三线合一练习题

专题训练(六)__“三线合一”好解题►类型之一证明线段相等1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.图6－ZT－1[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝1∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E2＝30°.由此可得结论．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)∴∠DBE＝12∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角对等边)2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.图6－ZT－2[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．证明：过点A作AF⊥BC于点F.图ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.►类型之二证明两线垂直3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.图6－ZT－3[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD ＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.图ZT －6－24．如图6－ZT －4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上一点，∠DBC ＝12∠BAC.求证：AC ⊥BD.图6－ZT －4[解析] 首先过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，交BD 于点F.由AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE ＝12∠BAC ，又由∠DBC ＝12∠BAC ，在△ADF 与△BEF中，易证得∠ADF ＝∠BEF ＝90°，即可得AC ⊥BD.证明：如图ZT －6－3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.图ZT －6－3∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝12∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)又∵∠DBC ＝12∠BAC ，∴∠CAE ＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF ＝180°－∠2－∠CAE ，∠BEF ＝180°－∠1－∠DBC ， ∴∠ADF ＝∠BEF.∵AE ⊥BC ，∴∠BEF ＝90°. ∴∠ADF ＝90°.∴BD ⊥AC.► 类型之三 证明角的倍分关系5．已知：如图6－ZT －5所示，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，AE ＝ED ，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M ，∠F ＝∠MCD.求证：∠BAC ＝2∠MPC.图6－ZT －5[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE ＝12∠BAC ，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE ＝∠BAE.从而∠CDE ＝12∠BAC.然后在△MDC 和△MPF中证明∠MDC ＝∠MPF.进而得∠MPF ＝∠MDC ，∠MPC ＝∠CDE ＝12∠BAC 即可．证明：∵AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ，CE ＝BE.∵CE ⊥AE ，AE ＝ED ， ∴AC ＝CD.∴∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∵BC ⊥AF ，CE ＝BE ， ∴CM ＝BM. ∴∠CMA ＝∠BMA. 又∵∠BMA ＝∠PMF ， ∴∠CMD ＝∠PMF.又∵∠F ＝∠MCD ，∠MPF ＝180°－(∠F ＋∠PMF)，∠MDC ＝180°－(∠MCD ＋∠CMD)，∴∠MPF ＝∠MDC.∴∠MPC ＝∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∴∠BAC ＝2∠MPC.► 类型之四 证明线段的倍分关系6．如图6－ZT －6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 为BC 上一点，ED ⊥BC 于点E ，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.图6－ZT－6[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.图ZT－6－4方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)∵AG⊥BC，ED⊥BC，∴AG∥EF.∴∠F ＝∠CAG ，∠ADF ＝∠BAG . ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD ＝AF.7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT －7所示，过等边三角形ABC 的边AB 上一点P ， 作PE ⊥AC 于点E.Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连接PQ 交AC 边于点D. 求证：(1)PD ＝DQ ； (2)DE ＝12AC.图6－ZT －7[解析] (1)过点P 作BC 的平行线交AC 于点F ，通过证明△PDF 和△QDC 全等，可推出PD ＝DQ ；(2)由△APF 是等边三角形和PE ⊥AC ，可推出AE ＝EF ＝12AF.由△PDF 和△QDC 全等，可得出FD ＝CD ＝12FC ，进而可得DE 的长．证明：(1)过点P 作PF ∥BC ，交AC 于点F.图ZT －6－5∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. 又∵PF ∥BC ，∴∠APF ＝∠AFP ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴△APF 是等边三角形．∴PA ＝AF ＝PF. 又∵PA ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠Q. 在△PFD 和△QCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FPD ＝∠Q ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PDF ≌△QDC.(AAS) ∴PD ＝QD.(2)由(1)知PA ＝AF ，又∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ＝12AF.(等腰三角形的三线合一)由(1)知△PDF ≌△QDC ，∴FD ＝CD ＝12FC.∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12FC ＝12(AF ＋FC)＝12AC.。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。

变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。

AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。

求证：AD 垂直平分BG例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为图2分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。

证明：作ADL BC 于D, •/ AB=AC1••• BD BC2 1又••• CE BC ,2• - BD=CE在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，AB = AC, BD=CE• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。

• / ACE 玄 B例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。

分析：如图1，AB=ACEAC 90° / C ，/BD 丄AC 于D,作底边BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/2 ，90° / C ，所以例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE1— 。

21 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。

三线合一的习题（提高）第1关1．如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，EF 与AD 交于点G ．求证：AD 垂直平分EF ．请填空。

证明；∵AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴( )，∠AED ＝∠AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，{( )DE ＝DF ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），∴( )，又∵AG 是∠BAC 的角平分线，∴AG ⊥EF ，( )，∴AD 垂直平分EF ．①AD=AD ②AE ＝AF ③GE= GF ④ DE ＝DFA 、②①③④B 、②①④③C 、④①②③D 、④①③②1、 选C解析：根据角平分线的性质、全等三角形和等腰三角形三线合一即可证明结论． 证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，{AD =AD DE ＝DF， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ）∴AE＝AF，又∵AG是∠BAC的角平分线，AG⊥EF，GE= GF，∴AD垂直平分EF．第2关2如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．求证：AE＝BE+2CM。

证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴（）在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴（），∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∠DCE =45°∴DM＝ME，∠DCM＝∠ECM ＝12∴（）∴（）∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．①AD＝BE②DM＝ME＝CM③∠ACD＝∠BCE④∠CDE＝∠CED＝∠DCM＝∠ECMA、③①④②B、③②④①C、④①③②D、④②③①2、选A解析:证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，最后证出DM＝ME＝CM即可证得结论．证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∠DCE =45°∴DM＝ME，∠DCM＝∠ECM＝12∴∠CDE＝∠CED＝∠DCM＝∠ECM∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．。

等腰三角形及三线合一经典试题 难题1．等腰三角形的对称轴是（ ）2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°5．等腰三角形的一个内角为80，则另两个内角的度数为6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECC B ADEP ECAH FGEDCABHF10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ．12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．13．如图，中， ，试说明：．14.如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图315.已知，如图1，AD是∆ABC的角平分线，DE、DF分别是∆ABD和∆ACD的高。

1 / 4分析：如图1, AB 二AC, BD 丄AC 于D,作底边BC E 为垂足，则可知ZEAC=ZEAB=-a ,又Z2E4C = 90° - ZC, Zp = 90° - ZC,所以 ZEAC = p, P = *cc 。

例四.已知：如图 2, A ABC 中，AB 二 AC, CE 丄 AE 于 E, CE = - BC , E 在△/（：外，求证：ZACE 二 ZB 。

2分析：欲证ZACE=ZB,由于AC 二AB,因此只需构造一个与RtAACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著爼的等腰三角形“三线台一”性质。

"三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】 例1・ 如图所示，在等腰AABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证:BE=CEo 变式练习1-1如鮒 在Z\ABC 中，AB 二AC D 是形外一点 且BD 二CD 变式练习1-2已知，如图所示，AD 是△ABC, DE 、DF 分别 求证：AD 垂直平分EF 。

求证：AD 垂直平分BC 。

是Z\ABD 和ZXACD 的髙。

例二：如图ZkABC 中，AB=AG ZA=36° , BD 平分ZABC, 4,且ABDC 周长为24,求AE 的长度。

例三.等腰三角形顶角为ou —腰上的高与底边所夹的角 DE 丄AB 于E,若CD=系式为P二 是（3,则p 与a 的关上的高AE,/?2 / 4证明：作AD 丄BC 于D, VAB=AC, ••• BD = -BC2又-CE = -BC. •••BD=CE°在 RtAABD 和 RtZkACE 中，AB=AC> BD 二CE, /.RtAABD^RtAACE (HL)。

等腰梯形三线合一专项综合练习等腰梯形是指具有两边长度相等的梯形，三线合一是指将等腰梯形的面积、周长和内切圆半径联系在一起进行综合练的题目。

下面介绍一些常见的练内容。

一、求等腰梯形的面积等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算。

假设底边长度为$a$，高为$h$，则等腰梯形的面积$S$可以计算为：$S = \frac{(a + b)h}{2}$二、求等腰梯形的周长等腰梯形的周长可以通过各边长度来计算。

假设底边长度为$a$，上底边长度为$b$，两个斜边的长度分别为$c$，则等腰梯形的周长$C$可以计算为：$C = a + b + 2c$三、求等腰梯形的内切圆半径等腰梯形的内切圆半径可以通过底边长度和高来计算。

假设底边长度为$a$，高为$h$，则等腰梯形的内切圆半径$r$可以计算为：$r = \frac{h}{2}$四、综合练题示例以下是一个综合练题示例：已知一个等腰梯形的底边长度$a = 8$ cm，上底边长度$b =6$ cm，高$h = 5$ cm，请计算这个等腰梯形的面积、周长和内切圆半径。

解答：- 面积$S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(8 + 6) \times 5}{2} =35$ 平方厘米- 周长$C = a + b + 2c = 8 + 6 + 2 \times c$- 内切圆半径$r = \frac{h}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ 厘米综上所述，该等腰梯形的面积为35平方厘米，周长为$a + b +2c$，内切圆半径为2.5厘米。

以上是等腰梯形三线合一专项综合练习的简要介绍和示例题目。

通过练习这些题目，可以更好地理解和应用相关的概念和计算方法。

等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一. 直接应用“三线合一”例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。

求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD垂直平分EF例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。

由于有，，所以就想到用“三线合一”。

证明：过点D作DE//CK交BK于点E二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。

观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。

由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。

（2）欲证，只要证，即可但由（1）已证出又，故问题解决证明：连结AD。

D是BC的中点，DA平分，四边形PEAF是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。

证明：连结DM、CM，M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点，例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC分析：由BE 平分、容易想到：延长AE 交BC 于M ，可得等腰，E 为AM 的中点；同理可得等腰，F 是AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。

求证：AD 垂直平分EFA1 2EFB D C图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠=∠12，所以只要证∆AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB DF AC ⊥⊥， ∠=∠=12，AD AD∴≅∴=Rt AED Rt AFDAE AF ∆∆又∠=∠12∴AD 垂直平分EF例2. 如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3图2分析：可考虑作DE//CK 交AB 于E ，因为M 是AD 的中点，所以K 是AE 的中点，只要证E 是BK 的中点，问题可得到解决。

由于有AB AC =，AD BC ⊥，所以就想到用“三线合一”。

证明：过点D 作DE//CK 交BK 于点EAB AC AD BC =⊥， ∴=∴=BD DC BE EK ， AM MD AK KE =∴=， ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在∆ABC 中，∠=A 90，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。

观察DE 为∆BDE 或∆PDE的一边，DF 为∆DFP 或∆DFC 的边，但它们都没有全等的可能。

由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现∆∆AED CFD ≅或∆∆BDF ADF ≅问题得证。

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三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.1来自A求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD

等腰三角形三线合一练习题十一初中八班姓名：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= 0000A．10B.12.C.1D.20DC第3题图FDC第4题图第2题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。

CC第5题图B第7题图 F C第6题图7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．19、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?证：∠ACE=∠B。

10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BCBC，E在△ABC外，求2EADBC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACBEADGFMBCN三线合一专项练习一、选择题：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= A．10B.12.C.1D.20D第2题图C第3题图FDC第4题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。

等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。

求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.CEA D变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。

问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM N D C BA M ND CB A(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。

等腰三角形的三线合一的预习作业
分别作出以下三个三角形BC 边上的高，中线，角平分线。

在△ABC 中，AB=AC,请作出AC 边上的高、中线、角平分线。

课堂练习
1.等腰三角形的两底角相等（简写为“
”） 几何语言：∵
∴ 注意：前提条件是在同一个角三形中。

2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。

（简称为“
”） （1）∵
A B C B C A
A B C
A B C
∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中
点，∠B＝30°．求∠ADC和∠BAD的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上边的中线，BE⊥AC于点E，求证：∠CBE＝∠BAD．
3．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．。

专题训练等腰三角形三线合一姓名上。

在AD、∠BCD，且点EDC中，AB∥，BE、CE分别平分∠ABC例1：如图，四边形ABCD BC=AB+DC求证：。

AD边中点。

求证：CE⊥BE1，E是。

，，A＝90°AB＝2，BC＝3CD＝，∠：如图，变1AB∥CD变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.ADECBDNDM⑴若D为BC的中点，过D作,AB=AC.变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90。

°分别交⊥＝，求证：（1）DMDNMAB、AC于、N AMNCDB⊥DN分别和BA、AC延长线交于MDM、N。

问DM和DN有何数量关系。

⑵若M AC DBN(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．AEBCDFEF，且D为延长线上一点，且，EF交BC于点DACAB=AC(2)已知：如图，，E为AB上一点，F是求证：BE=CF．的中点．AECBDF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF ⊥相等吗？与于ABF，那么PD+PECF的关系又怎样，请你作变与CFPE点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、1：若P图，证明。

ＦＦ）41、已知等腰三角形的两边长分别为、9，则它的周长为（1322 C 17或 D A 17 B 22根据等腰三角形的性质寻求规律11的大小BOC相交于点中，例1．在△ABCAB=AC，∠O，如图，∠BD2=∠ACB，1=与∠CEABC，∠22A与∠的大小有什么关系？11∠ABC，∠2=∠ACB若∠ 1=，则∠BOC与∠A大小关系如何？3311若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明两部分，15和6，一腰上的中线ABC中，AB=ACBD?将这个等腰三角形周长分成例2．如图，等腰三角形求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1, AD是ABC的角平分线，DE DF分别是ABD和ACD的高。

求证：AD垂直平分EF例2.如图2, ABC中，AB= AC, AD为BC边上的高，AD的中点为M CM的延长线交AB于点K,求证：AB 3AK图1图2二.先连线，再用“三线合一”例3•如图3，在ABC中，A 90 , AB AC , D是BC的中点，P为BC上任点，作PE AB, PF AC，垂足分别为E、F求证：(1)DE= DF;( 2) DE DF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4.如图4,已知四边形ABCD中, ACB ADB 90 , M N分别为AB CD的中点，求证：MN CDC关系式为例 2.已知：如图2,A ABC 中， AB=AC CE1AE 于 E , CE -BC , E 在厶ABC 外，求 2 证：/ ACE 玄 B 。

LAE1)C 图2例3.已知：如图3，等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DML BC 于M,求证：M 是BE 的中点。

例5. ACB , 如图5, ABC 中，BC AE BE 于 E , AF CF 分别平分 CF 于 F ,EF BDBM AD EM AB AC ABC ABC CE CD DM BE BC 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是 BAC 2 DBC AD 图5EABC 和求证： 图1 ，则与的［练习］1.如图4,墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中， AB=AC BC 边的中点D 处有一个重锤，小明将 BC 边与木条重合, 观察此重锤是否通过 A 点，如通过A 点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？2.已知：如图5,在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC D 是AB 的中点，E 、F 分别在 AC 1BC 上，且ED 丄FD,求证：S 四边形 CEDF = — ABC O图5。

专训13.3.1.2三线合一的计算+证明一、单选题1．下面是教师出示的作图题．已知：线段a ，h ，小明用如图所示的方法作ABC ，使AB a =，AB 上的高CP h =．作法：①作射线AM ，以点A 为圆心、※为半径画弧，交射线AM 于点B ；②分别以点A ，B 为圆心、△为半径画弧，两弧交于点D ，E ；③作直线DE ，交AB 于点P ；④以点P 为圆心、⊕为半径在AM 上方画孤，交直线DE 于点C ，连接AC ，BC ．对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（）A ．※代表“线段a 的长”B ．△代表“任意长”C ．△代表“大于12a 的长”D ．⊕代表“线段h 的长”2．己知：等腰,ABC AB AC = ．求作：一点O ，使点O 到ABC 三边的距离相等．小明的作法是：（1）作ABC ∠的平分线BF ；（2）作边BC 的垂直平分线GH ；（3）直线GH 与射线BF 交于O ，点O 即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作ABC ∠的平分线BF ；（2）作ACB ∠的平分线CM ；（3）射线CM 与射线BF 交于点O ，点O 即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法．下列说法正确的是（）A ．小明对，小丽不对B ．小丽对，小明不对C ．两人都对D ．两人都不对3．如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝2，则BF 的长为（）A ．4B ．3C ．5D ．64．在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分ABC ∠B ．AD DC =C ．BD 垂直平分AC D ．2AB AD=5．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，点E 、F 分别是AD 的三等分点，若ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积为（）cm 2．A ．4B ．4.5C ．5D ．66．如图，在ABC 中，AC BC =，40A ∠= ，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40B ．45C ．50D ．607．如图，在△ABC 中，AB=AC ，在AB 、AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP=AQ ，再分别以点P ，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．若BC=6，则BD 的长为()A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．如图所示，在ABC 中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE BC =，PB 与CE 交于点H ，//PG AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ，下列结论：①2ACB APB =∠∠；②::PAC PAB S S AC AB = ；③BP 垂直平分CE ；④PCF CPF =∠∠，其中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图AD 是等腰ABC 的顶角的平分线，E 点在AB 上，F 点在AC 上，且AD 平分EDF ∠，则下列结论错误的是（）A ．BE CF =B ．BDE CDE ∠=∠C ．BED CFD Ð=ÐD ．∠=∠BDE DAE11．如图，在ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，DH 与BE 交于点G ．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①BDF CDA △≌△；②DH BC ⊥；③GD GH =；④2BF CE ＝．上述结论一定正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③④二、填空题12．已知ABC ∆中，AB AC =，50B ∠=︒，如果D 是边BC 的中点，那么CAD ∠=_____度．13．如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，若ABD 的周长为16，ABC 的周长为24，则AD 的长为_________．14．如图，在 ABCD 中，以A 为圆心，以AB 长为半径作弧，交AD 于点F ，连接BF ，再分别以B ，F 为圆心，以大于12BF 的长为半径作弧，两弧交于点G ，连接AG 并延长，交BC 于点E ，交BF 于点M ，则AMB ∠的度数为___________．15．如图，在ABC 中，10,12,CA CB AB AB ===边上的中线8,CD AE =平分BAC ∠，P 是线段AE 上的一点，,PF AB PG BC ⊥⊥，若:1:2PF PG =，则PG =_________．16．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，D 为BC 边上的中点，腰AB 的垂直平分线EF 交AD 于M ，交AC 于点F ，则BM +DM 的值为_____cm ．17．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE B ∠=∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．下列结论：①CDE BAD ∠=∠；②BD CE =；③当D 为BC 中点时，DE AC ⊥；④当ADE 为等腰三角形时，30BAD ∠=︒．其中正确的是______（填序号）．18．如图，在ABC 中，BA BC =，BH 平分ABC ∠，点P ，D 分别是BH 和AB 上的任意一点，设+=PA PD m ．（1）连接CD 交BH 于点E ，则m ______CD （填表示相等或大小关系的符号）；（2）若5BA BC ==，6AC =，4BH =，则m 的最小值是______．三、解答题19．如图，A ，D ，E 三点在同一直线上，12∠=∠，34∠=∠．（1）求证：AB AC =；（2）求证：AE BC ⊥．20．如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，AB 与OP 交于点E ．（1）求证：ΔOPA ≌ΔOPB ；（2）若AB ＝6，求AE 的长．21．如图，在ABC 中，,,26AB AC AD BC BAD =⊥∠=︒，且AD AE =，求AED ∠的度数．22．如图，已知AD 平分BAC ∠，//BE AD ，F 是BE 的中点，试说明AF BE ⊥的理由，【答案】见解析【分析】先由角平分线定义得出∠BAD =∠CAD ，再根据平行线的性质得出∠EBA =∠BAD ，∠E =∠CAD ，那么∠EBA =∠E ，由等角对等边得出AE =AB ，又F 是BE 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF ⊥BE ．23．如图﹐在ABC 中﹐AB AC =﹐D 为BC 的中点﹐点F 在AC 上﹐延长BA 至点E ﹐使AE AF =﹐求AD 与EF 之间的位置关系．24．如图在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且∠1＝∠2（1）说明△ADE ≌△BFE 的理由；（2）联结EG ，那么EG 与DF 的位置关系是，请说明理由．25．如图，ABC 中，AD 是边BC 上的高，CF 是边AB 上的中线，DC ＝BF ，点E 是CF 的中点．（1）求证：DE CF ⊥；（2）求证：2B BCF ∠∠＝．26．如图，在等腰三角形ABC 中，90CAB ∠=︒，8AB AC ==，D 是BC 边的中点，点E 在线段AB 上，从B 向A 运动，同时点F 在线段AC 上从点A 向C 运动，速度都是1个单位/秒，时间是t 秒（08t <<），连接AD 、DE 、DF 、EF ．（1）请判断EDF 形状，并证明你的结论．（2）以A 、E 、D 、F 四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含t 的式子表示．27．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．=；（1）求证：CE BF∠=∠．（2）求证：AEM DEM28．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使,B A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使,C B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．A B C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点,,的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在ABC中，BA=______________，D是CA的中点，CA DB∴⊥（______________）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．29．在△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上一个动点，连接AD，BE．（1）已知∠ABC＝∠C，线段AD与BE交于点O，且满足∠AOE＝∠AEO．①如图1，若∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，则∠EBC的度数为．（直接写出答案）②如图2，猜想∠BAD与∠CBE之间的数量关系，并证明．（2）如图3，AD，BE都为△ABC的高，点G，点F分别在线段AD和射线BE上，且满足AG＝BC，BF ＝AC，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥AB于点N，猜想FM，GN和AB之间的数量关系，并证明．30．已知△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，∠ADE =∠BAC =90°，P 为AE 的中点，连接DP ．（1）如图1，点A ，B ，D 在同一条直线上，直接写出DP 与AE 的位置关系；（2）将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C ，D ，P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE =∠ACP ；②连接BD ，交AE 于点F ．判断线段BF 与DF 的数量关系，并证明．31．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，8BC =．过B 作BD AB ⊥，且BD AB =，连结CD ，过点D 作BCD ∆的BC 边上的高DE ，易证ABC BDE ∆∆≌，从而得到BCD ∆的面积为_________．（2）（初步探究）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC a =，过B 作BD AB ⊥，且BD AB =，连结CD ．用含a 的代数式表示BCD ∆的面积并说明理由．（3）（简单应用）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，BC m =，过B 作BD AB ⊥，且BD AB =，连结CD ，求BCD ∆的面积（用含m 的代数式表示）．32．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）连结DF ，求证：AB 垂直平分DF ；（3）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．33．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 、AC 边上的点．（1）如图①，连接BE 、EF ，若∠ABE ＝∠EFC ，求证：BE ＝EF ；（2）如图②，若B 、E 、F 在一条直线上，且∠ABE ＝∠BAC ＝45°，探究BD 与AE 的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若AB ＝13，BC ＝10，AD ＝12，连接EC 、EF ，直接写出EC +EF 的最小值．34．钝角三角形ABC 中，90BAC ∠>︒，ACB α∠=，ABC β∠=，过点A 的直线l 交BC 边于点D ．点E在直线l 上，且BC BE =．（1）若AB AC =，点E 在AD 延长线上．①当30α=︒，点D 恰好为BC 中点时，补全图1，直接写出BAE ∠=________︒，BEA ∠=________︒；②如图2，若2BAE α∠=，求∠BEA 的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，若AB AC <，BEA ∠的度数与（1）中②的结论相同，直接写出BAE ∠，α，β满足的数量关系．。

又∵BD＝CD，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠B＝∠DAC. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(S. A. S. )，∴DE＝DF.
5. 如图，在△ ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC， E 是 AD 上一点，且 EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F， ∵EA＝EC， ∴AF＝12 AC，又∵AB＝12 AC，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE， 又 AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(S. A. S. )， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴即 EB⊥AB.
6. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC， ∠BAC＝90°，BF 平分∠ABC，CD⊥BD 交 BF 的延长线 于点 D，试说明：BF＝2CD.
解：如图，延长 BA、CD 交于点 E. ∵BF 平分∠ABC， CD⊥BF，
∴∠CBD＝∠EBD，∠CDB＝∠EDB＝90°，又∵BD ＝BD，∴△BDC≌△BDE，
∴BC＝BE. 又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD. ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(A. S. A. )， ∴BF＝CE＝2CD.
7. 如图，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且∠ABC ＝2∠C. 试说明：CD＝AB＋BD.
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
证明：连结 AD，∵AB＝AC，点 D 为 BC 中点， ∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°. 在△ ABD 中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°， ∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD.