八年级数学竞赛专题训练12 心中有数(附答案)

【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。

初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。

思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。

【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。

思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。

【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。

分数综合应用题专题训练（乘法与加减法综合）1. 一本书共100页,小红第一天看了全书的41,第二天看了全书的51,第三天应从第( )页看起｡2. 幼儿园买来100千克苹果,吃了1/5,吃了多少千克?3. 一个网页九月份有8000人浏览,其中学生人数占252,教师的人数占403,浏览网页的学生和教师共有多少人?4. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,两次共运去多少吨?5. 一袋面粉80千克吃了它的53,还剩( )千克6. 一批煤480吨,用去41,还剩下多少吨?7. 小明看一本120页的书,已看了52｡还剩下多少页没看?8. 甲乙两地相距420千米,一辆汽车行驶了全程的57 ,行驶了多少千米?9. 一箱橘子重12千克,卖出34 ,卖出了( )千克;10. 一桶油重30千克,倒出这桶油的60%,倒出了多少千克? 11.一桶汽油重80千克,第一次用去83,第二次用去51,还剩多少千克?12. 小红看一本120页的书,第一天看了全书的15 ,第二天看了全书的38 ,还剩多少页没有看?13. 修路队要修一段360米的路,第一周修了全长的92,第二周修了全长的41｡两周一共修路多少米?14. 草地上有180只羊在吃草,其中29 是山羊,其余的都是绵羊｡绵羊占总只数的几分之几?绵羊有多少只? 15. 挖一条20千米的水渠,第一天挖了全长的41,第二天挖了全长的51,(根据下面问题列式计算)a ､两天共挖了多少千米? b ､第一天比第二天多挖多少千米? C ､还剩下多少千米?16. 庆丰粮店运进1800千克大米,卖出5/9,还剩多少千克?17. 一本书有240页,已读了41,还剩多少页没读?18. 国家一级保护动物野生丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的41｡我国约有多少只?19. 南山小学共占地8000平方米,其中绿地面积占65%,其余为教学楼和道路等,南山小学的绿地面积有多少平方米?教学楼和道路等有多少平方米?20. 育才小学六(2)班共有学生60人｡其中13岁的占5%,11岁的占10%,其余的都是12岁｡六(2)班11岁的和13岁的一共有多少人?12岁的比11岁的多多少人? 21. 养鸡场共养鸡3000只,其中的53是蛋鸡｡蛋鸡有多少只?22. 一条公路长90千米,已经修了全长的2013,还剩多少千米?23. 修一条1200km 的水渠,一月份修完全长的31,二月份修完全长的41,还剩多少km? 24. 新城小学有学生1200人,其中女生占全校总人数的83｡(1)男生有多少人? 831200⨯(2)女生有多少人?831-(3)男生占全校人数的几分之几?)831(1200-⨯ 25. 修路队计划修路4千米,已经修了43,修了多少千米? 26. 看一本80页的故事书,第一天看了全书的51,第二天看了全书的41,还剩多少页没有看?27. 为了筹备班上的文艺联欢会,五(1)的45名同学全部行动起来了｡全班29 的同学布置教室,25 的同学采购物品,其余的准备节目｡你能根据这些材料提两个数学问题并且解答出来吗?28. 一堆货物16吨,用去34,还剩( )吨｡29. 一套学生专用桌椅售价是150元,其中椅子价格相当于总价的30%,桌子售价多少钱?椅子呢?30. 前进乡计划挖一条300米长的隧道,已经完成了60%,还剩多少米没有挖?31. 小明统计了自己的储蓄罐里有125个硬币,其中一元的硬币占44%,五角的硬币占20%,其余的是一角硬币｡储蓄罐里共有多少元钱?32. 李明看一本120页的故事书,每一天看了全书的41,第二天看了全书的51,两天共看多少页?33. 李林小学种树200棵,其中2/5是六年级种的,1/4是五年级种的,两个年级各种多少棵? 34.学校食堂运来52吨煤,用去41,还剩下多少吨?35. 一本书共240页,看了85,是把( )看作单位1,看了多少页?还剩下多少页?剩下的页数是看了的几分之几? 36. 根据已知条件,把问题和算式用线连起来｡ 养殖场有鸡3200只,第一只卖出25 ,第二周卖出38｡第一周卖出多少只? 3200×38第二周卖出多少只? 3200×25第二周比第一周少卖多少只? 3200×25-3200×38两周一共卖出多少只? 3200×(1-25 -38 )还剩多少只? 3200×(25 +38 )37. 育才小学有360名学生,其中有5%的学生没有参加兴趣活动小组,参加兴趣活动小组的有多少人?38. 商店运进洗衣机800台,上半月买去30%,下半月买去45%,还剩多少台? 39. 一袋米50千克,卖掉了( )千克,还剩它的52｡40. 一条公路长80千米,已修好了53,还剩下多少千米?41. 甲乙两地相距100千米,一辆汽车行了全程的45 ,行了多少千米?42. 育才学校有学生1250人,其中女生占48%,男生有多少人?43. 黄豆的营养很丰富,其中蛋白质含量约占36%,脂肪含量约占18.4%｡250克黄豆中,蛋白质和脂肪共含多少克?44. 一桶油漆重8千克,用去65,还剩多少千克?45. 小李一个月有400百元生活费｡他买饭菜用去这些钱的53,买热水票用去这些钱的81,还剩多少元?46. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,还剩多少吨?47. 一本书300页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的61,还剩下多少页?48. 一本书120页,小红前三天看了全书的43,第四天应该从第几页看起?49. 从甲地到乙地180千米,某人从甲地到乙地行了全程的5/6,这时离乙地还有( )千米｡50. 一本书80页,雯雯第一天看了1/5,第二天看了1/4,第三天应从第几页看起?51. 一堆煤12吨,又运来它的14 ,又运来的煤是多少吨?52. 仓库有150吨钢材,第一次用去总数的20%,第二次用去总数的21｡还剩下多少吨钢材?53. 水泥厂仓库里有水泥500吨,甲车队一次可以运走总数的12%,乙车队一次可运走总数的20%｡如果让两个车队一起来运,一次共可运走多少吨水泥? 54. 一条公路长30米,已修了全长的65,已修的比剩下的多多少米? 55. 一根长12米的钢管,截去了31,就是短了31米｡( )56. 六班共有图书372本,其中连环画占41,故事书占31,连环画比故事书少多少本?57. 张玲看一本120页的故事书,第一天看了310 ,第二天看了15,第二天比第一天少看多少页?58. 一堆煤有40吨,用去53,用去的比剩下的多多少吨? 59. 水果店有480千克水果,其中苹果占83,苹果有多少千克?4天卖出全部苹果的52,卖出多少千克苹果?60. 48名同学参加学校数学竞赛,有61的同学取得了名次.还有多少学生没有取得名次? 61.小军看一本书,第一天看了这本书的31｡第二天看了这本书的52｡两天共看了这本书的几分之几?如果这本书150页,两天共看了多少页?62.一根绳子长1513米,用去53｡剩下多少米?63. 修一条长600m 的路,第一天修了总数的25%,第二天修了总数的15%,还剩下多少米没有修? 64. 今年共植树1050棵,其中的31是白杨树,52是槐树｡哪种树植得多?多多少棵?65. 一根电线长4米,第一次用去,第二次用去米,两次相比( )｡A ､第一次用去的多B ､第二次用去的多C ､两次用去同样多66. 学校饲养组养白兔和黑兔共28只,其中白兔占73｡黑兔有多少只?67. 一根铁丝长20米,剪去41,还剩多少米?68. 一班学生有1000个练习本,做作业用65%,还剩多少本?69. 一袋面粉50千克,已经吃了其中的53,还剩下多少千克?剩下的比吃了的少多少千克?70. 有一摞纸,共120张｡第一次用了它的35 ,第二次用了它的16,两次一共用了多少张纸?71. 6千克苹果吃掉2/3,还剩( )千克,12千克苹果吃掉3/4,还剩下( )千克｡72. 一本科技书80页,小林第一天看了它的41,第二天看了它的52,小林两天共看了多少页? 73. 一包茶叶重600克,用去53,还剩多少克?74. 10吨煤,用去54吨,还剩( )吨煤｡75. 仓库里有15吨钢材,第一次用去总数的20%,第二次用去总数的21,还剩下多少吨钢材? 76. 一箱苹果有36个,先吃掉61,再吃掉92,共吃掉多少个?77. 东方小学六年级有学生165人,参加科技兴趣小组的占116,其余的参加音乐兴趣小组,参加音乐兴趣小组的是多少人? 78. 一段公路长60千米,已经修了这段公路的53,已经修了多少千米?79. 一根钢管长12米,截去31,剩下多少米? 80. 一本书120页,读了43,还剩多少页?81. 在一次数学竟赛中获奖的同学有180人,31其中是五年级的同学,52是六年级的同学,两个年级获奖同学共有多少人?82. 小玲家到学校的路程是800米｡今天,她从家到学校,已行了全程的710,现在小玲离家多远?83. 一堆货物20吨,用去43,用去( )｡①15吨 ②5吨③10吨 ④6倍84. 电视机厂五月份计划生产电视机2400台上旬完成全月计划的52,中旬完成计划全月计划的50﹪,上旬和中旬一共生产电视机多少台? 85. 一桶汽油重800千克,用去43,还剩多少千克?86. 新建一条公路,全长480米,已建了全长的85,未建的有多少米?87. 水果店运来500筐橘子,第一天卖出它的1/5,第二天卖出它的3/10,两天共卖出这批橘子的几分之几?两天共卖出多少筐?88. 一根长5米的绳子,剪去41后,还剩( )米｡89. 张力看一本80页的小说,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4,两天看了多少页?90. 计划修一段725米长的路,已经修全长的52,还剩多少米没有修?91. 工程队修一条长1600米的公路,已经修好这条公路的75%,还剩多少米没有修?92. 修一条公路,长1000米,甲队已经修了这条路的25 ,剩下的由乙队修,乙队修多少米?93. 小华读一本120页的故事书,第1天读了全书的13 ,第二天读了全书的14 ,(1)第1天读了多少页?(2)第2天读了多少页?(3)还剩多少页没有读?94. 幼儿园买来100千克苹果,第一天吃了1/5,第二天吃了1/4,两天一共吃了多少千克? 95. 小刚有一本科技书共60页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的60%,两天共看了多少页?96. 果园里有750筐桔子,第一天运走总数的18%,第二天运走总数的16%,两天共运桔子多少筐? 97. 修一条7500米的水渠,第一期修了全长的31,第二期修了全长的61,两期共修多少米?98. 一条公路长80千米,已修好了53,修好了多少千米?99.一瓶果汁有56升,喝去31,还剩多少升?100. 洗衣机厂上半年生产洗衣机75万台,相当于全年计划的60%,再生产多少万台就可以完成全年的计划? 101.一袋味精21千克,第一天用去52,第二天与第一天用得同样多,剩下多少千克?102. 修一条2800米的水渠,第一期修了全长的15%,第二期修了全长的20%｡剩下多少千米没修?103. 修一条长95 千米的公路,第一周修了13 ,第二周修了25千米,还剩多少千米没修?104. 在一节40分钟的数学课上,探究和新知用去1/3小时,巩固练习用去1/4小时,其余的时间是多少? 105. 一根钢管长12米,截去13,剩下多少米?106. 学校买来新书240本,其中的23 分给五年级｡这里是把( )看作单位“1”,如果求五年级分到多少本?列式是( )｡107. 修一条长1800米的公路,已修了32,修了多少米? 108.商店运来白糖109吨,卖出这批白糖的31,又卖出31吨白糖｡共卖出多少吨白糖? 109. 一根铁丝长6米,用去32米,还剩2米｡ ( )110. 一桶汽油重160千克,用去43,剩下多少千克?111.一个街心花园占地85公顷,其中草坪占52,花圃占103,其余是人行道｡(1)草坪和花圃的面积一共是多少公顷?(2)草坪的面积比花圃大多少公顷?(3)人行道的面积是多少公顷?112. 商店运进洗衣机360台,卖去30%,卖去多少台?113. 修路队修一条长1200米的公路,已经修了它的43,还剩下多少米没修?114. 要修一条长600米的水渠,第一天修了全长的52,第二天修了全长的41,还剩下多少米没有修? 115. 修一条长500米的水渠,已经修了103,没有修的比已经修的多,没有修的有( )米｡116. 一桶煤油重12千克,用去43,用去多少千克? 117. 甲乙两地之间的公路长216千米｡一辆汽车从甲地开往乙地,行了全程的38,离乙地还有多少千米?118. 要挖一条长2000米的水渠,第一天挖了全长的12.5%,第二天挖了全长的27.5%,两天一共挖了多少米? 119. 一袋大米25千克,吃了一部分后,还剩52,还剩多少千克?120. 果园里有果树1200棵,其中梨树占40%,桃树占20%,两种果树共有多少棵?121. 有200辆自行车,卖出710,还剩( )辆｡122. 筑路工程队计划用三个月修完一条长3600米的公路,第一个月修了全长的41,第二个月修了全长的31,要按计划完成任务,第三个月要修多少米?123. 一批煤420吨,,烧去72,烧去多少吨?124. 长安国际酒店运来2吨大米,吃了52｡(1)吃了多少吨?(2)剩下多少吨?(3)剩下几分之几?(4)吃了的占剩下的百分之几?125. 小被看一本书120页,三天看了全书的60%,小被这三天看了多少页?126. 一袋大米25kg,已经吃了它的25 ,吃了( )kg,还剩( )kg ｡ 127. 一桶油20千克,用去一些后还剩下52｡用去多少千克?128. 上海到汉口的水路长1125千米,一艘轮船从上海开往汉口,已经行了53,离汉口还有多少千米?129. 小明看一本240页的书,第一周看了40%,第二周看了全书的25%｡两周共看多少页?130. 学校买来100千克白菜,吃了45 ,吃了多少千克?还剩多少千克? 131. 一根铁丝长12米,截去了32｡截去了多少米?132. 国家一级保护动物野生丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的14 ,其它国家约有多少只?133. 一辆汽车从甲地开往乙地,全程600千米,已经行驶了全程的52,离乙地还有多少米?134. 筑路队修一条10千米的公路.第一天修了全长的51,第二天修了23米,还有多少千米没有修?135. 两个工程队合修一条长3600米的公路,甲队修了全长的127,甲队比乙队多修多少千米? 136.一批纸共120张,第一次用去它的61,第二次用去它的53｡两次共用去这批纸的几分之几?两次共用去多少张? 137. 张师傅要加工90个零件｡第一天加工了52,第二天加工了31｡两天共加工了多少个?138. 计划修一条公路长120千米,第一次修完路的25 ,第二次修全长的14 ,还剩下( )千米｡A ､120×(25 +14 )B ､120÷(1-25 -14 )C ､120-120×25 -120×14139. 小红买来一袋大米,重40千克,吃了85,还剩多少千克? 140. 一根铁丝长100米,截去45%,还剩( )米141. 公园里要修一条长1500米的人行路,已经修了全长的53,还剩多少米没有修?142. 一堆煤有30吨,烧了53,还剩下多少吨?143.骆驼驼峰中贮藏的脂肪,相当于体重的51｡一头体重225kg 的骆驼｡驼峰里含多少脂肪? 144. 一根铁丝长121米,用去21,还剩( )米｡A ､ 1B ､21C ､43145. 全班45人,31的同学扫地,91的同学洒水,其余的同学擦玻璃,擦玻璃钢的有多少人?146. 少先队员采集标本152件,其中85是植物标本,其余的是昆虫标本,昆虫标本有多少件?147. 小明看一本120页的故事书,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4｡ ①第一天看了( )页 ②第二天看了( )页 ③两天共看( )页 ④还剩( )页没看 ⑤第二天比第一天多看( )页 148. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,第一次比第二次多运多少吨?149. 同学两天共运砖1500块,第一天运了53,第二天运了多少块?150. 黄豆中蛋白质含量约占259,如果有黄豆65吨,能从中提取多少千克的蛋白质?151. 一批黄瓜240千克,卖出它的61后,还剩多少千克?152. 一捆绳子长125米,第一次用去全长的40%,第二次用去47米｡用了两次后,这根绳子短了多少米?153. 五(1)的45名同学筹备班上的文艺联欢会｡全班29 的同学布置教室,25 的同学采购物品,其余的准备节目｡你能根据这些材料提两个数学问题并且解答出来吗? 154. 一本故事书78页,第一天看了30%,第二天看了20%,还有多少页没有看?155. 小名储蓄罐里有125个硬币,其中一元的硬币占44%,五角的硬币占20%,一角的硬币占36%｡储蓄罐里共有多少钱?156. 一根木料长6米,截去32,截去多少米? 157. 一袋大米50千克,吃去这袋大米的54,还剩多少千克?158. 小明看一本120页的故事书,第一天看了全书的40%,第二天看了全书的25%,第三天应从第几页看起? 159. 一堆煤重5吨,用去52,还剩多少吨?160. 商场运来绒衣1400件,上午卖出总数的72,下午卖出总数的101,商场还剩下多少件绒衣?161. 水果市场有15吨,第一天卖出总数的20%,第二天卖出总数的21,还剩下多少吨苹果?162. 图书室新到图书800本,科技书占316 ,故事书占35,其它类书有多少本? 163. 一批零件共300个,第一天加工了101,第二天加工了151｡两天共加工了多少个?164. 一条林荫小路长1500米,已修了全长的53,修了多少米?165. 修一条2800米的水渠,第一期修了全长的20%,第二期修了全长的25%｡修了多少米?还剩下多少米没修? 166. 一班要做180面小旗,已经做了65,还有多少面没有做? 167. 某车间原计划生产1200个零件,甲组完成了15%,乙组完成了20%,甲组比乙组少生产多少个?168. 一堆煤2500千克,用去了20%,还剩多少千克? 169. 一桶油10千克,用去了这桶油的45 ,用去了多少千克?170. 某班有50人,女生占全班人数25 ,女生有( )人男生有( )人171. 商店新运来240台加热器,卖了一部分后还剩83,还剩多少台? 172.商店运进彩色电视机100台,上午卖出41,下午卖出51｡还剩下多少台?173. 人民炼铁厂四月份计划炼铁1800吨;上旬炼了原计划的52,中旬炼了原计划的209;问上､中旬共炼铁多少吨?174. 一块长方形地的面积是15公顷,用这块地的51种小麦,31种棉花,种小麦和棉花各多少公顷?175. 修一条2400米的路,第一天修了全长的31,第二天修了全长的41,第一天比第二天多修多少米?176. 小明看一本480页的书,已经看好60%,还剩下多少页没有看?177. 一摞纸共120张,第一次用去它的52,第二次用去它的61,两次共用去这摞纸的几分之几?两次共用去多少张纸? 178. 电脑公司新到500台新款电脑,上午卖了101,下午卖了103,这天共卖了电脑多少台?179. 修一条长28千米的公路,上午修了41,下午修了72｡( )?(先补充问题,再解答)180. 一堆煤2500吨,用去了20%,用去了多少吨? 181. 一条公路全长400米,已修全长的54｡已修多少米?182.183. 小明家新装了一部电话,买了一根15米长的电话线,实际只用了它的23 ,用了多少米,还剩多少米?184. 修一条长600米的山路,第一天修了全长的31,第二天修了全长的25%,还剩下多少米山路没有修?185. 小明看一本40页的故事书,第一天看了全书的41,第二天看了全书的52｡算式“)5241(40+⨯”表示 “)5241(40-⨯”表示186. 一块田有120公顷｡第一天耕了它的13 ,第二天耕了它的37.5%｡第二天比第一天多耕了多少公顷? 187. 一根绳子长9米,剪去全长的92,还剩多少米?算式:188. 一袋大米有25千克,吃了一部分后剩下的正好是这袋大米的1/4,问吃了多少千克? 189. 为举行校庆,六(2)班要做180面小旗,已经做了65,还有多少面没做? 190. 一桶油20千克,用去54,还剩下多少千克?191.工地有24立方米的沙子,第一天用去31,第二天用去85,第二天比第一天多用去多少立方米的沙子? 192. 一条绳长2米,剪去52,还剩多少米? 193. 计划生产1800个零件,第一天生产了计划的41,第二天生产了计划的61｡还剩下计划的几分之几没生产?还剩下多少个没生产?194.195. 一根绳子长4米,剪掉43,还剩下多少米? 196. 一条公路长1500米,第一天修了全长的41,第二天修了全长的51,两天一共修多少米?还有多少米没有修?197. 10米长的绳子,用去52,剩下的与用去的长度比是( )198. 学校共有2100名学生,其中男生占总人数的158｡女生有多少人?199. 有木料153立方米,用去了41,用去了多少立方米? 200. 做一项工程,25天可以全部完成｡要完成这项工程的54需要多少天?201. 一本书有240页,第一天看了83,第二天看了20%｡还剩多少页没有看?202. 蔬菜商店运来黄瓜和西红柿共350千克,其中黄瓜的重量占全部的73｡运来黄瓜多少千克?203. 学校共有学生600人｡其中低年级占16 ,中年级占25 ,其余是高年级的学生｡204. 有8千克水,用去21千克,还剩下( )千克｡205. 修一条长500米的水渠,已经修了103 ,没有修的比已经修的多这条水渠的几分之几?没有修的有多少米? 206. 有一桶油水重2千克,用去了21,还剩下121千克｡( )207. 102千克大米用去16 后还剩( )千克,用去剩下的56后还剩( )千克｡ 208. 一堆货物80吨,第一次运走了这堆货物的52,还剩下多少吨?209. 一根绳子长9米,剪去全长的92,剪去多少米?210. 学校有245本图书,借出52,借出多少本?这题是把( )看作单位“1”,求借出的本数,就是求( )的( )是多少｡211. 一根绳子长18米,剪去全长的54,还剩多少米?算式:212. 水果店水果320筐,卖出了43,卖出了多少筐?213. 一堆煤有220吨,第一天运走总数的51,第二天运走总数的41,这时还剩下多少吨没有运走?214. 修一条480米长的公路,已修了全长的85,还剩多少米没修?215.216. 一堆煤4500吨,用去一部分后还剩下94｡还剩下多少吨?217. 一本故事书240页,小兰第一天看了全书的25 ,第二天看了全书的25%｡请你根据算式补问题或根据问题列算式｡(1)算式:240×25 ｡问题:( )?(2)算式:( )｡问题两天一共看了多少页?(3)算式( )｡问题还剩下多少页没有看?218. 一本书80页,已读过它的25%再读时应从第61页读起｡( ) 219. 一根2m长的电线,煎去了21,还剩下21m. ( )220. 五年级同学收集了240节废电池,其中53是五一班收集的,31是五二班收集的,两班各收集多少节废电池?221. 一堆沙重1516 吨,用去了25 ,用去了( )吨,还剩总数的( )｡222. ab 两地相距800千米,一辆汽车从a 地开往b 地,已行了87,再行多少千米正好到达b 地?(画线段图)223. 长乐公园计划栽树240棵,第一天栽了总数的1/4,第二天栽了总数的1/6,第一天比第二天多栽几棵? 224. 一辆汽车从相距200千米的甲地开往乙地,中午休息时还剩全程的3/8没有行,汽车已经行了多少千米? 225. 幼儿园买来100千克苹果,吃了1/5,还剩多少千克? 226. 修一条800米的路,第一天修了全长的103,第二天修了全长的52｡第二天修了多少米?还剩下多少米没修?227. 10米长的电线,用去51,还剩8米｡() 228. 一堆煤80吨,用去了52,用去了多少吨? 229. 少先队员采集标本152件,其中85是植物标本,其余的是昆虫标本｡昆虫标本有多少件?230. 要挖一条2000米的水渠,第一天挖了全长的12.5%,第二天挖了全长的27.5%,还剩多少米没挖?231. 一本科技书共360页,小巧3天看完,第一天看了全书的31,第二天看了全书的52,第三天看了多少页?232. 在一块1680平方米的空地上铺草坪｡第一天铺了1/8,第二天铺了25%,余下的第三天铺完｡第三天铺多少平方米?233. 商店运进30台冰箱,卖出30%,还剩多少台? 234. 小强看一本60页的科技书,上午看了总页数的41,下午看了总页数的20%,还余下多少页没有看? 235. 一包巧克力是54千克,吃了51,还剩53千克｡() 236. 鲜鲜水果店运进30筐苹果,第一天卖出总数的51,第二天卖出总数的21,两天共卖出水果多少筐?237. 仓库里有20吨钢材,用去总数的20%,还剩下多少吨? 238. 幼儿园买来100千克苹果,第一天吃了1/5,第二天吃了1/4,还剩多少千克? 239.工地有24立方米的沙子,第一天用去31,第二天用去85,还剩下多少立方米的沙子?240. 一桶油重30千克,倒出这桶油的60%,还剩多少千克? 241. 4米长的钢管,剪下14 米后,还剩下3米｡( )242. 一本书300页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的61,第三天应从哪一页看起?243. 一根木料长4米,用去31,用去了( )米,还剩( )米｡244. 新城小学有学生1200人,其中女生占83,女生有多少人? 245.一根电线长21米,截去41,还剩41米. ( )246. 育才小学有学生650人,其中有95%的学生入了保险,没有入保险的学生有多少人?247. 有一桶油400千克,第一次取出总数的23%,第二次取出总数的27%,第二次比第一次多取油多少千克? 248. 一本故事书162页,张杨今天看了61,他明天从第几页开始看?249. 5千克油,用去15 ,还剩下多少千克?正确的算式是( )｡① 5×15 ② 5×(1-15 ) ③ 5-15250. 甲乙两地相距180千米,一辆汽车从甲地开往乙地,上午行了全程的41,下午行了全程的31,这辆汽车离乙地还有多少千米?251. 一堆煤6吨,运走了32,剩下多少吨?252. 严重的水土流失致使每年大约有16亿吨的泥沙流入黄河,其中41的泥沙沉积在河道中,其余被带到入海口｡有多少亿吨泥沙被带到入海口?253. 一条公路长3200米,修路队第一月修了52,第二月修了41,还剩多少米没修?254. 一部书稿有240页,每一次打了它的53,每二次打了它的103,两次共打了这部书稿的几分之几?两次共打了多少页?255. 服装厂计划生产童装7200套,第一周完成了生产任务的41,第二周完成了生产任务的一半｡根据题目告诉的条件,说出以下各式所表示的意义｡A “7200)2141(+⨯”表示 ｡ B “7200)4121(-⨯”表示 ｡C “7200)21411(--⨯”表示 ｡256. 一块实验田有54公顷,其中41种大豆,种大豆多少公顷? 257. 食堂买来面粉150千克,第一天吃了51,第二天吃了31,还剩多少千克?258. 要挖一条长2000米的水渠,第一天挖了12.5%,还剩多少米没挖? 259.260. 一条公路长10千米,第一天修了全长的51,第二天修了。

初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

八年级数学竞赛专题训练试卷(二)因式分解与分式一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知a 2+b 2+4a －2b+5=0，则a b a b+-的值为 ( ) (A)3 (B)13 (C)－3 (D)13- 2．a 4+4分解因式的结果是 ( )(A)(a 2+2a －2)(a 2－2a+2) (B)(a 2+2a －2)(a 2－2a －2)(C)(a 2+2a+2)(a 2－2a －2) (D)(a 2+2a+2)(a 2－2a+2)3．下列五个多项式：①ab －a －b －1；②(x －2) 2+4x ；③3m(m －n)+6n(n －m )；④x 2－2x －1；⑤6a 2－13ab+6b 2，其中在有理数范围内可以进行因式分解的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4．a ，b ，c 为△ABC 的三边且3a 3+6a 2b －3a 2c －6abc=0，则△ABC 的形状为 ( )(A)直角三角形 (B)等腰三解形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．a ，b ，c 是正整数，a ＞b ＞c ，且a 2－ab －ac+bc=7，则b －c 等于 ( )(A)1 (B)6 (C)土6 (D)1或76．若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有 ( ) (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个7．已知x 2+ax －18能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是( )(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个8．若a=20092+20092×20102+20102，则n ( )(A)是完全平方数，还是奇数 (B)是完全平方数。

还是偶数(C)不是完全平方数，但是奇数 (D)不是完全平方数，但是偶数9．设有理数a ，b ，c 都不为零，且a+b+c=0，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+- 的值是 ( )(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)不能确定10．当x 分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于 ( ) (A)－1 (B)1 (C)0 (D)2007二、填空题(每小题4分，共40分)11．因式分解：4a 2－4b 2+4bc －c 2=_________．12．已知a 、b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，则M －N 的值等于_________．13．若多项式x 3+ax 2+bx 能被(x －)和(x+4)整除，那么a=________，b=_________．14．整数a ，b 满足6ab －9a+10b=303，则a+b=_________．15．k 取________时，方程2211x k x x x x x+-=++会产生增根． 16．已知15a b +=-，a+3b=1，则22331295a ab b +++的值为__________． 17．分解因式：x 4－x 3+4x 2+3x+5=________．18．分解因式：x 2－2xy －8y 2－x －14y －6=_________．19．分解因式：24x 2－1507x －337842=_________．20．已知abc=1，a+b+c=2，a 2+b 2+c 2=3，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为_________．三、解答题(21题满分10分，22题、23题每题满分15分，共40分)21．解方程：(1)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0．(2)()()()()()111511291012x x x x x x ++=+++++…+．22．已知：3(a2+b2+c2)=(a+b+c) 2，求证：a=b=c．23．小明在计算中发现：1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，…由此他做出猜想：四个连续正整数的乘积加1必为平方数．你认为他的猜想正确吗?试说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C二、填空题11．原式=(2a+2b －c)(2a －2b+c)．12．M －N=0．13．a=1，b=12．14．a+b=15．15．k=－1或k=2时方程有增根．16．0．17．x 4－x 3+4x 2+3x+5=(x 2+x+1)(x 2－2x+5)．18．原式=x 2－(2y+1)x －(8y 2+14y －6)=x 2－(2y+1)x －2(4y+3)(y+1)=(x －4y －3)(x+2y+2)．19．原式=(3x+274)(8x －1233)．20．23- 三、解答题21．(1)原方程可整理成：(x 2+8x+7)(x 2+8x+15)+15=0．将(x 2+8x)看成整体，则有(x 2+8x) 2+22(x 2+8x)+120=0．∴(x 2+8x+12)(x 2+8x+10)=0，即x 2+8x+12=0或x 2+8x+10=0，解得x 1=－2，x 2=－6，34x =-44x =-(2)原方程可写成：1111115112x+91012x x x x x -+-+-=++++…+， 即1151012x x -=+，去分母，整理得x 2+10x 24=0， 解得x 1=12，x 2=2，且经检验是原方程的解．22．∵3(a 2+b 2+c 2)=(a+b+c) 2，∴3a 2+3b 2+3c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+26c+2ca ．∴(a 2－2ab+b 2)+(b 2－2bc+c 2)+(c 2－2ca+a 2)=0．即(a －b ) 2+(b －c) 2+(c －a) 2=0．∴a －b =0且b －c=0且c －a=0，∴a =b =c ．23．猜想正确．设四个连续正整数为n ，(n+1)，(n+2)，(n+3)(其中n 为正整数)， n(n+1)(n+2)(n+3)+l=(n 2+3n)(n 2+3n+2)+1=(n 2+3n) 2+2(n 2+3n)+1=[(n 2+3n)+1] 2∴四个连续正整数的乘积加1必为平方数．。

专题04和差化积•…因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1.主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其屮某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幕排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法.2.待定系数法即对所给的数学问题，根据己知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在己知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构屮去，得出需求问题的解.例题与求解【例1】x2y-y2z + z2x-x2z + y2x + z2y-2xyz因式分解后的结果是（）•A. （y_z）（x+yX—z）B. （y-z）（x-y）（x+z）C. （y + z）（^-y）（jc + z）D. （y + zX*+yX兀一z）（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幕排列，改变原式结构，寻找解题突破口. 【例2】分解因式:(1) a2 + 2h2 + 3c2 + 3ah + 4ac+5bc；（“希望杯”邀请赛试题）(2) 2x3 - x2z - 4x2y + 2xyz + 2xy2 - y2z .（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多.次数高，给分解带来一定的怵1难，不妨考虑用主元法分解.【例3】分解因式J^+（2a + l）无2+（。

2+2。

一1）兀+。

2—1 .（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因d的最高次数低于兀的最高次数，故将原式整理成字母Q的二次三项式.【例4】£为何值时，多项式/+与_2于+张+10歹+ £有一个因式是x + 2y + 2?（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，I大I此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手.【例5］把多项式4X4-4X3+5X2 -2兀+ 1写成一个多项式的完全平方式.（江西省景徳镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是4/,因此二次三项式的一般形式为2F+or + b,求出ci、 b即可.【例6】如果多项式x2-（a + 5）x + 5a-\能分解成两个一次因式（无+ b）, （x + c）的乘积（b,c 为整数），则a的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于h,c,a的方程组，通过消元、分解I大I式解不定方程，求出/?, c, a的值.能力训练 A 级1.分解因式：9a2-4b2+4bc-c2= _____________________________________ •（“希望杯”邀请赛试题）2.分解因式：兀2+5兀），+兀+ 3$ + 6〉'= ________________________（河南省竞赛试题）3.分解因式：兀2+3（兀+丿）+ 3—），+（x_y） = ________________________ .（重庆市竞赛试题）4.多项式jv，+ — 6x+8y + 7的最小值为_________________________ .（江苏省竞赛试题）5.把多项式x2-2xy+y2+2x-2y-8分解因式的结果是（）A.（兀一〉‘一4）（兀一〉‘ + 2）B. （x-y-8）C.（x-,y + 4）（x-y-2）D.（兀_y + l）（x_y_8）6.已知x2+ax-l2能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7. 若3x 3 -fcc 2 + 4被3兀一1除后余3,则k 的值为( ).A. 2B. 4C. 9D. 10(“CASIO 杯”选拔赛试题) 8. 若a + b = -~, d + 3b = l,贝IJ36Z 2+ 12^? + 9/?2+-的值是().55 2 2 4A. 一 B ・一C.—D. 093 5（大连市“育英杯”竞赛试题）10.如果（x-tz ）（x-4）-l 能够分割成两个多项式x + b 和兀+ c 的乘积（b 、c 为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11. 已知代数式x 2-3xy-4y 2-x^-by-2能分解为关于的一次式乘积，求b 的值.（浙江省竞赛试题）9.分解因式：(1) 2a 2-b 2-ab-^-bc+2ac ；(2) (c-a)2-4(Z?-c)(a-b):(3) 疋—3兀2 + @ + 2)x —2d ；(4) 2兀~ — 7xy +6y2 + 2x —y —12 ；(5) xy(xy +1) + (xy + 3) — 2(x + y + —) —(x+y-l)，（吉林省竟赛试题）（昆明市竞赛试题）（天津市竞赛试题）（四川省联赛试题）（天津市竞赛试题）B 级1. 若x 3 +3x 2 -3x +Z:有一个因式是x+1,则£= _________________________ .（“希望杯”邀请赛试题）2. 设%3+ 3x 2 - 2xy -kx- 4y 可分解为一次与二次因式的乘积，则£= ______________________ .（“五羊杯”竞赛试题）3. 已知x-y + 4是/ 一 J?+加 + 3丿+ 4的一个因式，则加= ________________________________ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）4. ____________________________________________________________________ 多项式x 2 +axy + hy 2 -5x+y + 6的一个因式是兀+》一2,则a + b 的值为 _____________________________5. 若x 3+ ax 2+/?x+8有两个因式兀+1和兀+ 2,则a + b =（A. 8B. 7C. 15D. 21E. 22（美国犹他州竞赛试题）6. 多项式5x 2-4^ + 4y 2+12x+25的最小值为（）.A. 4B. 5C. 16D. 25（“五羊杯”竞赛试题）7. 若M = 3x 2-8xy + 9y 2 -4x + 6y + 13 （x,y 为实数），则 M 的值一定是（）.A.正数B.负数C.零D.整数（"CAS10杯”全国初中数学竞赛试题）8. 设 w 满足 m 2n 2 ++ n 2 +1 Omn + 16 = 0,贝0 （m,n ）=（）A. （2, 2）或（一2, -2）B. （2, 2）或（2, —2）C. （2, -2）或（一2, 2）D. （-2, -2）或（一2, 2）（“希望杯”邀请赛试题） 9. £为何值时，多项式x 2-2^ + ^2+3x-5y + 2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10. 证明恒等式:a 4 + b 4 + （a b ）4 = 2（a 2 +ab+b 2）2.（北京市竞赛试题）11.已知整数a,b,c,使等式（x+a ）（x+b ） + c （x -10） = （x-1 l ）（x+1）对任意的兀均成立,求 c 的值.（山东省竞赛试题）12. 证明：对任何整数下列的值都不会等于33. x 5 +3x 4y-5x 3/ 一 15x 2y 3 + 4xy 4 +12/（莫斯科市奥林匹克试题）（北京市竞赛试题））.精品专题04和差化积——因式分斛的方法(2)例1 A 提示：将原式車新整理成关丁•丄的二次三项式.例 2 (1> (a —2b + 3C(a+b 十<■) 提示】涼式a： +(36亠4c)a+( 3/+5AH-26J<2) (.x - yY (2^ —J>捉.示2 原式= —"J 4*(2“ 一4工»+曲一A)例 3 .原式=〈攵+1)/ +(2 芒+2龙)<3+(卅+>/—文一1) =(工+1)°4-2x(x4-1 )a4-(x+ l)r (x—l) = (x4-1) (a—l〉= Cr+l)Q+a+l〉(;r"rd —1〉例4 k= 12 提示；；°±4-JTJ—2j»' = (x4~2j) (x~,y). .*•可设:原式(.ir+2y+2)(..r—・严+2=8.展开比絞对应项系数叫纭一2=10,解得212. 〔K2”， 例5原式=(2十一工+1)?. 例6 设jr — (a 5)工I % 1 =(才一外(工十c) -,+(方+小工十尿. • jbH= —(a + 5), 16c=5a —1.0)X5+②得 & + 5(, C = -26・ bc+5(b # c 〉+25=—：•“十5〉(t □)=■.IA=~4t Jb= 6.・・'仔_6 ®U=-4.1. (3a+2"-C(3a-2U2. (jr+3y)(j?+2y —1)3. (jr+y+l)(jr —$ f 3》4. -185. C6. D 7・ D9・(1> (2a+6)(“- 6+t)：(2) (a+c —2Z>):； (3〉(z 2)(x :—x —a);(4)(丄一2)+3>(2x —3y —4”⑶. -IXy-l).10 •提示，由起章得“X\fh = Ui I.0)X4-②■得 <5 十 4)G ： + 4) =—1.「•可设原式 C T+ > -r m ) < — 1 >• n )^)「比校对应项 系数御&=一6或g.&+5----------- 1 > 故L11. Tr 一3心一4〉，亠 Cr+丿心一 4y}・故“ = 5・8. DG)X10 十②為"一血+iw —-in. A(a4-10X6-M0>--ll. ；.「* 10-11上十10= — 11Jd + ic= —1. g 十 10=11, h+io=]i 或 U+io=-i“+IO= —11. ■ fa ------ 9. 諾 fa = —11,&十10=1•• U=-21叹 b ■丨：=-H ■代人①得M=0或2612.原式= (./+3x'y> —+152*)十(4” +12〉〉)= + 3y) 5/y(^-4- 3^) 4-4y (x4-3y) — (x +:iy){.r—5^^~iy) — <.z4-3y)<x 2 —y }<x s —4>;) = <x 4 3y) G-》〉(卄 ) Cr — 2 y) •当y-D 时.原式=£工33$当〉*0 时,x I 3>x-y.u~ 2y.j -2y^-y 至不相同•而33不可能分解为I 个以上 不同丙敬的积■所ab l(k= 11.或以■当工取任意整妓」取不为H的任意整数•原式#33.我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

初中数学竞赛：圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨 (1)设大圆半径为R ，则小圆半径为R-2，建立R 的方程；(2)证明△EBC ∽△ECF ；(3)过B 、F 、C 三点的圆的圆心O ′，必在BF 上，连O ˊC ，证明∠O ′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键． 【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ；(4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．专题训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． 3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A ．2 B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ； (2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是 O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP 及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。

八年级数学竞赛专题训练试卷(一)整式与根式一、选择题(每小题4分，共40分)1．若代数式3x 2－2x+6的值为8，则代数式2312x x -+的值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42．若x ，y 为有理数，4y =，则xy 的值为 ( )(A)0 (B)12(C)2 (D)不能确定 3．已知1+x+x 2+x 3=0，则1+x+x 2 +x 3+…+x 2008的值为 ( )(A)0 (B)1 (C)－1 (D)20084．已知a ＞0，b ＞0= ( )(A)1 (B)2 (C)19115．设x =y =则x ，y 的大小关系是 ( )(A)x ＞y (B)x=y (C)x ＜y (D)不能确定6．= ( ) (A)1a a -(B)1a a - (C)1a a + (D)不能确定 7．已知x 2－5x+m 能被x －2整除，则m 的值为 ( )(A)4 (B)－6 (C)6 (D)78．根据：“(x －1)(x+1)=x 2－1，(x －1)(x 2 +x+1)=x 3－1，(x －1)(x 3+x 2 +x+1)=x 4－1，(x －1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5－1，…”的规律，求出2 2007+2 2006+2 2005+…+2 3+2 2+1的末位数字是 ( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)79．设y=x 4－4x 3+8x 2－8x+8，其中x 为任意实数，则y 的取值范围是 ( )(A)一切实数 (B)一切正实数(C)一切大于或等于4的实数 (D)一切大于或等于5的实数10．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2 +3x －3y －2007的值为 ( )(A)－2008 (B)2008 (C)－1 (D)1二、填空题(每小题4分，共40分)11．多项式5x 2－4xy+y 2－8x+2025的最小值为________．12．已知x ，y 2690y y -+=．若axy －3x=y ，则a=________．13．计算：(1) =_________；=_________．14．若x 2－x －1=0，则－x 3+2x+2009的值等于_________．15．已知(x+1) 5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，求下列各式的值：a+b+c+d+e+f=_________；b+c+d+e=__________；a+c+e=_________．16．已知a(a －1)=a 2－b －2，则222a b ab +-=__________． 17．正方形A 的周长比正方形B 的周长长96cm ，它们的面积相差960cm 2，这两个正方形的边长分别为__________和_________．18．设221a b -=221b c -=a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－c 2 a 2=_______．19．已知x =，y =x 4+y 4值为_________． 20．已知a －b=4，ab+c 2+4=0，则a+b+c 的值为_________．三、解答题(21题满分10分，22题、23题每题满分15分，共40分)2122．在一次数学考试中，老师出了一道解方程组的题：2222010x y z xy yz zxx y z⎧++=++⎨++=⎩，小明认为老师出的题目有错，没办法解，因为只有两个方程，而有三个未知数．你同意小明的观点吗?若不同意，试一试解一下这个方程组．23．已知实数2x2y=x≠y，求x+y和xy的值．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．D二、填空题11．∵原式=4x 2－4xy+y 2+x 2－8x+16+2009=(2x －y) 2+(x －4) 2+2009≥2009，∴多项式的最小值为2009．122690y y -+=，得()230y -=，∴3x+4=0且y －3=0，∴43x =-，代入axy=3x －y ，解得14a =．13．(1)．(2)原式112==．14．解法一：－x 2+2x+2009=2008．解法二：由x 2－x －1=0，得x 2－x=1．∴原式=2008．15．(1)令x=1，即可得a+b+c+d+e+f=32； (2)比较两边系数，发现a=f=1，所以b+c+d+e=30；(3)再令x=－1，可得－a+b －c+d －e+f=0，与(1)中的结论相减再除以2，即可得a+c+e=16．16．由已知得，a 2－a=a 2－b －2，则a －b=2，()2221222a b ab a b +-=-=． 17．设A ，B 两个正方形的边长分别为x ，y(x ＞y)，则由题意可得两个正方形的边长分别为32cm 和8cm ． 18．原式=6．19．由已知得，2x =2y =x+y=4，xy=1．∴x 2+y 2=(x+y) 2－2xy=14，x 4+y 4=(x 2+y 2) 2－2x 2y 2=142－2=194．20．因为a=b+4，所以代入ab+c 2+4=0，得b(b+4)+c 2+4=0，即(b+2) 2+c 2=0，所以b=－2，c=0，所以a=2．故a+b+c=0．三、解答题21b =，则有b 2－a 2=2005=5×401．∵5，401均为质数，a ，b 是正整数． 解得a=1002或a=198．∴满足条件的正整数的和为1002+198=1200．22．由(1)×2，移项得2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2zx=0，即(x －y) 2+(y －z) 2+(z －x) 2=0，所以x=y=z ．又因为x+y+z=2010，所以x=y=z=670．23．将两等式相减得：())220x y y x --=，∵x ≠y ，∴x y +=将两等式相加得：)22x y x y ++=222x y +=．∴2xy =。

数学竞赛专题训练精选100题及答案题目1：整数方程设a和b是满足以下方程的整数：5a+3b=25。

求a和b的所有整数解。

题目2：几何题在直角三角形XYZ中，∠Z为直角，XY=10，XZ=6。

点W是边XZ上的一个点，使得ZW=8。

求∠XWY的大小。

题目3：排列组合有8个不同的水果和4个不同的盘子，你打算将这些水果放在这些盘子中。

每个盘子至少有一个水果，一共有多少种不同的分配方式？题目4：函数问题考虑函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1。

求g(x)的最小值以及对应的x值。

题目5：概率题一枚硬币被抛掷3次。

计算至少2次出现正面的概率。

题目6：代数方程解方程：2x^2-5x-12=0。

题目7：几何问题在平面上，有一个正方形ABCD，边长为6。

点E在边AB上，离点A的距离为2。

点F在边BC上，离点B的距离为3。

求线段EF的长度。

题目8：概率问题一副扑克牌中随机抽取5张牌，计算至少有一对的概率。

题目9：代数方程解方程：3(x-2)=5(x+1)。

题目10：几何问题在直角三角形PQR中，∠R为直角，PQ=12，PR=15。

点S是边PQ上的一个点，使得QS= 8。

求∠PSR的大小。

题目11：整数方程设m和n是满足以下方程的整数：4m+7n=38。

求m和n的所有整数解。

题目12：几何题在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠A=120°。

求BD的长度。

题目13：排列组合有10个不同的音乐家，其中有5位小提琴手和5位钢琴家。

你打算在一排座位上让他们坐下，要求相邻的座位上不能坐同一种乐器的音乐家。

一共有多少不同的座位安排方式？题目14：函数问题考虑函数h(x)=x^2-6x+9。

求h(x)的最小值以及对应的x值。

题目15：概率题一副扑克牌中随机抽取7张牌，计算至少有两张牌相同点数的概率。

题目16：代数方程解方程：2(x+3)=4(x-1)。

题目17：几何问题在等腰三角形MNO中，∠N=∠O，NO=10，MN=6。

数学初中竞赛逻辑推理专题训练一．选择题1．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（）A．6种B．120种C．240种D．720种2．钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（）A．6种B．7种C．8种D．9种4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不同方法共有（）（注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．）A．15种B．14种C．13种D．12种5．如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种6．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种8．用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条9．将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使每条边的两端异色，若共有3种颜色可供使用（并不要求每种颜色都用上），则不同的涂色方法为（）种．A．6 B．12 C．18 D．2410．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．8 B．12 C．16 D．2011．如图，在一块木板上均匀钉了9颗钉子，用细绳可以像图中那样围成三角形，在这块木板上，还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则x的值为（）A．8 B．12 C．15 D．1712．初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕，歌手韩红夺得歌王称号．在这个节目中，每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的，每场比赛每位大众评委有3张票（必须使用）以投给不同的3位歌手．在某一场比赛中，假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要获得张票．14．如图，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）15．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．16．在表达式S＝中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x 2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有种．17．如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有种栽种方案．18．6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛，其中2人穿红色的，2人穿黄色的，1人穿蓝色的，1人穿黑色的．每次表演选3人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛，具体规则是：（1）出场的“3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛．（2）出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手，则这2名选手之间不比赛，并且只派1人与另1名选手进行1局比赛．按照这样的规则，当所有不同的“3人组”都出场后，共进行了局比赛．19．将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大于同行中的5个，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格子最多个．三．解答题20．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？23．把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块正方形，那么，对折的此数n共有多少种不同的数值？24．圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形．图中有多少个平行四边形？25．足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是？26．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2P 3…P m 中，若1≤i ＜j ≤m 时，P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n +1）n （n ﹣1）…321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1＝1，排列4321的逆序数a 3＝6．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式（用n 表示，不要求证明）； （2）令b n ＝+﹣2，求b 1+b 2+…b n 并证明b 1+b 2+…b n ＜3，n ＝1，2，…．参考答案一．选择1．解：老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法， 所以共有6×5×4×3×2×1＝720种． 故选：D ．2．解：因为1+2+3+…+11+12＝78，所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零， 要填负号最少，首先从大数前面加负号， 因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39， 由此得到至少要添4个负号． 故选：A ．3．解：我们用O 表示开的状态，F 表示关的状态，则各种不同的状态有OOOO ，OOOF ，OOFO ，OFOO ，FOOO ，FOFO ，OFOF ，FOOF 共8种状态． 故选：C ．4．解：设小明上n 阶楼梯有a n 种上法，n 是正整数，则a 1＝0，a 2＝1，a 3＝1． 由加法原理知a n ＝a n ﹣2+a n ﹣3，n ≥4． 递推可得a 4＝a 2+a 1＝1，a 5＝a 3+a 2＝2， a 6＝a 4+a 3＝2， a 7＝a 5+a 4＝3， a 8＝a 6+a 5＝4， a 9＝a 7+a 6＝5， a 10＝a 8+a 7＝7， a 11＝a 9+a 8＝9， a 12＝a 10+a 9＝12．故选：D ．5．解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：1+4+3＝8（种）．答：不同的覆盖方法有8种．故选：C．6．解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．7．解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，caedb，cadeb六种情况，综上所知，共10种取法．故选：C．8．解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：①AB﹣BC ﹣CA﹣AD﹣DC；②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC；③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC；④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC；⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC；⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC．共有6条．故选：C．9．解：设供选用的颜色分别为1，2，3；当A选1时，有两种情况：①C与A的颜色相同时，B、D的选法有：一、B选2，D选3；二、B选3，D选2；三、B选2，D选2；四、B选3，D选3；共4种涂色方法；②C与A的颜色不同时，选法有：一、C选2，B、D选3；二、C选3，B、D选2；共2种涂色方法；因此当A选1时，共有2+4＝6种涂色方法；而A可选1、2、3三种颜色；因此总共有3×6＝18种涂色方法．故选C．10．解：韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬花的顺序，并且不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同，故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有＝20．故选：D．11．解：如图所示：将图形分成①、②、③、④四部分，第①个小正方形中符合题意的三角形有3个；第②个小正方形中符合题意的三角形有4个；第③个小正方形中符合题意的三角形有4个；第④个小正方形中符合题意的三角形有4个；综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即x＝15．故选：C．12．解：设同时参加两项竞赛的学生有x人，根据题意可列出方程：37＝30+20+4﹣x，解得x＝17（人）；故选：B．二．填空13．解：∵（500×3）÷7＝214（张）…2（张），又∵全部票都有效，也不会产生并列冠军，∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）故答案为：216．14．解：棋子每走一步都有2一4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂．如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子从黑色A格出发，第一步必定进人白格；第二步必定进人黑格，第三步又进入白格…也就是说棋子走奇数步时进人白格；走偶数步时，进人黑格，所以当棋子从A格出发28步后，必定落在黑格．故这枚棋子走28步后可能到达B处．故答案为：可能．15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．16．解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）故答案为：16．17．解：若A，C种同一种植物，则A，C有4×1种栽种方法，B，D都有3种栽种法，共有4×3×3＝36种栽种方案；若A ，C 种不同的植物，则有4×3种栽种法，B ，D 都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48种栽种法．所以共有36+48＝84种．故答案为：84．18．解：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l 1、l 2；将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l 3、l 4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段．（2）当“3人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l 5、l 6上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．两种情况合计，总比赛局数为44局．故答案为：44．19．解：因为一行有8个数，至多有3个数可以大于同行的5个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时，涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24个涂上红色，如图所示：1所在位置，都可以涂成红色．故答案为：24．三．解答20．解：将这120人分别编号为P 1，P 2，…，P 120，并视为数轴上的120个点，用A k 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组， |A k |为该组人数，k ＝1，2，3，4，5，则|A 1|＝24，|A 2|＝37，|A 3|＝46，|A 4|＝54，|A 5|＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k ＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|＝246，故至少染有三色的点不多于＝82个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P 1，P 2，…，P 85这85个点染第五色；点P 1，P 2，…，P 37这37个点染第二色；点P 38，P 39，…，P 83这46个点染第四色；点P 1，P 2，…，P 24这24个点染第一色；点P 25，P 26，…，P 78这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个．因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P 79，P 80，…，P 120这42个人）．答：获奖人数至少有42个人．21．解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡；每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；∴x（x﹣1）+xy+y＝51，∴51＝x（x﹣1）+xy+y＝x（x﹣1）+y（x+1）≥x（x﹣1）+x+1＝x2+1（当y＝1时取“＝”），解得，x≤7；x（x﹣1）+（x+1）y＝51∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，∴x（x﹣1）是偶数，∴（x+1）y是奇数，∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；当x＝2时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝4时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝6时，y＝3．所以这个宿舍有6个学生．22．解：（1）不一定．设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分，因此小组中的第三名积分是6分，∴不能出线；（2）有可能出线．如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，因此这个小组的第二名，一定是3分出线；（3）有可能出线．如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，这样这个小组的第二名的积分一定是2分，自然有出线的可能．（4）不可能出线．如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．23．解：设长方形的长为a，若n＝1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2＝a﹣2＝1282，解得：a＝1284，2|1284，符合条件；若n＝2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（4﹣2）＝a﹣6＝1282，解得：a＝1288，4|1288，符合条件；若n＝3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（8﹣2）＝a﹣2×（8﹣1）＝1282，解得：a＝1296，8|1296，符合条件；对一般的n，得到的正方形个数为；a﹣2×（2n﹣1），另a﹣2×（2n﹣1）＝1282，解得：a＝2×（2n﹣1）+1282＝2×2n+1280，若2n|a，则符合条件，显然，当2n|1280时符合条件，1280＝28×5，∴n可取1到8，对折的次数n共有8种不同的可能数值．24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，则可得5条直径，因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，所以可得5个平行四边形．即图中有5个平行四边形．25．解：设正六边形有5x块，则正五边形有3x块，由题意得：共有12块正五边形，即3x＝12，解得：x＝4，5x＝20．即正六边形的块数是20块．26．解：（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6，得a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，∴a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝；（2）∵a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，b n＝+﹣2，∴b n＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，∴b1+b2+…+b n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝3﹣﹣；又∵n＝1，2，…，∴b1+b2+…b n＝3﹣﹣＜3．。

初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。

符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。

一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。

一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。

记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。

2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。

【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。

若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。

【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。

例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。

【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。

青少年奥林匹克信息学竞赛初级篇题库1.输入10个正整数，计算它们的和，平方和；2.输入20个整数，统计其中正、负和零的个数；3.在1——500中，找出能同时满足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整数；4.输出1——999中能被3整除，且至少有一位数字是5的数；5.输入20个数，求出它们的最大值、最小值和平均值。

6.甲、乙、丙三人共有384本书，先由甲分给乙、丙，所给书数分别等于乙、丙已有的书数，再由乙分给甲、丙，最后由丙分给甲、乙，分法同前，结果三人图书数相等。

编程求甲、乙、丙三人原各有书多少本？7.某养金鱼爱好者，决定出售他的金鱼。

第一次卖出了全部金鱼的一半加2分之一条金鱼；第二次卖出剩金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩金鱼的五分之一加五分之一条金鱼，最后还剩11条。

问原来有多少条金鱼？（每次卖的金鱼都是整数条）8.猴子吃桃子问题：猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半还不过瘾，又多吃了一个；第二天又将剩下的桃子吃掉一半又多吃了一个；以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。

到了第十天想再吃时，见只剩下一个桃子，求第一天共摘了多少个桃子？9.从键盘输入整数l，统计出边长为整数的周长为l的不等边三角形的个数。

10.输入三个整数，以这三个数为边长，判断是否构成三角形；若构成三角形，进一步判断它们构的是：锐角三角形或直角三角形或钝角三角形。

11.1*2*3*...*1000结果是一个很大的数，求这个数末尾有多少个连续的零。

12.任意输入两个整数，求这两个整数的最大公约数，并求这两个整数的最小公倍数。

13.一个整数的立方可以表示为两个整数的平方差，如19853=19711052-19691202。

编程：输入一个整数N，自动将其写成N3=X2-Y2。

14.求100以内的所有素数。

纯粹素数是这样定义的：一个素数，去掉最高位，剩下的数仍为素数，再去掉剩下的数的最高位，余下的数还是素数。

专题3和差化积•…因式分解的方法(1)阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止.一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1.换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式屮的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的冃的.从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等.2.拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解.例题与求解【例1】分解因式(X2+X+1)(X2+X +2)-12= ____________ .(浙江省中考题) 解题思路：把(x2+x)看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构.【例2】观察下列因式分解的过程：(1)%2一兀y + 4兀一4y ；原式=(x2 -xy)+(4兀_4y) = x(x_y)+4(x-y) = (x-+ 4)；(2)a2-b2 -c2 + 2bc.原式=a2 - {b2 +c2-2bc)=a2 -(b-c)2 = (d + /?-c)(a-b + c).第(l)题分组后能直接提公因式，第(2)题分组后能直接运用公式. 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：(1)«~ -ab + ac-bc；(西宁市中考试题) (2)x2 -4y2 -z2 +4yz .(临沂市中考试题) 解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验一—失败一一再试验一一再失败一一直至成功”的过程.【例3】分解因式(1)1999X2-(19992-1)X-1999；(2)(x+yXx+y + 2xy)+(xy + l)(xy-l)；⑶(x-2)3-(>'-2)3-(x-y)3-(重庆市竞赛题) (“缙云杯”邀请赛试题)解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有休I难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中x+歹、与反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系.【例4】把多项式x2-y2-2x-4y-3因式分解后，正确的结果是（）•A.（兀+y + 3）（兀_y_l）C.（兀十y_3乂％_ ）'十1）B. （x+y-lX-r-y + 3）D. （x + y +1）（兀- y -3）（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如一3 = —4+1.【例5】分解因式: （1 ）X’ + 兀 + 1 ;（扬州市竞赛题）（2）%3-9x4-8；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）（z4 + 2a'' + 3ci~ + 2a +1.解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略.【例6】分解因式：X3+6X2+1 lx+6.解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法.能力训练A级1.分解因式：1 3 .（1） ________________________________________ —x + x' -x = .4（泰安市中考试题）（2）4加％ -16mn3 = ________________________ .（威海市屮考试题）2.分解因式：（1） ____________________________________________________ 兀（兀一1） +歹（『+ 1）-2号= ；（2） ________________________________________________________ （牙2 + 3x）~ _2（兀2 + 3兀）—8 — _____________________________________________________ .3.分解因式：a2-b2+4a + 2b + 3= _______________________________ .4. __________________________________________________________ 多项式ax' -Sa与多项式F-4x + 4的公因式是_________________________________________________ .（河南省竞赛试题）5.在1~100之间若存在整数〃，使x2+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的斤有个.6.将多项式x 2-4y 2-9z 2-l2yz 分解因式的积，结果是().A. (x + 2y-3z)(x-2y-3z)B. (x-2y-3z)(x -2y + 3z)C. (x + 2y + 3z)(x + 2y -3z)D. (x + 2y + 3z)(x-2y-3z) 7. 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是()・A. %3 — 9x^ + 27x — 27B. %3 — x" 4- 27x — 27C. X 4-X 3 + 27X -27D. X 3-3X 2+9X -2710. 己知二次三项式21F+GC-10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么().A. a —定是奇数B. a —定是偶数C. d 可为奇数也可为偶数D. d —定是负数11. 分解因式：(1) (2x 2 -3x +1)2 - 22x 2 + 33x -1 ； (2) (%2 + 3x + 2)(4%2 + 8x+3) — 90 ； (3) X 4-7X 2+1； ( “祖冲Z 杯”邀请赛试题)(4) X 3 + 2X 2-5X -6； (乘庆市竞赛试题)(5)+ y 4 + (x + y)° ；(6) (6兀一1)(2x — l)(3x — l)(x — 1) + 兀~.12. 先化简，在求值：2a(d + b) —(d + b)2,其中 a = A /2008 , b = 72007 .B 级8.把於+4分解因式，其中一个因式是( ).A. d + 1B. 67° + 29.多项式a'—戾+ + 3cibc 有因式(A. c + ci-bC. a 2 +/?2 +c 2 -bc + ac-ab C. /+4 ). B. a + h + cD. be-ac + ab (“希望杯”邀请赛试题)D. / - 2a + 2(“五羊杯”竞赛试题)(重庆市竞赛试题) 1.分解因式：4兀2—4兀一y?+4y-3 = ________________ .2.分解因式：(x +1)(% + 2)(x + 3)(% + 4) + x(x + 5) = ______________3. 分解因式：（兀2一1）（兀+ 3）（兀+ 5） + 12 =A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 7. 2十+兀2—13兀+6的因式是（ ）.A. 2.x — 1B. x + 2C. x-3D. +1 8. 分解因式：(1) (a + b-2ab)(a + /?-2) + (1 -ab)2: (2) x 4 + 1999x 2+1998%+1999；(3) (a~ + d + 1)(Q ~ — 6a +1) + 12a""； (4) 4x 3 -31x + 15 ；(5) (2兀—3y)3 + (3x — 2y)3 -125(%- y)3 ； (6) 4x 4 — 4兀'一14x~ +12.x + 6.9. 己知乘法公式：a 5 +b 5 = (a + 方)(a 4 -a 3b + a 2b 2 -ab 3 + /?4) a 5-b 5=(a- b)(a 4 + Mb + a 2b 2 + ab 3 + b 4) 利用或者不利用上述公式，分解因式：X x + X 6+X 4+X 2 + 1.（“祖冲之杯”邀请赛试题）10. 分解因式： (1) x 3 + 6x 2 -27x:4. 分解因式：x 5 +x-1 = _____5. 将%5+%4+1因式分解得（ A.（对 + 兀 +1）（/+ 兀+1） C.（兀〜一X + 1）（兀’一兀+1）).B. (x~ — x + l)(x 3+ x +1) D.(兀-+ 兀 + 1)(兀"一兀+1)（“希望杯”邀请赛试题）（“五羊杯”竞赛试题）（陕西省竞赛试题）6. 己知G,仇C 是AABC 三边的长, 且满足c 『 + 2b2+c2—2b （d + c ） = 0,则此三角形是（ D.不能确定 E. 2兀 +1（美国犹他州竞赛试题）（湖北省黄冈市竞赛试题）（江苏省竞赛试题） （陕西省屮考试题）（“祖冲Z 杯”邀请赛试题）（“五羊杯”竞赛试题）（太原市竞赛试题）(2)/+/—a —1;(3)8(x2 -2y2)-x(lx + y) + .11.对方程t72/?2+«2+/?2 =2004,求出至少一组正整数解.（莫斯科市竞赛试题）12.已知在ZXABC 中,a2 -16b2 -c2 + 6ab +1 Obc = 0（a,b,c是三角形三边的长）, 求证：a + c = 2b.（天津市竞赛试题）专题03和差化积—因式分解的方法（1）例1 (++工+5)(卅+工一2)例2 —(a* —ab)~^(.ac—bc)~~a(a^b) +c(c【一”) =(a—h) (a+r) ；(2)原式—J T — (4)，— £yz+ 兰)=/ — (2y—乙)'=(工+2)'—了)Q—2y+z)例3 ⑴(1999』l)(a-1999)； (2) (x + l〉(y+l) (巾++，-小⑶ 3(.L2心一2〉€rp)例4 D例5 (1)(# i x I i)(y *十1)提示i 原式=F•Z+X +工+1(2)(J — 1) (J? 4-j —8) 提示：原式=9工'一9丁一虹‘十8(3)(/亠a+1)：捉示(原式 (/十-ha2 ~ra)—(a2 +a+l)例6解法】原式=(#亠*〉+ (5/~| 5』)+ (6.「卜6) =乂'(7一l)^5x(x+l)+6(a I l) = (_r I 1)(+ f 5J +6) = Q+l “文―2)Cz 十3).解法2 原式=3'+2上2) + (4.”+8刃+(航+6〉一/(x 2)卜心已2) { 3(x+2)-U I 2)<^+4x I 3)-(卄1)(工十2)Q-3》・A 级1.⑴工(JT—> (.2)4mn(7n—2n)(ni_2n)2.⑴Grp)Crp-l) ⑵(工一1〉(文卜4)(上+1)(工2)3.(a+0+l)(a_6+3)4.上一2 S・ 96.I)7. A8. I)9. A 10. Alh (1)以2丁一3〉Gr—3)(2』+3)极示！令一"=$ <2)(2X:+5X-12)(2X-F7)(X-1>F(3) (*+3JT+ 1)(+ 3^4-1), (4) Cr41〉Cr + 3〉(工2) 視示：原式=(工‘+.*〉+ (十 + 才)一(6彳+6) (5) 2(X2十J十工y)‘提.示r麻式(J2十y'〉'一2/，'+ (工+ yY (6) (2—12.原式=，)(2^- u b}=£T —tr当”=y&03』= -/2007.1^式-(v z2OO8)' - ( /2007)22008-2007=】•L (l>(2x+』一3)(2工一丿十1) (2)(#+5工 + 3)(工‘+5壬+8)3.(才‘丄4乂一3)(x2 4-4x+l)4.】)C?卜兰一1)5. D6. B7. A 捉、0巫式=(2J" ifiH-G2 14+22)R (1) («-1/(6-1)2⑵ C/+H亠1)2—工+1999〉根示】令1999*4 (3)5 l)z(a J-3a + l) (4)(2戈一l)(2；r—5)(士亠3〉捉示：原式一4”一”一3Qi +15 <5) -15<x-y)(2jr-3y)<3j-2y) (6) 2(x?-3)(2J:—2.r—1)9.由公式有* —】 = (T—1XT+工’+++工’+1)(r4—更 +才—#+1)(:/ — J1 +JT‘— J+1)10.⑴工(z+9)(工一3) ⑵(卄1畑- I)(3)(x-r-4y)(x —4j)11•(才+1)(F + 1) 2005 5 X 401 1 X 2005 右严"+ 1=5・["+1=401,加十1 = 401或"+ 1=丄u = 2O, d-2.12. a s 1必J +3+10加=(/ + 讪一9疔〉一(2抄lOk*-bc; ) — (a+3t):— ( 5&— c): =[(a+35〉+ (5d—v)][(a+36) 一 (5fr-c) ]=«+的一 C (a- 2H-c)e•:a.b.t是三角形三边长•「•a I &—a>0.a Sb—c^(a+〃一c〉+ 7ZC：・0.二|t］条件只有A —2Z>+c=0・故a —「=“■我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

专题12 心中有数阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l 】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：（1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.（3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.【例2】 某学生通过先求x 与y 的平均值，再求得数与z 的平均值来计算x ，y ，z 三个数的平均数.当z y x <<时，这个学生的最后得数是（ ）A .正确的B .总小于AC .总大于AD .有时小于A ，有时等于AE .有时大于A ，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠？ （第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A ，B 中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.能力训练A级1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.（大连市中考试题）2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有___________人．（江苏竞赛试题）3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7所以应确定_______去参加射击比赛. 4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x ，6，4，若这组数据 的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.（包头市中考试题）5.如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ，12+x ，23+x ，34+x ，45+x 的平均数是（ ）A .xB .2x +C .52x + D .10x + （天津市中考试题）6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ，那么（ ）A . c b a <<B .a c b <<C .b c a <<D .c a b <<（宁夏中考试题）7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的 是（ ）A ．7 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是样本D ．样本容量为5008.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为12549，则未取的数字是（ ） A ．20 B ．28 C ．72 D ．78（台湾省中考试题）9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.第五次第四次第三次第二次16151413121110第一次次数得分甲：乙：（安徽省中考试题）10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170（2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167（1）补充完成下面的统计分析表（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.（2013宁夏回族自治区中考试题）11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.073m ，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×1033/m kg ；（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且1221c c c ≤≤，求1c 的最大值.(第十九届江苏省竞赛试题)B 级1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A 、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选________；理由：______________________________________________________________（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：初中男生身高情况抽样调查表（注：每组可含最低值，不含最高值）①根据表中的数据填写表中的空格；②根据填写的数据绘制频数分布直方图．193183173163153143（上海市中考试题）2.其中1a ，2a ，3a ，…，8a 是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.（辽宁锦州市竞赛试题）3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米，前两名的平均身高为c ，后三名的平均身高为d ，则2b a +与2d c +比较（ ） A .2b a +大 B .2d c +大 C .两者相等 D .无法确定 （“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据1x ，2x ，3x 的平均数为a ，1y ，2y ，3y 的平均数为b ，则数据1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（ ）A .b a 32+B .b a +32 C .b a 96+ D .b a +2 （全国初中数学竞赛试题）5.小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入)1(-n 个数，平均数为7535，假设这)1(-n 个数输入无误，则漏输入的一个数是（ ）A .10B .53C .56D .67（江苏省竞赛试题）6.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120mm ，高AD =80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．设该矩形的长QM =y mm ，宽MN =x mm ．（1）求证：x y 23120-=； （2）当矩形PQMN 的面积最大时，它的长和宽是关于t 的一元二次方程0200102=+-q pt t 的两个根，而p 、q 的值又恰好分别是a ，10，12，13，b 这5个数据的众数与平均数，试求a 与b 的值．（广西壮族自治区中考试题）E NC MD Q BP A7.某班参加一次智力竞赛，共a ，b ，c 三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a 满分20分， b 、c 题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x 、y 想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？（济南市中考试题）9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的x的值为________，y的值为_______；（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．（2013年成都市中考试题）。

班主任基本功大赛模拟情景题小学组1、刘某，女，11岁，某小学四年级学生。

成绩一般，中等智商，性格内向，在人面前不拘言笑，上课从不主动举手发言，老师提问时总是低头回答，声音听不清，脸蛋涨得绯红。

下课除了上厕所外总是静静地坐在自己的座位上发呆，老师叫她去和同学玩，她会冲你勉强笑一下，仍坐着不动。

父亲是银行的一位领导干部，每晚一般都坐在刘某身边陪学习。

对孩子学习的问题，教育方式粗暴，对孩子的期望值过高，刘某的父母除了对她学习要求严格外，别的方面可以说是衣来伸手，饭来张口，无忧无虑。

在班上值日生工作不会做，做别的事也做不好。

作为班主任如果遇到这样的学生，该怎么做？参考答案：1、利用游戏活动，创造交往的条件。

2、指导家庭教育，改变不良的教育方式。

3、创设良好的班级人际氛围。

利用心理辅导课、活动课等时机进行群体性的心理辅导，让学生知道与人交往、帮助他人，不嘲笑、鄙视能力比自己差的同学是一个好学生应具备的好品质，从而主动地在学习、劳动上帮助刘某。

4、培养刘某交往的语言表达能力。

5、利用劳技课，培养合作精神。

2、李某，男，11岁，某小学四(2)班学生，成绩很好，上等智商，性格内向，中等身材。

在课堂一直不敢回答老师提出的问题，一回答问题就脸红，胆颤心跳，担心回答不对。

从小就胆小，独来独往，人际关系欠佳。

集体活动很少参加。

放学回家后，钻进房间，看电视、看书，再也不出门。

就该同学的情况谈谈你的处理方案。

参考答案：1、鼓励多与人交谈：做到有话就说，有事就谈。

2、引导交友。

3、写观察日记：让李某每天写一篇日记，把每天的所见所闻写下来，并且读给同学或家长听，让家长在日记后面签上家长意见，增强他的胆量。

4、参与课外活动：带他参与课外活动，并且让他担任一个角色。

5、引导阅读：让李某阅读课外书籍，每读一篇写下读后感，写完后，每天自己对着墙壁大声读两次，既充实了知识，也可以改变心理状态。

6、创造课堂发言的机会：上课时教师引导他回答问题，多给他说话机会，只要他稍微有一点进步，及时给予他肯定、表现，增加他的信心。

初中数学思维训练方法第一篇范文在当今知识经济时代，数学思维的培养成为教育的重要任务之一。

尤其是在初中阶段，数学不再仅仅是简单的算术和几何，而是开始涉及到逻辑推理、抽象思维等更高级的思维方式。

因此，如何在这一阶段有效地进行数学思维训练，成为摆在我们面前的一个重要问题。

一、启发式教学法启发式教学法是指教师在教学过程中，通过引导学生自主探究、发现和解决问题，从而激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。

在初中数学教学中，教师可以设置一些富有挑战性的问题，让学生在探究中逐步提高自己的数学思维能力。

二、小组合作学习小组合作学习是指学生在小组内共同讨论、研究问题，从而达到共同提高的一种教学模式。

这种模式有助于培养学生团队协作的精神，同时也能够促进学生之间的思维碰撞，激发学生的创新意识。

三、情境教学法情境教学法是指教师在教学过程中，有目的地引入或创设具有一定情感色彩的、以形象为主体的生动具体的场景，以引起学生一定的认知和情感体验，从而帮助学生理解教材，并使学生的心理机能得到发展的教学方法。

在初中数学教学中，教师可以结合生活实际，创设有趣的情境，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学。

四、变式教学法变式教学法是指教师在教学过程中，通过变更事物的非本质特征，以突出事物的本质特征，从而帮助学生更好地理解知识的一种教学方法。

在初中数学教学中，教师可以运用变式教学法，让学生在各种变化中发现数学规律，提高自己的思维能力。

五、数学建模方法数学建模方法是指学生运用数学知识解决实际问题的过程。

通过数学建模，学生可以将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高自己的数学应用能力。

教师可以引导学生参与一些数学竞赛或实际问题研究，让学生在解决问题的过程中锻炼自己的数学思维。

六、反思与总结在数学教学过程中，教师要引导学生进行反思与总结，让学生在总结自己的学习经验的基础上，不断提高自己的数学思维能力。

教师可以定期组织学生进行学习总结，让学生分享自己的学习心得和方法，从而达到共同提高的目的。

初中数学竞赛多项式培优讲义由一些字母和数进行加减和乘法所构成的代数式叫做多项式。

一元多项式的一般式为2012 (0)n n n a a x a x a x a ++++≠ 。

一元多项式函数的一般式为2012() (0)n n n f x a a x a x a x a =++++≠ 。

一、专题知识1.基本定理（1）余式定理：多项式()f x 除以x a -所得的余式为()f a ，()()()()f x Q x x a f a =-+；（2）一元多项式带余除法恒等式：()()()()f x Q x g x R x =+ 其中deg ()deg ()R x g x ＜或()0R x =，()Q x 、()R x 分别叫做多项式()f x 除以()g x 的商式、余式；（3）因式定理：多项式()f x 含有因式x a -的充要条件是()0f a =；（4）多项式()f x 含有因式123()()()()k x a x a x a x a ---- 的充要条件是12()()()0k f a f a f a ==== 其中1a ，2a ，3a ， k a 互不相等；（5）多项式函数定理：一个n 次多项式()f x ，可由它在x 取1n +个不同值(0,1,2,3,)i a i n = 时的函数值()i i b f a =惟一确定。

2.基本结论（1）若多项式()f x 除以()0g x ≠的商式为()Q x ，余式为()R x ，则()f x 除以() (0)kg x k ≠的商式为1()Q x k，余式仍为()R x ；（2）两个一元n 次多项式()f x ，()g x 相等的充要条件是()() (0,1,2,)i i f a g a i n == ，其中i a 各不相同；（3）一元n 次多项式()f x 最多只有n 个不同的根()n N ∈；（4）使得一元多项式的值为零的自变量的值，称为这个一元多项式的根，即若()0f a =，则称a 为多项式()f x 的根，或称为多项式的零点；（5）零多项式有无数个根，零次多项式没有根。