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大学物理第二章-行波-波动方程

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大学物理波动方程

大学物理波动方程

4
波线: 沿波的传播方向作的 有方向的线。 波前: 在某一时刻，波传播 到的最前面的波面。
波面 波线
波面
波线
球面波 z
波面
x
y
波线
平面波
柱面波
5
注意 在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。
三、波长
周期
频率和波速
波长（） : 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间
的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 。波长反映了波的空间周期性。
T 4s
2m
u 0.5 m s 1
2 rad s 1 T 2 y0 0.5 cos( t ) t=0原点0: 2 2 2
20
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
1
横波 波的传播方向 质点的振动方向 特点：具有波峰和波谷 纵波 波的传播方向 质点振动方向 特点：具有疏密相间的区域
下面以横波为例观察波的形成过程
2
t 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
静止
T t 4
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至4
T t 2
1 2
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
可得到
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[2π (t ) 0 ] t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] T

大学物理_波动及课后习题

大学物理_波动及课后习题
得

A 2
2 0 3
取 S点为坐标 原点，以
波的传播方向为 x 轴正方向。
2) 在 x 轴上任取一点 P, OP = x ,
y
o s
x
u
P
x
由于 P点相位落后
S点的时间为—— 于是得到波的表达式为 ：
x 2 y 8 10 cos[ (t ) ]m u 3
2
结论：
(1) 质元并未“随波逐流”
波的传播不是媒质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 t T /于“下游”某处出现 4 ---波是振动状态的传播
(4) 同相点----质元的振动状态相同
t T / 4 t 5T / 4 t T / 2
x
故
将
p
x
4m
s
D
x y 0.05 cos[3(t ) ](SI ) 2 3
x D 4m 代入波方程，得到 D点的
振动方程:
y D 0.05 cos[3(t 2) ](SI ) 3
(2). 以 S 点左方7m处的 O 点为坐标原点， 取 x 轴正方向向右，写出波方程及 D 点的 振动方程。 u
x / cm
0 0
5 yo cos( t ) 3
5 x y cos[ (t )] 3 10
方法2： 将波形倒退
6
得出 t 0 波形，再写方程！ …..
0 0
20.2 解：应用时间落后法，
可得
ξ 0 0.1 x x
x 0.1 y 0.05sin[1.0 4.0(t )] 0.8 0.05sin[(4.0t 5 x 0.5)] 0.05sin[ (4.0t 5 x 0.5)] 0.05sin(4.0t 5 x 2.64)

(完整版)波动方程

(完整版)波动方程

y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点

波动详解

波动详解
机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物 理量的波动。
虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有叠加性，都能 发生干涉和衍射现象，也就是说它们所具有波动的普遍性质。
除了机械波和电磁波都能发生干 涉和衍射现象外，实验中发现，电 子、质子和中子这些微观粒子也能 发生干涉和衍射。因此，微观粒子 也具有波动性。
波面——同相点组成的曲面。波阵面 波前 波线——表示传播方向的曲线。波射线
球面波（同心球形波面）
波线
平面波（平行平面波面）
可以证明： 球面波
A1 r
平面波
A 常量
§2-1 机械波 行波
§2-2 平面简谐波
Plane Simple Harmonic Wave
1. 简谐波 波速和波长
简谐波——各媒质质元作简谐运动的波。
固体：铁轨 长绳 弹簧；流体：水 空气
m1 m2 m3
F2 ,
F1 不平衡，使m时左时右
F1
F2
m
波源 m1 m2 m3
挤压/拉伸 §2-1 机械波 行波
横波与纵波
横波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波。
横向抖动绳端
光波
纵波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向在一条直 线上的波。 疏密波：空气中的声波
t
x u
Hale Waihona Puke （ tdt）
x
d u
x
于是得到
u d x 相速度（相速） dt
即，简谐波的波速就是相速。
说明： 波函数中的0 为原点处质元振动的初相。
设如果波沿x轴负向传播，“上游”在右“下游” 在左，t时刻x点的相位应是O点 t x u 时刻的相
位，即为 (t x u) 0 ，此时的波函数应为

波动方程和行波法剖析课件

波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。

《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案

《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案

2、一平面简谐波，波长为 12m，沿 Ox 负向传播。如图所示为原点处质点的振 动曲线，求： （1）原点处质点的振动方程， （2）此波的波函数。
解：由题意得：振幅 A=0.4m，初始位置 y0 0.2 相为
2 ， 其对应旋转矢量如上图所示。 从图还可以看出 5s 后， 矢量转动的角度： 3 5 2 t 5 12 s ； ，则 ， T 3 2 6 6 2 ) m） 所以其振动方程为 y 0.4 cos( t （ 6 3 2 12 s ，波速 u 1( m / s ) ，又因传播方向为负， （2）由题意 12m ， T T 2 （ ] m） 所以波函数为： y 0.4 cos[ （t x） 6 3
答：振动是波动的基础，振动在空间的传播就形成波动。平面简谐波动方程是关 于时间和空间的函数， 而简谐振动方程只是关于时间函数；当平面简谐波动方程 中的空间变量 x 确定时，波动方程成为表述该点运动的振动方程。振动曲线是以 位移为纵坐标， 时间为横坐标做的曲线，描述质点在不同时刻离开平衡位置的位 移；波形曲线是位移为纵坐标，介质元空间位置为横坐标做的曲线，用来描述某 一时刻，波线上各个质元离开平衡位置的距离。 2、平面简谐行波波函数的表达式与哪些因素有关？总结求波函数的基本步骤。 答：平面简谐行波波函数与波的特征量：振幅、周期、频率、波速及其传播方向 有关， 此外与坐标原点、 计时起点的选择有关。 求波函数的基本步骤可以概况为： （1）选择一个参考点，根据已知条件确定出该参考点的振动方程； （2）选定坐标原点，选定正方向，建立坐标；
《大学物理 AII》作业
No.02 波动方程
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

第二章波动方程资料


注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)

波动方程_精品文档

u
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0

第2章波动方程

引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。

《大学物理(下)》第二章 行波


P 点振动的相位 t 时刻 P点质元振动的表达式：
2

x
y A cos( t
2

x a )
y
x
o
●
u
P
●
x
2
y A cos( t

x a )
因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数 利用关系 2 ，u
F
F
⑵ 切变
S
F
S
d

D
F
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F d G G S D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
⑶ 体变
P
V
V V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图，
P K
以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
2.
波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质 元之间的距离叫做波长。记作 λ
λ
λ
纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长 横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”——包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。
3. 周期 T、频率 ν 与波长 λ 的关系 波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的相位，所传播的距离正好是一个波长。 如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度，
波传播是由于质元的形变，
对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？
横波
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3
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变
当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。
在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
20
2. 波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质
元之间的距离叫做波长。记作 λ
λ
λ
纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长
横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”——包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。
21
3. 周期 T、频率 ν 与波长 λ 的关系
波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。
18
在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离， 媒质的质元的振动状态在各时刻都相同
----质元的振动同相 表明波具有空间上的周期性。 引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。
19
λ
λ 2. 波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间
的距离叫做波长。记作 λ
从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长
为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系 以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。
波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。
波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。
波前： 波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的
各点构成的面,显然是一个同位相面，
由于这一波面在波传播方向的最前方，
所以又叫做波前或波阵面。
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻
于“下游”某处出现---波是振动状态的传播 (4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离
存在同相质元----质元的振动状态相同
15
5. 波的几何描述 波的传播是振动的传播而非质元的迁移， 由于振动状态常用位相来表示， 所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。
P K V V
以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
以 ΔV∕ V 表示相应体积的相对变化，
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
9
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
2
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。
5
⑴ 线变 胡克定律
l
l

S
F
F
在弹性限度内，应力和应变成正比。
F E l Sl E 为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同， 叫杨氏模量。
6
⑵ 切变 F

Fd

S
S
F
D
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图，这种形式的形变叫切变。
第二章 波动学基础
§2.1 行波
一．机械波的产生 二．描述波的物理量
§2 .2 平面简谐波
一．波函数 二．波动曲线
§2 .3 波动方程
作业：2.3、 2.6、2.7
1
第二章 波动学基础
振动在空间的传播过程叫做波动
机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等
变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。 如无线电波、光波、等
外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力
施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ф，
叫切变的应变。 d
D
7
F
⑵ 切变
S

Fd

S
F
D
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F G G d
S
D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
8
⑶ 体变
P
V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图，
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？ 10
2. 机械波的传播
11
按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为 3. 纵波和横波
横波 振动方向与波传播方向垂直的波。 如细绳中传播的波
纵波 振动方向与波传播方向在一条直线上的波。 如弹簧中传播的波以及声波
波传播是由于质元的形变， 对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？
4
⑴ 线变
F
l
l
S

F
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。
以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积， 则叫F∕S 叫做应力，以 l 表示棒的长度，
以 Δl 表示在外力 F 作用下的长度变化。 则 Δl∕l 叫相对长度变化，又叫应变
12
横波 从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分
横波只能在弹性固体中传播
13
纵波
在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。
纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播
14
4. 波的特征
(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流” 。
16
根据波前的形状不同， 波可分为平面波，球面波，柱面波。
波面
波
线
平面波
球面波
17
二．描述波的物理量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。