人教版初三数学上册素材一

九年级上册考点第一章 一元二次方程1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。

一元二次方程的解就叫一元二次方程的根。

2、一元二次方程的一般形式：a 2x+bx+c=0(a 、b 、c 分别为二次项系数；一次项系数；常数项)3、三种解一元二次方程的方法： (1)、配方法例：2x 2+1=3x(解法在课本P7) (2)、公式法 求根公式：x =−b±√b 2−4ac2a;判别式公式：△=b 2−4ac（3）、因式分解法（包括：提公因式法；完全平方公式及平方差公式法；十字相乘法） 例：3x 2+6x=0; x 2-4x+4=0; 9X 2-1=0; X 2-5X+6=0 解:3x(x+2)=0 解:（x-2）2=0 解:(3x-1)(3x+1)=0 解:(x+2)(x-3)=0 x 1=0;x 2=-2 x 1=x 2=2 x 1=x =13;x 2=−13 x 1=-2;x 2=3 4、韦达定理如果方程a 2x+bx+c=0有两根：x 1与x 2，那么x 1+x 2=−ba ;x 1.x 2=ca 5、用一元二次方程解实际问题（应用题）步骤：1、根据题意设未知数（x ）;2、根据题中数量关系列一元二次方程；3、解方程（不符合题意的解舍去）；4、做答第二章 二次函数知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象y ax c与性质：上加下减（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点 坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：③ 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+y 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴； 如果0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个相等实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.第三章 旋转知识点一 旋转的概念1.旋转的定义：把一个图形绕着某一O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点 .重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等3.作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角作图的步骤：1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；第一章 (4)连接所得到的各对应点.知识点二、中心对称与中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2.中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4.中心对称和中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系①指一个图形本身成中心对称②对称中心不定②对称中心是图形自身或内部的点联系：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．5. 关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即P(x,y)关于原点的对称点Q(-x,-y)的坐标为，反之也成立知识点三、平移、轴对称、旋转1.平移、旋转、轴对称之间的对比三、规律方法指导1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：(1)先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；(2)在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；(3)利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：(1)实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；(2)类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；(3)理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识第四章圆考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

九年级上册数学资料一、一元二次方程1. 定义一元二次方程长啥样呢？它就是那种形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。

这里的a、b、c可都是实数呢。

比如说x² - 3x + 2 = 0，这里a = 1，b=-3，c = 2。

2. 解法- 直接开平方法要是方程能写成(x + m)² = n（n≥0）这种形式，那就简单啦，直接开平方就好。

就像(x - 1)² = 4，那x - 1=±2，所以x = 3或者x=-1。

- 配方法这个有点像给方程做个小整容。

比如说x² + 6x - 7 = 0，首先在方程两边加上一次项系数一半的平方，也就是x²+6x + 9 - 9 - 7 = 0，把前面变成完全平方式(x + 3)²，得到(x + 3)²-16 = 0，然后再用直接开平方法解就可以啦。

- 公式法这个是个万能的方法哦。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），它的解x=(-b±√(b² - 4ac))/(2a)。

只要把a、b、c的值往里面一代，就能求出方程的解。

不过要先算一下b² - 4ac，这个叫做判别式，它能告诉我们方程根的情况呢。

如果b² - 4ac>0，方程有两个不同的实数根；如果b² - 4ac = 0，方程有两个相同的实数根；要是b² - 4ac<0，方程就没有实数根啦。

- 因式分解法把方程的一边分解成两个一次因式的乘积，另一边是0，然后让每个因式等于0就可以求出方程的解啦。

比如x² - 5x + 6 = 0，分解成(x - 2)(x - 3)=0，那么x - 2 = 0或者x - 3 = 0，解得x = 2或者x = 3。

二、二次函数1. 定义二次函数就是y = ax²+bx + c（a≠0）这样的函数。

最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全,精品资料最新人教版九年级数学知识点总结第21章 一元二次方程1、计算a x 2+bx+c=0（a ≠0）其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 2、应用题第22章 二次函数1、二次函数的解析式三种形式。

一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =--2、二次函数图像与性质对称轴：2b x a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a--与y 轴交点坐标（0，c ）3、增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小4、二次函数的对称性当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x +=5、二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

第23章 旋转（以题带点）旋转、平移、轴对称、中心对称（关于原点对称的点的坐标）、中心对称图形错误!未指定书签。

中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。

数学初三（上）知识点汇总第1课 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式：_________。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：_________________0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程_____________实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点（4）因式分解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。

步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。

注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。

人教版九年级上册数学知识点人教版九年级上册数学知识点直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。

如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。

那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。

(与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。

) 人教版九年级上册数学知识点梳理第1章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。

解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。

二次根式一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。

在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。

二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。

一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。

二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。

在本节中，注意类比整式运算的有关内容。

例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。

这些处理有助于学生掌握本节内容。

人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。

有理数的数轴上，0的左侧是负有理数，右侧是正有理数。

加、减、乘、除有理数的运算规则。

二、立方根如果一个数的立方等于另一个数，那么这个数叫做另一个数的立方根。

三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。

其中数叫做常数项，变量叫做一次项。

四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移，红色的箭头表示旋转，蓝色的箭头表示对称。

五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形全等。

六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形相似。

七、平移与旋转1、平移：用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置，移动的距离及方向相同，不改变点的属性。

2、旋转：以一个点为中心旋转某个图形的每个点，旋转的角度相同，不改变图形的形状和大小。

八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。

九、相反数两个数互为相反数，当且仅当它们的和为0。

十、分数的意义和性质1、通分：将几个分数化成分母相同的分数。

2、分数的约分、化分；十一、用比例表示实际问题利用比例，确定两个量之间的等比关系，以解决实际问题。

十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。

2、弧是圆上任意两点之间的弧。

3、圆心角，切线和弦的关系。

十三、比例和类比1、比例含义：比例是两个量之间的等比关系。

2、异比例的解决方法：设比例系数为k，则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。

十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质：对角线互相平分；一个角的补角等于它的邻角。

2、直角梯形：有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。

十五、直角三角形1、勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

2、定比分点定理：在一条线段上，任意三点A、B、C，如果AC:CB=k:1，则称B为AC上的k:1分点。

一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一 解一元二次方程1、直接开方解法方程（1）2(6)30x -+= （2） 21(3)22x -=2、用配方法解方程（1）2210x x +-= （2） 2430x x -+=3、用公式法解方程（1）03722=+-x x （2） 210x x --=4、用因式分解法解方程（1）3(2)24x x x -=- （2）22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程（1）2900x x --= （2）22100x x +-=专题二 化简求值1、先化简，再求值：x2＋y2－2xy x －y÷(x y －yx )，其中x ＝2＋1，y ＝2-1.2、先化简：先化简：12164--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，再任选一个你喜欢的数x 代入求值.专题三 根与系数的关系1、已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ，2x . （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值.2、已知关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ，2x . （1）求a 的取值范围；（2）若221212x x x x +-≤30，且a 为整数，求a 的值.3、已知关于x 的方程0)1()12(2=-+--m m x m x ，（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且满足11)(21221-⋅=-x x x x ，求实数m 的值.专题四 统计与概率1、现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为_________；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．2、现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．（1）将A 袋摇匀，然后从A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．3、2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A.“解密世园会”、B.“爱我家，爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．专题五圆知识点一：证切线，求半径1、如图所示，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为 .2、如图所示，AB 是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是 .3、如图所示，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB;（2）若AE=2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由.4、如图所示，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE=12∠BAC.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=3BD，CE=2，求⊙O的半径．5、如图所示，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过圆心O作OG∥BD,交过点A所作⊙O的切线于点G，连结GD并延长与AB的延长线交于点E．（1）求证：GD是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．知识点二求不规则图形的阴影面积1、如图所示，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．EDBOAC2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝23,BC ＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为___________.3、如图所示,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.4、如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAE 交⊙O 于点C ，AE ⊥EC 于点E ．（1）试判断CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若D 为AC 的中点，⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．专题六 二次函数实际应用1、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ．且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x （元/kg ） 120 130 ... 180 每天销量y （kg ） 100 95 (70)设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？2、传统的端午节即将来临，我县某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：⎩⎨⎧≤≤+≤≤=）（）（20680206034x x x x y ，请解答以下问题：(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？(2)如图所示，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，求p 与x 之间的函数关系式；(3)若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)3、如图所示，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．专题七反比例函数的相关计算1、如图4，一次函数y=-x+3的图像与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图像交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为6，求点P的坐标．2、已知反比例函数y=5mx（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y=-x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．3、如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D,OB=4,AD=3,则k值为（）A.4B.3C.2D.1专题八 三角形全等与旋转的综合应用1、如图1所示，已知△ABC ≌△EBD ，∠ACB =∠EDB =90°，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为______；（2）探究：若将图1所示的△EBD 绕点B 顺时针方向旋转，当∠CBE 小于180°时，得到图2所示，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中所示，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG =∠BAE ，BC =6，直接写出AB 的长．F EDC BAFDEBC A（图1） （图2）专题九 二次函数的综合应用1、已知抛物线22y ax ax c =-+过点A (-1，0)和C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1所示，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF ⊥BC ，垂足为F ，EM ⊥x 轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG=CF 时，求△EFG 的面积；（3）如图2所示，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使∠OPB =∠AHB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyCH D BA O yx M D CG FBA O E（图1） （图2）2.（满分3+4+5=12分）如图所示，抛物线y=ax 2+bx-3与轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），A(-1，0)，B(3，0)，直线L 与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为. （1）求抛物线的函数解析式； （2）是线段AC 上的一个动点，过点作y 轴的平行线交抛物线于点，求线段PE 长度的最大值；（3）点是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由.。

人教版九年级数学上册知识点总结21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式 , 只含有一个未知数（一元）, 并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程 , 叫做一元二次方程 .注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程 .知识点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中 ,ax 2是二次项 ,a 是二次项系数； bx 是一次项 ,b 是一次项系数； c 是常数项 .知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 , 也叫做一元二次方程的根 . 方程的解的定义是解方程过程中验根的依据 .典型例题：1、已知关于 x 的方程（ m+ 3）x m21+（m-3）-1=0 是一元二次方程 , 求 m的值 .21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方, 另一边是非负数 , 可以直接开平方 . 一般地 , 对于形如 x2 =a(a ≥0) 的方程 , 根据平方根的定义可解得x1= a ,x 2= a .x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0) 形式的方程 , 如果 p≥0,（2）直接开平方法适用于解形如就可以利用直接开平方法 .（3）用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平方根的性质 , 即正数的平方根有两个 , 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方 , 使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程 , 求出原方程的根 .知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 , 叫做配方法 , 配方的目的是降次 , 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 .配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开.（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 , 把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数 , 直接开平方求出方程的解 .21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地 , 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 如果 b2-4ac ≥0, 那么方程的两b b24ac个根为 x=, 这个公式叫做一元二次方程的求根公式 , 利用求根2a公式 , 我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解 , 这种解方程的方法叫做公式法 .（2）一元二次方程求根公式的推导过程, 就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 的过程 .（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0), 一般 a 化为正值②确定公式中 a,b,c 的值 ,注意符号；③求出 b2 -4ac 的值；④若 b2-4ac ≥0, 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解 , 若 b2-4ac ＜0,则方程无实数根 .知识点二一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式 , 通常用希腊字母△表示它,即△ =b2-4ac.△＞ 0, 方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 有两个不相等的实数根一元二次方程△=0, 方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根根的判别式△＜ 0, 方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根21.2 ．3 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为0, 而另一边分解成两个一次因式的积, 进而转化为求两个求一元一次方程的解, 这种解方程的方法叫做因式分解法.（2）因式分解法的详细步骤：①移项 , 将所有的项都移到左边 , 右边化为 0；②把方程的左边分解成两个因式的积, 可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零 , 得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解.知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法 平方根的意义形如 x 2=p 或（ mx+n ）2=p(p ≥0)配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=0, 则 a=0 或 b=0一边为 0, 另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 .21.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x 2+px+q=0 的两个根为 x 1,x 2, 则有 x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.若一元二次方程 a 2x+bx+c=0(a ≠0) 有两个实数根 x 1,x 2, 则有 x 1 +x 2=b, x 1x 2=caa22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目 , 弄清题意 , 明确哪些是已知量 , 哪些是未知量以及它们之间的等量关系 .（2）设：是指设元 , 也就是设出未知数 .（3）列：列方程是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含 义, 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量 , 就得到含有未知数的等式 , 即方程 .（4）解：就是解方程 , 求出未知数的值 .（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义 , 符合题意 .（6）答：写出答案 .知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x, 则另两个数分别为 x-1,x+1.三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x, 则另两个数分别为 x-2,x+2.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c, 则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题 设初始量为 a, 终止量为 x, 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a （1（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有： ①总利润 =总销售价 - 总成本；②总利润 =单位利润×总销售量；x ）2=b. b, 平均增长率或平均降低率为③利润 =成本×利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系 , 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来 , 建立一元二次方程 .中考回顾1.(2017四川绵阳中考 )关于 x 的方程2x2 +mx+n= 0 的两个根是 -2 和 1,则 n m的值为 (C)A.-8B.8C.16D.-162.(2017新疆中考 )已知关于 x 的方程 x2+x-a= 0的一个根为 2,则另一个根是 ( A )A.-3B.-2C.3D.63.(2017河南中考 )一元二次方程 2x2-5x-2= 0 的根的情况是 ( B )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根4.(2017青海西宁中考 )若 x1,x2是一元二次方程x2+ 3x-5=0 的两个根 ,则 x2+x 1的值是 15.5.(2017内蒙古赤峰中考 ) 如果关于x 的方程x2- 4x+ 2m= 0 有两个不相等的实数根,那么 m 的取值范围是m< 2.21 6.(2017四川成都中考 )已知 x1 ,x2是关于 x 的一元二次方程 x2-5x+a= 0 的两个实数根 ,且=10,则 a=4模拟预测1.方程x2+x- 12= 0的两个根为( D )A. x1=- 2,x2= 6B. x1=- 6,x2= 2C.x1=- 3,x2= 4D.x1=- 4,x2= 32.对形如(x+m )2=n的方程,下列说法正确的是( C )A. 都可以用直接开平方得x=-m ±B. 都可以用直接开平方得x=-n ±C.当 n≥ 0 时 ,直接开平方得x=-m ±D. 当 n≥ 0 时 ,直接开平方得 x=-n ±3.三角形的两边长分别为 2 和 6,第三边是方程 x2-10x+ 21= 0 的解 ,则第三边的长为 ( A )A.7B.3C.7或3D.无法确定4.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价 ,对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为256 元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( A )22C.289(1 -2x)= 256D.256(1 - 2x)= 289A.289(1 -x) = 256B.256(1 -x) = 2895.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于()A.1B.2C.1或 2D.0解析 : 由常数项为零,知 m2-3m+ 2= 0,解之 ,得 m1= 1,m2= 2.又二次项系数m-1≠0,所以 m≠1.综上可知 ,m= 2.故选 B.6.若关于x的一元二次方程2. x -3x-2a= 0 有两个实数根 ,则 a 可取的最大负整数为解析 : 由题意可知Δ=9+8a≥0,故 a≥ - , 所以 a 可取的最大负整数为 -1.7.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2= 0的两个不相等的实数根 ,且满足 x1+x 2=m 2 ,则 m 的值是.解析 : 因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以 [-(2m+3)] 2-4m2> 0,即 m>- ; 由根与系数的关系可知x1+x 2 =2m+3,所以 2m+ 3=m2,得 m1=- 1,m2= 3,故 m=3.8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为 40 元 /千克 ,如果按 60 元 /千克出售 ,那么平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现 ,单价每降低 2 元 ,则平均每天的销售量可增加20 kg .若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240 元 ,请回答 :(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客 ,赢得市场 ,该店应按原售价的几折出售?(1)设每千克核桃应降价 x 元,根据题意 ,得(60-x-40)= 2 240.化简 ,得 x2-10x+24= 0.解得 x1= 4,x2= 6.答 :每千克核桃应降价 4 元或 6元.(2) 由 (1) 可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元 ,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价 6 元.此时 ,售价为 60-6= 54(元 ),所以100%=90% .答 :该店应按原售价的九折出售 .第 22 章二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1. 定义：一般地 , 如果y ax 2bx c( a, b, c 是常数, a 0) ,那么y叫做 x 的二次函数.2.二次函数 y ax2的性质（1）抛物线y ax 2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.（2）函数y ax 2的图像与 a 的符号关系.①当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（3）顶点是坐标原点 , 对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a）0 .3. 二次函数y ax 2bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4. 二次函数y ax2bx c 用配方法可化成：y a x h 2k 的形式,其中 h b， k4ac b 2. 2a4a5.二次函数由特殊到一般 , 可分为以下几种形式：① y ax 2；② y ax 2 k ；③ y a x h 2；④ y a x h 2k ；⑤ y ax 2 bx c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a0 时,开口向下；a 越大,抛物线的开口越小； a 越小,抛物线的开口越大.②平行于 y 轴（或重合）的直线记作x h .特别地, y 轴记作直线 x 0.7.顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数 , 如果二次项系数a相同 , 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同 , 只是顶点的位置不同 .8.求抛物线的顶点、对称轴的方法22（1）公式法：y ax2bx c a x b4ac b,2a4a∴顶点是（b4ac b 2）, 对称轴是直线xb.2a ，2a 4a（2）配方法：运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为y a x h 2k 的形式,得到顶点为 (h , k ),对称轴是直线 x h .（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形, 所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 , 对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方法求得的顶点 , 再用公式法或对称性进行验证 , 才能做到万无一失 .9. 抛物线 y ax 2bx c 中, a, b, c 的作用（1） a 决定开口方向及开口大小 , 这与 yax 2 中的 a 完全一样 .（2）b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线xb, 故：① b 0 时, 对称轴为 y 轴；② b0 （即 a 、 b 同号）时 , 对称轴在2aay 轴左侧；③ b0（即 a 、 b 异号）时 , 对称轴在 y 轴右侧 , “左同右异” .a（3） c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置 .当 x 0时, y c , ∴抛物线 yax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）：① c 0 , 抛物线经过原点 ; ② c0 , 与 y 轴交于正半轴；③ c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标yax 2当 a时x 0（ y 轴） （0,0 ）y ax 2 k开口向上x 0 （ y 轴）(0, k ) ya x h 2x h( h ,0)y a x h 2 k当 a时x h( h , k )yax 2 bx c开口向下b (b 4ac b 2x2a ， )2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值 , 通常选择一般式 . （2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴 , 通常选择顶点式 .（ 3 ）交 点式 ：已 知 图 像与 x 轴的交 点 坐标 1 、 2 ,通常选用交点式：x x y a x x 1 x x 2 .12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax 2bx c 得交点为(0, c ).（ 2 ）与y轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2bx c 有且只有一个交点( h , ah2bh c ).（3）抛物线与x轴的交点二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、x2,是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时 , 两交点的纵坐标相等 , 设纵坐标为k , 则横坐标是ax2bx c k 的两个实数根.（5）一次函数y kx n k 0 的图像 l 与二次函数y ax 2bx c a 0 的图像G的交点 , 由方程组y kx ny ax 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的bx c解时l 与 G 有两个交点;②方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时l 与 G 没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c 与 x 轴两交点为A x ，，B x ，, 由于x1、x2是方程 ax 2bx c0的两个根 , 故1 02x1 x2b, x1 x2ca ab2b24acAB x1x2x12x124x1x24cx2x2a a a a中考回顾1.(2017天津中考)已知抛物线y=x2-4x+ 3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点 M' 落在 x 轴上 ,点 B 平移后的对应点 B'落在 y 轴上 ,则平移后的抛物线解析式为 ( A )A. y=x 2+ 2x+ 1B. y=x 2+ 2x-1C.y=x 2-2x+1D. y=x 2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示下列说法正确的是( B )2A.abc< 0, b -4ac> 0B.abc> 0, b2-4ac> 0C.abc< 0, b2-4ac< 02D. abc> 0, b -4ac< 0) 如果关于 x 的方程 x2-4x+ 2m= 0 有两个不相等的实数根3.(2017内蒙古赤峰中考,那么 m 的取值范围是m< 2.4.(2017内蒙古赤峰中考 )如图 ,二次函数 y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象交 x 轴于 A,B 两点 ,交 y 轴于点 D ,点 B 的坐标为(3,0), 顶点 C 的坐标为 (1,4).备用图(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式 ;(2)点 P 是直线 BD 上的一个动点 ,过点 P 作 x 轴的垂线 ,交抛物线于点M,当点 P 在第一象限时 ,求线段 PM 长度的最大值 ;(3)在抛物线上是否存在异于B,D 的点 Q,使△BDQ 中 BD 边上的高为 2 ,若存在求出点 Q 的坐标 ;若不存在请说明理由 .y=a (x-1)2+ 4.解 :(1) 设二次函数的解析式为∵点 B(3,0) 在该二次函数的图象上,∴0=a (3 -1)2+ 4,解得 :a=- 1.∴二次函数的解析式为y=-x 2 +2x+ 3.∵点 D 在 y 轴上 ,所以可令 x= 0,解得 :y= 3.∴点 D 的坐标为 (0,3) .设直线 BD 的解析式为y=kx+ 3,把 (3,0)代入得 3k+ 3= 0,解得 :k=- 1.∴直线 BD 的解析式为 y=-x+ 3.M(m,-m2+ 2m+ 3),（ 2）设点 P 的横坐标为 m(m>0), 则 P(m,-m+ 3),PM=-m 2+ 2m+3-(-m+ 3)=-m 2+ 3m=-, PM 最大值为(3) 如图 ,过点 Q 作 QG∥ y 轴交 BD 于点 G,作 QH ⊥ BD 于点 H ,则 QH= 22设Q( x,-x + 2x+ 3),则 G( x,-x+ 3),22∵△DOB 是等腰直角三角形,∴∠ 3= 45°,∴∠ 2=∠ 1= 45°.∴sin∠ 1=,∴QG= 4.得 |-x 2+ 3x|= 4,当 -x2+ 3x= 4 时,Δ=9-16< 0,方程无实数根 .当 -x2+ 3x=- 4 时 ,解得 :x1=- 1,x2= 4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx 2-6x+3 的图象与x 轴有交点 ,则 k 的取值范围是 ( D )A. k< 3B. k<3,且 k≠0C. k≤3D. k≤3,且 k≠02.若点M(-2,y1),N( -1,y2),P(8,y3)在抛物线y=- x2+ 2x 上 ,则下列结论正确的是( C )A. y1<y 2<y 3B. y2<y 1<y 3C.y3<y 1<y 2D. y1<y 3<y 2解 :x=- 2 时 ,y1=- x2+ 2x=-(-2)2 +2×(-2)=- 2-4=- 6,x=- 1 时 ,y 2=- x 2+ 2x=-(-1)2+ 2×(-1)=- -2=- 2 , x= 8 时 ,y 3=- x 2+ 2x=-82+ 2×8=- 32+16=- 16.∵ -16<- 6<- 2 ,∴y 3<y 1<y 2.故选 C.3.已知一元二次方程 ax 2+bx+c= 0(a> 0)的两个实数根 x 1,x 2 满足 x 1+x 2= 4 和 x 1·x 2= 3,则二次函数 y=ax 2+bx+c (a> 0)的图象有可能是 ( )解析 :∵x 1+x 2= 4,∴- = 4.∴二次函数的对称轴为 x=- = 2. ∵x 1·x 2 =3, = 3.当 a> 0 时 ,c> 0,∴二次函数图象交于 y 轴的正半轴 .4.小明在用 “描点法 ”画二次函数x⋯y ⋯y=ax 2+bx+c 的 象 ,列了如下表格 :-2 -1 0 1 2 ⋯ -6-4-2-2-2⋯根据表格中的信息回答 : 二次函数 y=ax 2+bx+c在 x= 3 ,y=-4.5.若关于 x 的函数 y=kx 2+ 2x-1 与 x 有一个公共点 , 数 k 的k= 0 或 k=-1.6.抛物 y=-x 2+bx+c 的 象如 ,若将其向左平移2 个 位 度 ,再向下平移3 个 位 度 , 平移后的解析式 .解析 :由 中 象可知 , 称 x=1, 所以 -= 1,即 b=2.把点 (3,0)代入 y=-x 2 得+2x+c, c= 3.即 2然后向左平移 个 位 再向下平移 个故原 象的解析式 y=-x 2+ 2x+ 3,2 3y=- (x-1) + 4, ,位,得 y=- (x-1+ 2)2+ 4-3,即 y=-x 2-2x. 答案 :y=-x 2-2x 如 ① 若抛物 L 1 的 点 A 在抛物 L 2 上,抛物 L 2 的 点 B 也在抛物 L 1 上(点 A 与点 B7. , 不重合 ),我 把 的两抛物 L 1 ,L 2 互称 “友好 ”抛物 ,可 一条抛物 的 “友好 ”抛物 可 以有很多条 . 2(1)如 ② 3,已知抛物 L :y=2x -8x+4 与 y 交于点 C, 求出点 C 关于 抛物 称 称的称点 D 的坐 ; 点的 3 的“友好 ”抛物 L 4 的解析式 ,并指出 L 3 与 L 4 中 y 同 随 x 增大而 求出以点 D L (2) 增大的自 量的取 范 ;22 写出 1 与 a 2的关若抛物12+n 的任意一条 “友好 ”抛物 的解析式 (3)y=a (x-m)y=a (x-h) +k, a系式 ,并 明理由 .解: (1)∵抛物线 L 3:y=2x 2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为 (2,-4),对称轴为 x=2, 设 x=0,则 y=4,∴C(0,4).∴点 C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为 (4,4).(2)∵以点为顶点的L3 的友好抛物线L4还过点 (2,-4),∴L4的解析式为D(4,4)y=-2(x-4)2+4.∴L3与 L4中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下 :∵抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上,抛物线 L2的顶点 B 也在抛物线 L1上,∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.第二十三章旋转23.1图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内 , 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度 , 就叫做图形的旋转 ,点 O叫做旋转中心 , 转动的角叫做旋转角 .我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素 . 知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等 .理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度 . （2）对应点到旋转中心的距离相等 , 对应线段相等 , 对应角相等 . （3）图形的大小和形状都没有发生改变 , 只改变了图形的位置 .知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等 , 它是利用旋转的性质作图的关键 .步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离 , 得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点 .23.2中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180°, 如果它能够与另一个图形重合 , 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 , 这个点叫做对称中心 .注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180°两个图形能够完全重合 . 知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形 , 关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点 . 最后将对称点按照原图形的形状连接起来 , 即可得出成中心对称图形 .知识点三中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心, 并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合, 是全等形；（3）关于中心对称的两个图形, 对应线段平行（或共线）且相等.知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°, 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形, 这个点就是它的对称中心.知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中 , 如果两个点关于原点对称 , 它们的坐标符号相反 , 即点 p （x,y ）关于原点对称点为（ -x,-y ）.中考回顾1.(2017 四川绵阳中考 )下列图案中 ,属于轴对称图形的是( A )2.(2017 天津中考 )在一些美术字中 ,有的汉字是轴对称图形 .下面 4 个汉字中 ,可以看作是轴对称图形的是( C )3.(2017 内蒙古呼和浩特中考 )图中序号①②③④对应的四个三角形 ,都是△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的 ,其中是通过轴对称得到的是 ( :A )A.①B.②C.③D.④解析 : ∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,∴通过轴对称得到的是①.故选 A.4.(2017 西宁中考 ) 下列图形中 ,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (A)A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.圆5.(2017 江苏淮安中考 )点 P(1,-2)关于 y 轴对称的点的坐标是 ( C)A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)解析 : P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),故选C.6.(2017 四川宜宾中考 )如图 ,在矩形 ABCD 中 ,BC=8,CD=6,将△ABE 沿 BE 折叠 ,使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 F 处,则 DE 的长是 ( C )A.3B.C.5D.解析 : ∵在矩形ABCD中,∠BAE=90°,且由折叠可得△BEF ≌△BEA,∴∠BFE= 90°,AE=EF ,AB=BF ,在 Rt △ABD 中 ,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理得 BD=10,即 FD= 10-6=4,设 EF=AE=x ,则有 ED= 8-x,根据勾股定理得 x2+42=(8-x)2,解得 x=3,所以 DE=8-3=5,故选 C.7.(2017 山东枣庄中考 )如图 ,把正方形纸片 ABCD 先沿对边中点所在的直线对折后展开 ,折痕为 MN ,再过点 B 折叠纸片 ,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 FM 的长为( B )A.2B.C.D.1解析 : ∵四边形ABCD 为正方形 ,AB=2,过点 B 折叠纸片 ,使点 A 落在 MN 上的点 F 处 ,∴FB=AB=2,BM= 1,则在 Rt△BMF 中,FM=,故选 B.8.(2017 湖南长沙中考 )如图 ,将正方形 ABCD 折叠 ,使顶点 A 与点 C,D 重合 ),折痕交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,边 AB 折叠后与边周长为 m,△CHG 的周长为 n,则的值为 ( B )CD 边上的一点 H 重合 (H 不与端BC 交于点 G.设正方形 ABCD 的A. B. C.D.随 H 点位置的变化而变化解析 : 设CH=x,DE=y,则DH=-x,EH=EA= -y,∵ ∠EHG= 90°,∴ ∠ DHE+∠CHG= 90°.∵∠DHE+ ∠DEH= 90°,∴∠DEH= ∠CHG,又∵∠ D=∠ C=90°,△DEH ∽△CHG,∴,即,∴CG=,HG=,△CHG 的周长 n=CH+CG+HG=,在 Rt △DEH 中,DH 2 +DE2=EH 2,即+y2=,整理得-x2= ,∴n=CH+HG+CG=.故.故选 B.模拟预测1.下列标志中 ,可以看作是中心对称图形的是( D )2.下列图形中 ,是轴对称图形 ,但不是中心对称图形的是( B )3.如图 ,把一张矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 ,点 B 的对应点为 B',AB'与 DC 相交于点 E,则下列结论一定正确的是 ()A.∠ DAB'=∠ CAB'B.∠ACD=∠B'CDC.AD=AED.AE=CE答案 :D4.如图 ,把一张长方形纸片对折 ,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠ AOB 三等分 ,沿平角的三等分线折叠 ,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形 ,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( D )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形解析 : 根据第一次对折以及三等分平角可知将360°进行6等分,即多边形的中心角为60°,由最后的剪切可知所得图形符合正六边形特征 .故选 D.5.如图 ,直线 l 是四边形ABCD 的对称轴 .若 AB=CD,有下面的结论 :① AB∥ CD;② AC⊥BD; ③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论有.(填序号 )答案 : ①②③6.如图 ,在四边形 ABCD 中 ,点 M,N 分别在 AB,BC 上,将△BMN 沿 MN 翻折,得△FMN ,若 MF ∥AD,FN ∥DC,则∠B=95°.解析 :∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.∵MF ∥AD,∴ ∠BMF= ∠A=100°.由翻折知 ,∠F= ∠B.又∵∠ BMF+ ∠ B+∠BNF+ ∠F= 360°,∴100°+∠B+70°+∠F= 360°,∴∠F= ∠B==95°.7.如图 ,在平面直角坐标系中 ,若△ABC 与△A1B1C1关于点 E 成中心对称 ,则对称中心点 E 的坐标是(3,-1)8.在 Rt△ABC 中,∠ BAC=90°,AB=3,M 为边 BC 上的点 ,连接 AM(如图 ).如果△ABM 沿直线 AM 翻折后 ,点 B 恰好落在边 AC 的中点处 ,那么点 M 到 AC 的距离是2.解析 :如图,过点M作MN⊥AC于N,由折叠性质可知 ,∠BAM= ∠CAM= 45°.∵点 B 恰好落在边 AC 的中点处 ,∴AC=2AB=6.∵∠ANM= 90°,∴∠CAM= ∠AMN= 45°.∴MN=AN.由 Rt △CNM ∽ Rt△CAB,得,∴.∴MN= 2.9.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图.(1)作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标 ;(2)将△ABC 向右平移 6 个单位 ,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2 B2C2各顶点的坐标 ;(3)观察△A1B1 C1与△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是 ,请在图上画出这条对称轴.解: (1)△A1B1C1如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如图.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1与△A2B2 C2关于直线 x=3 对称 .如图 .第二十四章圆24.1.1圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内 , 线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周 , 另一个端点 A 所形成的图形叫作圆 . 固定的端点 O叫作圆心 , 线段 OA叫作半径 .第二种：圆心为 O,半径为 r 的圆是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合 . 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的 , 第二种是运用集合的观点下的定义 , 但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆 .知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦, 经过圆心的弦叫作直径 .（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧, 简称弧 . 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 , 每一条弧都叫做半圆 .（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆.（4）等弧：在同圆或等圆中 , 能够互相重合的弧叫做等弧.弦是线段 , 弧是曲线 , 判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中 , 只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧 , 而不是长度相等的弧 .24.1.2垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形 , 任何一条直径所在直线都是它的对称轴.知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 . 如图所示 , 直径为 MD,AB是弦 , 且 CD⊥AB,AC=BC C MBA垂足为 C AM=BM垂径⌒ ⌒o定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的两条弧如上图所示 , 直径 MD与非直径弦 AB相交于点 C,DCD⊥ABAC=BC AM=BM⌒AD=BD⌒⌒⌒, 所以垂径定理的推论中 , 被平分的弦必注意：因为圆的两条直径必须互相平分须不是直径 , 否则结论不成立 .24.1.3弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对的弦也相等 .（2）在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角 , 两条弧 , 两条弦中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余的各组量也相等 .（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件 , 如果丢掉这个条件 , 即使圆心角相等 , 所对的弧、弦也不一定相等 , 比如两个同心圆中 , 两个圆心角相同 , 但此时弧、弦不一定相等 .24.1.4圆周角知识点一圆周角定理（1）圆周角定理：在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半 .（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90 °的圆周角所对弦是直径 .（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系. “同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的, 否则就不成立了, 因为一条弦所对的圆周角有两类 .知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 , 这个多边形叫做圆内接多边形 , 这个圆叫做这个多边形的外接圆 .圆内接四边形的性质：(1) 圆内接四边形的对角互补.(2)四个内角的和是360°(3)圆内接四边形的外角等于其内对角24.2 点、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外 , 点在圆上 , 点在圆内三种 .（2）用数量关系表示：若设⊙ O的半径是 r, 点 P到圆的距离 OP=d,则有：点 P 在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d ＜r.知识点二（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆 , 即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆 , 且只能作一个圆 .知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆, 这个圆叫做三角形的外接圆.（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 叫做这个三角形的外心.知识点四反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立 , 经过推理得出矛盾 , 由矛盾断定所作假设不正确 , 从而得到原命题成立 , 这种证明命题的方法叫做反证法 .（2）反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发 , 经过逻辑推理 , 推出或与定义 , 或与公理 , 或与定理 , 或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确 , 从而得出原命题正确 .。