高中数学 必修5 5.解三角形应用举例1(测距测高)

《解三角形应用举例》知识全解一、知识结构二、内容解析正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如测量距离、高度、角度等.对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等.但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性.关于三角形的有关几何计算，书中涉及了三角形的高和面积的问题.课本直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到.书中证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式..在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.三、重点、难点.本节的教学重点是解决两个与测量有关的问题，也就是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．四、教法导引在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位.对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与、合作完成的，而教师很好地充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂.从而运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．适当安排一些实习作业，让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．五、学法建议在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识.。

人教版必修5课题：《解三角形应用举例》教材：人教版教学目标：（1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题；（3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力；（5）指导学生学会评价分析与改进优化。

教学重点、难点：分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。

教学方法与手段：学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。

教学内容设计：一、情境导入位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示：探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上）测量工具为：测角仪与皮尺首先通过示图，了解测角仪的原理与作用测角仪常用于测量：（1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3）图1 图2 图3此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。

二、学生设计方案交流从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。

三、分析与解决问题学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。

交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍）如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ∆得海心塔与西塔的距离αtan h AB =教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便；（3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。

解三角形的实际应用【知识概述】1.利用解三角形的知识和方法解决生活中的实际测量问题，是正弦定理和余弦定理的重要应用，主要涉及距离、高度和角度的测量，这类问题综合性较强，需要我们从实际生活背景中抽象出三角形的相关知识和条件，然后借助解三角形的方法给出解决方案。

2.测量问题就是解三角形问题，一般有两种位置状态，一种是被测量的图形在水平平面内，另一种是被测量的图形在竖直平面内，尽管实际问题的位置状态不同，但问题的实质都是利用有关三角公式解三角形，对不同的状态，要准确理解相关的名词的意义，如在水平面内的方向角、方位角等，以及在竖直平面内的仰角、俯角等.3.有关角的概念方向角：从东西南北的某方向转到目标方向线的水平角，如南45°东、东45°北等；方位角：地图上从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角；俯角和仰角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时，称为俯角.坡度：斜坡所在的平面和水平面夹角正切值.【学前诊断】1．[难度] 易已知两灯塔A ，B 与观测点C 的距离都等于a km ．灯塔A 在观测点C 的北偏东20°．灯塔B 在观测点C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为 km.2．[难度] 易设A ，B 两点在河的两岸．一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB =105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．250 mB ．350 mC ．225mD ．2225 m3．[难度] 中 在200m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°．则塔高为( )A ．3400mB ．33400mC ．33200mD ．3200m【经典例题】例1．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例2．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km2.4≈≈≈）例3．某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．例4．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(cos)θθ=300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【本课总结】1.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.2.解三角形应用题的一般步骤：（1）分析题意，准确理解问题的已知与所求，以及有关的基本量、名词、术语;（2）将实际问题转化为数学模型或数学问题；（3）将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解数学模型；（4）将数学模型还原到实际问题，检验解出的答案是否符合实际意义.【活学活用】1．[难度] 中在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来200m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山的2倍．继续在平行地面上前进3峰的高度为( )100mA．200 m B．300 m C．400m D．32. [难度] 中江岸边有—炮台高30m．江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°．而且两条船与炮台底部连线成30°角，两条船相距是( )30mA．20m B．30m C．30m D．33.[难度] 中如图，货轮在海上以40km／h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°，A处有一灯塔，在B点观察其方位角是110°.在C处观察灯塔A的方位角是35°,由B到C需航行30分钟．求C到灯塔A的距离(方位角是指从某点开始的指北方向按顺时针转到目标方向线为止的角）.。

1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力.（二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，常常需要建构多个三角形，用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要通过对工具的使用熟悉仰角、俯角的意义，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.在研究中学生无法构建数学模型，或者是没有从所给的背景资料中正确的提取出数学信息也将成为本节课学习的障碍，在完成测量任务的过程中依靠实际生活背景，指导学生应用简单的测量工具，帮助学生理解数学概念，借助课本例题引导学生应用于实际问题.坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．教学难点：从不同设计方案中概括数学建模的一般方法.四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识. 五、教学过程：（一）课前准备，体验数学建模过程：课本例题3的学习引发学生的探究热情，教师从学生的兴趣出发布置测量任务，即让学生利用自制测角仪和卷尺等工具测量天津市地标建筑——天塔的高度，天塔周围被水环绕，属于典型的底部不可到达的建筑物.采用分组合作的方式，将学生分为三组，分别设计方案，进行实地测量，并完成实验报告.教师在测量过程中指导学生使用工具，并纠正操作中的错误，引导学生对遇到的实际问题进行思考，主动寻找解决方案，帮助学生完善实验报告（见附件）.【设计意图】1.亲自实践体验测量的过程，思考如何设计测量方法，在探索中体会数学抽象和数学建模；2.动手操作工具，直观感知，增强对数学概念的理解，如仰角、基线、张角；3.小组合作完成任务，提高学生的合作意识和合作能力，在完成任务的过程中依据学生的能力分配任务，使学生更乐于参与数学研究学习，有利于激发学生的学习兴趣；4.选择学生熟悉的生活场景展开问题，课堂中使用的很多数据都来源于学生的亲自采集，使数学学习更贴近生活.（二）情境引入，感受生活中的数学：【创设情境】播放视频介绍测量目标“天塔”的基本情况，明确建筑物的显著特征——底部不可到达，其次介绍测量前期的准备工作，包括使用的基本工具，任务完成时间和实验报告表格.【设计意图】从学生熟悉的生活背景引入，激发学生的探究兴趣，体会数学学习的应用价值.（三）学生任务展示：【学生活动】三个小组分别选择一种方案进行交流，介绍方案设计、测量的过程、计算的结果和对结果的反思，展示实验报告（见附件）和设计图.【学生活动】第一组方案介绍.设计思路源自课本例题，即在地面选择与塔底在一条基线上的两点M 、E ，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，用卷尺测量EM ＝a该设计方案提供两种解法，解法一，解两个直角三角形.BM AB =αtan ，BE AB =βtan ，a AB AB BM BE =-=-αβtan tan ，代入数值可得出天塔AB 的高度.解法二，解直角三角形和斜三角形.∠MAE ＝α－β，由正弦定理可得ββαsin )sin(AM ME =-，解得ββαsin )sin(⋅-=aAM ，αsin ⋅=AM AB ，代入数据可得出天塔AB 的高度.同理由正弦定理计算AE 也可以计算出结果.进行误差分析：1.无法精准定位E 、M 点与塔底在一条基线上；2.卷尺量程过短，需要分段测量.【教师活动】概括测量过程，引导学生体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”这样的建模过程.【学生活动】第二组方案介绍.选择地面两个点M 、E ，但与塔底B 不在一条基线上，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，测量EM ＝a ，但需增加测量点M 、E 与塔底的张角∠MBE ，学生提供测张角的APP 软件可以实现测量，设∠MBE ＝θ. 计算，βtan AB EB =，αtan AB MB =，由余弦定理可得 θcos 2222BM EB MB EB EM ⋅-+=，代入数值可解出塔的高度AB .误差分析：1.地势高低不平；2.无法精准定位塔底B 点，张角的测量会产生误差.【教师活动】总结测量过程，引导学生再次体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”的建模过程.【学生活动】第三组方案介绍.选择一处较低的建筑物，用测角仪从上方M 点处和下方E 点处分别测量到塔顶的仰角，设M 处仰角为β，E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a.计算 ∠AME ＝90°＋β，∠EAM ＝α－β，由正弦定理可得AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即)90sin()sin(ββα+=- AE a ， 解得 )90sin()sin(ββα+⋅-=a AE ，αsin ⋅=AE AB ，代入数值可解出塔的高度AB .分析误差：塔高不能用卷尺一次性测量，需分层测量再相加.【教师活动】对每组讲解中出现的问题随时纠正，在一旁协助学生完成交流活动，结合测量过程引导学生进一步体会数学建模的思想，逐步形成数学建模的一般过程.【设计意图】1. 通过让学生讲述操作过程，增强学生对知识的理解；2. 提高学生的数学表达能力；3. 通过小组合作和交流，促进学生的数学学习.（四）讨论交流：【教师活动】结合三个方案引导学生归纳1.如何选点建构三角形；2.应用哪些知识解三角形；3.造成误差的原因和减小误差的方式.【学生活动】归纳1.选择塔顶与地面两个可到达点建构三角形；归纳2.解直角三角形和应用正弦定理、余弦定理解斜三角形；归纳3.减小误差方法有使用精准的仪器、多次测量取平均值等.【设计意图】反思方案，体会建模思想，提升建模方法.【教师活动】布置讨论任务1.听完三组的方案，谈谈自己的想法；2.总结数学建模的过程.【学生活动】充分讨论后发言1.小组互评：各小组成员自由发言，对其他组的方案进行评价；2.学生现场产生更多的方案，预设如图在第三组方案的基础上，用测角仪从M点处分别测量到塔顶的仰角β和到塔底的俯角α，测量EM＝a，应用解三角形的知识可解出塔的高度AB.3.结合测量过程学生总结数学建模过程：（五）多元评价，实现自我提升：1.小组自评：经历整个测量任务和现场的展示之后，由各组组长对本组的表现进行自我评价；2.教师评价：结合整个建模活动，从小组合作、方案设计、参与程度、数据分析等方面进行总结和点评.【设计意图】采用多元评价方式，通过自我评价引导学生反思和总结；通过小组互评引导学生善于发现别人的优秀之处，进一步完善自我；教师的点评更要充分肯定每一位积极参与的同学，从方案的创新性、合理性和有效性进行评价，关注数据的真实和整理过程的认真、细心，同时也要提出改进和完善的方法，帮助学生进一步提升.（六）课后作业：整理实验报告，总结经验与不足.附件测量天塔高度实验报告E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a. ＋β，∠EAM ＝α－β， AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即sin(βα-a。

教师姓名学科数学上课时间学生姓名年级高一学校课题名称解三角形应用举例教学目标能够运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用测量相关术语同步教学内容复习正、余弦定理、三角函数及熟悉三角形的基本性质教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________教学过程（教学过程可手写，亦可是电子版本）●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈训练●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程1.讲授新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A、B两点的距离(精确到0.1m) 解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin =ABCAC ∠sin AB =ABCACB AC ∠∠sin sin= ABCACB ∠∠sin sin 55=)7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55≈ 65.7(m)答:A 、B 两点间的距离为65.7米举一反三：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 解略：2a km例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。