巧奥数 4年级 第13讲 巧算面积精编版

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

上课日期： 上课时间： 教师姓名：知识点一：格点面积 一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、 三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．知识点二：图形剪拼巧求面积知识框架毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．（1）把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．（2）反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．（3）将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．一、解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

面积的巧算知识点总结1：分割法2：添补法【例题精讲】例1如图：在一个等腰三角形中作一个正方形，已知阴影部分的面积是3平方厘米，那么大三角形的面积是多少平方厘米？【答案】27平方厘米可以将等腰三角形分割成完全相同的9个和阴影部分完全相同的等腰三角形，因此大三角形的面积是3×9=27（平方厘米）【例题小结】分割法：等腰三角形的分割。

练习1如图：在一个等腰三角形中作一个正方形，已知正方形的面积是36平方厘米，那么大三角形的面积是多少平方厘米？【答案】72平方厘米【解析】连接小正方形的对角线，可以将正方形分割成两个全等的等腰直角三角形，小三角形的面积是正方形面积的一半，又因为大直角三角形是等腰直角三角形，因此相当于被分割成4个面积相等的等腰直角三角形，因此大三角形的面积是36÷2×4=72平方厘米。

【小结】分割法：等腰直角三角形的分割。

例2 如图：有三个正方形，较小的正方形是由较大的正方形的各边中点连接而成，已知最小的正方形的周长为20厘米，那么最大的正方形面积是多少平方厘米？【答案】100平方厘米最小正方形的边长是20÷4=5（厘米），因此面积是5×5=25（平方厘米），连接大正方形的对角线，得出大正方形的面积是小正方形的4倍，因此面积是25×4=100（平方厘米）。

【例题小结】分割法：正方形的分割。

练习2 如图：有两个正方形，小正方形是由大正方形各边中点连结而成。

已知大正方形的边长是16厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】128平方厘米【解析】连接小正方形的对角线，可将大正方形分成8个相等的直角三角形，以此小正方形的面积是大正方形面积的一半，因此面积是16×16÷2=128（平方厘米）。

【小结】分割法：正方形的分割。

例3 在下图中，三角形ABC 和三角形DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DI 长6厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】27平方厘米连接HI。

四年级数学专题：巧求面积，典型题型解题方法思维，精讲精
练
巧求面积
一、方法思维
我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，应注意以下几点：
1.细心观察，把我图形特点，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧，合理地进行切拼，从而是问题顺利解决。

2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

二、精讲精练
【例题1】把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。

这个正方形木板的面积是多少平方米？
【思路导航】要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。

正方形的面积：3×3=9米。

关于图形面积求解主讲：姬老师我们要学会观察、分析，通过添加辅助线或者割补的方法，运用一些平移、分解、合并等方法，将不规则的图形转化为我们已学过的基本图形来求解。

在直接运用面积公式求解受阻时，我们往往会采用移位、合并、分解、转化等解题技巧。

所以，同学们拥有敏锐的观察力和灵活的思维在解题过程中就显得相当的重要。

例1.一张长方形纸片，在长边上剪下10cm，宽边上剪下5cm，余下的部分正好是一个正方形。

已知正方形的面积比原长方形纸片面积少140C㎡,求原长方形纸片的面积。

例2，在一个正方形的小花园的周围，环绕着宽为5m的水池，水池的面积是300㎡，问小花园的面积是多少㎡？例3，一块菜地长16m，宽8m，菜地中间留了宽2m的路，把菜地平均分成4块，问每一块地的面积是多少？例4，正方形的内部套着一个长方形，正方形的边长是15cm，长方形的4个角的顶点，恰好分别把正方形的4条边分成2段，其中长的一段是短的2倍。

那么，这个长方形的面积是多少？课堂练习1.四边形面积：下图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是?四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形ADC=（1/2×FD×AF）+（1/2×AC×CD）=1/2（FE+ED）×AF+1/2（AB+BC）×CD= （1/2×FE×AF+1/2×ED×AF）+（1/2×AB×CD+1/2×BC×CD）。

所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE-三角形BCD=（1/2×FE×AF+1/2×ED×AF）+（1/2×AB×CD+1/2×BC×CD）-1/2×FE×AF-1/2×BC×CD=1/2×ED×AF+1/2×AB×CD=1/2×8×7+1/2×3×12=28+18=46。

四秋第13讲 速算与巧算（一）一、教学目标速算与巧算是小学数学竞赛永恒的话题，每个杯赛都会有1-2道题目考察学生的运算能力，主要集中在整数的巧算，极少涉及小数。

掌握速算与巧算的技巧，往往能够在极短的时间内解决运算问题。

巧算的方法主要有：提取公因式、凑整、拆分、分组、换元，同学们需根据具体情况具体分析，选择合适的方法。

二、例题精选加减凑整：【例1】 计算：1、699999+69999+6999+699+692、1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9【巩固1】计算：1、199+298+397+496+595+202、987654-151-269-149-31+346【例2】 计算：10020092000920000920009++++L L 14243个【巩固2】计算：98+998+9998+......+99 (98)乘除凑整：【例3】 计算：（1）125428525⨯⨯⨯⨯⨯ （2）2100425÷÷10个9【巩固3】计算：（1）125258÷÷⨯ （2）456⨯⨯÷⨯⨯36825（）乘法分配律：【例4】 计算：（1）2748+5227⨯⨯ （2）329+2999⨯ （3）10199⨯【巩固4】计算：（1）3426+2666⨯⨯ （2）13250+25870⨯⨯ （3）9835⨯重叠数：【例5】 计算：123123123321321321321123⨯-⨯位值原理：【例6】 用7、8、9可以组成6个各位数字不相同的三位数，那么这6个数的和是多少？三、回家作业【作业1】计算：458+356+289+244-58+711【作业2】计算：11+12+13+14+21+22+23+24+31+32+33+34++91+92+93+94L【作业3】计算：197+1997+19997+......+199 (97)【作业4】计算：67200254335467_______⨯+⨯+⨯=【作业5】计算：82198219821919818119811981191983⨯-⨯10个9。

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

第13讲巧算面积巧点晴——方法和技巧解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积的计算问题时，不能生搬硬套公式，需要运用移位、合并、分解、转化等解题技巧。

因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中至关重要。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】下图①是一块长方形草地，长方形长255米，宽105米，中间有两条道路，一条是长方形的，一条是平行四边形的。

问有草部分的面积是多少？5①②分析与解将上图①中的四块阴影部分平移，拼在一起，组成一个长、宽各少5米的长方形（如上图②阴影部分）。

（255－5）×（105－5）=25000（平方米）答：有草部分的面积是25000平方米。

小结将图形进行适当平移，问题就变得容易解答了。

做一做1 如下图所示，一块长方形草地，长100米，宽80米，中间有条宽4【例2分析与解1 把原图分割成两个长方形（如上图①），图中两个长方形的面积之和就是该图的面积。

6×（10＋4）＋10×4=124（平方厘米）分析与解2 把原图分割成两个长方形（如上图②），图中两个长方形的面积分别为：（10+6）×4=64（平方厘米），10×6=60（平方厘米）。

因此，该图的总面积是：64+60=124（平方厘米）。

分析与解3 如果把原图补上一个连长是10厘米的正方形（如上图），就成了一个长方形，它的面积是：（6+10）×（10+4）=224（平方厘米③）。

用这个长方形的面积减去正方形的面积，就是该图的面积。

224-10×10=124（平方厘米） 答：面积为124平方厘米。

小结 想一想，该题的图还能怎样分，怎样计算它的面积？ 做一做2 计算下列图形的面积。

（单位：厘米）【例3】如右图，一块菜地长18米，宽10米， 菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四 小块，每一小块的面积是多少？ 分析与解1 已知这块菜地的长和宽，能求出这块菜地的总面积（大长方形），再减去道路的面积，就得到四小块菜地面积之和；也可直接求出每小块菜 地的长和宽，从而求出小块菜地的面积。

四年级奥数讲义36学子教案库4巧求面积【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)【例2】求图中五边形的面积、【例3】(第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米、问，此楼梯截面的面积是多少？【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米、这楼梯的截面积是多少平方厘米？【例4】有一块菜地长米，宽米，菜地中间留了宽米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【例5】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【例6】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积、【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积、【例7】(第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米、【例8】右图中，矩形的边为厘米，为厘米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长、【巩固】如图，平行四边形ABCD中，，直角三角形ECB的边，已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大，求平行四边形ABCD的面积、【例9】有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？【巩固】有一个长方形，如果宽减少米，或长减少3米，则面积均减少平方米，求这个长方形的面积？【例10】一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米、求原正方形的面积？【巩固】一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【例11】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米、原正方形的边长是多少分米？【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？【例12】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大平方厘米，求阴影部分的面积、【例13】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形、求第五个正方形的面积？【巩固】(xx年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是，那么最大的正方形的边长是、【例14】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形、求图中阴影部分的面积？【例15】如图，大正方形的边长为10厘米、连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例16】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的倍，它的四周围的总面积是平方米的1米宽的小路、求草坪的面积是多少平方米？【巩固】(xx年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛)如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池、水池长米、宽米、水池周围用边长为米的方砖一圈一圈地向外铺、恰好铺了若干圈，共用了块方砖，那么共铺了圈、【例17】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例18】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示、如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？【例19】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？(第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________、课后作业练习1、如右图所示，图中的是由一个长方形及一个正方形拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求的周长和面积、练习2、一块长方形纸片，在长边剪去，宽边剪去后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少、求原长方形纸片的面积、练习3、 (希望杯培训题)如右图所示，在一个正方形上先截去宽分米的长方形，再截去宽分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少平方分米、原正方形的边长是______分米、练习4、图中有个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的边中点连接而成、已知最大的正方形的边长为厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？练习5、四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？。