专题三 五大数学思想方法 第四节

数学中的思想方法数学是一门基础学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式和思想方法。

数学中的思想方法是指数学家们在解决数学问题时所采用的一种系统的、抽象的、逻辑的思维方式。

这些思想方法不仅可以帮助我们理解和解决数学问题，还可以应用于其他领域，如自然科学、社会科学、工程技术和金融经济等。

下面将介绍一些数学中常用的思想方法。

一、化归思想化归思想是指在解决一个复杂问题时，将其转化为一个或多个较为简单的问题，通过对这些简单问题的解决，最终解决原始问题。

化归思想的核心是将复杂问题转化为简单问题，通过逐步转化，使得问题变得更容易解决。

例如，在解多元一次方程组时，我们可以将其转化为解一元一次方程的问题；在求解多面体的体积时，我们可以将其转化为求解长方体的体积的问题。

二、数形结合思想数形结合思想是指在解决数学问题时，将数量关系和空间形式结合起来，通过图形和数值的相互转换，使得问题变得更容易解决。

数形结合思想的核心是将抽象的数量关系转化为具体的空间形式，通过图形和数值的结合，使得问题更加形象化和直观化。

例如，在解平面解析几何问题时，我们常常将点坐标转化为几何图形中的点；在解立体解析几何问题时，我们常常将空间结构转化为平面图形进行求解。

三、分类讨论思想分类讨论思想是指在解决数学问题时，将问题按照不同的分类标准划分成不同的类别，对每一类问题进行分别讨论和解决。

分类讨论思想的核心是将一个复杂的问题划分成多个较为简单的问题，通过对每一类问题的分别解决，最终解决原始问题。

例如，在解排列组合问题时，我们常常需要按照不同的分类标准对问题进行分类讨论；在解函数问题时，我们常常需要按照不同的分类标准对函数的性质进行分类讨论。

四、函数与方程思想函数与方程思想是指在解决数学问题时，将问题转化为函数或方程的形式，通过对函数或方程的分析和求解，最终解决原始问题。

函数与方程思想的核心是将问题转化为函数或方程的形式，通过对函数或方程的分析和求解，使得问题更加清晰和明确。

数学思想方法专题四 转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 3．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的． (3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解．设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C 解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.3． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B 解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .4． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B 解析 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.5． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.题型一 特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636B.e 636＜e 525＜e 416C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________． 审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P (－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤2，322 解析 (1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)＜f (5)＜f (6)，即e 416＜e 525＜e 636.(2)设|AB ||MN |＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB |最小，|MN |最大，所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t ∈⎣⎡⎦⎤22，2.又因为t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，所以t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，322. 反思归纳 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案 1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316. 题型二 正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．审题破题 函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g (x )在区间(t,3)上为单调函数．答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.反思归纳 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想．变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析 将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解． ∵g (x )＝2x －2<0，∴x <1.又任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集． 又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足题意；若2m >－m －3，即－1<m <0，此时f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}，依题意2m <1，即－1<m <0；若2m <－m －3，即m <－1，此时f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，依题意－m －3<1， ∴m >－4，∴－4<m <－1.综上可知，满足条件的m 的取值范围是－4<m <0. 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．审题破题 (1)求f ′(x )＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f (x )的单调性；(2)将f (x )>0恒成立转化为f (x )的最小值大于0.解 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )．由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)和x ∈(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a ＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－43a (a ＋3)(a －6)>0，24a >0，解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练3 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2. (2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)，取t ＝1n (n ∈N *)，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1).典例 (14分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a . [2分]由0<a <1，知1<2－a <2.[4分] 所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．[6分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6，由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[9分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[11分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2. [13分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [14分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4， 则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A 解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.2． 设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A 解析 a ＝2×22sin(17°＋45°)＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，∴c <a <b .3． 方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1答案 D 解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝(cos x －12)2－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1，故选D.4． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．答案 (－13,13)解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．5． 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，(2x ＋y )max ＝2105.6． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________.答案 36 039解析 由已知a n ＝3n ，b n ＝3n ，∴c 2 013＝b 3×2 013＝33×2 013＝36 039.专题限时规范训练一、选择题1． 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为 ( )A.15B.14C.12D.23答案 C 解析 取边长a ，b ，c 分别为4,3,5的直角三角形，易求tan A 2＝12，tan C2＝1，所以tanA 2·tan C 2＝12. 2． 等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B 解析 ∵{a n }为等差数列，S 13＝0，∴a 1＋a 13＝2a 7＝0， 又a 1＝－12<0，∴显然{a n }为递增数列．a n >0的最小正整数n 为8.3． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－116答案 A 解析 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2，1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 答案 C 解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.5． 棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 312答案 C 解析 所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13⎝⎛⎭⎫22a 2·a 2＝a 36.6． 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋22答案 A 解析 如图，取F 2P 的中点M ，则OP →＋OF 2→＝2OM →.又由已知得OM →·F 2P →＝0，∴OM →⊥F 2P →.又OM 为△F 2F 1P 的中位线， ∴F 1P →⊥PF 2→.在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，2c ＝2|PF 2→|.∴e ＝23－1＝3＋1.7． P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D 解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心， 由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可．∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9.8． 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 D 解析 由F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋4)的零点或g (x －4)的零点，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 012.当x ≠－1时，f ′(x )＝1＋x 2 0131＋x >0，x ＝－1时，f ′(x )＝2 013>0.∴f (x )在R 上单调递增．又f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝⎛⎭⎫－12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫－12 012－12 013<0， ∴f (x )在[－1,0]内有唯一零点，故f (x ＋4)的唯一零点在[－5，－4]内． 同理g (x －4)的唯一零点在[5,6]内，因此，b ＝6，a ＝－4，∴a ＋b ＝2. 二、填空题9． 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________．答案 x ≤－1或x ≥0解析 ∵f (x )在R 上是增函数，∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则crS的取值范围是__________．答案 [22－2,1)解析 由题意，得S ＝12ab ＝12c 2sin A sin B ，r ＝12(a ＋b －c )＝12c (sin A ＋sin B －1)，从而cr S ＝sin A ＋sin B －1sin A sin B，设sin A ＋sin B ＝t ， 则sin A sin B ＝12(t 2－1)，cr S ＝2(t －1)t 2－1＝2t ＋1，因为A ＋B ＝π2，所以t ＝sin A ＋sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]．所以crS 的取值范围是[22－2,1)． 11． 如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______．答案 a ≥3解析 由题意，知关于x 的方程x 2－ax ＋2＝0在[0,1]上有实数解．又易知x ＝0不是方程x 2－ax ＋2＝0的解，所以根据0<x ≤1可将方程x 2－ax ＋2＝0变形为a ＝x 2＋2x ＝x ＋2x .从而问题转化为求函数g (x )＝x ＋2x (0<x ≤1)的值域．易知函数g (x )在(0,1]上单调递减．所以g (x )∈[3，＋∞)． 故所求实数a 的取值范围是a ≥3.故填a ≥3.12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2.三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.14．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2，T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.。

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想例1 （2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5=．对应训练1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．考点二：转化思想例2 （2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．对应训练2．（2013•宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 （2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．对应训练3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型四、中考真题演练一、选择题1．（2013•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．401．A2．（2013•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A ．πB ．4πC ．π或4πD ．2π或4π2．C 3．（2013•达州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．B 4．（2013•齐齐哈尔）CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则BE 的长是（ ） A ．8B ．2C ．2或8 D ．3或74．C 5．（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．．．或．2cm 或5．C6．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ．80°B ．80°或20° C ．80°或50°D ．20°6．B 7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12B ．15C ．12或15D ．187．B 8．（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．π8．A二、填空题边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．12．阴影部分面积的和是（结果保留π）．18．3819．（2013•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原19．（0）或（0）20．（2013•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是．22．d＞5cm或2cm≤d＜3cm24．（2013•乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4与两坐���轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是．25．526．（2013•天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是．26．15°或165°从B处到达C岛需要多少小时？30．解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，如图①，连接OP．∵OA是半圆C的直径，∴∠APO=90°，即OP⊥AD．又∵OA=OD，∴AP=PD；（2）如图①，连接PC、OD．∵OD是半圆C的切线，∴∠AOD=90°．由（1）知，AP=PD．又∵AC=OC，参考答案 1、D 2、B3、A4、B5、A6、B7、D8、C9、C10、B11、－1/4 12、(5－1)/2 13、2 14、略15、65° 16、2.4米17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/2200521、略 22、20/3 23、略 24、20 25、（1）略（2）3 26、（1）△ABD ∽△AEC ∽△BED （2）成立。

总结数学思想方法数学思想方法是数学研究和解决问题的基本思维方式和方法论。

它通常被认为是一种逻辑严谨、推理严密的思考方式。

数学思想方法的核心是抽象、推理和证明。

在数学思想方法中，数学家通过抽象和推理来发现并构造数学对象，通过证明来验证并确立数学结论。

本文将总结数学思想方法的几个重要方面。

首先，数学思想方法的基石是抽象。

数学家通过抽象将问题中的实际对象抽离出来，转化为数学对象。

抽象使问题具有普适性，并且能够让我们从多种角度思考问题。

例如，在几何学中，我们可以将实际的几何对象，如点、线、平面等，抽象为几何空间中的抽象对象。

这种抽象使得我们可以研究几何性质的本质，并且可以构造出一般性的结论。

其次，数学思想方法强调推理。

推理是从已知事实出发，通过逻辑关系来得出新的结论的思维过程。

数学家通过推理来推导出数学对象之间的关系和相互作用。

推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。

演绎推理是从一般性的前提出发，通过逻辑推理得出具体的结论。

而归纳推理则是从具体的例子中归纳出一般性的规律。

推理在数学证明中扮演着重要角色，它是数学结论的重要依据。

另外，数学思想方法的重要特点是证明。

证明是数学中最为严谨和重要的环节。

通过证明，我们可以验证数学结论的正确性，并确保其在任何情况下都是成立的。

证明可以采用不同的方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等。

直接证明是从已知前提出发，通过逻辑推理逐步得出结论；反证法是先假设结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推翻假设；数学归纳法是通过证明结论在某个基础上成立，并推导出结论在下一个阶段也成立。

证明可以增强我们对数学结论的理解和信心，并为我们提供了解决其他问题的思路和方法。

在数学思想方法中，还存在一些其他重要的思维方式，如递归思维、反思思维和创造思维。

递归思维是将问题分解为更小的子问题，并利用这些子问题的解来求解原始问题。

反思思维是对问题、方法和结论进行深度反思和思考，以便发现潜在的错误或改进的空间。

数学思想方法所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，是分析处理和解决数学问题的根本方法，也是对数学规律的理性认识。

下面是店铺帮大家整理的数学思想方法推荐，希望大家喜欢。

一、数形结合的思想方法数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。

另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。

在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

在小学一年级刚开始学习数的认识时，都是以实物进行引入，再从中学习数字的实际含义。

例如学习“6的认识”时，先出示主题图，问学生图中有些什么？学生从中数出6朵小花，6只小鸟，6个气球。

从而感知5的某些具体意义。

再从实物中慢慢抽象成某一特定物体，利用学生的学具小棒摆出由6根小棒组成的任何图形，从而让学生在动手的过程中，不仅表现出自己的独特创意，而且更深一层地理解6的实际意义；第三层次是利用黑板进行画6个圆，6个正方形，6个三角形等特定图形来代表6，从而慢慢抽象至数字6。

这样从实物至图形，在抽象到数字，整个过程应该符合一年级小学生的特点，也是数形结合思想的一种渗透。

二、对应思想方法利用数量间的对应关系来思考数学问题，就是对应思想。

寻找数量之间的对应关系，也是解答应用题的一种重要的思维方式。

在低、中年级整数应用题训练时，教师就应该让学生明白数量之间存在着一一对应的关系。

例如：水果店上午卖出苹果6筐，下午又卖出同样的苹果8筐，比上午多卖100元，每筐苹果多少元? 这里存在着钱数和筐数的对应关系，学生如果能看出下午比上午多卖的100元对应的筐数是(8-6)筐，此题就迎刃而解了，即100÷(8-6)=50(元)。

此外，在教学归一问题、相遇问题时，都要让学生找到题中数量之间的对应关系。

解决问题对于小学生是个抽象的问题，特别对于低、中年级学生更难理解。

数学思想方法专题三（参数法、反证法）一．参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。

例2.椭圆x216＋y24＝1上有两点P、Q，O为原点。

连OP、OQ，若kOP·kO Q＝－14，①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos2β。

练习1.函数y＝x＋2＋142--x x的值域是________________。

2.抛物线y＝x2－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值为_____A. 5B. 10C. 23D. 33.过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。

4.求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

二．反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

数学中的思想方法强调数学思想方法的重要性，它是数学的灵魂和精髓。

同时很多人也常常感慨，在学习数学过程中，很难感受到数学思想的存在，更不要说运用数学思想方法去解决问题了。

因此，如何才干感受到数学思想，如何才干学会运用数学思想解决实际问题，自然成了很多人非常关怀的话题。

2方法一：化归与转化的思想将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变幻，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。

化归与转化思想的实质是显示联系，实现转化。

转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的状况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以坚持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转达化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3方法二：对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。

小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向同学渗透了事物间的对应关系，为同学解决问题提供了思想方法。

4方法三：分析法和综合法有时候我们经常会碰到很多问题无从下手，此时我们应该可以利用此种方法。

从要证实的结论出发，或者从已知条件出发，进行提炼，可能会有意想不到的结果。

高中数学思想方法专题（一）——函数与方程的思想方法一、知识要点概述函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考数学题中函数与方程的思想占较大的比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。

函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使获得解决。

二、解题方法指导运用函数观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式定理等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。

运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，判断符合哪些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在中学数学中常见数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决。

三、范例剖析例1已知f(t)=log2t,t[ ，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式2x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围。

数学中的思想方法数学是一门独特的学科，具有独特的思想方法。

数学的思想方法是数学家在解决问题时所采用的思考方式和严密的逻辑推理过程。

下面我将从抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性六个方面阐述数学的思想方法。

首先，数学的思想方法之一是抽象化。

数学家经常将具体的实际问题抽象成符号、代数或几何结构，通过对符号和结构的处理，寻找问题的普遍性规律。

例如，代数方程是将实际问题抽象成符号形式，通过方程求解来得出问题的解。

其次，数学的思想方法是逻辑性。

数学家通过逻辑推理来得出结论，推导每一步都必须符合严格的逻辑规则，确保推导的正确性。

数学的推理过程严密而明确，每一步都有清晰的证明和推导。

逻辑性是数学思维的基础，也是数学的精髓所在。

第三，数学的思想方法是严谨性。

数学家在解决问题时要求严谨，在每一步推理中都符合逻辑规则和数学定义，不留任何疑点。

严谨性是数学的基本要求之一，它保证了数学的正确性和可靠性。

第四，数学的思想方法是综合性。

数学家在解决问题时需要综合运用多个数学概念和方法，将各种方法和工具结合起来进行分析和求解。

数学的综合性要求数学家具备广泛的数学知识和技能，能够从多个角度去分析和解决问题。

第五，数学的思想方法是创造性。

数学家在解决问题时需要具备创造力，创造新的概念、方法和定理。

数学建立在已有知识的基础上，但新的数学成果往往需要创造性的思维和灵感。

创造性是数学家解决复杂问题和推动数学发展的核心。

最后，数学的思想方法是实用性。

虽然数学具有一定的抽象性和理论性，但数学的应用非常广泛。

数学在物理、工程、经济、计算机等领域都有重要的应用。

数学家通过各种数学模型和方法，对实际问题进行分析和求解，提供实用的解决方案。

综上所述，数学具有独特的思想方法，包括抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性。

这些思想方法使得数学能够独立思考和解决问题，推动数学的发展和应用。

数学思维方法的训练和培养是数学教育的重要目标，也是培养学生逻辑思维和创新能力的关键。