【师说系列】2021届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：选修4-4坐标系与参数方程

反思感悟直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程的方法
(1)将直角坐标方程化为参数方程时,首先确定一个适当的参数,然后用该
参数表示出直角坐标方程中的x,y;
= cos,
(2)直角坐标方程化为极坐标方程的方法是直接将互化公式
代
= sin
入直角坐标方程化简整理.
对点训练1在直角坐标系xOy中,过点P
ρ>0,θ∈[0,2π),那么平面内的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)是一一对应的.
2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若
π
ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 2
所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
为
=
=
2 2
,
2
+1
(t
2
-1
2 +1
为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极
坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos +
π
4
=
2
.
2
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)已知点 A 在曲线 C 上,且点 A 到直线 l
2
的距离为 ,求点
典例突破
例1.(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解:(1)☉C 的参数方程为

第二节 参 数 方 程
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】
1.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程关键是_消__去__参__数__.
(2)普通方程化参数方程的关键是找一个_参__数__,使得
x＝f (t)， y＝g(t).
必备知识·自主学习
提示:(1)√.在参数方程中,t是自变量, x,y都是参数t的函数.
(2)√.在直线的参数方程中,参数t表示距离 | MM. 0 |
(3)√.圆的参数方程的标准形式.
(4)×.当t= 时 ,对应的点M为
3
(1, 2 3,)则kOM=2 .3
必备知识·自主学习
必备知识·自主学习
2.直线、圆、椭圆的参数方程
x＝x0＋tcos，
(1)直线过点M(x0,y0),倾斜角为α,参数方程为___y＝__y_0_＋_t_s_in___(_t_为参数).
(2)圆心为M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_scio_ns__，_(_θ__为参数).
x＝acos，
(3)椭圆 x2 ＋y2
a2 b2
Hale Waihona Puke =1(a>b>0)的参数方程为__y_＝__b_s_in___ (_φ__为参数)
注意:在利用参数方程时,一定要注意参数是什么.
必备知识·自主学习
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
((12))参过数M0(方x0程,y0),xy＝＝倾gf斜((tt)角)，为中α的的x,直y都线是l的参参数数t方的程函为数.(xy＝＝yx00＋＋) ttscions， (t为参 数).参数|t|的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点

复习课件
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程课件理北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程
0
课件理北师大版
选修4－4 坐标系与参数方程
第2讲 参数方程
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过_消__去__参__数______， 从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如_x_＝__f_(_t)___，把它代入普通方程， 求出另一个变数与参数的关系 y＝_g_(_t)______，那么yx＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程， 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的__取__值__范__围_______保持一致．
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互 化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2. ①弦长 l＝|t1－t2|； ②弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
圆
O
的参数方程为xy＝＝22scions
θ， θ (θ
为参数)，根据
sin2θ＋cos2θ＝1
消去参数
θ，可得
x2＋y2＝4，所以圆心
O
到直线

-5知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
6
3.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程 为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过M ������, 且平行于极轴:ρsin θ=b.
(4)参数方程
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极 坐标是( ) A. 10, 3 2π C. -10,- 3
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( ) (2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程. ( ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.(
) ������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( ������ = 2 + ������ )
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ������ = ������ + ������cos������ , (θ 为参数). ������ = ������ + ������sin������

系列4部分选修4-4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系知识体系必备知识1.伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:{x '=λ·x ,(λ>0),y '=μ·y ,(μ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系(2)点的极坐标:M (ρ,θ). 3.直角坐标与极坐标的互化(1)前提:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M 是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则{x =ρcosθ,y =ρsinθ,{ρ2=x 2+y 2,tanθ=y x(x ≠0).4.直线的极坐标方程 (1)一般位置.若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). (2)特殊位置. 直线极坐标方程图形过极点,倾斜角为α θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)(θ=α和θ=π+α(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直 ρcos __θ=a(-π2<θ<π2)过点 a,π2,与极轴平行 ρsin __θ=a(0<θ<π)5.圆的极坐标方程(1)一般位置.若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程.①圆心位于极点,半径为r:ρ=r;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos__θ;③圆心位于M(a,π2),半径为a:ρ=2asin__θ.基础小题1.在平面直角坐标系中,方程2x+3y=0经过伸缩变换{X=2x,Y=3y后的图形为________.【解析】由{X=2x,Y=3y,得{x=X2,y=Y3,①将①代入2x+3y=0,得X+Y=0,因此直线2x+3y=0变换成直线X+Y=0,即x+y=0. 答案:平面直角坐标系的二、四象限的角平分线2.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ-π4)-4=0,则圆C的直角坐标方程为____________.【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρ(√22sinθ-√22cosθ)-4=0,化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ -4=0.则圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6. 答案:(x-1)2+(y+1)2=63.在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R)距离的最大值是________.【解析】圆ρ=8sin θ即ρ2=8ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y-4)2=16,直线θ=π3,则tan θ=√3,化为直角坐标方程为√3x-y=0,圆心(0,4)到直线的距离为√4=2,所以圆上的点到直线距离的最大值为2+4=6. 答案:64.求在极坐标系中,过点(2,π2)且与极轴平行的直线方程.【解析】点(2,π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2,2sin π2),即(0,2).所以过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y=2. 即为ρsin θ=2.5.在极坐标系中,已知两点A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),求△AOB(其中O 为极点)的面积.【解析】由题意知A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),则△AOB 的面积 S △AOB =12OA ·OBsin ∠AOB=12×3×4×sin π6=3.。

第十五页，共46页。
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
第十六页，共46页。
第十二页，共46页。
(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
第二十五页，共46页。
题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
第二十八页，共46页。
解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
第九页，共46页。
5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.

选修4－4 坐标系与参数方程第1讲 坐标系 基础知识整合1．坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧01x ′＝λ·x λ>0，02y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做03极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做04极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M ，若设|OM |＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角为θ，则点M 可用有序数对05(ρ，θ)表示．(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，射线Ox 的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P 的直角坐标为(x ，y )，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝06ρcos θ，y ＝07ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝08x 2＋y 2，tan θ＝09y xx ≠0.3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆10ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆11ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆12ρ＝2r sinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线(1)13θ＝α(ρ∈R)或14θ＝π＋α(ρ∈R)(2)15θ＝α和16θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线17ρcosθ＝a⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线18ρsinθ＝a(0≤θ≤π) 1．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．2．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线答案 C解析因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x2＋y2＝1，得x2＋y2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线．2．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( ) A．1,1 B．1,2C．2,1 D．2,2答案 C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1. 3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B ．4＋π29C ．9＋π9D ．7答案 D解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1,0)，所以所求距离为1＋12＋－3－02＝7.故选D.4．曲线ρ＝－2cos θ与ρ＋4ρ＝42sin θ的位置关系为( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切答案 B解析 曲线方程ρ＝－2cos θ化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，ρ＋4ρ＝42sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －22)2＝4，两圆圆心距为－12＋222＝3＝1＋2，所以两圆外切．5．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3 答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.故选A.6．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.答案 1＋ 2解析 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)，得x ＋y ＝a (a >0)， 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，因为直线与圆相切，所以|1－a |2＝1，所以a ＝1±2，又因为a >0，所以a ＝1＋ 2.核心考向突破考向一 平面直角坐标系下的坐标变换例1 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设点(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求的直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理，得2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ>0，y ′＝μ·y μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．[即时训练] 1.求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 考向二 极坐标与直角坐标的互化例2 在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，把⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y代入ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0.由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得ρsin θ－ρcos θ＝1，因为⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，进而，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2，故公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．[即时训练] 2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)，知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设，知C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考向三 极坐标方程及其应用例3 (1)(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .①当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；②当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 ①因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知，得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.②设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. (2)(2019·南宁模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，⊙C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．①求C 1，C 2的极坐标方程；②若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 ①∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.②将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于⊙C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，用极坐标法使问题变得简单、直接，解题的关键是极坐标选取要得当，这样可以简化运算过程．如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标转化为直角坐标来求解．[即时训练] 3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解 (1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)，知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设，知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设，知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积为S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。

(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12

3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r
x tcos x 4 2cos 【例2】直线 (t为参数)与圆 相切， y tsin y 2sin
则M、N两点间的距离的最小值是____)
下列参数方程如何化为普通方程
4 x 1 t 5 （t为参数） 3 y 1 t 5
x 1 2t （为参数） （t为参数） y 4sin y 2 3t
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
x t 1 xOy中，则直线 与圆 x 2 2cos (t为参数) 3 y 2sin t 3 y 3 ( 为参数)的位置关系为______.
【审题指导】化直线和圆的参数方程为普通方程，利用圆心 到直线的距离和半径的大小关系判定. 【自主解答】直线与圆的普通方程分别为x+ 3 y-4=0,

13
5.几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t为参数).
完整版ppt
14
问题探究2：在直线的参数方程xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t为参数)
中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两点
标x，y都是某个变数t的函数：xy＝＝fgtt，， 并且对于t的每一个 允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上 ，那 么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系 的变数t叫做参变数，简称 参数 .相对于参数方程而言，直 接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 .
完整版ppt
完整版ppt
9
3.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方 程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α) . 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点： θ＝θ0 和 θ＝π－θ0 ； ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴： ρcos θ＝a ； ③直线过点M(b，π2)且平行于极轴： ρsin θ＝b .
22t＋m，
y＝ 22t，
消去 t，得 x－y
－m＝0，∵直线 l 与圆 C 相切，∴|2－2m|＝2，∴m＝2±2 2.
答案：A
完整版ppt
22
3．(2014·天津卷)在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ＝a 相交于 A，B 两点，若△AOB 是等边三角形， 则 a 的值为________．
完整版ppt
11
问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么？与点的极坐标呢？

练习：
7 3 ),则｜AB｜=___. 12 12 2.在极坐标系中，定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中，点A(1，5 )，B(2，-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点，
(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12

3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r
x tcos x 4 2cos 【例2】直线 (t为参数)与圆 相切， y tsin y 2sin
x t 1 xOy中，则直线 与圆 x 2 2cos (t为参数) 3 y 2sin t 3 y 3 ( 为参数)的位置关系为______.
【审题指导】化直线和圆的参数方程为普通方程，利用圆心 到直线的距离和半径的大小关系判定. 【自主解答】直线与圆的普通方程分别为x+ 3 y-4=0,
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a＜π ，a≠π /2)
下列参数方程如何化为普通方程
4 x 1 t 5 （t为参数） 3 y 1 t 5
x 1 2t （为参数） （t为参数） y 4sin y 2 3t
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .

复习课件
2021高考数学一轮复习统考选修44坐标系与参数方程第2讲参数方程课件北师大版选修4
2021/4/17
2021高考数学一轮复习统考选修44坐标系与参数方程第2讲参数 方程课件北师大版选修4
1
选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程
1
PART ONE
基础知识整合
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数xy＝＝fgtt， (*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的 点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的 01 __参__数__方__程____，变数t叫做参数．
x＝11－ ＋tt22，
y＝1＋4tt2
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ 3ρsinθ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
)
A．70°
B．20°
C．160°
D．110°
解析 ∵x＝1＋tsin70°＝1＋tcos20°，y＝2＋tcos70°＝2＋tsin20°，∴
直线的倾斜角为20°.
解析 答案
2．若直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2－3t
(t为参数)，则直线的斜率为
() A．32
B．－23
C．32
D．－32
解析
(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的 值．
解 (1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为 3

则 tan θ=
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评

1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
-8知识梳理 双基自测 自测点评

即变换后的直线方程为 x－y＋1＝0. [答案] x－y＋1＝0
2．(2015·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的 圆心的极坐标是________．
[解析] 该圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，即 x2＋(y＋ 1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为1，－π2.
拓 展 提 高 平 面 上 的 曲 线 y ＝ f(x) 在 变 换 φ ：
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
的作用下的变换方程的求法是将
x＝x′λ ， y＝y′μ
代入 y＝f(x)，得y′μ ＝fx′λ ，整理之后得到 y′＝
h(x′)，即为所求变换之后的方程．
活学活用 1 若函数 y ＝f(x)的图像在伸缩变换 φ：
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极 点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐 标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由此得 ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．
x′＝2x， y′＝3y
的作用下得到曲线的方程为 y′＝3sinx′＋π6，求
函数 y＝f(x)的最小正周期． [解] 由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sinx′＋π6得 3y＝3sin2x＋π6，整理得 y＝sin2x＋π6，故 f(x)＝sin2x＋π6.
所以 y＝f(x)的最小正周期为22π＝π.
④在极坐标系中，方程ρcos θ＝1表示圆． 其中正确命题的序号是________．( 写出将所有正确命题 的序号 ) [解析] ①正确．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换为 φ：
x′＝13x， y′＝12y，

第1讲 坐标系[最|新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 ,能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知 识 梳 理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ,叫做极点 ,从O 点引一条射线Ox ,叫做极轴 ,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) ,这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点 ,极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径 ,记为ρ ,以极轴Ox 为始边 ,射线OM 为终边的角叫做点M 的极角 ,记为θ.有序数对(ρ ,θ)叫做点M 的极坐标 ,记作M (ρ ,θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,设M 是平面内任意一点 ,它的直角坐标是(x ,y ) ,极坐标为(ρ ,θ) ,那么它们之间的关系为x ＝ρcos θ ,y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2 ,tan θ＝yx . 2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0 ,θ0) ,且极轴到此直线的角为α ,那么它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0 ,θ0) ,半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点 ,半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0) ,半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a π2 ,半径为a ：ρ＝2a sin_θ. 诊 断 自 测1．点P 的直角坐标为(－ 2 ,2) ,那么它的极坐标可表示为________． 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 3π4 2．假设曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ ,以极点为原点 ,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系 ,那么该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ , ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x , 即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝03．(2021·西安五校一模)在极坐标系(ρ ,θ)(0≤θ＜2π)中 ,曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0 ,ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1 ,联立方程 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0 x ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1即两曲线的交点为(－1,1) ,又0≤θ＜2π ,因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3π4.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3π44．在极坐标系中 ,直线l 的方程为ρsin θ＝3 ,那么点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3 ,点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π6化为直角坐标为(3 ,1) , ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π6到直线l 的距离为2. 答案 25．在极坐标系中 ,圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解 ,极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ,即x 2＋(y －2)2＝4 ,其圆心为(0,2) ,直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ,即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为 |0－3×2|3＋9＝ 3. 答案3考点一 极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5 π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－ 3 ,－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3 ,y ＝－5sin π6＝－52 , ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52 3 －52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2 ,tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限 ,ρ＞0 ,∴最|小正角θ＝7π6.因此 ,点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 7π6. 规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时 ,一定要注意点所在的象限和极角的范围 ,否那么点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时 ,一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8 2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标( 6 ,－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4 ,y ＝8sin 2π3＝4 3 , 因此 ,点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝2 2 ,tan θ＝－26＝－33 ,又因为点在第四象限 ,得θ＝11π6.因此 ,点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2 11π6.考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy 中 ,以O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1 ,M ,N 分别为曲线C 与x 轴 ,y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程 ,并求M ,N 的极坐标； (2)设M ,N 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1 ,∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ,∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0 ,那么x ＝2；令x ＝0 ,那么y ＝233.∴M (2,0) ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0 233.∴M 的极坐标为(2,0) ,N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233 π2.(2)M ,N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1 33 ,P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化 ,关键要掌握好互化公式 ,研究极坐标系以下图形的性质 ,可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境． 【训练2】⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ ,ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1 ,⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点 ,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系 ,两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ ,两边同乘以ρ ,得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ ,两边同乘以ρ ,得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2 , 得⊙O 1 ,⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0①x 2＋y 2＋4y ＝0.②①－②得－4x －4y ＝0 ,即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三 曲线极坐标方程的应用【例3】 (2021·广州调研)在极坐标系中 ,求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 ,得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16 ,由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3.规律方法 在极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时 ,如果不能直接用极坐标解决 ,或用极坐标解决较麻烦 ,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】(2021·江苏卷)在极坐标系中 ,圆C 经过点P ( 2 ,π4) ,圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点 ,求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0 ,得ρ＝1 ,所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 π4 ,所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1 ,于是圆C 过极点 ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因无视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】(10分)在极坐标系下 ,假设点P (ρ ,θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 2π3 ,求以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2为坐标的不同的点的极坐标．[错解展示]甲：解 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 2π3化为直角坐标为(－2,23) ,故该点与原点的中点坐标为(－1 ,3) ,化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 2π3.乙：解 ∵ρ＝4 ,θ＝2π3 ,故ρ2＝2 ,θ2＝π3 , 因此所求极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π3. [标准解答] ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 2π3为点P (ρ ,θ)的一个极坐标． ∴ρ＝4或ρ＝－4.(2分) 当ρ＝4时 ,θ＝2k π＋2π3(k ∈Z ) , ∴ρ2＝2 ,θ2＝k π＋π3(k ∈Z )．(4分) 当ρ＝－4时 ,θ＝2k π＋5π3(k ∈Z ) , ∴ρ2＝－2 ,θ2＝k π＋5π6(k ∈Z )．(6分) ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2有四个不同的点： P 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 2k π＋π3 ,P 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 2k π＋4π3(k ∈Z ) , P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 2k π＋5π6 ,P 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2 2k π＋11π6(k ∈Z )(10分) [反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点 ,事实上(ρ ,θ)与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2的关系并不是点(ρ ,θ)与极点的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2 ,从几何意义上讲点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2应满足该点的极角为θ的12 ,极径为ρ的12.乙生解法中满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ρ2 θ2的几何意义 ,但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性 ,还应就点(ρ ,θ)的其他形式的极坐标进行讨论．【自主体验】以下各点中与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 π6不表示同一个点的极坐标是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 7π6②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 －7π6③⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 －11π6④⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 13π6 解析 因为与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 π6表示同一点的坐标有⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 π6＋2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π6＋(2k ＋1)π ,其中k ∈Z ,所以易得只有②不同． 答案 ② 一、填空题1．在极坐标系中 ,圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 π2；②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 －π2；③(1,0)；④(1 ,π) 解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ y ＝ρsin θ得x 2＋y 2＝－2y ,即x 2＋(y ＋1)2＝1 ,圆心为(0 ,－1) , 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 －π2. 答案 ②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)． ①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线． 解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得 ,ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心 ,半径为1的圆 ,θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线． 答案 ③3．在极坐标系中 ,点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π3化为直角坐标为(1 ,3) ,方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0 ,故圆心为(1,0) ,那么点(1 ,3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案34．在极坐标系(ρ ,θ)(0≤θ＜2π)中 ,曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1 ,ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1 y －x ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1 那么交点为(0,1) ,对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 π2 5．(2021·汕头调研)在极坐标系中 ,ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程 ,那么点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0 ,圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 π6的直角坐标为(2 3 ,2) ,故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 36．在极坐标系中 ,过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ ,所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0 ,将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11 ,故圆心的坐标为(3 ,－2) ,所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3 ,将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.答案 ρcos θ＝37．(2021·华南师大模拟)在极坐标系中 ,点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4 π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最|小值为________．解析 依题意知 ,点M 的直角坐标是(2,23) ,曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0 ,因此所求的距离的最|小值等于点M 到该直线的距离 ,即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2. 答案 28．在极坐标系中 ,曲线C 1：ρ＝2cos θ ,曲线C 2：θ＝π4 ,假设曲线C 1与C 2交于A 、B 两点 ,那么线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点 ,因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ θ＝π4得⎩⎨⎧ρ＝ 2 θ＝π4即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为 2 ,因此AB ＝ 2.答案29．在极坐标系中 ,由三条直线θ＝0 ,θ＝π3 ,ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析 θ＝0 ,θ＝π3 ,ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0 ,y ＝3x ,x ＋y ＝1 ,作出图形得围成图形为如图△OAB ,S ＝3－34. 答案3－34二、解答题10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ,点M 为线段OP 的中点 ,当点P 在圆上移动一周时 ,求点M 轨迹的极坐标方程 ,并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 ,设点P 的极坐标为(ρ1 ,θ1) ,点M 的极坐标为(ρ ,θ) , ∵点M 为线段OP 的中点 ,∴ρ1＝2ρ ,θ1＝θ ,将ρ1＝2ρ ,θ1＝θ代入圆的极坐标方程 ,得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 ,它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 0 ,半径为12的圆．11．(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中 ,圆C 1：x 2＋y 2＝4 ,圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,分别写出圆C 1 ,C 2的极坐标方程 ,并求出圆C 1 ,C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2 ,圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2 ρ＝4cos θ 得ρ＝2 ,θ＝±π3 , 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 π3 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 －π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1 ,3) ,(1 ,－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝t －3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 y ＝y (－3≤y ≤3)法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得ρcos θ＝1 ,从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1 y ＝tan θ －π3≤θ≤π3. 12．在直角坐标系xOy 中 ,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos α y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点 ,P 点满足OP →＝2 OM → ,P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 ,射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB .解(1)设P (x ,y ) ,那么由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2 y 2. 由于M 点在C 1上 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos αy 2＝2＋2sin α即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ ,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3 ,射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。