2019上海版九年级数学一模练习

2019上海长宁区初三数学一模试题(与金山统考)（满分150分，考试时间100分钟） 2019.1.6考生注意：1、本试卷含有三个大题，共25小题；2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本题共6个小题，每题4分，共24分）1. 如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）.A. 1:2B. 1:4C. 1D. 2:12. 如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）.A. AD :AB =2:3B. AE:AC =2:5C. AD:DB =2:3D. CE:AE =3:23.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，AC =1，则sin B 的值是（ ）.A. B. C. 12 D. 2 4. 在△ABC 中，若cos A =22，tan B =3，则这个三角形一定是（ ）. A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形5. 已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A. 相交B. 内含C. 内切D. 外切 6. 二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7. 已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是 .8. 已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x =1，则实数b 的值为 .9. 已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是 .10. 已知二次函数2(3)y x =-图像上的两点()3,A a 和(),B x b ，则a 和b 的大小关系是a b .11. 圆是轴对称图形，它的对称轴是 .12. 已知⊙O 的弦AB =8cm ，弦心距OC =3cm ，那么该圆的半径是 cm.13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC =1，BC =22,那么sin ∠ACD 的值是 .14. 王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处 m .15. 已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设AD m =，那么用m 表示AG = .16. 如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，那么AB = .17. 的矩形称作黄金矩形。

上海市青浦区2019届初三一模数学试卷2019.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 下列图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形B. 两个菱形C. 两个直角三角形D. 两个等腰三角形2. 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ， 如果:3:1AD DF ，10BE ，那么CE 等于（ ） A. 103 B. 203 C. 52 D. 1523. 在Rt △ABC 中，90C ，如果A ，BC a ，那么AC 等于（ ）A. tan aB. cot aC. sin aD. cos a4. 下列判断错误的是（ ）A. 00aB. 如果2a b c ，3a b c ，其中0c ，那么a ∥bC. 设e 为单位向量，那么||1eD. 如果||2||a b ，那么2a b 或2a b5. 如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A. AED BB. 180BDE CC. AD BC AC DED. AD AB AE AC6. 已知二次函数2y ax bx c 的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A. 0acB. 0bC. 0a cD. 0a b c二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果25x x y ，那么x y8. 计算：3(2)2(3)a b a b9. 如果两个相似三角形的相似比为1:3，那么它们的周长比为10. 二次函数241y x x 的图像的顶点坐标是11. 抛物线23y x mx m 的对称轴是直线1x ，那么m12. 抛物线22y x 在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）13. 如果 是锐角，且sin cos 20 ，那么 度14 如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝高为15米，迎水坡CD 的坡度为1:2.4，那么该水库迎水坡CD 的长度为 米15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan ABC 的值为16. 在△ABC 中，AB AC ，高AH 与中线BD 相交于点E ，如果2BC ，3BD ，那 么AE17. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ，1AC ，tan 2CAB ，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那 么CF18. 对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都 在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”，如图，对于封闭图形ABCDE ，1S 是 “亮点”，2S 不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ，2AB ，1AE ，60B C ， 那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：121(sin30)|1cot 30|cos 45.20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2CE BE ，AC 、DE 相交于点F .（1）求:DF EF 的值； （2）如果CB a ，CD b ，试用a 、b 表示向量EF .21. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，2AE AD AB ，ABE ACB .（1）求证：DE ∥BC ；（2）如果:=1:8ADE DBCE S S 四边形，求:ADE BDE S S 的值.22. 如图，在港口A 的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B ，A 、B 相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A 的北偏东67°方向上，有一渔船C 发生故障，得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C 处？【参考数据：sin 370.60 ，cos370.80 ，tan 370.75 ，12sin 6713 ，5cos6713 ， 12tan 675】23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD AF ，AE CE DE EF .（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ，求证：AB AC .24. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x 平移后经过点(1,0)A 、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD ，求CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标.25. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，18BC ，15DB DC ，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，5DE DF ，AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N ，其延长线交BC 的延长线于点H .（1）求证：BG CH ；（2）设AD x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长.参考答案一. 选择题1. A2. C3. B4. D5. C6. D二. 填空题 7. 238. a 9. 1:3 10. (2,5) 11. 2 12. 上升 13. 70° 14. 3915.12 16. 17. 12 18. 4三. 解答题19. 20.（1）:3:2DF EF ；（2）24515EF b a . 21.（1）证明略；（2）:1:2ADE BDE S S .22. 能.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）234y x x ；（2）sin 221CAD ；（3）(42)Q .25.（1）证明略；（2）22(09)6x y x x ；（3）3AD 或32AD .。

一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x52．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是．8．方程＝的根是．9．已知＝，那么的值是．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC ＝米．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝．（用向量、表示）15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB ＝ED，分别延长ED、AC交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD 相似时，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结P A并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．2019年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案一、选择题1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝x6，故选：C．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项A不符合题意，y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B符合题意，y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项C不符合题意，y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：＝．故选：D．【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【解答】解：在△ADE与△ACB中，∵＝，且∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【分析】根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断．【解答】解：A、设为单位向量，那么||＝1，故本选项说法正确．B、已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么、方向相反，则∥，故本选项说法正确．C、四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||即AD＝BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是x＞．【分析】先移项，再系数化为1即可．【解答】解：移项，得2x＞1，系数化为1，得x＞．【点评】注意移项要变号．8．方程＝的根是x＝﹣1．【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1所以x＝±1．当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．所以原方程的解为：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．9．已知＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝2a，则y＝5a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝9．【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝2：3，∴＝＝，∵AC＝6，∴＝∴A1C1＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是∠4．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）【分析】根据仰角的定义即可得到结论．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角，熟记仰角和俯角的定义是解题的关键．12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC ＝3米．【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵i＝1：，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝+．（用向量、表示）【分析】根据已知条件得到△ADO∽△CBO，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，得到＝，求得＝，根据已知条件得到＝+，于是得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝，∵＝，＝，∴＝+，∴＝＝+，+．故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【分析】根据勾股定理可求得AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝5，最后根据重心的性质可求DG．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝5，∵点G是重心，∴DG＝CD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．【分析】沿直线y＝x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【解答】解：∵抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为，相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．故答案为：y＝（x﹣1）2+1．【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．【分析】根据平行四边形的判定得到四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质得到BE＝AD，DE＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB＝3，∵CD＝8，∴CE＝CD＝DE＝5，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵∠AEB＝∠C，∴△AEB∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，根据勾股定理得到BF＝CF＝＝x，求得BC＝（+3）x，根据勾股定理得到BD＝＝x，根据三角形的面积公式得到AH＝，求得AE＝2AH＝，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，∴∠DBF＝∠FDB，∴BF＝DF，∴EF＝CF，∵tan∠DFC＝∠BFE＝，∴设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，∴BF＝CF＝＝x，∴BC＝（+3）x，∴BD＝＝x，∵AE⊥BD，∴AH＝，∴AE＝2AH＝，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3﹣2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案，（2）把x＝2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y＝0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入得：＝，解得：k＝8，即反比例函数的解析式为：y＝，（2）把x＝2代入y＝得：y＝＝4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，把y＝0代入得：﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，即B点的坐标为：（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式，（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【分析】（1）由AC⊥BC，得到∠C＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝800，在Rt△ABC中根据三角函数的定义得到AB＝＝≈1395 米；（2）求得该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB ＝ED，分别延长ED、AC交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠B，∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF，∴∠BAD＝∠F，∴△ABD∽△FDC；（2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA，∴△AED∽△FEA，∴＝，∴AE2＝DE•EF，∵BE＝DE，∴AE2＝BE•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD 相似时，求点P的坐标．【分析】（1）设A（m，0），由△ABD的面积是3可求得m＝2，再利用待定系数法求解可得；（2）作DF⊥x轴，BF⊥AD，由A，B，D坐标知DF＝AF＝3，据此可求得AD＝3，∠DAF＝45°，继而可得AE＝BE＝，DE＝2，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线AD解析式为y＝x﹣2，直线BD解析式为y＝3x﹣12，直线CD解析式为y＝﹣x+8，①△ADB∽△APE时BD∥PE，此条件下求得PE解析式，连接直线PE和直线AD解析式所得方程组，解之求得点P坐标；②△ADB∽△AEP时∠ADB＝∠AEP，依据tan∠ADB＝tan∠AEP＝求解可得．【解答】解：（1）设A（m，0），则AB＝4﹣m，由△ABD的面积是3知（4﹣m）×3＝3，解得m＝2，∴A（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），将D（5，3）代入得：3a＝3，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，0），B（4，0），D（5，3），∴DF＝3，AF＝3，则AD＝3，∠DAF＝45°，过点B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝，∴DE＝2，∴tan∠ADB＝＝＝；（3）如图2，由A（2，0），D（5，3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，由B（4，0），D（5，3）可得直线BD解析式为y＝3x﹣12，由C（0，8），D（5，3）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，当y＝0时，﹣x+8＝0，解得x＝8，∴E（8，0），①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，∴BD∥PE，设PE所在直线解析式为y＝3x+m，将点E（8，0）代入得24+m＝0，解得m＝﹣24，∴直线PE解析式为y＝3x+24，由得，∴此时点P（11，9）；②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝，设P（n，n﹣2），过点P作PG⊥AE于点G，则OG＝n，PG＝n﹣2，∴GE＝8﹣n，由tan∠AEP＝＝＝求得n＝4，∴P（4，2）；综上，P（11，9）或（4，2）．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结P A并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【分析】（1）确定∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC后，用解直角三角形的方法，求出AH和BC 长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用cos∠PQC＝cosα＝＝，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，∵BM∥AC，∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC，tan∠ABC＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，设：BH＝a，则AH＝a，则AB2＝AH2+BH2，即：36＝a2+8a2，解得：a＝2，即BH＝2，AH＝，CH＝＝2，则BC＝BH+CH＝9＝AC，∴∠ABC＝∠BAC＝α，S△ABC＝AH•BC＝××9＝18；（2）过点A作AG⊥P A交于点G，∵∠PBA＝∠CBA＝α，AH⊥BC，∴BG＝BH＝2，AG＝AH＝，PG＝x﹣2，AP＝＝，∵∠QAC+∠P AB＝180﹣α，∠P AB+∠APB＝180°﹣α，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP＝，AC＝9，CQ＝，y＝（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，cos∠PQC＝cosα＝＝…①，其中CQ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP＝，把CQ、P A、AP代入①式整理得：解得：x＝9，即BP的长为9．【点评】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．。

2019年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7B．5a＝2b C．＝D．＝12．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）3．如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）4．对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝5．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣10﹣3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3+2（）＝．8．计算：sin30°tan60°＝．9．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是．10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个即可）11．如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线．12．如图，AD与BC相交于点O，如果＝，那么当的值是时，AB∥CD．13．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是．14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．15．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是．16．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC 的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin C＝，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C分别与点D、E对应，AD与边BC交于点F．如果AE∥BC，那么BF的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．20．（10分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．（1）设＝，＝，用向量、表示；（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．21．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．22．（10分）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C ′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．2019年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7B．5a＝2b C．＝D．＝1【分析】根据比例的性质进行判断即可．【解答】解：A、当a＝10，b＝4时，a：b＝5：2，但是a+b＝14，故本选项错误；B、由a：b＝5：2，得2a＝5b，故本选项错误；C、由a：b＝5：2，得＝，故本选项正确；D、由a：b＝5：2，得＝，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，比较简单．2．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）【分析】由二次函数y＝（x+1）2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；对每个选项分析、判断即可；【解答】解：A、由二次函数二次函数y＝（x+1）2中a＝＞0，则抛物线开口向上；故本项错误；B、当x＝0时，y＝，则抛物线不过原点；故本项错误；C、由二次函数y＝（x+1）2得，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；D、由二次函数y＝（x+1）2得，顶点为（﹣1，0）；故本项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．3．如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα＝3，设AB＝3x，OB＝x，根据勾股定理列出方程即可求出x的值，从而可求出点A的坐标．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα＝3，∴，设AB＝3x，OB＝x，∵OA＝，∴由勾股定理可知：9x2+x2＝10，∴x2＝1，∴x＝1，∴AB＝3，OB＝1，∴A的坐标为（1，3），故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练作出辅助线后，利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．4．对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝【分析】根据已知条件得到非零向量、的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【解答】解：∵2||＝3||，∴||＝||．又∵非零向量与的方向相同，∴＝．故选：B．【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．5．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣10﹣3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．【分析】除了x＝2，y＝﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x＝2，y＝﹣1错误．【解答】解：由表中数据得x＝0和x＝4时，y＝3；x＝1和x＝3时，y＝0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x＝2时y＝﹣1错误．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8【分析】先确定点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，利用⊙C与⊙A相交或相切确定r的范围．【解答】解：∵⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，∴点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，∵⊙C与⊙A有公共点，∴2≤r≤8．故选：D．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3+2（）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可；【解答】解：3+2（）＝3+2﹣＝5﹣；故答案为5﹣；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．8．计算：sin30°tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【解答】解：sin30°tan60°＝×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是m≠1．【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案为：m≠1．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+2（答案不唯一）．（只需写一个即可）【分析】二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的可知该函数图象的开口向下，得出符合条件的函数解析式即可．【解答】解：∵二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，∴a＜0，∴符合条件的二次函数解析式可以为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质判断出a的符号是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．11．如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线x＝3．【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出答案．【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位得到的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2，故所得到的新抛物线的对称轴是直线：x＝3，故答案为：x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．12．如图，AD与BC相交于点O，如果＝，那么当的值是时，AB∥CD．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，据此可得结论．【解答】解：∵＝，∴当＝时，＝，∴AB∥CD．故答案为：．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．13．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是35°．【分析】连接OC交AB于E．想办法求出∠OAC即可解决问题．【解答】解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【解答】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．15．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是6．【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有＝×2，解得n＝6．故答案为：6．【点评】此题考查了多边形内角与外角，此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．16．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC 的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【分析】直接利用坡度的定义表示出AM，BN的长，进而利用已知表示出AB的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是2．【分析】由“钻石菱形”的面积可求对角线的乘积，再根据比例中项的定义可求“钻石菱形”的边长．【解答】解：由比例中项的定义可得，“钻石菱形”的边长＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin C＝，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C分别与点D、E对应，AD与边BC交于点F．如果AE∥BC，那么BF的长是．【分析】如图，过A作AH⊥BC于H，得到∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH，根据三角函数的定义得到AH＝3，求得CH＝BH＝＝4，根据旋转的性质得到∠BAF＝∠CAE，根据平行线的性质得到∠CAE＝∠C，设AF＝BF＝x，得到FH＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH，∵AB＝AC＝5，sin C＝＝，∴AH＝3，∴CH＝BH＝＝4，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAF＝∠CAE，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠BAF＝∠B，∴AF＝BF，设AF＝BF＝x，∴FH＝4﹣x，∵AF2＝AH2+FH2，∴x2＝32+（4﹣x）2，解得：x＝，∴BF＝，故答案为：，【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）利用二次函数平移规律得出平移后解析式．【解答】解：（1）y＝x（x﹣2）+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．20．（10分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．（1）设＝，＝，用向量、表示；（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．【分析】（1）根据已知条件得到＝，由＝，得到＝+，由于G是重心，得到＝＝（+）＝+，于是得到结论；（2）延长BG交AC于H，根据等腰三角形的判定得到GA＝GC，求得AH＝AC＝1，求得BH⊥AC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，＝，∴＝，∵＝，∴＝+，∵G是重心，∴＝＝（+）＝+，∴＝×（+）═+；（2）延长BG交AC于H，∵∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC，∵G是重心，AC＝2，∴AH＝AC＝1，∴BH⊥AC，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，∴BH＝＝2，∴BG＝BH＝．【点评】本题考查了三角形的直线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．【分析】（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题；（2）作DM⊥AC于M．利用面积法求出DM即可解决问题；【解答】解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．＝S△ABD+S△ACD，∵S△ACB∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C ′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）【分析】（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，解直角三角形顶点AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，根据相似三角形的性质得到DH；（2）过C′作C′S⊥MN于S，解直角三角形得到A′S＝C′S＝10，求得A′B＝10+10，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴＝，∴＝，∴DH＝≈23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS＝＝10，∴A′B＝10+10，∵BG＝＝10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．【分析】（1）欲证明∠EBA＝∠C，只要证明△BAE∽△CEB即可；（2）欲证明AB2＝AD•AC，只要证明△BAD∽△CAB即可；【解答】（1）证明：∵ED2＝EA•EC，∴＝，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C．（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C+∠DBC＝∠EBA+∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴＝，∴AB2＝AD•AC．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；（2）先说明OA＝OH＝6，则∠OAH＝45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC＝∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（，﹣），易得直线OB的解析式为：y＝﹣5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：y＝x﹣，列方程x﹣＝x﹣6，解出可得C的坐标；解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），根据OC＝BC，列方程可得结论．【解答】解：（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx得：，解得：，∴这条抛物线的表达式：y＝x2﹣6x，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y＝x﹣6；（2）当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6，∴OA＝OH＝6，∵∠AOH＝90°，∴∠OAH＝45°，过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，∴AB＝5，过O作OE⊥AB于E，S△AOH＝AH•OE＝OA•OH，6•OE＝6×6，OE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，Rt△BOE中，tan∠OBE＝＝＝，∵∠BOC的正切值是，∴∠BOC＝∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（，﹣），易得直线OB的解析式为：y＝﹣5x，设直线FC的解析式为：y＝x+b，把F（，﹣）代入得：﹣＝+b，b＝﹣，∴直线FC的解析式为：y＝x﹣，x﹣＝x﹣6，x＝，当x＝时，y＝﹣6＝﹣，∴C（，﹣）；解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），则AC＝（6﹣m），∵OC＝BC，∴m2+（m﹣6）2＝[5﹣（6﹣m）]，m＝，∴C（，﹣）．【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．【分析】（1）由题意可得四边形DCEF是平行四边形，可得CD＝EF，通过证明△CFE∽△CAB，可得，可得BE＝CE，则可求CE：BE的值；（2）延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H，由题意可得四边形ADCN是矩形，可得AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，BN＝3，由平行线分线段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的长，即可求GD的长，由三角求形面积公式可△DFG的面积；（3）由△AFD∽△ADG，可得∠AFD＝∠ADG＝90°，由余角的性质可得∠DAG＝∠B，即可求∠DAG的余弦值．【解答】解：（1）如图，∵DC∥EF，DF∥CE∴四边形DCEF是平行四边形∴CD＝EF，∵AB＝2CD＝6，∴AB＝2EF，∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB∴∴BC＝2CE，∴BE＝CE∴EC：BE＝1：1＝1（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H∵AD⊥CD，CN⊥CD∴AD∥CN，且CD∥AB∴四边形ADCN是平行四边形，又∵∠DAB＝90°∴四边形ADCN是矩形，∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，∴BN＝AB﹣AN＝3，在Rt△BCN中，BC＝＝5∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m，∵EF∥AB∴，即∴ME＝BE＝5﹣m，∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m，∵EF∥AB∴＝∴HC＝m，∵CG∥EF∴即∴GC＝∴DG＝CD﹣GC＝3﹣＝＝×DG×CH＝∴S△DFG（3）过点C作CN⊥AB于点N，∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠ADG＝90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD＝∠ADG＝90°∴DF⊥AG又∵DF∥BC∴AG⊥BC∴∠B+∠GAB＝90°，且∠DAG+∠GAB＝90°∴∠B＝∠DAG∴cos∠DAG＝cos B＝【点评】本题是相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 3．已知一个坡的坡比为i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（） A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.501/ 182.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.503.60 ？A．3.60 和2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ． 8．化简：= ． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则 AP﹣BP= ． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1） f（5）（填＞或＜） 11．求值：sin60tan30= ． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若AC=BC=2，则线段 CG 的长为． 13．两个相似三角形的相似比为 2： 3，则它们的面积之比为． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是米． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则cosA= ．三.解答题（本大题共7 题，共---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量． 21．如图，在△ABC 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和 BD，过点 D 作地面MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：DE=DF． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在3/ 18点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向． 25．如图，△ABC 边 AB 上点D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设 AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域． 2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．【解答】解：抛物线 y=x2 ﹣2x+4 的对称轴为 x=1； A、y=4x2 +2x+1 的对称轴为 x=﹣，不符合题意； B、y=2x2 ﹣4x+1 的对称轴为 x=1，符合题意； C、y=2x2 ﹣x+4 的对称轴为 x=，不符合题意； D、y=x2 ﹣4x+2 的对称轴为 x=2，不符合题意，故选 B．【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】解：∵ADCE=AEBD，，DE∥BC，故选 C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 的关键． 3．已知一个坡的坡比为 i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比的定义：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据此即可判断．【解答】解：i=tan．故选 C．【点评】本题考查了坡比的定义，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，是关键． 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 【考点】*平面向量．【专题】推理填空题．【分析】根据向量和都是单位向量，可知| |=| |=1，由此即可判断．【解答】解：∵已知向量和都是单位向量， | |=| |=1， | |﹣| |=0，故选 D．【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键． 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（）A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据上加下减、左加右减的原则进行解答即可．【解答】解：由左加右减的原则可知，二次函数 y=x2 的图象向左平移个单位得到 y=（x+2） 2 ，由上加下减的原则可知，将二次函数 y=（x+2）2 的图象向上平移 3 个单位可得到函数 y=（x+2） 2 +3，故选：5/ 18A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知上加下减、左加右减的原则是解答此题的关键． 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？A．3.60 和 2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理可求 AB，即图⑤绝对宽度，再根据三角形面积公式可求图⑤绝对高度．【解答】解：图④，过 A 点作 ADBC 于 D， BD=3.602=1.80，在Rt△ABD 中，AB= =3，图⑤绝对宽度为 3；图⑤绝对高度为：2.403.60223 =4.3223 =2.88．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的绝对高度和绝对宽度的定义．二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义可得 b2 =ac，从而易求 c．【解答】解：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∵线段 a 是线段 b、c 的比例中项， a2 =bc，即 32 =2c，c= ．故答案是：．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 8．化简：= ﹣﹣7 ．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：=2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣﹣7 ．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若 AB=2，则 AP﹣BP= 2 ﹣4 ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞BP， AP= AB= ﹣1，则BP=2﹣AP=3﹣， AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2 ﹣4，故答案为： 2 ﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1）＞ f（5）（填＞或＜）【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【解答】解：∵二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，当 x7/ 18的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， f（1）＞f（5），故答案为：＞．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性，难度不大． 11．求值：sin60tan30= ．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式= = ．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若 AC=BC=2，则线段 CG 的长为．【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍解答即可．【解答】解：∵G 是等腰直角△ABC 的重心，AC=BC=2， CG= ，故答案为：【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键． 13．两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的面积之比为 4：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 9．故答案为：4：9 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为 S= C2 ．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】直接利用等边三角形的性质得出 AD 的长，再利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：过点 A 作ADBC 于点D，∵等边三角形的周长为C，AB=BC=AC= ， DC=BD= ， AD= = C， S= C = C2 ．故答案为： S= C = C2 ．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG∥BC 得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：作 AHBC 于 H，交 DG 于 P，如图所示：∵△ABC 的面积= BCAH=9，BC=6， AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x．由正方形 DEFG 得，DG∥EF，即DG∥B C，∵AHBC， APDG．由DG∥BC 得△ADG∽△ABC ．∵PHBC，DEBC PH=ED，AP=AH﹣PH，9/ 18即，由 BC=6，AH=3，DE=DG=x，得，解得 x=2．故正方形 DEFG 的面积=22 =4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是 27 米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作 PEAB 于点 E，在直角△AEP 中，利用三角函数求得 AE 的长，根据 AB=2AE 即可求解．【解答】解：作PEAB 于点E，在直角△AEP 中，APE=，则AE=PEtanAPE=300.45=13.5（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段 AP 的长为 4 或．【考点】相似三角形的判定．【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再分△ADP∽△ABC 与△ADP∽△ACB 两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6， AB= =10．∵D 是边 AB 的中点， AD=5．当△ADP∽△ABC 时， = ，即 = ，解得 AP=4；当---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ △ADP∽△ACB 时， = ，即 = ，解得 AP= ．故答案为：4 或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则 cosA= ．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD的角平分线，设BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，因为四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，所以S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出 OB2 =OAON=5k 2 ，推出 OB=k，AB=AD= = k，由 ADBH= BDAO，推出BH= = ，再利用勾股定理求出 AH 即可解决问题．【解答】解：如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．∵ABBN，ADDN，ABN=ADN=90，在Rt△ANB 和Rt△AN D 中，，△ABN≌△ADN，BAN=DAN， AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD 的角平分线，设 BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设 S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，∵四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，∵△ABO∽△BNO， OB2 =OAON=5k 2 ， OB= k，AB=AD= = k，∵ ADBH= BDAO， BH= = ，11/ 18AH= = = k， cosA= = = ．故答案为【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：y= x2 ﹣4x+5=（x﹣4）2 ﹣3，抛物线开口向上，对称轴 x=4，顶点（4，﹣3）．【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量．【考点】*平面向量；梯形．【专题】计算题．【分析】（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，将问题转化到△ABM 中，利用相似三角形的判定与性质求 EN，由 EF=EN+NF=EN+AD 进行求解；（2）由 = 、 = 得 BC= AD，EB= AB，根据 = 可得答案．【解答】解：（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，又AD∥BC，EF∥AD，---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 四边形 BCFN 与 MNFD 均为平行四边形． BC=NF=MD=2， AM=AD﹣MD=1．又 =2， = ，∵EF∥AD，△BEN∽△BAM，，即， EN= ，则 EF=EN+NF= ；（2）∵ = ， = ， BC= AD，EB= AB， = = ，= = ，则 = = + ．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出对应边的长度之比和向量的基本运算是解题的关键． 21．如图，在△AB C 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据A 的正切用 BC 表示出 AC，再利用勾股定理列方程求出 BC，再求出 AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）设 CE=x，表示出 AE，再根据翻折变换的性质可得 BE=AE，然后列方程求出 x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵ACB=90，tanA= ， = ， AC=2BC，在Rt△ABC 中，BC2 +AC 2 =AB 2 ，即 BC2 +4BC 2 =25，解得 BC= ，所以，AC=2 ，△ABC 的面积= ACBC= 2 =5；（2）设 CE=x，则 AE=AC﹣CE=2 ﹣x，∵△ABC 沿直线 l 翻折点 A 与点 B 重合， BE=AE=2 ﹣x，在Rt△BCE 中，BC2 +CE 2 =BE 2 ，即2 +x 2 =（2﹣x）2 ，解得 x= ，所以，CE= ， BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，所以，sinCBE= = = ．【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，13/ 18利用勾股定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面 C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和BD，过点 D 作地面 MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，根据三角函数，利用 x 表示出 AE 和 BE 的长，则在直角△BED 中，利用勾股定理表示出 BD 的长，在直角△ABC 中利用勾股定理表示出BC，根据 BC=BD 即可列方程求解．【解答】解：作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，BAE=90﹣DAH=90﹣30=60，则 AE=ABcosBAE=xcos60= x（米）， BE=ABsinBAE=xsin60= x（米）．则 DE=AD﹣AE=12﹣ x，在直角△BED 中，BD2 =BE 2 +DE 2 =（x）2 +（12﹣x）2 =144+x 2 ﹣12x，在直角△ABC 中，BC2 =AC 2 +AB 2 =7 2 +x 2 =49+x 2 ．∵BC=BD， 144+x2 ﹣12x=49+x 2 ．解得 x= 7.9 答：电线杆 AB 的高度约是 7.9 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，利用 AB 的长表示抽BD 和 BC 是关键． 23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ DE=DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出 AD= ，BD= ，得出 BD=CD，由等腰三角形的性质得出DBC=ACB，证出ABD=BDC，再证明点 B、E、D、F 四点共圆，由圆周角定理得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB 是AD 与AC 的比例中项．，又∵A=A，△ABD∽△ACB， ACB=ABD；（2）证明：∵△ABD∽△ACB，，即，解得：AD= ，BD= ， CD=AC﹣AD=6﹣ = ， BD=CD， DBC=ACB，∵ACB=ABD，ABD=BDC，∵EDF=A+C，A+C=180﹣ABC， EDF+ABC=180，点 B、E、D、F 四点共圆，， DE=DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的关键． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出 D，E 坐标，根据平移，用 k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标15/ 18轴上点的特点得出m+n=16，mn=63﹣，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出 k 【解答】解：（1）∵抛物线过点 A（1，0）、B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），∵C（4，6）， 6=a（4﹣1）（4﹣3）， a=2，抛物线的解析式为 y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2 ﹣8x+6；（2）如图，设点 D（m，0），E（n，0），∵A（1，0）， AD=m﹣1，AE=n﹣1 由（1）知，抛物线的解析式为 y=2x2 ﹣8x+6=2（x﹣2） 2 ﹣2；将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，得到抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2；再沿 y 轴方向平移 k 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2﹣k；令 y=0，则 2（x﹣8）2 ﹣2﹣k=0，2x2 ﹣32x+126﹣k=0，根据根与系数的关系得， m+n=16，mn=63﹣，∵A（1，0），C（4，6）， AC2 =（4﹣1）2+6 2 =45，∵△ACD∽△AEC，，AC2 =ADAE， 45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， 45=63﹣﹣16+1，k=6，即：k=6，向下平移 6 个单位．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点 D，E 的坐标，借助韦达定理直接求出 k． 25．如图，△ABC 边 AB 上点 D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【考点】三角形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 性质；解直角三角形．【专题】压轴题；面积法．【分析】（1）先根据ACB=90，AC=3，BC=4，求得 AB=5，sinA= ，tanB= ，再根据△ACD 为直角三角形，求得 AD，在Rt△CDE 中，求得 DE，最后根据 BE=AB ﹣AD﹣DE 进行计算即可；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，进而得出CED=CDE，再根据B=DCE，CDE=BDC，得到BCD=CED=CDE=BDC，最后求得 AD 的长；（3）先作 CHAB 于 H，Rt△ACH 中，求得 CH 和 AH 的长，在Rt△CDH 中，根据勾股定理得出：CD2 =x 2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出 CD2 =DEDB，即 x 2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【解答】（1）在△ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4， AB=5，sinA= ，tanB= ，如图，当 CDAB 时，△ACD 为直角三角形，CD=ACsinA= ，AD= = ，又∵DCE=ABC，在Rt△CDE 中，DE=CDtanDCE= = ， BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣ = ；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，唯有CED=CDE，又∵B=DCE，CDE=BDC， BCD=CED=CDE=BDC， BD=BC=4， AD=5﹣4=1；（3）如图所示，作 CHAB 于 H，∵ BCAC= ABCH， CH= ，Rt△ACH 中，AH= = ，在Rt△CDH 中，CD2 =CH 2 +DH 2 =（）2 +（﹣x）2 =x 2 ﹣x+9，又∵CDE=BDC，DCE=B，△BDC∽△CDE， CD2 =DEDB，即 x2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），解得．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性17/ 18质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．。

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．（4分）正八边形的中心角为度．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（4分）正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF ＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

上海市虹口区2019届初三一模数学试卷2019.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 抛物线21y x =-与y 轴交点的坐标是（ ）A. (1,0)-B. (1,0)C. (0,1)-D. (0,1) 2. 如果抛物线2(2)y a x =+开口向下，那么a 的取值范围为（ ）A. 2a >B. 2a <C. 2a >-D. 2a <- 3. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，如果5AC =，13AB =，那么cos A 的值为（ ） A.513 B. 1213 C. 125D. 5124. 如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）A. 5米B. 53米C.D. 45米 5. 如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ） A. 3a e = B. 3a e =- C. 3e a = D. 3e a =- 6. 如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 在AD 上，如果ABE C ∠=∠，2AE ED =，那么△ABE 与△ADC 的周长比为（ ）A. 1:2B. 2:3C. 1:4D. 4:9二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 如果23a b =，那么a b a+的值为 8. 计算：2(3)a b a --=9. 如果抛物线22y ax =+经过点(1,0)，那么a 的值为 10. 如果抛物线2(1)y m x =-有最低点，那么m 的取值范围为11. 如果抛物线2()1y x m m =-++的对称轴是直线1x =，那么它的顶点坐标为 12. 如果点1(5,)A y -与点2(2,)B y -都在抛物线2(1)1y x =++上，那么1y 2y （填“<”、“>”或“=”）13. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，如果2sin 3A =，4BC =，那么AB 的长为14. 如图，AB ∥CD ∥EF ，点C 、D 分别在BE 、AF 上，如果6BC =，9CE =，10AF =，那么D F 的长为15. 如图，在△ABC 中，点G 为△ABC 的重心，过点G 作DE ∥AC 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，过点D 作D F ∥BC 交AC 于点F ，如果4D F =，那么BE 的长为 16. 如图，在Rt △ABC ，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ，如果2AC =，4BC =，那么cot CAE ∠=17. 定义：如果△ABC 内有一点P ，满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，那么称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点P 为△ABC 的布罗卡尔 点，如果2PA =，那么PC =18. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中 点，△BED 绕着点B 旋转至△11BD E ，如果点D 、E 、1D 在同一直线上，那么1EE 的长 为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：222cos 30sin30tan 604cos45︒-︒︒-︒.20. 已知抛物线2246y x x =--. （1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x 轴向左平移m （0m >）个单位后经过原点，求m 的值.21. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4cot 3A =，6BC =，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且DE ∥BC ，1tan2DBC ∠=. （1）求AD 的长；（2）如果AC a =，AB b =，用a 、b 表示DE .22. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样的抬腿，就会带动踏板连杆饶轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE 高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE 上的线段AB 重合，BE 长为0.2米，当踏板连杆绕着点A 旋转到AC 处时，测得37CAB ∠=︒，此时点C 距离地面的高度CF 为0.45米，求AB 和AD 的长. 【参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈】23. 如图，在△ABC 中，AB AC =，D 是边BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为点E . （1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：AF BC AD BE ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求tan OAB ∠的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果45BAD ∠=︒，求点D 的坐标.25. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F .（1）如果2cos 3DBC ∠=，求EF 的长； （2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD x =，ABG BEFS y S=，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长.参考答案一. 选择题1. C2. D3. A4. C5. B6. B二. 填空题7.528. 33a b - 9. 2- 10. 1m > 11. (1,2) 12. > 13. 6 14. 615. 8 16. 2 17. 16518.三. 解答题19．解：原式212⨯-…………………………………………………………（8分）=3=+2分）20．解：（1）2246y x x =-- 22(2)6x x =--………………………………………（1分）22(211)6x x =-+-- …………………………………………………（1分） 22(1)8x =--……………………………………………………………（2分） ∴顶点的坐标为（1，-8） ……………………………………………………（2分）（2）设平移后的抛物线表达式为22(1)8y x m =-+-………………………（1分）把原点代入得202(01)8m =-+-…………………………………………（2分）解得31m =-或（舍）∴3m =………………………………………………………………………（2分）21．解：（1）在Rt △ABC 中，4cot 683AC BC A =⋅=⨯= …………………………（2分）在Rt △BCD 中，1tan 632CD BC DBC =⋅∠=⨯=…………………………（2分）∴835AD =-=…………………………………………………………………（1分）（2）∵DE ∥BC ∴58DE AD BC AC == ∴58DE BC = ∴58DE CB =…………………………………………………（2分）∵AC a =，AB b =∴CB CA AB a b =+=-+ ……………………………………………………（2分） ∴555888DE CB a b ==-+………………………………………………………（1分）22．解：过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G由题得EG=CF=0.45………………………………………………………………（1分） 设AB 为x 米在Rt △ACG 中，cos 0.80AG AC CAB x =⋅∠≈……………………………………（2分）∴0.20BG AB AG x =-≈…………………………………………………………（1分） ∴ 0.200.20.45x +≈…………………………………………………………（2分）解得 1.25x ≈ 即 1.25AB ≈ …………………………………………………（2分） ∴AD=1.8-1.25-0.2≈0.35 ………………………………………………………（1分）答：AB 的长约为1.25米，AD 的长约为0.35米． …………………………………（1分） 23．证明：（1）∵AB=AC ，D 是边BC 的中点∴AD ⊥BC ………………………………………………………… （1分）∵DE ⊥AC∴∠DEC =∠ADC =90°…………………………………………… （1分） 又∵∠C =∠C∴△CDE ∽△CAD ………………………………………………… （1分）∴DE CEAD CD =…………………………………………………… （2分） ∴DE CD AD CE ⋅=⋅ ………………………………………………（1分）（2）∵D 是边BC 的中点，F 为DE 的中点∴CD =12BC ，DE =2DF ∵DE CE AD CD =即DE ADCE CD =∴ 212DF AD CE BC = ∴DF ADCE BC=……………………………………………………………（2分） ∵AD ⊥BC ∴∠C +∠DAC =90°∵DE ⊥AC ∴∠ADE +∠DAC =90°∴∠C =∠ADE ………………………………………………………… （2分）∴△ADF ∽△BCE ……………………………………………………（1分）∴AF ADBE BC =∴=AF BC AD BE ⋅⋅………………………………………………………（1分）24．解：（1） 把O （0，0）和B （4，0）代入2y x bx c =-++ 0;0164.c b c =⎧⎨=-++⎩ 解得4;0.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………（2分）∴抛物线的表达式为24y x x =-+ ………………………………………（1分）∴对称轴为直线x=2………………………………………………………………（1分） （2）∵点A （3，m ）在抛物线上 ∴m=3∴点A （3，3）………………………………………………………………………（1分） 过点A 作AP ⊥x 轴，垂足为点P 过点B 作BQ ⊥AO ，垂足为点Q ∵OP=AP ∴∠AOB =45°∴BQ=OQ………………………………………………………………（1分） ∴AQ =AO -OQ………………………………………………………………（1分） ∴tan ∠OAB=2BQ AQ = ……………………………………………………………（1分）（3）设射线AD 交x 轴于点E ，可得∠BAD =∠AOB =45°∵∠ABO =∠EBA∴△ABO ∽△EBA ……………………………………………………………………（1分） ∴AB OBBE AB =得52BE = ∴E 3(,0)2……………………………………（1分） 设l AE ：y=kx +b ’（k ≠0）把点A 、E 代入得33';30'.2k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得2;' 3.k b =⎧⎨=-⎩ ∴l AE ：y=2x -3………………………………………………………………………（1分） 把x =2代入，得y =1∴点D （2，1）………………………………………………………………………（1分） 25．（1）根据题意得△ABE ≌△GBE ∴BG=AB=6在Rt △BGF 中，BF = 9cos BGDBC=∠ …………………………………………（2分）由△ABE ≌△GBE得∠AEB =∠BEG∵AD ∥BC ∴∠AEB =∠EBF∴∠BEF =∠EBF∴FE=FB =9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠GBF 又∵∠A =∠BGF =90° ∴△ABD ∽△GFB∴AD BD BG BF =即6x =∴BF =………………………………………………………………（2分）∵AD ∥BC ∠A =90° ∴∠ABF =90° ∴∠ABG+∠GBF=90°又∵∠GBF+∠EFB =90° ∴∠ABG =∠EFB根据题意得AB=BG 又∵FE=FB∴AB BGFB FE =∴△ABG ∽△EFB …………………………………………………………………（1分）∴2222236()36(36)36ABG BEF S AB x x S BF x x ∆∆===++…………………………………（1分）∴2236x y x =+（92x ≥） ………………………………………………（1分，1分）（3）①点F 在BC 上∵∠GFC =∠AEG >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴FG=FC 设FG=FC=a ，则BF=10-a由题意得a 2+62=（10-a ）2 解得165a =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即16656AD = 解得454AD = ……………………………………………（2分）②点F 在BC 的延长线上 ∵∠GCF >∠DCF >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴CG=CF∴易得在Rt △BGF 中，BC=CF =10 ，∴FG = ∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即6AD =解得AD = ………………………………………（2分）综合①②，454AD =。

2019年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．抛物线y＝2（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）2．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中能够判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos B＝，BC＝a，那么AC的长是（）A．2a B．3a C．a D．a4．如果||＝2，＝，那么下列说法正确的是（）A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量C．2＝D．5．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．26．在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（）A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BCB．如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°C．如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】第11题图BACDEF7．若线段a、b、c、d满足＝＝，则的值等于．8．如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是．9．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．10．边长为6的正六边形的边心距为．11．如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，AC＝7，EF＝6，则DE的长为．12．已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为．13．若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于．14．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于千米．（结果保留根号）15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，若圆A的半径长为5，圆C的半径长为R，且圆A与圆C 内切，则R的值等于．16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于．17．已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于．18．如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tan B＝，那么BP的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：60°+．20．（10分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．（1）求BD的长；（2）设＝，＝，用含、的式子表示．21．（10分）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC＝AB，OC＝3，sin A＝．求：（1）圆O的半径长；（2）BC的长．22．（10分）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i ＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）23．（12分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．24．（12分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．25．（14分）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．2019年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．抛物线y＝2（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【解答】解：∵y＝2（x+2）2﹣3∴抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）故选：B．【点评】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．2．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中能够判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．由＝，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由＝，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；C．由＝，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由＝，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos B＝，BC＝a，那么AC的长是（）A．2a B．3a C．a D．a【分析】依据cos B＝，BC＝a，即可得到AB＝3a，再根据勾股定理，即可得到AC的长．【解答】解：∵cos B＝，BC＝a，∴AB＝3a，∵∠C＝90°，∴Rt△ABC中，AC＝＝＝2a，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．在直角三角形中，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．4．如果||＝2，＝，那么下列说法正确的是（）A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量C．2＝D．【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【解答】解：A、由＝得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝得到2＝，故本选项说法错误．D、由＝得到，故本选项说法正确．故选：D．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．5．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．【解答】解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O 外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．6．在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（）A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BCB．如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°C．如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2＝BD•CD，∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD＝∠C，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】第11题图BACDEF7．若线段a、b、c、d满足＝＝，则的值等于．【分析】根据等比的性质即可求出的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d满足＝＝，∴＝．故答案为：．【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握等比的性质．8．如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是m＞3．【分析】由于抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．【解答】解：∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，∴3﹣m＜0，即m＞3．故答案为m＞3．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．9．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．10．边长为6的正六边形的边心距为3．【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．【解答】解：如图所示，此正六边形中AB＝6，则∠AOB＝60°；∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG＝30°，∴OG＝OA•cos30°＝6×＝3，故答案为3．【点评】本题考查了正多边形和圆的计算问题，属于常规题．11．如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，AC＝7，EF＝6，则DE的长为．【分析】根据AB＝3，AC＝7，可得BC＝4，再根据AD∥BE∥CF，即可得出＝，即＝，进而得到DE的长．【解答】解：∵AB＝3，AC＝7，∴BC＝4，∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得DE＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．12．已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP＝AB，代入数据即可得出AB 的长．【解答】解：∵点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段，∴BP＝AB，∴AB＝2，解得AB＝+1．故答案为：+1．【点评】本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．13．若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于6．【分析】利用抛物线的对称性得到A和B点，C点和D点为抛物线上的两组对称点，由点A、B的坐标得到抛物线的对称轴，然后利用对称轴求出k的值．【解答】解：∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线解析式为直线x＝2，∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x＝2对称，∴k﹣2＝2﹣（﹣2），∴k＝6．故答案为6．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于（2+2）千米．（结果保留根号）【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC•cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（2+2）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，若圆A的半径长为5，圆C的半径长为R，且圆A与圆C 内切，则R的值等于5﹣2或5．【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，讨论：当点C在⊙A内时，5﹣R＝2；当点A在⊙C 内时，R﹣5＝2，然后分别解关于R的方程即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴AC＝＝2，当点C在⊙A内时，∵圆A与圆C内切，∴5﹣R＝2，即R＝5﹣2；当点A在⊙C内时，∵圆A与圆C内切，∴R﹣5＝2，即R＝5+2；综上所述，R的值为5﹣2或5+2．故答案为5﹣2或5+2．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R ﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于9．【分析】过E作EG⊥BC于G，根据已知条件得到点F是△ABC的重心，求得AD＝3DF＝9，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据平行线分线段成比例定理得到EG＝AD＝，CG＝CD，根据勾股定理得到BG＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过E作EG⊥BC于G，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AD＝3DF＝9，∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE是边AC上的中线，∴AE＝CE，∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD，∴EG＝AD＝，CG＝CD，∵BE＝6，∴BG＝＝，∴BC＝BG＝2，∴△ABC的面积＝×9×2＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于．【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可．【解答】解：∵AC＝12，BC＝5，∴∠CAB＜∠CBA，故可在∠CAB内作∠CBP＝∠CAB，又∵点P为△ABC的自相似点，∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D，则△BPC∽△ACB，∴点P为△ABC的自相似点，∴∠BCP＝∠CBA，∴∠ACP的余切＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键．18．如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tan B＝，那么BP的长为或7．【分析】①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设AH＝4x，BH＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝5x＝5，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，根据勾股定理得到MB′＝＝3，求得HN＝MN＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论；②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，求得NB＝NB′，推出点P与N重合，得到BP＝BN＝7．【解答】解：①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设BB′与AP交于E，AD的垂直平分线交AD于M，BC于N，∵tan B＝＝，∴设AH＝4x，BH＝3x，∴AB＝＝5x＝5，∴x＝1，∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上，∴AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，∴四边形AHNM是正方形，MB′＝＝3，∴HN＝MN＝4，∴BN＝7，B′N＝1，∴BB′＝＝5，∴BE＝BB′＝，∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，∴△BPE∽△BB′N，∴＝，∴＝，∴BP＝；②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，∴NB＝NB′，∴点N在BB′的垂直平分线上，∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，∴点P也在BB′的垂直平分线上，∴点P与N重合，∴BP＝BN＝7，综上所述，BP的长为或7．故答案为：或7．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：60°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×（）2+＝×+＝﹣（+）＝﹣﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．（1）求BD的长；（2）设＝，＝，用含、的式子表示．【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质得到AB＝AC＝5，然后结合平行线截线段成比例求得BD的长度．（2）由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF．∵AC∥BD，∴∠CBF＝∠ACB．∴∠ABC＝∠ACB．∴AC＝AB．∵AE＝2，BE＝3，∴AB＝AC＝5．∵AC∥BD，∴＝．∴＝．∴BD＝；（2）∵AC∥BD，∴＝＝．∵＝，∴＝﹣．∴＝+＝﹣﹣．【点评】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．21．（10分）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC＝AB，OC＝3，sin A＝．求：（1）圆O的半径长；（2）BC的长．【分析】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sin A＝＝，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sin A＝＝，∵AC＝8，∴CG＝，AG＝＝，BG＝，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC＝＝＝．【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i ＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【分析】（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，利用坡度表示出CG，BG 的长，进而求出答案；（2）在Rt△ADF中，利用cot A＝，得出AF的长，进而得出答案．【解答】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i＝＝＝，设CG＝4k，BG＝3k，则BC＝＝5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DFA＝90°，∴cot A＝，∴≈1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．23．（12分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．【分析】（1）证明△AED∽△ACB即可解决问题；（2）证明△EFB∽△FAB，可得＝，由AF＝AC，可得结论；【解答】证明：（1）∵AE•AB＝AD•AC．∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED＝∠C，又∵∠AED＝∠FEB，∴∠FEB＝∠C．（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE＝∠FDC，∵＝，∴＝，∴△FBA∽△CDF，∴∠FEB＝∠C∴AF＝AC，∵∠FEB＝∠C，∴∠FEB＝∠AFB，又∵∠FBE＝∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴＝，∵AF＝AC，∴EF•AB＝AC•FB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．【分析】（1）过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，根据等腰直角三角形的性质可求点A（4，0），用待定系数法可求抛物线的表达式；（2）根据平行线的性质可得BM∥OA，可求点M坐标，用待定系数法可求直线BO，直线AB，直线PM的解析式，即可求点P坐标；（3）延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝CN，PG ＝NG，根据锐角三角函数可得tan∠BOA＝3＝tan∠MPG＝，可得MG＝3PG＝3NG，根据面积关系可求的值．【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，∵点B（1，3）∴BH＝3，OH＝1，∵∠BAO＝45°，∠BHA＝90°∴AH＝BH＝3，∴OA＝4∴点A（4，0）∵抛物线过原点O、点A、B，∴设抛物线的表达式为y＝ax2+bx（a≠0）∴解得：a＝﹣1，b＝4∴抛物的线表达式为：y＝﹣x2+4x（2）如图，∵PM∥OB∴∠PMB+∠OBM＝180°，且∠BMP＝∠AOB，∴∠AOB+∠OBM＝180°∴BM∥OA，设点M（m，3），且点M在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴3＝﹣m2+4m，∴m＝1（舍去），m＝3∴点M（3，3），∵点O（0，0），点A（4，0），点B（1，3）∴直线OB解析式为y＝3x，直线AB解析式为y＝﹣x+4，∵PM∥OB，∴设PM解析式为y＝3x+n，且过点M（3，3）∴3＝3×3+n，∴n＝﹣6∴PM解析式为y＝3x﹣6∴解得：x＝，y＝∴点P（，）（3）如图，延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，∵PG⊥MN，MC⊥AD∴PG∥AD∴∠MPG＝∠MDC，∠GPN＝∠BAO＝45°，又∵∠PGC＝90°，∠ACG＝90°，∴AC＝CN，PG＝NG，∵PM∥OB，∴∠BOA＝∠MDC，∴∠MPG＝∠BOA∵点B坐标（1，3）∴tan∠BOA＝3＝tan∠MPG＝∴MG＝3PG＝3NG，∴MN＝4PG，∵△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，∴×AC×NC＝2××MN×PG，∴NC2＝2×MN×MN＝MN2，∴【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．25．（14分）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．【分析】（1）由锐角三角函数可求AC＝15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB，AF的长，即可求EF的长；（2）通过证△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA，可得y关于x的函数解析式；（3）分△ADF∽△CEA，△ADF∽△CAE两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD的长．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴cos∠BCA＝cos∠MBN＝＝，∴∴AC＝15∴AB＝＝20∵S＝×AB×AC＝×BC×AF，△ABC∴AF＝＝12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF＝cos∠MBN＝＝∴AE＝20∴EF＝＝16（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，∴BH＝＝16，∵BF＝x，∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴，∠AEF＝∠FAC，∴AF2＝FC×EF∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，∴EF＝∴BE＝BF+EF＝∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴∴∴y＝（0＜x≤）（3）如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF＝∠AEC，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，∴AB＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠AFC，＝×AB×AC＝×BC×AF，∵S△ABC∴AF＝＝12，∴BF＝＝16，∵AB＝AE，∠AFC＝90°，∴BE＝2BF＝32，∴cos∠MBN＝，∴BE＝，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，∴AC∥DF∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，∴∠MBN＝∠DFB，∴DF＝BD，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴＝＝设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）∴BE＝k，∵BC＝BE﹣CE＝25∴k＝∴AE＝，CE＝，BE＝∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，∴△AFC∽△EFA，∴＝，设AF＝7a，EF＝20a，∴CF＝a，∵CE＝EF﹣CF＝a＝，∴a＝，∴EF＝，∵AC∥DF，∴，∴，∴DF＝，综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似【点评】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

2019年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为()A. 34B. 43C. 35D. 45【答案】A【解析】解：∵AC=4，BC=3，∴tanA=BCAC =34，故选：A．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．2.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是()A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=(x+1)2D. y=(x−1)2【答案】D【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，所以所得的抛物线的表达式为y=(x−1)2．故选：D．先得到抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，再得到点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3.下列各组图形中一定是相似形的是()A. 两个直角三角形B. 两个等边三角形C. 两个菱形D. 两个矩形【答案】B【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是()A. DEBC=23B. DEBC=25C. AEAC=23D. AEAC=25【答案】D【解析】解：当ADDB=AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，即AEEC=23或AEAC=25．故选：D．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当ADDB=AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，然后可对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5.已知e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗，那么下列结论中错误的是()A. a⃗//e⃗B. |a⃗|=3C. a⃗与e⃗方向相同D. a⃗与e⃗方向相反【答案】C【解析】解：A、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，相互平行，即a⃗//e⃗，故本选项错误．B、由a⃗=−3e⃗得到|a⃗|=3，故本选项错误．C、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．根据向量的定义，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．6.如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是()A. AFDF=DEBCB. DFDB =AFDFC. EFCD =DEBCD. AFBD =ADAB【答案】C【解析】解：∵DE//BC，EF//CD ∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴DEBC =AEAC，EFDC=AEAC∴EFDC=DEBC故选：C．根据相似三角形的性质可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知ab =43，那么a−bb=______．【答案】13【解析】解：∵ab =43，∴a=43b，∴原式=43b−bb =13．故答案为13．因为ab =43，所以a=43b，代入求解即可．本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．【答案】6【解析】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，12x=150000，解得：x=600000cm=6km，故答案为：6．根据图上距离实际距离=比例尺列方程即可得到结论．本题考查了比例线段，熟练掌握图上距离实际距离=比例尺是解题的关键．9.在△ABC中，∠C=90∘，sinA=25，BC=4，则AB值是______．【答案】10【解析】解：∵sinA=BCAB，即25=4AB，∴AB=10，故答案为：10．根据正弦函数的定义得出sinA=BCAB，即25=4AB，即可得出AB的值．本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．10.已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，则AC的长______cm．【答案】√5−1【解析】解：∵AC2=BC⋅AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，∴AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为√5−12是解题的关键．11.已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：______．【答案】y=−x2【解析】解：∵二次函数的顶点是：(0,0)，∴设函数的解析式为：y=ax2，又∵点(0,0)是二次函数图象的最高点，∴抛物线开口方向向下，∴a<0，令a=−1，则函数解析式为：y=−x2．根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y=ax2，根据顶点是二次函数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a<0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．12.如果点A(−4,y1)、B(−3,y2)是二次函数y=2x2+k(k是常数)图象上的两点，那么y1______y2.(填“>”、“<”或“=”)【答案】>【解析】解：抛物线的对称轴为y轴，所以当x<0时，y随y的增大而减小，所以y1>y2．故答案为>．先根据二次函数的性质得到当x<0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大小得到函数值的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质．13.小明沿坡比为1：√3的山坡向上走了100米.那么他升高了______米.【答案】50【解析】解：∵坡比为1：√3，∴设BC=x米，则AC=√3x米，由勾股定理得，BC2+AC2=AB2，即x2+(√3x)2=1002，解得，x1=50，x2=−50(舍去)，∴BC=50米，故答案为：50．设BC=x米，根据坡度的概念得到AC=√3x米，根据勾股定理计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．14.如图，已知直线a//b//c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=3，CE=5，DF=4，那么BD=______．【答案】125【解析】解：∵a//b//c，∴ACCE=BDDF，即35=BD4，解得，BD=125，故答案为：125．利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15.如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且ADAB=AEAC=13.设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，那么AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用向量a⃗、b⃗ 表示)【答案】a⃗+3b⃗【解析】解：∵ADAB=AEAC=13，∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABC∴DEBC=ADAB=13∴BC=3DE∵设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗+3b⃗故答案为：a⃗+3b⃗由题意可得△ADE∽△ABC，可得BC=3DE，根据向量的加法可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．16.如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE//BC.如果DEBC =35，CE=4，那么AE的长为______．【答案】32【解析】解：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC∴DEBC=AEAC=35∴设AE=3k，AC=5k(k≠0))，∴CE=3k+5k=4∴k=1 2∴AE=3k=3 2故答案为：32根据相似三角形的性质可得DEBC =AEAC=35，即可求AE的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．17.如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么AFAG的值为______．【答案】35【解析】证明：∵AB=6，D是边AB的中点，∴AD=3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG=∠EAF，∵∠ADE=∠C，∴△ADF∽△ACG；∴AFAG=ADAC=35，故答案为：35．根据线段中点的定义得到AD=3，根据角平分线的定义得到∠BAG=∠EAF，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18.如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为(3,2)，∠AOB=90∘，∠OAB=30∘，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为______．【答案】2√33【解析】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A(3,2)，∴OA=√32+22=√13，∵∠OAB=30∘，∠AOB=90∘，∴OAOB=√3，∵∠AOB=90∘，∠EOC=90∘，∴∠EOB=∠AOD，又∵∠BEO=∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴OEOD=OBAO=√33，即OE3=√33，解得：OE=√3，∵AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE=2：√3=2√33，故答案为：2√33．作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y 轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到OEOD =OBAO=√33，最后依据AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE求解即可．本题主要考查的是含30∘的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【答案】解：y=2(x2+2x)−1，y=2(x2+2x+1)−2−1，y=2(x+1)2−3，开口方向：向上，顶点坐标：(−1,−3)，对称轴：直线x=−1．【解析】利用配方法把将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．20.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，cosA=35.求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cosA=ADAB，∵cosA=35，AB=5，∴AD=AB⋅cosA=5×35=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∵AC=AB=5，∴DC=2，∴BC=√BD2+CD2=2√5．【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE//BC，点F在线段DE上，过点F作FG//AB、FH//AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC=2：4：3.求S△ADES△FGH的值．【答案】解：∵BG：GH：HC=2：4：3，∴设BG=2k，GH=4k，HC=3k，(k≠0)∵DE//BC，FG//AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF=BG=2k，∵DE//BC，FH//AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF=HC=3k，∴DE=5k∵DE//BC∴∠ADE=∠B，∵FG//AB∴∠FGH=∠B，∴∠ADE=∠FGH，同理可得：∠AED=∠FHG∴△ADE∽△FGH∴S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516，【解析】设BG=2k，GH=4k，HC=3k，根据平行四边形的性质可得DF=BG=2k，EF=HC=3k，可得DE=5k，根据△ADE∽△FGH可得S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．22.某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)，直线MN垂直于地面，垂足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58∘、点N的仰角为45∘，在B处测得点M的仰角为31∘，AB=5米，且A、B、P三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60，sin31∘=0.52，cos31∘=0.86，tan31∘=0.60.)【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP=45∘，∴PA=PN，在Rt△APM中，tan∠MAP =MPAP，设PA=PN=x，∵∠MAP=58∘，∴MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP=MPBP，∵∠MBP=31∘，AB=5，∴0.6=1.6x5+x，∴x=3，∴MN=MP−NP=0.6x=1.8(米)，答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【解析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA=PN，设PA=PN=x，得到MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．23.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC⋅CE=AD⋅BC．(1)求证：∠DCA=∠EBC；(2)延长BE交AD于F，求证：AB2=AF⋅AD．【答案】证明：(1)∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA∵AC⋅CE=AD⋅BC，∴ACBC=ADCE∴△ACD∽△CBE∴∠DCA=∠EBC(2)∵AD//BC，∴∠AFB=∠EBC，且∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA∵AD//BC，AB=DC∴∠BAD=∠ADC∴△ABF∽△DAC∴ABAD=AFCD且AB=DC，∴AB2=AF⋅AD【解析】(1)通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA=∠EBC；(2)通过证明△ABF∽△DAC，可得ABAD=AFCD，可得AB2=AF⋅AD．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两个三角形相似是本题的关键．24.如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−2,0)，点B(0,4)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；(3)将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE//x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值．【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(−2,0)，点B(0,4) ∴{c =4−2−2b+c=0，解得{c =4b=1∴抛物线解析式为y =−12x 2+x +4， (2)y =−12x 2+x +4=−12(x −1)2+92，∴对称轴为直线x =1，如图1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ，∵∠PBO =∠BAO ，∴tan∠PBO =tan∠BAO ，∴PG BG =BOAO∴1BG =21，∴BG =12∴OG =72， ∴P(1,72)， (3)如图2设新抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4−m 则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE =2 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ， ∵DE//FH ，EO =2OF∴DE FH =EO OF =DO OH =21， ∴FH =1，①点D 在y 轴的正半轴上，则F(−1,52−m)，∴OH =m −52∴DO OH=4−mm−52=21， ∴m =3，②点D 在y 轴的负半轴上，则F(1,92−m)，∴OH =m −92， ∴DOOH =m−4m−92=21，∴m =5∴综上所述m 的值为3或5．【解析】(1)把点A(−2,0)，点B(0,4)代入解析式求解即可；(2)先确定抛物线的对称轴，再过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ，根据三角函数建立等量关系，求解即可； (3)设新抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4−m ，则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE =2，过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，运用平行建立线段的比例关系求解即可．此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键25.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．(1)如果BC=6，AC=8，且P为AC的中点，求线段BE的长；(2)联结PD，如果PD⊥AB，且CE=2，ED=3，求cosA的值；(3)联结PD，如果BP2=2CD2，且CE=2，ED=3，求线段PD的长．【答案】解：(1)∵P为AC的中点，AC=8，∴CP=4，∵∠ACB=90∘，BC=6，∴BP=2√13，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE=23BP=43√13；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，∴BDDA =FDDC=BFCA，∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC，∵CE=2，ED=3，则CD=5，∴EF=8，∴CPBF =CEEF=28=14，∴CPCA =14，∴CPPA =13，设CP=k，则PA=3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA=PB=3k∴BC=2√2k，∴AB=2√6k，∵AC=4k，∴cosA=√63；(3)∵∠ACB=90∘，D是边AB的中点，∴CD=BD=12AB，∵PB2=2CD2，∴BP2=2CD⋅CD=BD⋅AB，∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD=∠A，∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2=DE⋅DC，∵DE=3，DC=5，∴PD=√15．【解析】(1)根据已知条件得到CP=4，求得BP=2√13，根据三角形重心的性质即可得到结论；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到BDDA=FDDC=BFCA，求得CPPA=13，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论；(3)根据直角三角形的性质得到CD=BD=12AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

上海市闵行区2019届初三一模数学试卷2019.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 在Rt △ABC 中，90C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中，不成立的是（ ） A. tan b B a B. cos a B c C. sin a A c D. cot a A b2. 如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）A. 北偏东30°B. 北偏西30°C. 北偏东60°D. 北偏西60°3. 将二次函数22(2)y x 的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图像的函数解析式为（ ）A. 22(2)4y xB. 22(1)3y xC. 22(1)3y xD. 223y x4. 已知二次函数2y ax bx c 的图像如图所示，那么根据图像，下列判断中不正确的是（ ）A. 0aB. 0bC. 0cD. 0abc5. 已知，点C 在线段AB 上，且2AC BC ，那么下列等式一定正确的是（ ） A. 423AC BC AB B. 20AC BC C. ||||AC BC BC D. ||||AC BC BC6. 已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 和BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥ AC ，那么下列比例式中，正确的是（ ） A. AE CF EC FB B. AE DE EC BC C. DF DE AC BC D. EC FC AC BC二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 已知:2:5x y ，那么():x y y8. 化简：313()222a b a b 9. 抛物线232y x x 与y 轴的公共点的坐标是10. 已知二次函数2132y x ，如果0x ，那么函数值y 随着自变量x 的增大而 （填“增大”或减小”）11. 已知线段4AB 厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP ），那么线段AP 厘米（结果保留根号）12. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果35AD AB ，6DE ， 那么BC13. 已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个相似三角形的面积比为14. 在Rt △ABC 中，90C ，AB ，1tan 3A ，那么BC 15. 某超市自动扶梯的坡比为1:2.4，一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客 此时离地面的高度为 米16. 在△ABC 和△DEF 中，AB BC DE EF，要使△ABC ∽△DEF ，还需要添加一个条件， 那么这个条件可以是 （只需填写一个正确的答案）17. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ，AC BC ，点D 、E 分别在边AB 上，且2AD ，45DCE ，那么DE18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ，3BC ，4AC ，点D 为边AB 上一点，将 △BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，如果AE ∥CD ，那么BE三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c 的图像经过点(1,0)A 、(0,5)B 、(2,3)C ，求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴.20. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为边AB 上一点，且2BE AE ，设AB a ，AD b . （1）填空：向量DE ； （2）如果点F 是线段OC 的中点，那么向量EF ，并在图中画出向量EF 在向量AB 和AD 方向上的分向量. （注：本题结果用向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ，6BC ，8AC ，点D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交边AC 于E ，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F .（1）如果13AD AB ，求线段EF 的长； （2）求CFE 的正弦值.22. 如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ，中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果精确到0.01米）.【参考数据：sin 320.5299 ，cos320.8480 ，tan 320.6249 1.4142 】23. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AD AB ，AE BC ，垂足为点E ， 过点D 作DF ∥AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC. （1）求证：△EDF ∽△EFC ；（2）如果14EDF ADC S S ，求证：AB BD .24. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx 经过点(5,0)A 、(3,4)B ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ，求BDO 的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ，求点P 的坐标.25. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD ，5AD ，15BC ，5cos 13ABC ， E 为射线CD 上任意一点（点E 与点C 不重合），过点A 作AF ∥BE ，与射线CD 相交于点F ，联结BF ，与直线AD 相交于点G （点C 与点A 、D 都不重合），设CE x ，AG y DG. （1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEFABCD S S 四边形四边形，求线段CE 的长.参考答案一. 选择题1. D2. B3. C4. B5. C6. A二. 填空题7. 7:5 8. 14a b 9. 0,2（） 10. 减小 11. 2 12. 10 13. 4:9 14. 2 15. 216. B E （或AB AC DE DF 或BC AC EF DF ） 17. 103 18. 245（或4.8）三. 解答题19. 265y x x ，顶点坐标为(3,4)，对称轴为直线3x . 20.（1）13a b ；（2）53124a b ，画图及结论正确2分. 21.（1）4EF ；（2）4sin 5CFE . 22. 塔AB 的高度约为33米.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）21566y x x ；（2）11cot 8BDO ；（3）1520(,)1111P . 25.（1）13AB ；（2）3923x y x （3902x ）；（3）132CE 或652.。

2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：CD＝1：22．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE ＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP 翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF •CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE ＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y ＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP，求m的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB ＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2019年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3B．CE：EA＝1：3C．CD：EF＝1：2D．AB：CD＝1：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE ＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R ﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP 翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D＝AC ＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF •CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE ＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH＝AE ﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y ＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP，求m的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP ＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S △BCP ′＝S △P ′MC +S △P ′MB ＝P ′M •OB ＝|﹣1﹣m +|×6＝3|﹣m |，∴2（m +1）＝3|﹣m |，解得m ＝或m ＝．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DAB ＝45°，AB ∥DC ，DC ＝3，AB＝5，点P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 于射线CB 交于点F ．（1）若AP ＝，求DE 的长；（2）联结CP ，若CP ＝EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似？若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A ，作AH ∥BC ，交CD 的延长线于点H ，在Rt △AHE 中求出AE ，即可求求解；（2）设：AP ＝x ，利用△APE ∽△PEC ，得出PC 2＝CE •AP ，利用勾股定理得出PC 2＝PB 2+BC 2，即可求解；（3）利用△ADE ∽△FGE ，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A ，作AH ∥BC ，交CD 的延长线于点H ．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．第21 页共21 页。

上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。

2019年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x52．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是．8．方程＝的根是 ．9．已知＝，那么的值是 ． 10．△ABC ∽△A 1B 1C 1，其中点A ，B ，C 分别与点A 1，B 1，C 1对应，如果AB ：A 1B 1＝2：3，AC ＝6，那么A 1C 1＝ ．11．如图，在点A 处测得点B 处的仰角是 ．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）12．如图，当小明沿坡度i ＝1：的坡面由A 到B 行走了6米时，他实际上升的高度BC＝ 米．13．抛物线y ＝ax 2+（a ﹣1）（a ≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”）14．如图4，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，且S △AOD ：S △BOC ＝1：4．设＝，＝，那么向量＝ ．（用向量、表示）15．在中△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，G 是重心，那么G 到斜边AB 中点的距离是 ．16．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC 于点F，连接A E．如果tan∠DFC＝，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．22．（10分）2019年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB ＝ED，分别延长ED、AC交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM ∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．参考答案一、选择题1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝x6，故选：C．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项A不符合题意，y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B符合题意，y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项C不符合题意，y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：＝．故选：D．【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【解答】解：在△ADE与△ACB中，∵＝，且∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【分析】根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断．【解答】解：A、设为单位向量，那么||＝1，故本选项说法正确．B、已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么、方向相反，则∥，故本选项说法正确．C、四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||即AD＝BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是x＞．【分析】先移项，再系数化为1即可．【解答】解：移项，得2x＞1，系数化为1，得x＞．【点评】注意移项要变号．8．方程＝的根是x＝﹣1 ．【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1所以x＝±1．当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；当x ＝﹣1时，x ﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．所以原方程的解为：x ＝﹣1．故答案为：x ＝﹣1．【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．9．已知＝，那么的值是 ．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝， ∴设x ＝2a ，则y ＝5a ，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．10．△ABC ∽△A 1B 1C 1，其中点A ，B ，C 分别与点A 1，B 1，C 1对应，如果AB ：A 1B 1＝2：3，AC ＝6，那么A 1C 1＝ 9 ．【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ：A 1B 1＝2：3，∴＝＝，∵AC ＝6，∴＝∴A 1C 1＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．11．如图，在点A 处测得点B 处的仰角是 ∠4 ．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）【分析】根据仰角的定义即可得到结论．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角，熟记仰角和俯角的定义是解题的关键．12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC ＝ 3 米．【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵i＝1：，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝+．（用向量、表示）【分析】根据已知条件得到△ADO∽△CBO，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，得到＝，求得＝，根据已知条件得到＝+，于是得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝，∵＝，＝，∴＝+，∴＝＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【分析】根据勾股定理可求得AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝5，最后根据重心的性质可求DG．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝5，∵点G是重心，∴DG＝CD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1 ．【分析】沿直线y＝x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【解答】解：∵抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为，相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．故答案为：y＝（x﹣1）2+1．【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．【分析】根据平行四边形的判定得到四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质得到BE＝AD，DE＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB＝3，∵CD＝8，∴CE＝CD＝DE＝5，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵∠AEB＝∠C，∴△AEB∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC 于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设CD＝BE＝2x，CF＝EF ＝3x，根据勾股定理得到BF＝CF＝＝x，求得BC＝（+3）x，根据勾股定理得到BD＝＝x，根据三角形的面积公式得到AH＝，求得AE＝2AH＝，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵矩形ABC D沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，∴∠DBF＝∠FDB，∴BF＝DF，∴EF＝CF，∵tan∠DFC＝∠BFE＝，∴设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，∴BF＝CF＝＝x，∴BC＝（+3）x，∴BD＝＝x，∵AE⊥BD，∴AH＝，∴AE＝2AH＝，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3﹣2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案，（2）把x＝2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y＝0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入得：＝，解得：k＝8，即反比例函数的解析式为：y＝，（2）把x＝2代入y＝得：y＝＝4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，把y＝0代入得：﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，即B点的坐标为：（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式，（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．22．（10分）2019年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【分析】（1）由AC⊥BC，得到∠C＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝800，在Rt△ABC 中根据三角函数的定义得到AB＝＝≈1395 米；（2）求得该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB ＝ED，分别延长ED、AC交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠B，∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF，∴△ABD∽△FDC；（2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA，∴△AED∽△FEA，∴＝，∴AE2＝DE•EF，∵BE＝DE，∴AE2＝BE•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．【分析】（1）设A（m，0），由△ABD的面积是3可求得m＝2，再利用待定系数法求解可得；（2）作DF⊥x轴，BF⊥AD，由A，B，D坐标知DF＝AF＝3，据此可求得AD＝3，∠DAF＝45°，继而可得AE＝BE＝，DE＝2，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线AD解析式为y＝x﹣2，直线BD解析式为y＝3x﹣12，直线CD解析式为y＝﹣x+8，①△ADB∽△APE时BD∥PE，此条件下求得PE解析式，连接直线PE和直线AD解析式所得方程组，解之求得点P坐标；②△ADB∽△AEP时∠ADB＝∠AEP，依据tan∠ADB＝tan∠AEP＝求解可得．【解答】解：（1）设A（m，0），则AB＝4﹣m，由△ABD的面积是3知（4﹣m）×3＝3，解得m＝2，∴A（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），将D（5，3）代入得：3a＝3，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，0），B（4，0），D（5，3），∴DF＝3，AF＝3，则AD＝3，∠DAF＝45°，过点B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝，∴DE＝2，∴tan∠ADB＝＝＝；（3）如图2，由A（2，0），D（5，3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，由B（4，0），D（5，3）可得直线BD解析式为y＝3x﹣12，由C（0，8），D（5，3）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，当y＝0时，﹣x+8＝0，解得x＝8，∴E（8，0），①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，∴BD∥PE，设PE所在直线解析式为y＝3x+m，将点E（8，0）代入得24+m＝0，解得m＝﹣24，∴直线PE解析式为y＝3x+24，由得，∴此时点P（11，9）；②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝，设P（n，n﹣2），过点P作PG⊥AE于点G，则OG＝n，PG＝n﹣2，∴GE＝8﹣n，由tan∠AEP＝＝＝求得n＝4，∴P（4，2）；综上，P（11，9）或（4，2）．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM ∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【分析】（1）确定∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC后，用解直角三角形的方法，求出AH和BC 长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用cos∠PQC＝cosα＝＝，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，∵BM∥AC，∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC，tan∠ABC＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，设：BH＝a，则AH＝a，则AB2＝AH2+BH2，即：36＝a2+8a2，解得：a＝2，即BH＝2，AH＝，CH＝＝2，则BC＝BH+CH＝9＝AC，∴∠ABC＝∠BAC＝α，S＝AH•BC＝××9＝18；△ABC（2）过点A作AG⊥PA交于点G，∵∠PBA＝∠CBA＝α，AH⊥BC，∴BG＝BH＝2，AG＝AH＝，PG＝x﹣2，AP＝＝，∵∠QAC+∠PAB＝180﹣α，∠PAB+∠APB＝180°﹣α，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP＝，AC＝9，CQ＝，y＝（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，cos∠PQC＝cosα＝＝…①，其中CQ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP＝，把CQ、PA、AP代入①式整理得：解得：x＝9，即BP的长为9．【点评】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．课后拓展名言名句：任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的!自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。

2019年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题1．抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）2．如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cos A的值为（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5米C．2米D．4米5．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．＝3B．＝﹣3C．＝3D．＝﹣36．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE 与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9二、填空题7．如果＝，那么的值为．8．计算：2﹣（3﹣）＝9．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．11．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为．12．如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，BC＝4，那么AB＝．14．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为．15．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝．18．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为．三、解答题19．（10分）计算：20．（10分）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且DE∥BC，tan∠DBC＝．（1）求AD的长；（2）如果＝，＝，用、表示．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB的值．25．（14分）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．2019年上海市虹口区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【分析】通过计算自变量为对应的函数值可得到抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1，所以抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．2．如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣2【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2开口向下，∴a+2＜0，∴a＜﹣2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．”是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴cos A＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5米C．2米D．4米【分析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．5．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．＝3B．＝﹣3C．＝3D．＝﹣3【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反，∴＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD＝S△ABE即可求得．【分析】根据已知条件先求得S△ABE【解答】解：∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，：L△ACD＝2：3，∴L△ABE故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．二、填空题7．如果＝，那么的值为．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，则b＝3x，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．8．计算：2﹣（3﹣）＝3﹣3【分析】实数的加减计算法则同样适用于平面向量的加减计算法则．【解答】解：原式＝2﹣3+＝3﹣3．故答案是：3﹣3．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．9．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为﹣2．【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出a的值．【解答】解：把（1，0）代入y＝ax2+2得a+2＝0，解得a＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为m＞1．【分析】由于抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定m的范围．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，∴m﹣1＞0，即m＞1．故答案为m＞1．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．11．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为（1，2）．【分析】首先根据对称轴是直线x＝1，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标；【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，∴m＝1，∴解析式y＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为：（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．12．如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1＞y2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用二次函数的性质得到当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到y1与y2的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线开口向上，所以当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，所以y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，BC＝4，那么AB＝6．【分析】由sin A＝知AB＝，代入计算可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，sin A＝＝，且BC＝4，∴AB＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．14．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为6．【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∴＝，∴DF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出AF是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．【分析】连接BG并延长交AC于H，根据G为ABC的重心，得到＝2，根据平行四边形的性质得到CE＝DF ＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝2．【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，根据余角的性质得到∠CAE＝∠B，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝．【分析】根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACP∽△CBP，利用相似三角形对应边的比相等即可求出PC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，，∴△ACP∽△CBP，∴＝，∵AC＝5，BC＝8，PA＝2，∴PC＝＝．故答案为．【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．18．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝4，根据勾股定理得到BD＝AB＝4，＝＝2，过B作BF⊥DD1于F，根据相似三角形的性质得到EF＝，求得DF＝2+＝，根据旋转的性质得到BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝4，∴BD＝AB＝4，∵点E为边AB的中点，∴AE＝AB＝2，∵∠EAD＝90°，∴DE＝＝2，过B作BF⊥DD1于F，∴∠DAE＝∠EFB＝90°，∵∠AED＝∠BEF，∴△ADE∽△FEB，∴，∴＝，∴EF＝，∴DF＝2+＝，∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，∴BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，∴DD1＝2DF＝，△D1BD∽△E1BE，∴＝，∴＝，∴EE1＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3+2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）直接求出图象与x轴的交点，进而得出平移规律．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，故该函数的顶点坐标为：（1，﹣8）；（2）当y＝0时，0＝2（x﹣1）2﹣8，解得：x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），故该抛物线沿x轴向左平移3个单位后经过原点，即m＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且DE∥BC，tan∠DBC＝．（1）求AD的长；（2）如果＝，＝，用、表示．【分析】（1）通过解Rt△ABC求得AC＝8，解Rt△BCD得到CD＝3，易得AD＝AC﹣CD＝5；（2）由平行线截线段成比例求得DE的长度，利用向量表示即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，∴＝＝，则AC＝8．又∵在Rt△BCD中，tan∠DBC＝，∴＝＝，∴CD＝3．∴AD＝AC﹣CD＝5．（2）∵DE∥BC，∴＝＝．∴DE＝BC．∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过点C作CG⊥AB于G，得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG＝CF＝0.45，设AD＝x，求得AE＝1.8﹣x，AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG＝＝＝0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．【分析】（1）由AB＝AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC＝90°，由同角的余角相等可得出∠ADE＝∠DCE，结合∠AED＝∠DEC＝90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE•CD＝AD•CE；（2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD＝BC，DE＝2DF，结合DE•CD＝AD•CE可得出＝，结合∠BCE＝∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质可证出AF•BC＝AD•BE．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴＝，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴＝．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴＝，∴AF•BC＝AD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB的值．【分析】（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c，解之，得到b和c的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入求值即可，（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x，求出m的值，得到点A的坐标，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD和AD的长，即可得到答案．【解答】解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，它的对称轴为：x＝﹣＝2，（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得：m＝﹣32+4×3＝3，即点A的坐标为：（3，3），过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，如下图所示，AE＝3，OE＝3，BE＝4﹣3＝1，OA＝＝3，AB＝＝，S△OAB＝×OB×AE＝×OA×BD，BD＝＝＝2，AD＝＝，tan∠OAB＝＝2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：（1）正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，（2）正确掌握三角形面积公式和勾股定理．25．（14分）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．＝BF•AB＝EF•BG，即可求解；【分析】（1）利用S△BEF（2）y＝＝＝＝，tanα＝＝＝，即可求解；（3）分GF＝FC、CF＝CG两种情况，求解即可．【解答】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，cos∠DBC＝＝＝，则：BF＝9，S△BEF＝BF•AB＝EF•BG，即：9×6＝6×EF，则EF＝9；（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，在Rt△BGF中，cos∠GBF＝cosα＝＝，则tanα＝，sinα＝，y＝＝＝＝…①，tanα＝＝＝，解得：a2＝36+（）2…②，把②式代入①式整理得：y＝（x）；（3）①当GF＝FC时，FC＝10﹣a＝GF＝a sinα＝，把②式代入上式并解得：x＝，②当CF＝CG时，同理可得：x＝；故：AD的长为或．【点评】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．。