第12讲 电磁感应

B lv cos
Rr
U 1 Ir (8 1.25 1)V 6.75V
3。平行金属导轨相距l = 0.3m，电池．电动势ε= 6V， 内阻不计，串联电阻R = 5Ω，匀强磁场方向垂直于纸 面向里．金属棒在磁场力作用下由静止开始向左 滑．设摩擦阻力f = 0.1N．为使金属棒速度有最大值vm， 磁感强度B应为多大?此时的vm为多大?
当线框绕ad边竖直站起来时，穿过线框的磁通量的变化 量为△φ2=B2l1l2-B1l1l2，所以 △φ2=RΔQ2，
(B2-B1)l1l2=RΔQ2
可解得
B 2R 2 l1 l 2
2
B
B1 B 2
2
2
Q 1 2 Q 1Q 2 2 Q 2
2
7.如图所示电路，无限长螺 线管（垂直图平面）中的电流 大小随时间线性增加，方向如 图中箭头所示。直流电源的电 动势等于包围螺线管回路的感 应电动势，均为ε . 1、2、3是三个完全一样的灯泡，其电阻均为R，电池内 阻为r（r《R），试问： （1）通过三个灯泡的电流强度各是多少？ （2）在图示电路中，用短路导线经螺线管右侧联结A、 B，通过每个灯泡的电流强度又如何？A、B两点哪一点 的电势高？ （3）在图示电路中，用短路导线经螺线管左侧联结A、 B，通过每个灯泡的电流强度如何？电池的端电压为多 少？A、B两点的电势哪点高？
解法一： 金属棒在水平方向上受到安培力和摩擦力的作用.随 着棒速度的增加，它两端的感生电动势ε’也增加．流过 棒的电流将减小，它受到的安培力也将减小．当安培 力与摩擦力相等时，金属棒的加速度为零，速度达到 最大值vm．此时， BIL f ① 整个装置的等效电路如图所示．
' B lv m
解：①如图 I I1 I 2
I回路： 2 I 2 R I 1 R II回路： Ir I 1 R 可求得： 2R r 2 R
I1 R 2 R 3r 2R
2


R
I2
I1 R
2R



R 2R R
R
②选择ACBA回路： I 1 R ， I 1 （与图中I1反方向）
I
'

B lv m
l f
②
代入①式得
B
R R B lv m
R
vm
B l R f B l
2 2
1 l Rf 1 2 2 2 l B B l
2
R f l B R f
R f 2 B
2 2 1 l 6 2 m / s 18m / s l 2 R f 4Rf 4 5 0 .1
而且v'2=v2+2a's由以上两式及①式可得电容器储藏的电 2 2 能 CB L
E C m g s s in m CB L
2 2
5。一导体平板沿x轴放置，宽度为L，电阻 忽略不计。aebcfd是圆弧形均匀导线，电阻为 3R，圆弧与x轴垂直，圆弧的两端a、d与导体 板的两个侧面相接触，并可在其上滑动．圆弧 ae = eb = cf = fd = 1/8圆周长，圆弧bc =1/4圆周 长．一个内阻为Rr = nR的体积很小的电压表位 于圆弧的圆心O处，与b、c相连。整个装置处 于磁感强度为B、方向垂直向上的匀强磁场中。 导体板不动，圆弧与电压表一起以恒定速度v 沿x轴方向运动。(1)求电压表的读数；(2)求e点 与f点的电势差Uef。
解：(1)当s接1时，棒在重力、安培力和垂直斜面向 上的弹力的作用下运动．设某时刻棒的速度为v，这时 棒中产生的感生电动势ε=BLv．方向与电源电动势方向 BLv 相反，故回路中的电流 I
R
考察棒受的安培力 根据牛顿第二定律 故棒ab下滑的加速度
F=BIL=BL(ε-BLv)／R
m g sin B L ( B L v ) R
ua uc ? （2）ac间电势最低点的位置。
解：（1）根据含源电路欧姆定律：Ua-Uc=-εac+IR 式中R是ac边电阻，由对称性：
ac
所以 Ua Uc
1 4 1
4
总
总 总
4R R 0
（2）不能得到（1）相同的结论（因为 a b 2 a c ） 因为ac上各点v呈现性变化，所以

R
在选择ACB23A回路： 0 I 2 2 R ，2 0 （2、3熄灭） I 从I1的方向可看出 U B U A（ACB为电源） ③选A1BDA回路：0 I1 R ，I1 0 （1熄灭） I 选A23BDA回路： I 2 R ， 2 从ADBεA回路看，有
4。在倾角为α的足够长的两条光滑平行金属导轨 上，放一根质量为m、电阻不计的金属棒ab．整个空 间有磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直于轨道平面 向上，导轨宽度为L，电源电动势为ε，电源内阻为R， 导轨电阻不计，电容器的电容为C，问：(1)S接1时， ab的稳定速度为多少? (2)ab达到稳定速度时S投向2， 稳定后ab再下滑距离s，这过程中电容器储藏的电能 是多少?
解：（1)当金属杆在轨道上下滑时，整个装置的等效 电路如图(a)所示．金属杆加速下滑，其感生电动势ε ' 将增大，整个电路中电流随之增大．因此R两端的电压降 和电池内阻上的电压降都升高，所以电压表V2的示数增 大，电压表V1的示数将减小。 (2)金属杆下滑时, 其受力情况如图(b) 所示,设杆下滑的 加速度为2m/s2时, 其速度为v.此时杆 两端 的感生电动势 Blv cos
解：根据地磁场的特征可知，在北半球的地磁场方向是 向北向下的．只要求出这个磁感强度的竖直分量B1和水 平分量B2，就可以求出该处磁感强度B的大小． 当线圈翻个身时，穿过线圈的磁通量的变化量为 △φ1=2B1S，因为感生电动势

t RI R Q t
所以
△φ1=R△Q1，2B1l1l2=RQ1
①
电路中的电流 I

Rr

B lv cos
Rr
由牛顿第二定律
m g sin BIl cos m a
②
ma
将①式代入得 m g sin B l cos 代入数据解得 代入①式得 所以电压表V1的读数 v = 6.25m/s I = 1.25A
由左手定则可知棒受的安培力沿斜面向上，由牛顿第二 定律得棒的加速度
a ' g sin BI ' L m m g sin m CB L
2 2
①
由此可知棒做匀加速运动，棒下滑一段距离后，由能 量守恒定律得 1 1 2 2
m gs sin mv ' 2 2 m v EC
U b U c I1 R 1 U b U c I3Rg 3 3 U b U c 2I2R
以及 I1+I3=I2，注意到2ε3=ε1，且Rg=nR,可解得
I3
1
(3 n 2 ) R
I2
( n 1) 1 (3 n 2 ) R
1 1 1 2 a b B v a b sin B x c x c tan R x c tan 4 2 8 2 同理可得： a c B x c ta n 2
1
欧姆定律： U b U c b c 而
总 R 1 3 2 I R B x c tan 2 8 4R 2
pm 4R
这个输出功率全部用来克服摩擦阻力做功，所以有

2
4R
fv m
vm

2

6
2
4Rf
4 5 0 .1
m / s 18m / s
因为在外阻等于内阻时，路端电压等于电动势的一半， 所以有
B vm l

2
6 T 5 9 T
B

2 lv m
2 0 .3 1 8
B l sin 2
2
总
4R
R l
B l sin 2
2

2
2 B xc
tan
Rl R

Rl R

l ac
Ud Ua
1 4
B l sin 2
1 2

2 B xc
tan
l ac
这是一个关于l的二次方程，可求得当
l b 2a
1 8
2R
r 忽略电池内产生的感生电动势， U Ir 0 短路导线为一理想电源，感应电动势从B到A，因此
UA UB
Ir ， I

8. 3．有一质量为 m，电量为 q 的粒子，以速率 v0 在含有匀强
磁场 B1 的长螺线管中绕管轴作圆周运动， (1)若该粒子突然进 入匀强磁场 B2 的区域，则其半径为多少？(2)若磁场 B1 突然 变为 B2，则粒子半径又将是多少。
a g sin B LБайду номын сангаас( B L v ) mR
ma
当a=0时，棒ab速度达到最大值vm，即稳定速度，其 值为
vm m gR sin B L B L
2 2
(2)将s扳向2后，电容器充电，充电电流
I Q t C t CBL v t CBLa '
2
总 4 ac 2 Bx c tan
Ub Uc 1 8
B x c ta n
2
（3）设ac间离a点l远处的d点电势最低。
U a U d l IRl
U d U a l IR l U a Ua 1 4 1 4 1 2