湖南省蓝山二中高中数学《3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定》教案 新人教A版必修2

第三章 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【学习目标】理解并掌握由直线斜率判断直线位置关系的方法。

【学习重点】通过直线斜率，判断两条直线的位置关系【知识链接】直线的倾斜角为α，则此直线的斜率=k αtan .当α______时，k>0； 当α______时，k=0；当α______时，k<0； 当α______时，k 不存在【基础知识】21//l l 时，21k k 与满足什么关系？21k k =时，21l l 与位置关系如何？21l l 与垂直，则21k k 与满足什么关系？121-=k k 时，21l l 与位置关系如何？【例题讲解】例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.变式迁移1 若A( -2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21 C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.变式迁移2直线1l ：ax+3y+1=0，2l ：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为21,αα，21,k k （1）a=_____________时， 1α=150°；（2）a=_____________时，2l ⊥x 轴；（3）a=_____________时，21//l l ；（4）a=_____________时，21,l l 重合；（5）a=_____________时，21l l ⊥答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5例3．判断以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形的形状.k AB ＝－1－12－－1＝－23. k AC ＝4－11－－1＝32， 由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．【达标检测】1．下列说法正确的有(A )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2.则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．过点A (1,2)和点B (－3,2)的直线与x 轴的位置关系是( B )A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对3．经过(m,3)与(2，m )两点的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值为(D )A ．－75 B.75C ．－145 D.1454．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．45．过点A (0，73)，B (7,0)的直线l 1与过点C (2,1)，D (3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( B )A ．－3B ．3C ．－6D ．66．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2过点A (1,2)，B (2，a )．若l 1∥l 2，则a 值为____5 ____；若l 1⊥l 2，则a 值为___53_____． 7．已知M (1，－3)，N (1,2)，P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )＝___23_____. 8．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为(－9,0) 时，AB ⊥CD .9．(12分)当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan135°＝－1. 解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3， 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34，或m ＝－1. 10．(13分)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．【问题与收获】。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l 1∥l 2⇔k 1=k 2.⑥l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.应用示例例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA 的斜率k BA =)4(203---=0.5, 直线PQ 的斜率k PQ =)3(112----=0.5, 因为k BA =k PQ .所以直线BA∥PQ.变式训练若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21 C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.解：AB 边所在直线的斜率k AB =-21, CD 边所在直线的斜率k CD =-21, BC 边所在直线的斜率k BC =23, DA 边所在直线的斜率k DA =23. 因为k AB =k CD ,k BC =k DA ,所以AB∥CD,BC∥DA.因此四边形ABCD 是平行四边形.变式训练直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l 2⊥x 轴；（3）a=_____________时，l 1∥l 2；（4）a=_____________时，l 1、l 2重合；（5）a=_____________时，l 1⊥l 2.答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5知能训练习题3.1 A 组6、7.拓展提升问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）图2解：直线l ：ax+y+3=0是过定点A （0，-3）的直线系，斜率为参变数-a ，易知PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为：k PQ =31，k AQ =37，k AP =35 ，k 1=-a. 若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得-37＜a ＜-31； 若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜-37或a ＞35； 若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得-31＜a ＜35. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.作业习题3.1 A 组4、5.设计感想本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。

2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力。

3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。

难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。

关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题。

三、教学过程（一）两条直线平行的条件思考：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当l 1 // l 2时，k 1与k 2满足什么关系？探究：21212121tan tan //k k l l =⇔=⇔=⇔αααα。

结论：两条不重合的直线2121//k k l l =⇔（斜率存在）。

应用举例：例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。

分析：作出图像如下，猜想BA // PQ ：由斜率公式可得：21==PQ BA k k ，所以直线BA // PQ 。

例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)， C (4，2)，D (2，3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。

分析：在直角坐标系作出图形如下，猜想四边形ABCD 为平行四边形：21-==CD BA k k ，所以AB // CD ； 23==AD BC k k ，所以BC // AD ；所以四边形ABCD 为平行四边形。

追问：四边形ABCD 是否为矩形？如何判断直线AB 与BC 垂直？（向量的数量积） 由此，欲判断ABCD 为平行四边形，可以由DC AB =得到。

两条直线平行与垂直的判定【教学目标】（1）掌握直线与直线的位置关系。

（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。

【教学重点难点】教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。

【教学过程】一、引入：问题1：平面内两条直线的位置关系问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系二、新课问题探究1：（1）、如何判定两条不重合直线的平行？（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？（3）、直线l 1和直线l 2的斜率k 1=k 2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？ 总结归纳直线与直线平行的判定方法例题1（课本87页的例题3）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行。

（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(2,1),2l 经过点M （3，4），N （-1，-1）答案：不平行（2）1l 经过点A （0，1）,B(1,0),2l 经过点M （-1，3），N （2，0）答案：平行例题2（课本87页的例题4）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否垂直。

（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(1,2),2l 经过点M （-2，-1），N （2，1）答案：不垂直（2）1l 经过点A （3，4）,B(3,100),2l 经过点M （-10，40），N （10，40）答案：垂直问题探究2（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？总结直线与直线垂直的判定方法：例题3（课本87页的例题5）解答过程见课本变式：已知点A （-2，-5），B （6，6），点P 在x 轴上，且︒=∠90APB ，试求点P 的坐标。

分析：利用两直线的条件建立点p 的坐标满足的方程与关系式。

答案;P 的坐标为（0，-6）或（0，7）。

过程略例题4（课本87页的例题6）解答过程见课本变式：已知定点A （-1，3），B （4，2），以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标。

《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。

从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。

通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。

同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。

这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章——圆的方程的内容。

本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。

只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。

二、知识结构分析以上的简要教材分析，可从这一章的知识结构的思维导图中得以充分体现。

三、课标分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。

从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。

在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。

现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。

坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。

在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．教学建议本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．课标解读1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)知识1两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示知识2两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系 对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2， 则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2图示类型1两条直线平行关系的判定例1 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1， ∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2. 规律方法判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行． 变式训练已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________.【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2， ∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x ＝2. 【答案】 2类型2 两条直线垂直关系的判定例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 变式训练已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 【解析】 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 2＝－ 3. 【答案】 － 3类型3直线平行与垂直关系的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形． 规律方法1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形． 变式训练已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【解】 四边形ABCD 是平行四边形． 证明如下：如图所示，AB 边所在直线的斜率k AB ＝－1－02－0＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝3－22－4＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2－(－1)4－2＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝3－02－0＝32. 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，由题意知AB ∥CD ，BC ∥DA . 故四边形ABCD 是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用典例 (12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分②当k 2≠0时，l 2的斜率存在， 此时k 1＝2－aa －4.∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4. 所以，当a ＝3或a ＝－4时， l 1⊥l 2.思维启迪1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．课堂小结1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．当堂检测1．已知直线l 1∥l 2，直线l 1的斜率k 1＝2，则直线l 2的斜率k 2＝( )A ．不存在B ．12C ．2D ．－12【解析】 ∵l 1∥l 2且k 1＝2， ∴k 2＝2. 【答案】 C2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R (－2，32)，S (0，52)，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？【解】 (1)∵k MN ＝0－(－6)－3－(－15)＝12，k RS ＝52－320－(－2)＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－(－1)3－(－2)＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.。

人教高一数学教学设计之《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》一. 教材分析《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》是人教高一数学的教学内容，本节课主要让学生掌握两条直线平行的判定方法和两条直线垂直的判定方法。

通过本节课的学习，使学生能够熟练运用这些判定方法解决实际问题，为后续学习更高级的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在初中阶段已经学习了两条直线的基本概念，对直线有一定的了解。

但是，对于直线的平行和垂直的判定方法，他们可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和直观的图形，引导学生理解和掌握判定方法。

三. 教学目标1.让学生掌握两条直线平行的判定方法。

2.让学生掌握两条直线垂直的判定方法。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：两条直线平行的判定方法，两条直线垂直的判定方法。

2.教学难点：如何引导学生理解和掌握判定方法，如何运用判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索。

2.运用多媒体技术和直观的图形，帮助学生形象地理解和记忆判定方法。

3.创设丰富的数学情境，让学生在实践中学习和应用判定方法。

4.采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。

2.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出两条直线平行和垂直的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）运用多媒体课件，呈现两条直线平行的判定方法和两条直线垂直的判定方法，让学生直观地理解和记忆。

3.操练（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用判定方法进行练习，加深对判定方法的理解和掌握。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固对两条直线平行和垂直的判定方法的掌握。

5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索更高级的数学知识，例如两条直线的斜率和平行、垂直的关系。

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标:1、明确直线平行于垂直的条件。

2、利用直线的平行与垂直解决有关问题。

学习重点难点: 两条直线的平行与垂直的判定方法。

教学过程：一：回顾预习案：为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度,我们学习了直线的 ,进而学习了直线的斜率—-—- ，斜率的计算公式为： 。

即把 转化为 。

那平面直角坐标系中两条直线的平行或垂直时，它们的斜率什么关系呢？1：两条直线平行的条件(1) 如图：如果21//l l ,它们的斜率都存在,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系? 21//l l 1α⇒ 2α⇒1tan α ⇒2tan α1k 2k上述结论反过来成立吗？所以：●当两条直线斜率都存在时当两条直线的斜率都为0时，上式也满足，请在坐标系中画出图（2)特殊情况下的两直线平行条件●当两条直线中有一条直线没有斜率时，若要平行,另一条直线的斜率 ,它们的倾斜角都为 .请在坐标系中画出图2：两条直线垂直的条件(1)两条直线都有斜率,如果它们互相垂直，则它们的斜率 ；反之，如果它们的斜率互为负倒数,则它们 互相垂直 。

(证明过程略）即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-当两条直线的斜率有一个为0时成立吗?（2)当有一条直线的斜率为0时,这条直线的倾斜角为 ，若要垂直另一条直线的倾斜角为 ，斜率 请在坐标系中画出图（3）当有一条直线斜率不存在时,倾斜角为 ,若要垂直另一条直线的倾斜角和斜率如何呢？二、例题【例1】已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明 你的结论．【例2】已知四边形ABCD的四个顶点0,0(DCBA-试判断四边形ABCD),,2()3,2(),2,4(),1的形状，并给出证明．【例3】已知平行四边形ABCD中，顶点(1,1)B，A--，(2,0) C,求顶点D的坐标．(3,2)【例4】已知)6,6(),3,0(),6,3(),0,6(-A，试判断直线AB与-QBPPQ的位置关系。