28.2.1解直角三角形.2.1课件.pdf

a
┌
A
bC
（2）已知一条边和一个锐角
1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)
2. 已知∠A，a.解直角三角形
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数
1. 在Rt△ABC中，3 ∠C=90°，AB=5，AC=4， 则sinA的值为_____5 __．
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
边角之间的关系（锐角三角函数）
sinA ＝ a
c
cosA＝
b c
Ａ
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
2、30°，45°，60°的三角函数值
sina cosa tana
30°
1 2
3 2
3 3
45° 60°
题型3 解斜三角形
1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根号）．
解：过C作CD⊥AB于D， 设CD=x．在Rt△ACD中，tan60°=
∴AD= 3 x．
3
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
∴ 3 x+x=8． 3 解得x=4（3- 3）．
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，

（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系CaBFra biblioteksin
A

A的对边 斜边

a c
sin
B

B的对边 斜边

b c
cos
A

A的邻边 斜边

b c
cos
B

B的邻边 斜边

a c
tan
A

A的对边 A的邻边

a b
tan
B

B的对边 B的邻边

b a
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
A
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2 6
CAD 30
43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
补充练习
2．(2010·广东)如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4， cosB＝45，则 AC＝________.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形；
（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14. B
(3) ∠B＝30°，a = 7 . 解：（1）根据勾股定理
c a=30
C a2 b2 302 202 10 13 ∵ tan A a 30 3 1.5
c
c=14
b
∴ b c sin B 14sin 72 13.3148 B a C

Ｂ
Ｂ
c 45°
6a
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA的C 平分线AD=4 3，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根
号）？
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
一、真空。
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3Байду номын сангаас
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何 关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
观测点
北
60º
A
？
30海里
C
被B 观测点
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的 长
在直角三角形中,由已知元素求未知
元素的过程,叫 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
(3)边角之间的关系: a
Ｂ
(3)边角之间的关系:

tan A＝∠∠AA 的的对邻边边＝ab
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝

（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果保留整数） 分如析图：，⊙从O飞表船示地上球能，最点F是
远飞船直的接位看置到，的FQ地是⊙球O上的的切线，
F
点切点，Q应是是从飞视船线观与测地地球球相时的最 切远Q两点时点，的间弧切的P距Q点的离．长，就为是计地算面弧上PPQ、
的长需先求出∠POQ（即a）
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2071km.
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的是仰角；视线在水平线下方的是俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例1:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
C
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
a
b
a
20

20
28.6
tan B tan 35 0.70
B
35°
20 C
sin B = b
c
c b 20 20 35.1
sin B sin 35 0.57
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件 解直角三角形.

6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1515，8ຫໍສະໝຸດ tanA＝17 ，则AB＝
.
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝ 20 2 ，则∠A＝
45° ，∠B＝ 45°
，b＝ 20
.
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角
线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长
线上，8 若∠CAE＝15°，则AE＝
10.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝1 3
45°，sinB＝ ，AD＝1.求BC的长.
解：在 Rt△ABD 中，∵sinB＝AADB＝13，又∵AD＝1， ∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1.
A.R2－r2＝a2
B.a＝2Rsin36°
C.a＝2rtan36° D.r＝Rcos36°
13.在△ABC 中，AB＝12 2，AC＝13，cos∠B＝ 22，则 BC 的边长为( D ) A.7 B.8 C.8 或 17 D.7 或 17
14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，边 AB 的垂直平分线
应用：过D作DH⊥AC于H， 则∠DHO＝90°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OD＝12BD＝12b， ∵∠DOH＝α，∴DH＝OD·sinα＝12bsinα，∴S△ACD＝12AC·DH＝ 12a×12bsinα＝14absinα，∴▱ABCD 的面积＝2S△ACD＝12absinα.
分别交边 BC，AB 于点 D，E，如果 BC＝8，tanA＝43，那 25
么 BD＝ 4 .
15.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为

BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解 直角三角形： （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= 7 .
(1)a=10 5 ,A 481124，B 414836； (2)A 18，a 4，b 13；
m
(C) m·cosα米 (D) tan 米 3.边长为6cm的等边三角形中 ，其一边上高的长度为 ________cm.
【解析】一边上的高=6×sin60°= 3 3 【答案】3 3
4. 已 知 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求 △ABC的周长（结果保留根号）
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元 素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直 角三角形.
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a 2 b 2 c 2 （勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
解
知元素的过程，叫做解直角三角形.
直
角
三
两边：两直角边或斜边、一直角边
角
形
一边一角：直角边、一锐角或斜边、
一锐角
一角一边
A
30
2
C
6
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边