东华理工大学概率论与数理统计练习册答案_

故.
16.答案：（B）
解：所求的概率为
注：.
17.答案：（A）
解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，则由全概
率公式知 .
18.答案：（C） 解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i类箱子”，则由 全概率公式知
. 19.答案：（C） 解：即求条件概率.由Bayes公式知
.
5.答案：（C） 解：当X,Y独立时，； 而当X,Y独立时，，故；.
6.答案：（C） 解：，当X,Y独立时，可以得到 而，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立； ，故； ，故.
7.答案：（D） 解：，即X,Y不相关.
8.答案：（A） 解：，即X,Y不相关.
9.答案：（C） 解：成立的前提条件是X,Y相互独立；
7.解： .
8.解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质， EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（）= DX+（EX）=18.4.
三、设随机变量X的分布为
X －2 0 2
Pk 0.4 0.3 0.3 求 E (X)， E (3X2+5)
解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
a+0+c=,a+c=,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即的概率分布是P（X=-1）=0.4，
P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5. 3. ,,;,0, 1. 4.解：由题设，故的概率密度函数为. 5.解：由题设 . 6.解：=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4； =0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12； =-=67/12-49/16=121/48； =-2+E（1）=-7/2+1=-5/2.
二、填空题
1.. 2.解：由规范性知. 3.解：由规范性知. 4.解：因为，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为 0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/32a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6. 5.解：由于，所以X的概率密度为， 故. 6.； 7.解：. 8.解:由. 9． １0．解： 故.
P(A|B)=.
15.答案：（D）
解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出
密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出
密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译
出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终
没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，
(X1X2) 解：（1） = （2） = （3）
六、设随机变量X和Y的联合分布为：
10.答案：（A）
解：用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A
的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知，故.
11.答案：（C）
12.答案：（B）
解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明，
故；而
故.
13.答案：（D）
解：由可知
故A与B独立.
14.答案：（A）
解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此
E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
四、设随机变量X的概率密度为
求（1）Y=2X
（2）Y=e－2x的数学期望。
解：（1）
（来自百度文库）
五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为 求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又设X1，X2相互独立，求E
（4）
四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。
解: l=
一、选择题
第四章 随机变量的数字特征
1．答案：（D） 解：由于，所以，故.
2.答案：（D）
解： 3.答案：（D）
解：，故； ，故； ，故； ，但不能说明X与Y独立.
4.答案：（C） 解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故.
.
12.答案：（D） 解：对任意的；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆 性”；对于指数分布而言，要求参数. 13.答案：（A） 解：选项A改为，才是正确的；
； . 14.答案：（B） 解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.
而方程有实根，当且仅当，因此方程有实根的概率为 .
态分布，且若，则 因此； . 令，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数
为，故.
二、填空题 1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).
2..
3.解：，故.
4.0．
5.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）
，因此有，解得 P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）<1/2,故P（A）=1/4. 9.1/6 解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用 全概率公式也可求解. 10. 解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事 件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为，故所求的概率为. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生 产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A） =0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知 . 12.6/11 解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5， 故.
解：由于故 由于而，故只有当时，才有； 正态分布中的参数只要求，对没有要求.
5.答案：（A） 解：由于，故
， 而，故；
由于，故 . 6.答案：（B） 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式 （5.2），得出Y的密度函数为. 7.答案：（D） 注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案：（C） 解：因为，所以，. 9.答案：（B） 解：由于，所以的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称， 因此随机变量落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从 而马上可以得出.我们可以画出函数的图形，借助图形来选出答案B. 也可以直接推导如下： ，令，则有 10.答案：（A） 解：. 11.答案：（B） 解：
P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+
P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+
四、 。
解：由
由乘法公式，得
由加法公式，得
一、选择题
第二章 随机变量及其分布
1.答案：（B） 注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0， 但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B） 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此
. 3.答案：（D） 解：由于X服从上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为 .因此，若点，则. ，， . 4 答案：（C）
一、选择题
第三章 多维随机变量及其分布
1.答案：（A） 解：要使是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性 质，在这里利用这一性质可以得到，只有选型A满足条件. 2.答案：（A） 解：由可知，故 又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知： 故. 3.答案：（D） 解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定
二、填空题
1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，
反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，
反，正）}
2.或
3．0.3，0.5 解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是 由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）， 得. 4.0.7 解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以. 6.0.6 解：由题设P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知 =0.7-0.3=0.4，故. 7.7/12 解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是 . 8.1/4 解：因为 由题设 ，
P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.
三、设随机变量（X，Y）概率密度为
（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3}
（3）求P (X<1.5}
（4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分，其中
解：（1）∵，∴
（2）
（3）
则. 18.答案：（D） 解：令，则有，，但不一定有. 19.答案：（A） 解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即，因此. 20.答案：（D） 解：，只有当X与Y独立时，才有.
二、填空题 1.解：由题设=，故.
2.解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-
第一章 概率论的基本概念
一、选择题
1．答案：（B）
2. 答案：（B）
3．答案：（C）
4. 答案：（C）
注:C成立的条件:A与B互不相容.
5. 答案：（C）
注:C成立的条件:A与B互不相容,即.
6. 答案：（D）
注:由C得出A+B=.
7. 答案：（C）
8. 答案：（D）
注：选项B由于
9.答案：（C）
注：古典概型中事件A发生的概率为.
联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘 分布可以唯一确定X与Y的联合分布. 4.答案：（A） 解：由问题的实际意义可知，随机事件与相互独立，故
；
； ； ， 而事件又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即 故. 5.答案：（B） 解：当时，，，且X和Y相互独立的充要条件是；单由关于S和关于T的边 缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的. 6.答案：（C） 解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如下（这里采用分 布函数法来求的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论 （5.2）式）：由于 故这表明也服从正态分布，且. 所以这里.再利用结论：若与相互独立，且，则.便可得出 ；； ; . （方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线 性组合仍然服从正态分布，且若，则 故；； ;. 7.答案：（A） 解：由于，，所以，，故，而，所以. 8.答案：（D） 解：由联合概率密度函数的规范性知 . 9.答案：（A） 解： . 10.答案：（Ｂ） 解：由联合概率密度函数的规范性知 12.答案：（C） 解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表 示矩形域，则所求的概率为 . 13.答案：（B） 解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正
当X,Y相互独立时，有，即成立的充分条件是X,Y相互独立； 而 即X,Y不相关，所以成立的充要条件是X,Y不相关； ； . 10.答案：（D） 解：由； . 11.答案：（B） 解：由；
； ； 是一个确定的常数，所以. 12.答案：（D） 解：
13.答案：（B） 解：，
， 故. 14.答案：（C） 解： . 15.答案：（B） 解：由于当时，，故这里. 16.答案：（A） 解：由于，所以， 又因为，所以， 而与的独立性未知，所以的值无法计算，故的值未知. 17.答案：（C） 解：由于(X,Y)服从区域上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为，