高中数学1.71定积分在几何中的应用导学案新人教版选修2-2

1.7定积分的简单应用一、教学目标知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、教学重点与难点重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三、教学过程 1、复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .y=x 2y x= OxyxxO y=x 2 AB C 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =++-= 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π==x 轴所围成的图形面积。

1.7 定积分的简单应用（共两课时）一、感悟要点1．知识与技能能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。

2．过程与方法通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。

3．情感态度与价值观通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。

二、学习重难点1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。

三、温习旧知1．定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？2．曲边梯形的面积表达式是什么？3．匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W 呢？四、 例题精析例1 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.解析：【教学札记】合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？(1) 画出图形；(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限；(3) 确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置；(4) 写出平面图形的面积的定积分表达式；(5) 运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。

例2 计算由曲线y =4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.解析：【教学札记】探究：这道题还有其它解法吗？解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差：解法三：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此可以取y 为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,函数y =22y x =.变式训练:计算有曲线22y x =和直线y=x-4所围成的图形面积.作业：58P 练习，60P A 组第1题.例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程。

一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y 作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x bb a ==>>，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ）A ．43B ．1C ．34D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积（1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x =与直线4,==y x y 围成 （3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a t y a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积（1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成（3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段） 习题 6—2一、填空题 1、连续曲线()x f y =()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a <及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．()210d y y y π-⎰ Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121B. 3210C. 3242D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin =()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos ==()π≤≤t 0绕x 轴旋转 2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度 1、星形线｛ta y t a x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段 二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。

定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|4＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限． 跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.☆课堂提高☆1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.f(x)dxB.f(x)dxC.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】 因为在区间[a ，b]上f(x)<0，所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ，所以阴影部分的面积为：S=f (x)dx-f(x)dx.2.已知a =(cosx ，sinx)，b =(cosx ，-sinx)，f(x)=a ·b ，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( ) A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x|4π-sin2x|34ππ=-+=.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623 【答案】 C【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1. 如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.4．直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.sinxdx B.sinxdx C.2sinxdxD.2sinxdx【答案】D【解析】由于y=sinx ，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积为|si nx|dx=2sinxdx.5．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．6．求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′- 0 +S ↘极小值↗所以当t=时，S最小，且S min=.。

2013年高中数学 1.7 3定积分及其应用教案 新人教A 版选修2-2定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用．第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例 我们先从两个例子谈起． 1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =在区间],[b a 上非负且连续，由直线a x =、b x =、x 轴和曲线)(x f y =及曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形（图5-1），其中曲线)(x f y =称为曲边．图5-1 图5-2下面我们讨论曲边梯形面积的求法．我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算．而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法．如果我们将],[b a 上任一点x 处的函数值)(x f 看作为曲边梯形在x 处的高，则曲边梯形的高是变化的．但因)(x f y =是],[b a 区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，)(x f 的值变化不大．因此，如果把区间],[b a 划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点ξ处的值)(ξf 来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图5-2）．直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间],[b a 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1）将区间],[b a 划分为n 个小区间，即在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，这n 个小区间分别为],[,],,[],,[12110n n x x x x x x - ，其长度依次记为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x ．（2）过每个分点作垂直于x 轴的直线段，把整个曲边梯形分成n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为),,2,1(n i A i =∆，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，用以],[1i i x x -为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似代替第i 个小曲边梯形),,2,1(n i =，则i i i x x f A ∆≈∆)(，),,2,1(n i =．这样得到的n 个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积A 的近似值，即i ni i n n n i i x f x f x f x f A A ∆=∆++∆+∆≈∆=∑∑==122111)()()()(ξξξξ ．（3）记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，则当0→λ时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限便是所求曲边梯形面积的精确值．即i ni i x f A ∆=∑=→1)(lim ξλ．2．变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间t 的连续函数，即)(t v v =，计算在时间间隔],[b a 内物体所经过的路程s ．因为物体作变速直线运动，速度)(t v 随时间t 而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：vt s =来计算，然而物体运动的速度函数)(t v v =是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔],[b a 上运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理．具体步骤如下：（１）在时间间隔],[b a 中任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ，这1-n 个分点将区间],[b a 分成n 个小区间],[,],,[],,[12110n n t t t t t t - ，它们的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t ，相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为),,2,1(n i s i =∆．（2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔],[1i i t t -上任取一个时刻)(1i i i i t t ≤≤-ττ，以i τ时刻的速度)(i v τ来代替],[1i i t t -上各个时刻的速度，得到],[1i i t t -时间段上路程i s ∆的近似值，即),,2,1()(n i t v s i i i =∆≈∆τ，那么这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值，即i ni i n n t v t v t v t v s ∆=∆++∆+∆≈∑=12211)()()()(ττττ ，（3）记},,,max{21n t t t ∆∆∆= λ，则当0→λ时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式ini it f ∆∑=1)(ξ的极限便是所求路程s 的精确值．即i ni i t v s ∆=∑=→1)(lim ξλ.上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲”或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量．这个方法的过程我们可简单描述为“分割—代替—求和—取极限”．采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数)(x f 实施相同结构的数学运算—和数ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限．事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义． 二、定积分的定义定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间],[b a 分成n 个小区间],[,],,[],,[12110n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x ．在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i =ξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作出和式ini ix f ∆ξ∑=1)(（1）记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 进行怎样的分法，也不论在小区间],[1i i x x -上的点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和（1）总趋于确定的极限I ，这时我们称此极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分（简称积分），记作dx x f ba⎰)(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ（２）其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间，和i ni i x f ∆∑=1)(ξ通常称为)(x f 的积分和．如果函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在，我们也称)(x f 在],[b a 上可积．注意 当ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限存在时，其极限I 仅与被积函数)(x f 及积分区间],[b a 有关，如果既不改变被积函数)(x f 也不改变积分区间],[b a ，不论把积分变量x 改成其它任何字母，如t 或u ，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变．就是du u f dt t f dx x f bab aba⎰⎰⎰== )()()(．这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关． 下面我们给出两个函数)(x f 在区间],[b a 上可积的充分条件． 定理１ 设)(x f 在区间],[b a 上连续，则)(x f 在区间],[b a 上可积．定理２ 设)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在区间],[b a 上可积．利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表示如下： 曲边梯形的面积A 是函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，即⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A 1)()(lim ξλ．变速直线运动的路程s 是速度)(t v 在时间间隔],[b a 上的定积分，即⎰∑=∆==→bai ni i dt t v x v s 1)()(lim ξλ．三、定积分的几何意义（1）当0)(≥x f 时，定积分dx x f ba⎰)(表示由直线a x =、b x =、x 轴和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积；（2）当0)(≤x f 时，由直线b x a x ==、、x 轴和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，按照定义，这时定积分dx x f ba⎰)(的值应为负，因此 dx x f ba⎰ )(表示上述曲边梯形面积的负值；（3）若在区间],[b a 上，)(x f 既取得正值又取得负值时，对应的曲边梯形的某些部分在x 轴的上方，某些部分在x 轴的下方，这时定积分dx x f ba⎰)(表示由直线a x =、b x =、x轴和曲线)(x f y =围成的曲边梯形各部分面积的代数和，即曲边梯形位于x 轴上方的面积减去位于x 轴下方的面积（图5-3）． 图5-3例１ 利用定义求定积分⎰12dx x 的值．解 为了便于计算，我们把区间]1,0[分成n 等分，其分点为)1,,2,1(-==n i nix i ，这样每个小区间],[1i i x x -的长度),,2,1(1n i nx i ==∆；取i ξ为小区间的右端点，即令),,2,1(n i x i i ==ξ，于是有和式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆=∆∑∑∑∑∑=====n n n n n n in n n i x x x x f n i ni i n i ii n i ii ni i 121161)12)(1(61111)(31231212121ξξ，当0→λ时，有∞→n ，对上式右端取极限，根据定积分的定义，有31121161lim lim 10 1202=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆=⎰∑=∞→→n n x dx x ni n i i ξλ． 四、定积分的性质根据定积分的定义，⎰badx x f )(只有当b a <时才有意义，当b a =或b a >时，dx x f ba⎰ )(是没有意义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：（1）当b a =时，0)( =⎰ba dx x f ；即0)( =⎰aadx x f ．（2）当b a ≠时，⎰⎰-=a bbadx x f dx x f )()(．即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号．以下假定各性质所列出的定积分都是存在的．性质１ 两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证 由定积分的定义，有∑⎰=→∆±=±ni iiibax g f dx x g x f 10)]()([lim )]()([ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni ii ni i i x g x f 11)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=b abadx x g dx x f )()(该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的． 性质２ 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）． 读者可自己证明．性质３（积分的可加性） 设c b a 、、为任意的三个数，则函数)(x f 在区间],[],,[],,[b c c a b a 上的定积分有如下关系：⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(．证 当b c a <<时，因为函数在],[b a 上可积，所以无论对],[b a 怎样划分，和式的极限总是不变的，因此在划分区间时，可以使c 永远是一个分点，那么],[b a 上的积分和等于],[c a 上的积分和加上],[b c 上的积分和，即∑∑∑∆+∆=∆],[],[],[)()()(b c iiic a iib a ixf x f x f ξξξ令0→λ，上式两端取极限得⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(同理，当b a c <<时，⎰⎰⎰+=baa cbcdx x f dx x f dx x f )()()(移项得⎰⎰⎰⎰⎰+=-=cabc acbcbadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f)()()()()(即⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(．性质４ 如果在区间],[b a 上，1)(≡x f ，则a b dx dx baba-==⎰⎰1．读者自己证明．性质５ 如果在区间],[b a 上，0)(≥x f ，则⎰≥badx x f 0)(．证 因为0)(≥x f ，所以),,2,1(0)(n i f i =≥ξ，又由于),,2,1(0n i x i =≥∆，因此0)(1≥∆∑=ini ixf ξ，令},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，则0)(lim )(1≥∆=∑⎰=→i ni i bax f dx x f ξλ．推论 如果在区间],[b a 上，)()(x g x f ≤，则dx x g dx x f baba⎰⎰≤ )()(性质６ 设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则)()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰证 因为M x f m ≤≤)(，由性质5的推论，得⎰⎰⎰≤≤bab abaMdx dx x f dx m )(所以 )()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰．性质７（定积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一点ξ，使下式成立：))(()( a b f dx x f ba-=⎰ξ，这个公式也叫做积分中值公式．证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以它有最小值m 与最大值M ，由性质6有)()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰，各项都除以)(a b -，得M dx x f ab m ba ≤-≤⎰ )(1． 这表明，dx x f a b ba⎰- )(1是介于函数)(x f 的最大值与最小值之间的数，根据闭区间上连续函数的介值定理，在],[b a 上至少存在一点ξ，使得dx x f a b f b a⎰-=)(1)(ξ，即))(()( a b f dx x f b a -=⎰ξ．性质７的几何意义是：如果0)(≥x f ，那么以)(x f 为曲边，以],[b a 为底的曲边梯形的面积等于以],[b a 上某一点ξ的函数值)(ξf 为高，以],[b a 为底的矩形的面积．人们称dx x f a b b a⎰-)(1为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值（图5-4）． 图5-4第二节 微积分基本定理在第一节中，我们举了一个利用定义来计算定积分的例子，从中可以看出，就是对于比较简单的函数，从定义出发计算定积分也是比较麻烦的，而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的．因此寻求一种较为简单的计算定积分的方法是非常重要和有意义的．定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例入手探求定积分计算的思路和方法．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系从第一节的引例中我们知道，如果变速直线运动的速度函数)(t v 为已知，我们可以利用定积分来表示它在时间间隔],[b a 内所经过的路程，即⎰=badt t v s )(．另一方面，若已知物体运动方程)(t s ，则它在时间间隔],[b a 内所经过的路程为)()(a s b s -．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系⎰-=baa sb s dt t v )()()(，因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以上式表明：速度函数)(t v 在区间],[b a 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间],[b a 上的增量．撇开上述问题的具体意义，抽象出所得到的定积分与被积函数原函数之间的关系，我们就得到了在数学上普遍适用的定积分的计算方法，这就是我们将要学习的牛顿——莱布尼茨公式．二、可变上限的定积分设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，x 为],[b a 上的一点，那么)(x f 在区间],[x a 上可积分，且有积分dx x f xa⎰)(与之对应，显然这个积分值是随着x 而变化的．因此dx x f xa⎰ )(是上限x 的函数，我们称之为可变上限的定积分或积分上限的函数，记作)(x Φ，即dx x f x xa ⎰=Φ )()(（b x a ≤≤）． 积分变量与积分上限用同一字母表示容易造成理解上的误会，因为积分值与积分变量的符号无关，所以我们用t 代替积分变量x ，于是，上式可写成⎰=Φxadt t f x )()(．可变上限积分的几何意义是：若函数)(x f 在区间],[b a 上连续且0)(≥x f ，则积分上限函数)(x Φ就是在],[x a 上曲线)(x f 下的曲边梯形的面积（图5-5）．可变上限积分具有如下性质：定理１ 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限的函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上具有导数，且它的导数为)()()( x f dt t f dx d x xa==Φ'⎰． 证 设给x 以增量x ∆（),(b a x x x ∈∆+、），则)(x Φ在x x ∆+处的函数值为dt t f x x xx a⎰∆+=∆+Φ )()(，由此得函数)(x Φ的增量dt t f dt t f x x x x xaxx a⎰⎰-=Φ-∆+Φ=∆Φ∆+ )()()()()(dt t f dt t f dt t f dt t f xx xxax x xxa ⎰⎰⎰⎰∆+∆+=-+= )()()()(．再应用积分中值定理，有 x f x ∆=∆Φ)()(ξ，其中ξ在x 与x x ∆+之间， 用x ∆除上式两端，得)()(ξ∆∆Φf xx = 由于)(x f 在区间],[b a 上连续，而0→∆x 时，即x →ξ， 因此)()(lim 0x f f x =→∆ξ，从而令0→∆x ，对上式两端取极限，便得)()(x f x =Φ'，定理得证．该定理告诉我们：如果)(x f 在],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，并且它的一个原函数可以表示成为⎰=Φ)()(x adt t f x ．这个定理的重要意义一是肯定了连续函数的原函数一定存在，二是初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此我们就有可能通过原函数来计算定积分．三、牛顿—莱布尼茨公式定理2 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则)()()( a F b F dx x f ba-=⎰．证 由定理１知，⎰=Φ)()(x adt t f x 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，由题设知)(x F 也是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，因为两个原函数只差一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)()( ，在上式中令a x =，并注意到0)( =⎰aadt t f ，得)(a F C -=，代入上式，得)()()( a F x F dt t f xa-=⎰，再令b x =，并把积分变量t 换为x ，便得)()()( a F b F dx x f b a-=⎰．定理2中的公式叫做牛顿—莱布尼茨公式，它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系，是计算定积分的基本公式，也称作微积分基本公式．为了方便起见，以后把)()(a F b F -记为b ax F )]([或ba x F |)(，于是该公式也可以b a bax F dx x f |)()( =⎰或b a bax F dx x f )]([)( =⎰．根据定理2，我们有如下结论：连续函数的定积分等于被积函数的任一个原函数在积分区间上的增量．从而把求连续函数的定积分问题转化为求不定积分的问题．例１ 计算⎰-+11 21x dx．解 由于x arctan 是211x +的一个原函数，所以244)1arctan(1arctan ][arctan 11111 2πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==+--⎰x x dx ．例2 计算 dx x ⎰+π2cos 1．解dxx dx x dx x ⎰⎰⎰==+πππ2|cos |2cos 22cos 1dx x dx x ⎰⎰-+=πππ22)cos (2cos 222][sin 2][sin 2220=-=πππx x ．例３ 计算⎰--12 x dx．解 当0<x 时，x1的一个原函数是||ln x ，现在积分区间是]1,2[--，所以有2ln 2ln 1ln |]|[ln 11 2 12-=-==⎰----x dx x ．例４ 计算正弦曲线x y sin =在],0[π上与x 轴所围的平面图形的面积（图5-6）． 解 该图形也可看成是一个曲边梯形，其面积为⎰=πsin xdx A由于x cos -是x sin 的一个原函数，所以2)1()1(]cos [sin 0 0=----=-==⎰ππx dx x A ．注意 牛顿—莱布尼茨公式适用的条件是被积函数)(x f 连续，如果对有间断点的函数)(x f 的积分用此公式就会出现错误，即使)(x f 连续但)(x f 是分段函数，其定积分也不能直接利用牛顿—莱布尼茨公式，而应当依)(x f 的不同表达式按段分成几个积分之和，再分别利用牛顿—莱布尼茨公式计算．例５ 设 ⎩⎨⎧≤<≤≤-=21102)(2x x x x x f ，求dx x f ⎰2)(的值．解 这里被积函数是分段函数，我们须将积分区间分成与此相对应的区间，因此有dx x dx x dx x f ⎰⎰⎰+-=211 022)2()(21213232x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6192335=+=．例６ 求 21cos 02limxdt e xt x ⎰-→．解 由定积分的补充定义，易知所求的极限式是一个0型的未定式，我们应用洛比达法则来计算，先求分子函数的导数，有⎰⎰---=x t x t dt e dx d dt e dx d cos 11 cos 22)(cos 2cos '-=-x e x)sin (2cos x e x -⋅-=-x xe 2cos sin -=．因此exxex dt e xx xt x 212sin limlim22cos 021cos 0==-→-→⎰． 第三节 定积分的计算由牛顿—莱布尼茨公式，定积分的计算问题可以转化为计算被积函数的原函数增量的问题，而原函数的求法我们在上一章中已经得到了很好的解决，所以我们可以利用已知的方法求出原函数，然后再代入积分上下限，从而求得所要求的积分．从这个意义上讲，定积分的计算问题基本上解决了．但是为了定积分的计算更简洁明快，我们还是将定积分的计算方法列出．与不定积分的换元积分法和分部积分法相对应的是定积分的换元积分法和分部积分法．一．定积分的换元积分法定理１ 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足 （1）)(t ϕ在区间],[βα上单值且具有连续导数)(t ϕ'；（2） 当t 在],[βα上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且有a =)(αϕ，b =)(βϕ，则有dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ )()]([)(（１） 证 首先，根据定理的条件，公式（１）两端的定积分都是存在的．设)(x F 是)(x f 的一个原函数，因此有)()()( a F b F dx x f ba-=⎰由复合函数的求导公式知，)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数，所以)()()]([)]([)]([)()]([a Fb F F F t F dt t t f -=-=='⎰αϕβϕϕϕϕβαβα因此有dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ )()]([)(．公式（1）称为换元积分公式．应用换元公式（1）时，我们应注意两点：第一，用)(t x ϕ=把原来变量x 代换成新变量t 时，积分限也要换成相对于t 的积分限，即“换元必换限”；第二，求出右端被积函数)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)]([)(t F t ϕ=Φ后，不必再把)(t Φ换成原来变量x 的函数，只要把新变量t 的积分上下限代入)(t Φ，然后相减即可．例1 计算)0( 022>-⎰a dx x a a．解法1 不使用换元积分公式计算．先求不定积分dx x a ⎰-22．设t a x sin =，则tdt a dx cos =，于是有⎰⎰⎰+==-dt t a tdt a dx x a )2cos 1(2cos 22222C tt a ++=)22sin (22 C x a x a x a +-+=2222arcsin 2． 根据牛顿—莱布尼茨公式，有=-⎰dx x a a22ax a x a x a 02222arcsin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+241a π=． 解法2 使用换元积分法计算．设)20(sin π≤≤=t t a x ，则tdt a dx cos =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ，于是有dt t adt t a dx x a a⎰⎰⎰+==-2220 2222)2cos 1(2cos ππ22024122sin 2a t t a ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=．例2 求.)0( 1 022⎰>+aa dx ax解 设t a x tan =)40(π≤≤t ，则tdt a dx 2sec =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，4π=t ，又t a a x sec 22=+，于是有dt ta ta dx a x a⎰⎰=+ 04222sec sec 1π4040 tan sec ln sec ππt t tdt +==⎰)21ln(+=．例3 计算⎰+41xx dx ．解 设t x =，则2t x =，tdt dx 2=，当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t ，于是⎰⎰⎰+=+=+212 1 2411122dt t tt tdt xx dx 21)]1[ln(2+=t )2ln 3(ln 2-=23ln2=． 例4 计算⎰25sin cos πxdx x ．解 设x t cos =，则xdx dt sin -=，且当0=x 时，1=t ，当2π=x 时，0=t ，于是616 sin cos 106151525=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-=⎰⎰⎰t dt t dt t xdx x π．此例中，如果我们不明显地写出新变量t ，那么定积分的上下限就不要变化，现在用这种方法计算如下：⎰⎰-=2525)(cos cos sin cos ππx xd xdx x616106cos 206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πx ． 例5 设()x f 在区间],[a a -上连续，证明：（１） 如果()x f 是],[a a -上的奇函数，则0)( =⎰-aa dx x f ；（２） 如果()x f 是],[a a -上的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0 )(2)(．证 因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，对其右边第一个积分作代换t x -=，则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaadx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(．于是⎰⎰⎰⎰+-=+-=-aaaaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 0)]()([)()()(．（１）如果()x f 是奇函数，那么0)()(=+-x f x f ，即0)( =⎰-aadx x f ．（２）如果()x f 是偶函数，那么)(2)()(x f x f x f =+-，即⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．利用此结论，可简化一些对称区间],[a a -上的定积分的计算，如0sin2212=⎰--ππxdx n ，564|52240540 444 4===⎰⎰-x dx x dx x ． 例6 证明⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f ；证 作变换t x -=2π，则t t x dt dx cos )2sin(sin ,=-=-=π，当0=x 时，2π=t ；2π=x 时，0=t ，于是有⎰⎰⎰⎰==-=202022)(cos )(cos ))((cos )(sin ππππdx x f dt t f dt t f dx x f ．二、定积分的分部积分法定理２ 若u 、v 在],[b a 上有连续导数)(x u '、)(x v '，则⎰⎰'-='bab a badx u v uv x dv v u ][（2）或⎰⎰-=bababavdu uv udv ][． （3）证 由乘积的导数公式有v u v u uv '+'='][,等式两边分别求在],[b a 上的定积分，并注意到⎰='bab a uv dx uv ][)(．有⎰⎰'+'=bab aba dx v u vdx u uv ][．移项就得⎰⎰'-='bab a bavdx u uv dx v u |][，写成微分形式就是⎰⎰-=bab abavdu uv udv ][．证毕．例7 计算⎰exdx x 1ln ．解 设x u ln =，)2(2x d xdx dv ==，则dx x du 1=，22x v =，由分部积分公式414212]ln 2[ln 212 1 2212 1e x e dx x x x x xdx x ee ee+=-=⋅-=⎰⎰．有时分部积分法和定积分的换元积分还可结合使用．例8 计算dx e x ⎰1．解 先用换元法，令t x =，则2t x =，tdt dx 2=，且当0=x 时，0=t ， 1=x 时，1=t ，于是有dt te dx e t x ⎰⎰=112．再用分部积分法计算上式右端的积分，设t u =，dt e dv t =，则dt du =，te v =，于是1)1(][][11011=--=-=-=⎰⎰e e e e dt e te dt te t t t t因此21=⎰dx e x ．例9 求n xdx I n n ( cos 2⎰=π为大于1的正整数）．解 x d x xdx x xdx I n nn sin cos cos cos cos 121-n 2⎰⎰⎰-===ππ[]cos sin )1(cossin 222201xdx x n x x n n ⎰---+=ππcos )cos 1()1(20 22xdx x n n ⎰---=πxdx n xdx n n n cos )1(cos)1(220 2⎰⎰---=-ππ．即n n n I n I n I )1()1(2---=-． 移项，得21--=n n I nn I 这个公式叫做积分n I 关于下标n 的递推公式．由于2d 20ππ==⎰x I ，1 d cos 21==⎰πx x I ．所以有⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅--⋅-⋅⋅--⋅-==⎰．为偶数）（为奇数）n n n n n n n n n n x x I n n 22143231( 3254231 d cos2 0 ππ第四节 定积分的近似计算在前面的讨论中我们知道，计算定积分需要求出被积函数的原函数，而确实存在这样的函数，它的原函数不能表现成有限形式.另外，也有函数是由图形或图表给出的情形，这些函数的定积分显然难以应用牛顿—莱布尼茨公式，本节介绍的近似计算方法可以很好地解决这些问题.因为⎰badx x f )(的几何意义是由直线a x =、b x =、x 轴和)0)()((≥=x f x f y 所围成的曲边梯形的面积，因此，只要设法求出这个曲边梯形的面积，就解决了定积分的计算问题.下面的讨论就从这个想法入手.常用的近似计算方法包括矩形法、梯形法和抛物线法，我们这里只介绍前两种. 一、矩形法矩形法就是将曲边梯形分割成若干个小的窄曲边梯形，将每一个小的窄曲边梯形用小的窄矩形去近似，通过求这些小的窄矩形面积得到定积分的近似值（图5-7）.矩形法的具体步骤如下：（1）用分点b x x x x x a n n ==-,,,,,1210 将区间],[b a 划分成n 等份，每个小区间的长度为nab x -=∆ （2）用n y y y ,,,10 表示函数)(x f 在分点n x x x ,,,,10 处的函数值.（3）如果取每一个小区间左端点的函数值作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：x y x y x y dx x f n ba∆++∆+∆≈-⎰110 )()(110-+++-=n y y y nab . （1）如果取每一个小区间的右端点作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：x y x y x y dx x f n ba∆++∆+∆≈⎰21 )()(21n y y y nab +++-=. （2）运用以上近似公式时，显然是分的越细越好.图5-7 图5-8二、 梯形法梯形法就是用梯形去近似地代替小窄曲边梯形（图5-8），从而得到近似计算公式的方法.梯形法的计算公式为：x y y x y y x y y dx x f n n ba∆++∆++∆+≈-⎰)(21)(21)(21)(12110)22(1210n n y y y y y n a b ++++-=- .（3）例 河床的横断面如图5-9所示，设河宽10米，每隔一米测出河深，为了计算最大排水量，需要计算它的横截面积，试根据表中所给出的测试数据，用两种方法计算横断面的面积.解 从所给数据知道，区间被分成了10等分，每等分长为11010=-=∆x ， （1）矩形法：由公式（1），有)(10910y y y ab A +++-=)3.12.10.10(1++++⋅= ）米2(7.13=在本例中，显然用公式（2）与此结果相同.（2）梯形法：由公式（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=921100)(2110y y y y y a b A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++⋅=3.17.14.12.10.1)00(211）米2(7.13=. 第五节 定积分的应用在引入定积分的概念时，我们曾举过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程两个例子，其实在几何上、物理上类似的问题很多，它们都可归结为求某个事物的总量的问题，解决这类问题的思想是定积分的思想，采用的方法就是微元法（也称元素法），以下介绍这种方法.一、定积分的微元法在利用定积分解决实际问题时，经常采用所谓的微元法，实际上，定积分的定义中就体现了这种方法.设总量U 是与自变量x 、函数)(x f 相关的量，其计算步骤如下：（１） 将所求量U 在对应区间],[b a 上分割为部分量i U ∆之和. 用一组分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间],[b a 分成n 个小区间，整体量U 相应地被分为n 个部分量),,2,1(n i U i =∆，而∑=∆=ni i U U 1.（２）计算部分量),,2,1(n i U i =∆的近似值. 在第i 个小区间上，求出部分量i U ∆的近似表达式),,2,1()(n i x f U i i i =∆≈∆ξ.（３）求和，得到U 的近似值i ni i n i i x f U U ∆≈∆=∑∑==11)(ξ．（４）取极限 dx x f x f U baini i⎰∑=∆==→ 1)()(limξλ．上述四个步骤中，第二步是将U 表达成定积分的关键，有了这一步，定积分的被积表达式实际上已经被找到.用以上思想方法解决实际问题，就是所谓的微元法或元素法．利用微元法的步骤为：（１） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ；（２）把区间],[b a 分成n 个小区间，任取其中的一个小区间],[dx x x +，求出相应于此小区间的部分量U ∆的近似值，如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的微元，记作dU ，即dx x f dU )(=；（３）以所求量的微元dx x f )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得⎰=badx x f U )(．这就是所求量U 的积分表达式. 下面我们用微元法来解决一些实际问题. 二、平面图形的面积 １．直角坐标情形在求曲边梯形的面积时，我们知道由直线a x =、b x =、x 轴和)0)()((≥=x f x f y 所围成的曲边梯形的面积是⎰=badx x f A )(，其中被积表达式dx x f )(就是直角坐标系下的面积元素.此方法可以推广，如果一个平面图形由连续曲线)(x f y =、)(x g y =及直线a x =、b x =所围成，并且在],[b a 上)()(x g x f ≥（如图5-10），那么此图形的面积为⎰-=badx x g x f A )]()([例１ 计算由两条曲线2x y =和x y =2围成的图形的面积.解 两条曲线围成的图形如图5-11所示，为了具体定出定积分的上下限，先求出这两条曲线的交点)0,0(和)1,1(，从而所求面积的图形在0=x 和1=x 之间.取横坐标x 为积分变量，其变化区间为]1,0[，取]1,0[上的任一小区间],[dx x x +，在这小区间上窄条的面积近似于高为2x x -、底为dx 的窄矩形的面积，从而得到面积的近似表达式为dx x x dA )(2-=这就是面积微元，以dx x x )(2-为被积表达式，在]1,0[上作定积分，便得所求面积为⎰=-=-=10 10323231]3132[][x x dx x x A ． 由于曲线x y =在曲线2x y =的上方，所以由公式⎰-=ba dx x g x f A )]()([也可直接求得该图形的面积. 例2 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积. 解 这个图形如图5-12所示．为了定出这图形所在范围，先求出 所给抛物线和直线的交点．解方程组⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点)2,2(-和(8，4)，从而知道这图形在直线2-=y 及4=y 之间.现在，选取纵坐标y 为积分变量，它的变化区间为]4,2[-(读者可以思考一下，取横坐标x 为积分变量，有什么不方便的地方)．相应于]4,2[-上任—小区间],[dy y y +的窄条面积近似于高为dy 、底为221)4(y y -+的窄矩形的面积，从而得到面积元素 dy y y dA )214(2-+=．以dy y y )214(2-+为被积表达式，在闭区间]4,2[-作定积分，便得所求的面积为 dy y y A ⎰--+=422)214(= 4232642-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y y y = 18.例３ 求椭圆122=+by a x 的面积. 解 如图5-13所示，因为椭圆关于两个坐标轴都是对称的，所以 它的面积为dx x y A a⎰= 0)(4,利用圆的参数方程⎩⎨⎧==，t b y ta x sin cos 应用定积分换元法，令t a x cos =,tb y sin =，则t d t a dx sin -=，当x 由０变到a 时，t 由2π变到０，所以⎰⎰-=-=0220 2sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab tdt ab πππ=⋅⋅==⎰2214sin 420 2．一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ给出时，如果)(t x ϕ=满足、a =)(αϕb =)(βϕ，)(t ϕ在],[βα（或],[αβ）上具有连续导数，)(t y φ=连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为⎰⎰'==βαϕφ )()()(dt t t dx x f A b a２．极坐标的情形有些平面图形的边界曲线用极坐标表示比较简单，下面推导极坐标系下的面积计算公式. 设曲线方程为)(θϕ=r ，)(θϕ在区间],[βα上连续，且0)(≥θϕ，我们称由)(θϕ=r 、αθ=、βθ=围成的图形为曲边扇形，如图5-14所示，下面用微元法来计算曲边扇形的面积.取θ为积分变量，θ的变化区间为],[βα，相应于任一小区间],[θθθd +的窄曲边扇形的面积可用半径为)(θϕ=r 、中心角为θd 的圆扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素为θθϕd dA 2)]([21=，以θθϕd 2)]([21为被积表达式，在闭区间],[βα上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕ 2)]([21d A。

1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1例2．教材P57面的例2。

练习：例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0。

1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法．在学习过程中，了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大作用．在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标应用定积分解决平面图形的面积问题． 过程与方法目标1．能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法； 2．强化数形结合和化归思想的思维意识． 情感、态度与价值观1．激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；2．培养学生严谨的科学思维习惯和方法；培养学生勇于探索和实践的精神； 3．培养将数学知识应用于生活的意识． 重点难点 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值． 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程引入新课提出问题1：(1)求曲边梯形的方法；(2)定积分的几何意义；(3)微积分基本定理． 活动设计：以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识． 设计意图这些知识是本节课定积分应用的理论基础．提出问题2：通过学习前面的知识，我们知道了定积分的哪些应用？ 活动设计：让学生观察国家大剧院的图片，使其明确大剧院边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算其面积可以通过计算曲边梯形的面积实现．设计意图通过具体的实例，将定积分与现实生活相联系，激发学生的学习兴趣． 探究新知提出问题1：计算由抛物线y ＝x 2在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 1；计算由抛物线y 2＝x 在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 2.活动设计：让学生自己动手画图，找出所围图形，思考解决问题的方法．活动成果：通过画出图象，根据定积分的几何意义，可知面积S 1＝∫10x 2dx ＝x 33|10＝13，面积S 2＝∫10xdx ＝2x 323|10＝23. 设计意图这个问题把课本例1所求面积进行适当的分割，降低难度的同时，突出应用定积分解决平面图形面积问题的重要性，突破如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题．提出问题2：计算由两条抛物线y 2＝x 和y ＝x 2所围成图形的面积S.活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 活动成果：两条抛物线所围成图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到．先由方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 2⇒ x ＝0或x ＝1，得到两曲线的交点为(0,0)、(1,1)，再由定积分的几何意义可知，面积S ＝∫10xdx －∫10x 2dx ，所以S ＝∫10(x －x 2)dx ＝23x 32|10－x 33|10＝13.提出问题3：求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤是什么？活动设计：学生独立思考，自由发言．活动结果：1.作出示意图(找到所求平面图形)； 2．求交点坐标(确定积分上、下限)； 3．确定被积函数； 4．列式求解． 设计意图让学生明确求两曲线围成的平面图形面积的方法和步骤． 理解新知提出问题1：计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.先画出图象，你发现此题与例1有什么不同？活动设计：学生独立思考．活动成果：此题需把所求图形的面积分成两部分来求． 设计意图此题是例1的深入和扩展，让学生独立思考，培养他们解决问题的能力． 提出问题2：你能仿照例1，自己完成这个问题的解答吗？活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动成果：作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4，得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 的交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点坐标为(4,0)．因此，所求图形的面积为S 1＋S 2＝∫402xdx ＋[∫842xdx －∫84(x －4)dx]＝223 32x |40＋223 32x |84－12(x －4)2|84＝403. 设计意图学生运用新知识解决问题，可以获得极大的成就感，既激发了学习兴趣，又加强了学生应用数学知识的意识．提出问题3：还有其他解法吗？活动设计：分小组讨论，让学生交流自己的想法．活动成果：方法一：将所求平面图形面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差．S ＝∫802xdx －12×4×4. 方法二：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y 为积分变量，还需把函数y ＝x －4变形为x ＝y ＋4，函数y ＝2x 变形为x ＝y 22.S＝12×(4＋8)×4－∫40y 22dy. 设计意图考虑到学生思维方式的不同，所以对问题解决的方法可能会有所不同．有可能直接面积相减，也有可能把所求面积分两部分相加．学生通过体会不同方法的区别及联系，加强对重难点的理解．提出问题4：根据对以上问题的分析，你能再详细叙述求曲边梯形的面积的步骤，以及解决此类问题应注意什么吗？活动设计：让学生独立思考，再找几个学生叙述，然后教师补充总结． 活动成果：具体步骤：(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．①由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)>0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a f(x)dx ；②由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)<0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝|∫b a f(x)dx|＝－∫ba f(x)dx ；③由两条曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)(f(x)≥g(x))与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a |f(x)－g(x)|dx.注意的问题：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法． 设计意图让学生进一步理解定积分的几何意义，同时体会如何用定积分解决同类问题． 运用新知例1计算由y ＝x －4与y 2＝2x 所围图形的面积． 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x 得到交点坐标为(2，－2)及(8,4)．∴S ＝12×(2＋8)×6－∫4－2(12y 2)dy ＝18. 例2计算由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．∴S ＝∫10[x －(－13x)]dx ＋∫31[(2－x)－(－13x)]dx ＝∫10(x ＋13x)dx ＋∫31[(2－x)＋13x]dx ＝(23x 23＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋(6－13×9－2＋13)＝136. 巩固练习计算由曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 及x ＝0，x ＝π2所围平面图形的面积．解：法一：S ＝S 1＋S 2，其中S 1＝∫π40(cosx －sinx)dx ＝∫π40cosxdx －∫π40sinxdx ＝sinx|π40＋cosx|π4＝sin π4－sin0＋cosπ4－cos0＝2－1，S 2＝∫π2π4(sinx －cosx)dx ＝∫π2π4sinxdx －∫π2π4cosxdx ＝－cosx|π2π4－sinx|π2π4＝－cos π2＋cosπ4－sin π2＋sin π4＝2－1，所以S ＝S 1＋S 2＝2(2－1)．法二：根据图形的对称性，S ＝2(S 1－S 2)，其中 S 1＝∫π20sinxdx ＝－cosx|π20＝－cos π2＋cos0＝1，S 2＝2∫π40sinxdx ＝－2cosx|π40＝－2cos π4＋2cos0＝2－2，所以S ＝2(S 1－S 2)＝2[1－(2－2)]＝2(2－1)．变练演编有一直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．解：设抛物线y ＝x 2上的两点为A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，不妨设b>a ，直线AB 与抛物线所围成图形的面积为S ，则S ＝∫b a [(a ＋b)x －ab －x 2]dx ＝(a ＋b 2x 2－abx －13x 3)|b a ＝16(b －a)3. 当S ＝43，即16(b －a)3＝43时，有b －a ＝2.(*)设AB 的中点P(x ，y)，则x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2，消去a 得y ＝x 2＋1.这就是所求的P 点的轨迹方程． 达标检测1．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π所围成的图形面积可表示为( )A ．∫π0(sinx －cosx)dx B ．∫π40(cosx －sinx)dx ＋∫ππ4(sinx －cosx)dxC ．∫π0(cosx －sinx)dxD ．∫π20(cosx －sinx)dx ＋∫ππ2(sinx －cosx)dx2．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积． 3．求曲线y ＝e x 与直线x ＝0，y ＝e 所围成的图形面积．4．求曲线y ＝sinx(x ∈[0，2π3])与直线x ＝0，x ＝2π3，x 轴所围成的图形面积．答案：1.B 2.323；3.1；4.32.课堂小结1．知识收获：用定积分求曲边梯形面积问题：(1)画图确定图形范围；(2)确定被积函数和积分区间；(3)写出平面图形面积的积分表达式，计算定积分，求出面积．2．方法收获：归纳方法、数形结合方法． 3．思维收获：数形结合的思想． 布置作业课本习题1.7A 组第1题，B 组第1题． 补充练习 基础练习1．曲线y ＝x 2与直线y ＝x ＋2所围成的图形的面积等于__________．2．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π4所围成的图形面积等于__________．3．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积．拓展练习 4．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求：切点A 的坐标以及切线方程． 5．一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为3，宽为10，求抛物线拱的面积S. 答案：1.922.2－13.9.4．如图，由题意，可设切点坐标为A(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，且切线与x轴的交点坐标为B(x 02，0)．则由题意可知有S ＝∫x 020x 2dx ＋∫x 0x 02(x 2－2x 0x ＋x 20)dx ＝x 3012＝112，则x 0＝1，所以所求切点坐标与切线方程分别为A(1,1)，y ＝2x －1.5．20.设计说明通过具体实例创设问题情境，让学生体验到数学在现实生活中无处不在，从而激发他们的学习热情，引导他们积极主动地参与到学习中来；通过问题探究的形式，形成教师与学生的互动，同时提高学生分析问题、解决问题的能力；教师对学生主要出现的不同解法进行投影分析，并进行比较，学生体会这些方法的区别及联系，突破本节课的重难点．巩固练习，目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维．备课资料 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100 m 的平行线段，沟宽AB 为2 m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5 m ，沟中水深1 m.(1)求水面宽．(2)如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，则沟中的水有多少立方米？解：(1)如图建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为y ＝ax 2(a>0)，则由抛物线过点B(1，32)，可得a ＝32.于是抛物线方程为y ＝32x 2. 当y ＝1时，x ＝±63，由此知水面宽为263m.(2)柱体的底面积 S ＝2∫630(1－32x 2)dx ＝2(∫630dx －32∫630x 2dx) ＝2(x|630－32·13x 3|630)＝469(m 2)． ∴柱体体积为100×469＝40069(m 3)，即沟中的水有40069m 3.(设计者：孙娜)。

1．71 定积分在几何中的应用【学习目标】初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 【重点难点】恰当选择积分变量和确定被积函数,用定积分解决平面图形的面积一、自主学习要点1 几种典型的平面图形面积的计算(1)如图①，f (x )>0，⎠⎛ab f(x)d x>0， 所以S ＝ ； (2)如图②，f(x)<0，⎠⎛a b f (x)d x<0，所以S ＝(3)如图③，a≤x≤c 时，f(x)<0，⎠⎛a c f(x)d x<0；当c≤x≤b 时，f(x)>0，⎠⎛cb f(x)d x>0， 所以S ＝ ；(4)由两条曲线f(x)和g(x)，直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成平面图形的面积S. ①如图甲所示，当f(x)>g(x)>0时，S ＝②如图乙所示，当f(x)>0，g(x)<0时，S ＝⎠⎛a b f(x)d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b d x ＝二、合作，探究，展示，点评题型一 利用定积分几何意义求图形面积例1 求在[0,2π]上，由x 轴与正弦曲线y ＝sin x 围成的图形的面积．思考题1 由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x| C .⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x题型二 不分割型图形面积的求解例2 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．题型三 分割型图形面积的求解例3 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．思考题3 求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．题型四变更积分元、化繁为简例4 计算由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成图形的面积．三、知识小结1．求平面图形面积的一般步骤(1)画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形．(2)对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积分表示其面积．(3)计算各个定积分，求出所求的面积.当堂检测1．如果⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，那么⎠⎛12f(x)dx ＝________.2．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，0≤x≤1，2－x ，1<x≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于________．4．若⎠⎛eb 2x d x ＝6，则b ＝________.5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________.。

1.7.1 定积分在几何中的应用教学目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．教学知识梳理知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？[答案]求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？[答案]不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？[答案]与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a 移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.题型探究类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. [答案]13[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256.命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎡⎦⎤2－x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321 ＝12－0＋⎝⎛⎭⎫4－83－⎝⎛⎭⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程．解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31t 2－4t ＋3d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a |v (t )|d t ＝－ʃb a v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃb a F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930 J D ．6 J[答案]A[解析]设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930 J.当堂检测1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163 D.23[答案]A[解析]如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J[答案]C[解析]依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．[答案]1－ln 2[解析]因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.[答案]900[解析]由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ1003t d t ＋ʃ6010⎪⎪⎝⎛⎭⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－310t 2＋36t 6010 ＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13－⎝⎛⎭⎫－1＋13＋⎝⎛⎭⎫13×23－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝83.。

§1.7.1定积分在几何中的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数． 教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。

【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x0sin =⎰-ππdx x图2（三）、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路（四）、知识应用，深化理解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y x x y x⎧=⎪==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），曲边形面积 A=A 1-A 21)(2y f面积S=120x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线y =4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线y 1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组4y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线y =8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2844[(4)]x dx =+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|3323x x x =+-=.由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ， 宽为常数b ． 求证：抛物线拱的面积bh s 32（五）、归纳小结、布置作业解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 布置作业：b。