地地质剖面示意图。
读图，回答第6题。
6.图中A.甲处地表喀斯特地貌广泛发育B.乙处山峰因火山喷发形成C.丙处断层发生在砂岩形成之后D.丁处物质直接来源于地幔图6示意我国某山地植被随海拔的分布格局。
北京市东城区2019-2020学年中考地理一模考试卷一、选择题（本题包括25个小题，每小题2分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．读亚欧大陆分布图，图中四地气候类型搭配正确的是( )A．A地—乙B．B地—丙C．C地—丁D．D地—甲【答案】A【解析】【分析】亚洲大陆跨寒、温、热三带，气候的主要特征是气候类型复杂多样、季风气候典型和大陆性显著。
东亚东南半部是湿润的温带和亚热带季风区，东南亚和南亚是湿润的热带季风区，中亚、西亚和东亚内陆为干旱地区。
大陆性气候强烈，亚洲是世界大陆性气候最强烈的大洲。
主要表现在冬季寒冷、夏季暖热，春温高于秋温，气温年较差大。
气温和降水是组成气候的两个基本要素，判断气候类型，先根据最低月均温，判断所在的温度带，再根据降水分布确定气候类型，其顺序是先“以温定带”，再“以雨定型”。
【详解】读图分析可知：甲气候冬季温暖，夏季凉爽，全年湿润，为温带海洋性气候；乙气候全年炎热，一年分为旱雨两季，为热带季风气候；丙气候冬季温暖湿润，夏季高温多雨，为亚热带季风气候，丁气候冬季寒冷干燥，夏季高温多雨，为温带季风气候。
A地为中南半岛，气候为热带季风气候，B地位于地中海沿岸，为地中海气候，C地位于我国南方地区，为亚热带季风气候，D位于亚洲大陆内部，为温带大陆性气候，所以A对应正确。
故选：A。
【点睛】本题主要考查亚洲气候的分布和气候图的判读，理解解答即可。
2．治理黄河的根本措施是( )：A．开展水土保持综合治理B．河床清沙C．建设大型水库D．加固黄河大堤【答案】A【解析】【分析】黄河中游穿行于土质疏松、植被稀少的黄土高原，在夏季暴雨的冲刷下，黄土高原水土流失严重，进入黄河的泥沙近90%来自于中游流域。
【详解】“治黄”的关键在于“治沙”，一方面在上、中游，特别是黄土高原地区，大力开展水土保持工作，控制水土流失，减少泥沙下泄；另一方面在下游修堤筑坝，加固黄河大堤。
北京市2020年高三下学期地理测试题及答案（考试时间：60分钟试卷满分：100分）第一部分（选择题共44分）本部分共11小题，每小题4分，共44分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
光刻机被誉为集成电路产业皇冠上的明珠，是制造手机、电脑等电子芯片的关键机器设备。
荷兰阿斯麦公司是全球最大的半导体设备制造商之一，向全球复杂集成电路生产企业提供领先的综合性关键设备，占据了高达80%的高端光刻机市场份额，创造了“一台机器卖一亿美元”的神话。
我国光刻机基本靠进口。
下图为荷兰阿斯麦公司高端光刻机示意图。
据此完成1?2题。
1. 荷兰阿斯麦公司高端光刻机价格高昂主要原因是（）A.市场需求大B.年产量少C.国家政策影响D.运输成本高2. 为减轻我国光刻机对国际市场的依赖，从长远看应该（）A.政府间加强交流与合作B.创立新的光刻机技术标准C.加大科技投入，自主研发D.多渠道购买国外的光刻机柬埔寨的洞里萨湖是个水量季节变化很大的湖。
洞里萨湖北部的吴哥通王城两边有两个巨大的长方形人工湖——西池和东池。
这两个水池并不是在地面挖坑形成，而是在地面上四面筑起土墙形成高于地面的水库，是著名的古老的灌溉工程。
读图，完成下列3?5题。
3. 这两个地上水库最主要的补给水源是( )A. 雨水B. 地下水C. 湖泊水D. 人工提水4. 这两个地上水库能有效发挥灌溉作用的时间是( )A. 2～6月B. 5～9月C. 8～12月D. 11～次年4月5. 当洞里萨湖沿岸地区水稻种植面积最广时，下列作物的种植面积在我国也达到最广的是( )A. 甘蔗B. 油菜C. 棉花D. 花生读“某地生态产业示意图”,回答6～7题.6. 图中箭头( )A.①表示秸秆、沼气等供给养殖业B.②表示粮食、蔬菜等供给农户C.③表示果品、肉和蛋等供给食品加工D.④表示饲料、花卉和粮食等供给市场7. 实现当地农业可持续发展的有效措施有( )①开垦草场,增加畜产品种类②使用化肥,提高农产品产量③发展食品加工业,延长产业链④采用清洁能源,发展循环经济A.①②B.①③C.②④D.③④下图所示盆地某沙漠年平均降水量不超过150mm，冬季稳定积雪日数在100-160天，积雪深度可达20cm以上，其植被覆盖率较我国其他沙漠高。
北京市东城区 2019—2020 学年度第二学期高三综合练习（一）地理 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共 10页。
满分 100 分，考试时间 90分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、 教育 ID 号涂写在答题卡上。
第一部分用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能作答在试卷上。
请在答题卡上作答，考试结束后，将答题卡交监考老师收回。
第一部分 选择题（共 45分）本部分共 15小题，每小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
请将所选答案前的字母，按规 定要求填涂在答题卡第 1～15题的相应位置上。
（每小题 3分，选对一项得 3分，多选则该小题不得分。
） 北京密云白河峡谷山高谷深，冬季雪后，景色别致（如图 1所示）。
据此，回答第 1、2 题。
之一，也是湖北武陵山区最大的富硒土豆主产区。
3. 恩施地区广泛种植富硒土豆的主要优势条件有①纬度高，光照较充足②黑土广布，土壤富硒 ③政策和农业技术支持④山区垂直分异较明显A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④ 4. 本次恩施地区土豆能够快速销售的最主要原因是A. 富硒土豆品质优良B. 网络信息通达度高C. 低等级商业网点多D. 恩施地域文化独特5. 此次“贝店”富硒土豆销售活动给恩施地区带来的影响主要有①提高了富硒土豆知名度 ②实现了脱贫致富③促使城镇数量明显增加 ④增加了农民收入A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④研究发现，南极洲封冻是新生代（距今 0.66 亿年至今）以来全球“冰室效应”的缩影。
中生代时期（距今2.52 亿年— 0.66亿年），二氧化碳浓度长期保持较高水平，全球气候普遍温暖。
当新生代造山运动发1. 密云白河峡谷地貌形成的外力作用主要为 A. 冰川侵蚀 B. 流水侵蚀 C.2. 峡谷中河面更容易结冰的是 A. 凸岸边 B. 凹岸边 C. 2019 年 8 月 22 日，杭州知名社交电商平台“贝店”豆”吉尼斯世界纪录。
北京市东城区2019—2020学年度第二学期高三综合练习（一）地理本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共10页。
满分100分，考试时间90分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、教育ID号涂写在答题卡上。
第一部分用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能作答在试卷上。
请在答题卡上作答，考试结束后，将答题卡交监考老师收回。
第一部分选择题（共45分）本部分共15小题，每小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
请将所选答案前的字母，按规定要求填涂在答题卡第1～15题的相应位置上。
（每小题3分，选对一项得3分，多选则该小题不得分。
）北京密云白河峡谷山高谷深，冬季雪后，景色别致（如图1所示）。
据此，回答第1、2题。
1.密云白河峡谷地貌形成的外力作用主要为A.冰川侵蚀B.流水侵蚀C.流水堆积D.风力侵蚀2.峡谷中河面更容易结冰的是A.凸岸边B.凹岸边C.河心区D.深水区2019年8月22日，杭州知名社交电商平台“贝店”成功创造“24小时单一网上平台销售最多土豆”吉尼斯世界纪录。
“贝店”此次销售的土豆全部来自恩施土家族苗族自治州，该州是全国特困地区之一，也是湖北武陵山区最大的富硒土豆主产区。
据此，回答第3～5题。
3.恩施地区广泛种植富硒土豆的主要优势条件有①纬度高，光照较充足②黑土广布，土壤富硒③政策和农业技术支持④山区垂直分异较明显A.①②B.①④C.②③D.③④4.本次恩施地区土豆能够快速销售的最主要原因是A.富硒土豆品质优良B.网络信息通达度高C.低等级商业网点多D.恩施地域文化独特图15.此次“贝店”富硒土豆销售活动给恩施地区带来的影响主要有①提高了富硒土豆知名度②实现了脱贫致富③促使城镇数量明显增加④增加了农民收入A.①②B.①④C.②③D.③④研究发现，南极洲封冻是新生代（距今0.66亿年至今）以来全球“冰室效应”的缩影。
16.（11分）北京某校学生到黑龙江省五大连池地质公园展开研究性学习。
阅读图文资料，回答下列问题。
活动一：学生在网上查询到五大连池位于小兴安岭山地向松嫩平原的过渡地带，1719～1721年间，火山喷发，熔岩阻塞河道，形成五个相互连接的湖泊，因而得名五大连池。
图8为五大连池景区示意图。
同学们计划登上老黑山，手机下载了该地的等高线地形图（图9）。
（1）沿山顶环线绘制地形剖面图。
（4分）活动二：同学们在老黑山附近考察，发现了一种神奇的自然现象：很多泉水像是开了锅一样沸腾着，摸上去却冰冷刺骨，这就是传说中水温常年在3～5℃的冷泉水。
（2）说明该地冷泉的形成原因。
（4分）活动三：同学们为了了解五大连池地质公园的旅游发展现状，对景区工作者和游客进行了访谈和问卷调查。
结果发现，老黑山景点对游客的吸引力较高。
（3）推测老黑山景点对游客吸引力较高的原因。
（3分）17.（8分）图10为2020年我国部分地区春播期预测图（数据来源：中央气象台）。
读图，回答下列问题。
（1）描述图示地区春播期的分布特点并指出主要影响因素。
（4分）未来10天（2月29日至3月9日），我国大部分地区气温偏高1～3℃，利于北方冬小麦返青生长、南方夏收粮油作物生长发育及西北地区和华南春耕春播；南方大部地区降水偏多，利于库塘蓄水。
但江南和华南大部地区多阴雨及局地强对流天气对油菜抽薹开花和早稻播种育秧不利。
——摘自中央气象台微博“萌台报天气”（2）推测2月29日至3月9日我国大部分地区气温偏高、南方大部地区降水偏多的原因。
（2分）（3）说明江南和华南地区的降水状况对油菜、早稻生长产生不利影响的原因。
（2分）18.（8分）读图文资料，回答下列问题。
巴楚留香瓜是新疆巴楚当地最著名的水果。
学名为“库克拜热甜瓜”,性喜高温、干燥和充足的阳光。
其生长周期为4个月，储藏时间长达3个月以上，果皮坚韧耐储运。
“库克拜热”就是绿瓤的意思,其口感香、脆、甜,带着清新的香草味,水分充足，生产过程不打农药、催熟剂。
2024届高三下学期一模考试地理试题（含有答案解析）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。
2.每小题选出答案后，填入答题卡答题栏中。
3.考试结束，考生只将第Ⅱ卷交回，第Ⅰ卷自己保留。
第Ⅰ卷（选择题48分）一、单项选择题（共16小题，每小题3分，共48分）。
％）的数下图为近年我国部分城市经济增速（ΔGDP％）与碳排放增速（ΔC02据图，据此完成下面小题。
1. 从可持续发展原则看，下列城市中碳排放与经济发展协调程度最高的是（）A. 武汉B. 乌鲁木齐C. 沈阳D. 深圳2. 为推动城市经济绿色低碳发展，可采取的主要措施有（）①控制GDP增长②优化资源配置③增加能源供给④研发节能减排技术A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】1. D 2. D【解析】【1题详解】由图中信息可知，深圳最符合GDP增速快且碳排放增速较低，碳排放与经济发展协调程度最高，D正确；武汉GDP增速快但碳排放增速较高，乌鲁木齐、沈阳的GDP增速较慢，三个城市碳排放与经济发展协调程度较低，ABC错误。
所以选D。
【2题详解】城市经济要绿色低碳发展，应该是GDP增长与低碳环保并行，不能控制GDP增速，①错误；优化资源配置可以减少高耗能产业的投入，加大绿色低碳产业的投入，②正确；增加能源供给不利于实现绿色低碳，③错误；研发节能减排技术，可以减少碳排放量，推动城市经济绿色低碳发展，④正确。
所以选D。
【点睛】低碳经济是指在可持续发展理念指导下，通过技术创新、制度创新、产业转型、新能源开发等多种手段，尽可能地减少煤炭、石油等高碳能源消耗，减少温室气体排放，达到经济社会发展与生态环境保护双赢的一种经济发展形态。
低碳经济的特征是以减少温室气体排放为目标，构筑低能耗、低污染为基础的经济发展体系，包括低碳能源系统、低碳技术和低碳产业体系。
北京市2020届高三地理第一次学业水平合格性考试试题（含解析）第一部分选择题下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
读下图“不同级别的天体系统示意图”，完成下面小题。
1. 甲、乙、丙、丁代表的天体系统依次为A. 总星系、银河系、太阳系、地月系B. 太阳系、银河系、河外星系、地月系C. 地月系、银河系、太阳系、总星系D. 地月系、太阳系、银河系、总星系2. 以下叙述符合事实的是A. 地球是太阳系中的一颗行星B. 日地平均距离约1.5千米C. 月球是地球的一颗人造卫星D. 太阳系处于银河系的中心【答案】1. D 2. A【解析】【1题详解】图甲中月球绕地球旋转，构成地月系；地球距离太阳1.5亿千米，与其他七大行星一起绕太阳公转，因此图乙为太阳系；太阳系位于外观呈“铁饼状”的银河系之中，因此丙为银河系；银河系与河外星系共同构成总星系，因此丁为总星系。
故D正确。
【2题详解】A、地球与水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星一起绕太阳公转，是太阳系中的一颗行星，A正确；B、日地平均距离约1.5亿千米，而非1.5千米，B错误；C、月球是地球的卫星，是自然天体，而非一颗人造卫星，C错误；D、太阳系是银河系的一部分，距银心(银河系的核心)2.5万光年，在猎户旋臂(银河系的四大旋臂之一)附近，而非银河系的中心，D错误。
故选A。
【点睛】本题属基础性题目，较容易。
第二小题易错选成B答案，一字之差，解答时需仔细。
《汉书·五行志》中记载：“日出黄，有黑气大如钱，居日中央”。
据此完成下面小题。
3. 文中记载的现象是A. 耀斑B. 日食C. 日珥D. 黑子4. 该现象增多时，对地球的影响是A. 地表温度明显上升B. 干扰无线电短波通信C. 全球频发强烈地震D. 大气逆辐射作用增强【答案】3. D 4. B【解析】【3题详解】“日出黄，有黑气大如钱，居日中央”中“黑气”为太阳黑子，出现在太阳的光球层。
北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。
