人教A版高中数学必修2第一章空间几何体训练卷(二)

人教版高中数学必修2第一章-空间几何体练习题及答案(全)第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。

图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（）A 两条相交直线B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A ②①③B ①②③C ③②④D ④③②。

（人教A 版）高一数学必修二第一章空间几何体单元测试卷(含答案)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（ ）A ．圆台B ．四棱锥C ．四棱柱D ．四棱台2．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为（ ）A ．6B ．C ．．123．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A．B ．C ．D ．1354．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） ABCD5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2＝（ ） A ．1：3B ．1：1C ．2：1D ．3：16．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．π1353R 3R 3R 3R 163π193π1912π43π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛10的内切球，则此棱柱的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为，高为的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．1213161.623354cm 327cm 31cm 3cm 6cm 17275910271312．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长为．求圆锥的母线长．8cm 6cm 3500cm 3π3cm 3866π3cm 31372π3cm 32048π1:410cm18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，制造这个塔顶需要多少铁板？m22．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥A ′－BC ′D 的体积．（人教A 版）高一数学必修二第一章空间几何体单元测试卷参 考 答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D ． 2．【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴．故选D ．3．【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15则这个菱柱的侧面积为．故选A ． 164122OAB S =⨯⨯=△45=4．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为，所以圆锥的体积．故选A ． 5．【答案】D【解析】．故选D ．6．【答案】B【解析】设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O 1，O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是222119212R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所求球的表面积是， 故选B ． 7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4πr 2＝4π．故选C ． 8．【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P －ABCD ，且P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，四边形ABCD 为正方形，则，故选C ．9．【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则，∴，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B ． 10．【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为， ∴底面正三角形的边长为，正三棱柱的底面面积为，∴此三棱柱的体积2R 23132R R R ⎛⎫⨯π⨯= ⎪⎝⎭()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭2191944123R ππ=π⨯=2111133V =⨯⨯=12384r ⨯⨯=163r =21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭320 1.62229÷≈cm 6cm 2．故选B ．11．【答案】C【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6π×22×4π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．故所求比值为1220105427V V π==π．故选C ． 12．【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4， 球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5．∴球的体积为3345500cm 33π⨯π=．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件． 四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件． 三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件． 四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件． 圆锥的三视图中含有三角形，满足条件． 圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件． 故答案为①②③⑤． 14．15．【答案】11【解析】设棱台的高为x ，则有，解之，得x ＝11． 16．【答案】36＋128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为．()354cm V ==--2165016512x -⎛⎫= ⎪⎝⎭1346168361282V =⨯⨯⨯+π⨯=+π三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】． 【解析】如图，设圆锥母线长为l ，则1014l l -=，所以．18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，；（3）．【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． （2）该几何体的侧视图如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即，AD 是正六棱锥的高，即，所以该平面图形的面积为．（3）设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则， 所以．19．【答案】不会，见解析．【解析】因为，，134<201，所以V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． 20．【答案】． 403cm cm 403l=232a 332a BC=AD=21322a=226S =231332V a ==()33314144134cm 2323V R =⨯π=⨯⨯π⨯≈半球()22311412201cm 33V r h =π=π⨯⨯≈圆锥74V π=【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和的同心圆，故该几何体的体积为．21．【答案】．【解析】如图所示，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ．作SP ⊥AB ，连接OP ．在Rt △SOP 中，，，所以， 则△SAB 的面积是．所以四棱锥的侧面积是，即制造这个塔顶需要铁板．22．【答案】（1；（2）．【解析】（1）∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为．而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为． （2）三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的．故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝．3223741124V π⎛⎫=π⨯-π⨯= ⎪⎝⎭2m )m SO =()11m 2OP BC ==)m SP =)212m 2⨯⨯=)24m ⨯=2m 33a A B A C A D BC BD C D ''''''=====2142⨯=332114323a a a a -⨯⨯⨯=。

第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。

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（一）空间几何体（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中正确的是（)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等【解析】A不正确,棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确,棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等;B正确．【答案】B2．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）①②③④图1A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】正方体的三视图都相同,都是正方形,球的三视图都相同，都为圆面．【答案】D3．如图2，A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A′B′＝3，则原正方形ABCD的面积是( )图2A．9 B．3C.94D．36【解析】由题意知，ABCD是边长为3的正方形,其面积S＝9.【答案】A4．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3【解析】设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.所以S侧＝π（r＋R)l＝4πr×3＝84π，解得r＝7.【答案】A5．如图3,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图3A．18＋36错误!B．54＋18错误!C．90 D．81【答案】B[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3错误!)×2＝54＋18错误!。

2019-2020学年必修2第一章训练卷空间几何体（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列几何体中，顶点总数最多的是（ ） A ．三棱柱B ．四面体C ．六棱锥D ．四棱柱2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．（1）是棱台B ．（2）是圆台C ．（3）是棱锥D ．（4）不是棱柱3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ） A ．圆柱 B ．圆C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体4．若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示．则该几何体的正视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（ ） A ．10B ．20C ．30D ．406．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为90︒，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍． A ．2B ．3C ．4D ．57．已知水平放置的ABC △是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''=''=，32A O ''=，那么原ABC △的面积是（ ）A ．3B ．22C ．3D ．3 8．如图，在正四棱锥P ABCD -中，23AB =，侧面积为83，则它的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．4B ．8C ．12πD ．16π9．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．2πB ．22πC ．2πD ．4π10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4π1+B ．4π13+ C ．4π83+ D ．4π8+11．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若1AB =，1AC =，AB AC ⊥，12AA =，则球O 的体积为（ ）A ．16π3B ．3πC ．4π3D ．π312．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A ．16 B ．163C ．163D ．1283二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120︒、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为______．14．已知圆柱的底面半径为1，体积为4π，则这个圆柱的表面积是________． 15．表面积为16π的球面上有A 、B 、C 三点，且2AB AC ==，2BC =，则球心到平面ABC 的距离为______．16．长方体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3BC =，5BB '=，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点C '，蚂蚁爬行的最短路线的长为______．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm 和5 cm ，圆台的母线长是12 cm ，求圆锥SO 的母线长．18．（12分）用铁皮制作一个容积为310003cmπ的无盖圆锥形容器，如图．若圆锥的母线与底面所成的角为45︒，求制作该容器需要多少面积的铁皮．（铁皮衔接部分忽略不计，结果精确到20.1cm）19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，90DAB∠=︒，135ADC∠=︒，5AB=，22CD=，2AD=，求四边形ABCD绕AD旋转一周所形成的几何体的体积．20．（12分）已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P点到Q点的最短路径的长．21．（12分）下图是一个正四棱锥玩具模型，已知它的底面边长为2cm，高为3cm，现在给其外表贴一层保护膜，试求出所需保护膜面积．22．（12分）如图，AB是圆柱的直径且2AB=，PA是圆柱的母线且2PA=，点C是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（3）若1AC=，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE ED+的最小值．2019-2020学年必修2第一章训练卷空间几何体（二）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】D【解析】三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为6、4、7、8，因此，上述几种几何体中，顶点总数最多的是四棱柱，故选D．2．【答案】C【解析】对于（1），由于几何体上下底面不相似，所以不是棱台，A选项错误；对于（2），由于几何体上下底面不平行，所以不是圆台，B选项错误；对于（3），几何体是棱锥，所以C选项正确；对于（4），几何体有两个平面平行且全等，侧面都是平行四边形，故是棱柱，所以D选项错误，故选C．3．【答案】C【解析】由于各个截面都是圆的几何体是球体，所以这个几何体一定是球体，故选C．4．【答案】A【解析】正视图是从前向后看得到的视图，结合选项可判断所给图形的正视图是A选项所给的图形，故选A．5．【答案】B【解析】因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是母线长5，宽为底面圆的直径4，所以轴截面的面积为4520⨯=，故选B．6．【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，依题意可得12π2π4l r?，所以4l r=，所以圆锥的侧面积为221π4π4l r=，圆锥的底面积为2πr ，所以2224ππ=5πr r r +．故选D ． 7．【答案】A【解析】由题图可知原ABC △的高为3AO =，∴1123322ABC S BC OA =⨯⨯=⨯⨯=△，故答案为A ． 8．【答案】A【解析】连AC ，BD 交于O ，连PO ，取AB 中点E ，连PE ， 则PO 为正四棱锥P ABCD -的高，且PE AB ⊥，侧面积424383PAB S S AB PE PE ==⋅==△，2PE =， 在POE Rt △中，2PE =，3OE =，1PO ∴=，2111(23)433P ABCD ABCD V PO S -∴=⋅=⨯⨯=．故选A ．9．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，22r h ==，则()21212r ⨯=，∴1r =，2l =，侧面积为π2πrl =，故选A ．10．【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个组合体，如图：上面是一个直径为2的球，则球的体积是4π3， 下面是一个棱长为2的正方体，则体积是328=， 几何体的体积是4π83+，故选C ． 11．【答案】C【解析】可将直三棱柱111ABC A B C -补成如下图所示的长方体， 则长方体的外接球即为直三棱柱111ABC A B C -的外接球，∴球O 的半径2221112R AB AC AA =++=，∴球O 的体积344ππ33V R ==，故选C ．12．【答案】C【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径1r =，∴正方体的内切球的体积344π1π33V =⨯=球， 又由已知π4V V =球牟合方盖，4416ππ33V ∴=⨯=牟合方盖．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13． 【解析】设圆锥底面圆半径为2r =，Q 圆锥的侧面展开图是圆心角为120︒、半径为6的扇形，∴120226360r π=⨯π⨯，解得2r =，∴这个圆锥的高是h =，故圆锥的体积2133V r h =π=π，故答案为3π． 14．【答案】10π【解析】设圆柱母线长为l ，圆柱的体积为24V r l =π=π，解得4l =， 所以圆柱的表面积为22222121410S r rl =π+π=π⨯+π⨯⨯=π．15．【解析】球的表面积为16π，可得球半径2R =，AB AC ==2BC =，222AB BC BC ∴+=，∴ABC △为直角三角形，ABC △的外接圆的半径112r BC ==，球心到平面ABC 的距离为球心与ABC △=．16．【解析】将长方体侧面展开有三种方式如下图：AC '的长有以下三种可能：224(35)80++=22++=5(34)7422++=3(45)907474．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】20 cm．【解析】如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm．设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得1225l l -=， 所以l ＝20 cm ．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm ． 18．【答案】2444.3cm ．【解析】设圆锥的底面半径为cm r ，高为cm h ，母线长为cm l ， 因为母线与底面所成的角为45︒，所以r h =，又2100033r h ππ=，所以10r h ==，102l =， 进而得圆锥的侧面积21002444.3cm S rl =π=π≈，所以该容器所需铁皮的面积约为2444.3cm ．19．【答案】1483π． 【解析】如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积． 所以所求几何体的体积13V V V =圆台圆锥＝－π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π． 20．【答案】（1）)225S a =π表；（2）21a +π【解析】（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． ()()212222S a a a =π⋅=π圆锥侧，()()2224S a a a =π⋅=π圆柱侧，2S a =π圆柱底， 所以()22222425S a a a a =π+π+π=+π表． （2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则()222221PQ AP AQ a a a =+=+π=+π，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为21a +π．21．【答案】212cm ．【解析】如图，连接BD ，取BD 中点为O ，CD 中点为E ，连接OP ，OE ，PE ， 则OE BC P ，且12OE BC =， 因为正四棱锥P ABCD -底面边长为2cm ，高为3cm ，所以3cm OP =，1cm OE =，所以222cm OP OE PE +==，又PC PD =，所以PE CD ⊥，因此211222cm 22PCD S CD PE =⋅=⨯⨯=△， 底面正方形的面积为1224S =⨯=；所以，给该正四棱锥玩具模型外表贴一层保护膜，所需保护膜的面积为21442+412cm PCD S S S =+=⨯=△．22．【答案】（1）4S =π侧，2V =π；（2）23；（3）5． 【解析】（1）圆柱的底面半径112r AB ==，高2h PA ==， 圆柱的侧面积2124S =π⨯⨯=π侧，圆柱的体积2122V =π⨯⨯=π．（2）三棱锥P ABC -的高2h =，底面三角形ABC 中，2AB =，则当点C 到AB 的最大值等于底面圆的半径1，所以三棱锥P ABC -体积的最大值11122123323P ABC ABC V S h -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． （3）将PAC △绕着PA 旋转到PAC '使其共面，且C '在AB 的反向延长线上，Q 2PA AB ==，∴4PBA π∠=，122BD BP ==3BC BA AC ''=+=， ∴222222cos 3(2)2322C D C B BD C B BD PBA '''=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯5=即CE ED +的最小值为C D '5。

第一章空间几何体单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分) 1．过棱柱不相邻两条侧棱的截面是( )． A ．矩形 B ．正方形 C ．梯形 D ．平行四边形2．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．03．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A.13B.23C ．1D ．24．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中1B O C O ''=''=，A O ''=，那么原△ABC 是一个( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形5．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )． A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶46．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )．A.1003πcm 3 B.2083πcm 3C.5003π cm 3cm 38．一圆台上底面半径为5 cm ，下底面半径为10 cm ，母线AB 长为20 cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为( )．A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm9．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的__________倍．( )．A ．1B ．nC ．n 2D.1n10．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A ．9π＋42B ．36π＋18 C.9122π+D.9182π+11．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )．A ．0B ．9C ．快D ．乐12．如图，在一个盛满水的圆柱形容器内的水面下有一个用细绳吊着的薄壁小球，小球下方有一个小孔，当慢慢地、匀速地将小球从水下面往上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数关系图象大致为( )．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．若球O 1、O 2表面积之比124S S =，则它们的半径之比12RR =__________. 14．一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为__________cm 2.15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm 3.16．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC ＝__________.三、解答题(本题共6小题，满分74分) 17．(12分)画出如图所示几何体的三视图．18．(12分)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的侧面积．19．(12分)一个正三棱柱的三视图如图，求这个正三棱柱的表面积．20．(12分)如图所示是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点．现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？21．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：(1)该几何体的体积V ； (2)该几何体的侧面面积S .22．(14分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？答案与解析1.答案：D解析：侧棱平行且相等．2.答案：A解析：①正确，一直三棱柱，其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形，且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1，即满足要求．②正确，如图一正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，即满足要求．③正确．横卧的圆柱即可．如图．3.答案：C解析：根据三视图可以推测出该物体应该为一个三棱柱，底面是直角三角形，因此1(1)12V Sh ===，选C. 4.答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得，2BC B C ''==，2OA == ∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形．5.答案：B解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，依题意得l ＝2r ，而S 侧＝2πrl ，S 全＝2πr 2＋2πrl ，∴S 侧∶S 全＝2πrl ∶(2πr 2＋2πrl )＝2∶3，故选B. 6.答案：D解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A 、B 、C. 7.答案：C解析：根据球的截面性质，截面小圆的圆心与球心的连线与截面垂直，因此球心到截面的距离、小圆半径与球的半径构成直角三角形．由勾股定理得球的半径为5 cm ，故球的体积为34500533ππ⨯=cm 3. 8.答案：C解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则扇形圆心角为90°，且圆锥的母线长为40 cm 50= (cm)． 9.答案：A解析：设改变之前圆台的母线长为l ，上底半径为r ，下底半径为R ，则侧面积为π(r ＋R )l ，改变后圆台的母线长为nl ，上底半径为r n ，下底半径为R n，则侧面积为()()r Rnl r R l nππ+=+，故它的侧面积为原来的1倍． 10.答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，3439()322V ππ=⋅=球，V 长方体＝2×3×3＝18.所以9+182V π=总 11.答案：B解析：本题考查了正方体的表面展开图，选B. 12.答案：C解析：由球顶到球中心被拉出时，小球的体积越露越大，水面高度下降得快，所以曲线向上弯；当球从中心开始到整个球被拉出水面时，球的体积变化越来越小，水面高度下降得慢，所以曲线向下弯．在整个过程中，函数关系图象大致为C.13.答案：2解析：由S ＝4πR 2易知．14.答案：2＋解析：设正四棱柱的高为a ，由长方体与球相接的性质知4＝1＋1＋a 2，则a =∴正四棱柱的表面积为S ＝1×1×2＋4×(2=＋cm 2. 15.答案：144 解析：由几何体的三视图知该几何体是正四棱台与长方体的组合体，所以几何体的体积为V ＝13×(4×464)×3＋4×4×2＝144. 16.答案：90°解析：如下图所示，折成正方体，很明显，点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC ＝90°.17.解：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18.解：如图所示，梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝5. 作DM ⊥BC ，垂足为点M ， 则DM ＝4，MC ＝5－2＝3，在Rt △CMD 中，由勾股定理得5CD =在旋转生成的旋转体中，AB 形成一个圆面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥的侧面，设圆柱与圆锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1＝2π×4×2＝16π，S 2＝π×4×5＝20π， 故此旋转体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝36π.19.解：由题意可知正三棱柱的高为2，底面三角形的高为为a ，则2a =∴a ＝4，∴224S ===底.正三棱柱侧面积S 侧＝3×2×4＝24.∴正三棱柱表面积S 表＝S 侧＋2S 底＝20.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3. 三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠F AG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF ＝AG ＝12a . 所以△AGF 的面积为211112228a a a ⨯⨯=. 又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点， 所以12AH a =. 所以锯掉的部分的体积为23111132848a a a ⨯⨯=. 又因33114848a a ÷=，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的148. 21.解：由已知知该几何体是一个四棱锥，记P -ABCD . 如图所示，由已知，知AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4.由俯视图知：底面ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM ，PN ， 因为P A ＝PB ＝PC ，M 、N 为AB 、BC 的中点， 则PM ⊥AB ，PN ⊥BC .故5PM ==，PN ===(1)V ＝13Sh ＝13×(8×6)×4＝64.(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC ＝AB ·PM ＋BC ·PN＝8×5＋6×22.解：(1)对．因为四边形DD 1C 1C 是正方形，且是正对的后面，即恰好是正投影． 所以∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°.(2)对．事实上，连接DA 1以后，△DA 1C 1的三条边都是正方体的面对角线，其长都是，所以△DA 1C 1是等边三角形，所以∠A 1C 1D ＝60°. (3)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛水的体积等于三棱锥C 1-CB 1D 1的体积，111111-111·36C CB D B C D V S CC ==，所以最多能盛水的体积为16.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确．答案： C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．答案： D3．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()A．16πB．32πC．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋(6)2＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案： A4.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析： 由斜二测画法的规则可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3， 又∵AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形． 答案： A5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4解析： 由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π，V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4. 答案： C6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶9解析： 如图，由题意知O 1A 1∶O 2A 2∶OA ＝1∶2∶3，以O 1A 1，O 2A 2，OA 为半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5. 答案： B7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3解析： 设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.答案： D8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4D ．5解析： V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案： B9．如图所示，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶4解析： 三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的高相等，故其体积之比等于△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比，而△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比等于A 1B 1与AB 比的平方，即1∶4.故三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的体积比为1∶4.答案： D10．一个正三棱柱的三视图如图所示，则此三棱柱的表面积和体积分别为( )A ．24＋83，8 3B ．43，4 3C ．12＋23，4 3D ．24＋43，4 3解析： 由三视图可知此正三棱柱的底面三角形的高为23，三棱柱的高为2，所以其底面边长为4，于是S 表＝24＋83，V ＝12×32×42×2＝8 3.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________． 解析： 设棱台的高为x ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 162＝50512， 解之，得x ＝11. 答案： 1112．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍． 解析： 设原来球的半径为r ，扩大后的半径为R ，则有4πR2＝2×4πr2，则R＝2r.则扩大后的体积V＝43πR3＝43π(2r)3＝22·43πr3，即体积扩大到原来的22倍．答案：2 213．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析：如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝23，可得OO′＝2，故V O－ABCD＝13S矩形ABCD ·OO′＝13×6×23×2＝8 3.答案：8 314.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝⎛⎭⎫522＋62＝13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)画出下图中几何体的三视图．解析：图中几何体组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按照正方体和圆柱的三视图的画法画出该组合体的三视图．该几何体的三视图如图所示．16.(本小题满分12分)如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．解析： 设圆台O ′O 的母线长为l ，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.故SA ′SA ＝O ′A ′OA， 即33＋l ＝r4r. 解得l ＝9，故圆台O ′O 的母线长为9 cm.17．(本小题满分12分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解析： 如图作出轴截面，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm. ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CDAC.设OE ＝R ，则AO ＝3－R ，∴R 3－R ＝12， ∴R ＝33(cm)． ∴V 球＝43π⎝⎛⎭⎫333＝4327π(cm 3)．∴球的体积等于4327π cm 3.18．(本小题满分14分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析： (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a 33.。

人教新课标A版高中数学必修2 第一章空间几何体 1.1空间几何体的结构同步训练（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2017高二上·汕头月考) 若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（）A . 2B . 2.5C . 5D . 102. （2分） (2018高二上·东至期末) 在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为（）A .B .C .D . 43. （2分）过正棱台两底面中心的截面一定是（）A . 直角梯形B . 等腰梯形C . 一般梯形或等腰梯形D . 矩形4. （2分） (2019高一上·中山月考) 下列说法正确的是（）A . 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；B . 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；C . 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．D . 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥．5. （2分）两个正方体M1、M2 ，棱长分别a、b，则对于正方体M1、M2有：棱长的比为a：b，表面积的比为a2：b2 ，体积比为a3：b3 ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（）A . 两个球B . 两个长方体C . 两个圆柱D . 两个圆锥6. （2分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A . PM⊥△AEF所在平面B . AM⊥△PEF所在平面C . PF⊥△AEF所在平面D . AP⊥△PEF所在平面7. （2分）(2017·肇庆模拟) 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则①OE⊥BD1；②OE∥面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE的体积为定值；④OE与A1C1所成的最大角为90°．上述命题中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A . 一个圆台、两个圆锥B . 一个圆柱、两个圆锥C . 两个圆台、一个圆柱D . 两个圆柱、一个圆台9. （2分）现有边长分别为三角形2个；边长分别为的三角形4个，边长分别为的三角形8个，边长分别为的三角形6个，用这些三角形(每个三角形至多出现在一个四面体中)为面拼成四面体，最多可以拼（）A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个10. （2分）下列命题正确的个数是（）（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱（2）棱柱的底面一定是平行四边形（3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥（4）用平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，所得几何体叫做圆台．A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A . 4+πB . 4+πC . 4+D . 4+3π12. （2分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A . 16B .C .D . 3213. （2分）点P是底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则取值范围是（）A . [0，2]B . [0，3]C . [0，4]D . [—2，2]14. （2分） (2016高二上·安徽期中) 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A . 7B . 6C . 5D . 315. （2分）三角形ABC中，,AB=3,BC=1 ，以边AB所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A .B .C . .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2019高一上·周口期中) 一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．17. （1分） (2018高一下·衡阳期末) 已知长方体内接于球，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为________．18. （1分）正多面体只有________种，分别为________19. （1分） (2016高二上·湖南期中) 一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．20. （1分）两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有________ 个．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）请给以下各图分类22. （5分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为（1）求圆C的方程．（2）若圆心在第一象限，求过点（6，5）且与该圆相切的直线方程．23. （5分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1 ， h2 ，h3 ，求h1：h2：h3的值．24. （5分）如图所示是一个三棱台ABC-A1B1C1 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．25. （5分）如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、答案：略15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、答案：略17-1、18-1、答案：略19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、答案：略22-1、23-1、答案：略24-1、答案：略25-1、答案：略第11 页共11 页。

2020-2021学年必修2第一章测试卷空间几何体（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【答案】D【解析】A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得B错误．如图2，若ABC的几何体都不是圆锥；C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长；D正确．2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）A．20条B．15条C．12条D．10条【答案】D【解析】由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线， 因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条， 五棱柱共有对角线2510⨯=条．3．关于直观图画法的说法中，不正确的是（ ）A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x '轴，其长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y '轴，其长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时，x O y '''∠可画成135︒D ．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同 【答案】B【解析】根据斜二测画法的规则可知，B 不正确．4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是（ ） A ．4S B ．4πSC ．πSD ．2πS【答案】C【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则224R R S ⋅=，得2R S =， 所以底面面积为2ππR S =．5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为39cm ，则其表面积为（ ）A ．2B ．218cmC ．2cmD ．212cm【答案】A【解析】设正四面体的棱长为cm a ，则底面积为224cm a ，易求得高为3cm a ，则体积为23193==，解得a =，所以其表面积为224)cm =．6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．16π B ．32π C ．36π D ．64π【答案】A【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，，即球的半径为2， 故这个球的表面积为24π16πr =．7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A2， 所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线的长为228．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3两部分，3，则球O 的体积为（ ） A ．16π B ．16π3C ．32π3D ．43π【答案】C【解析】设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知2(3)3r r =⋅，得1r =， 则球O 的半径2R =，故3432π·π33V R ==． 9．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．π3+ B ．+2π3C ．πD ．2π【答案】C【解析】由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积211π1222π22V =⨯⨯+⨯=+ 10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 上一点，且11114PB A B =，则多面体11P BCC B -的体积为（ ）A ．83B ．163C ．4D ．5【答案】B【解析】多面体的体积111121111641333P BCC B BCC B V S PB -=⋅=⨯⨯=． 11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ） A ．1:2:3 B ．1:3:5C ．1:2:4D ．1:3:9【答案】B【解析】如图，由题意知1122::1:2:3O A O A OA ＝， 以11O A ，22O A ，OA 为半径的圆锥的侧面积之比为1:4:9，故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1:419():()41:3:5-=-．12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π【答案】B【解析】过直线12O O 的截面为圆柱的轴截面， 设底面半径为r ，母线长为l ，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r l ==r =所以圆柱的表面积为22π2π8π4π12πrl r +=+=．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是______． 【答案】两个同底的圆锥组合体【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．【答案】2+【解析】根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以侧面积1(12S ==底面积 2 112=2S ⨯=，故表面积2222S =⨯=+ 15．如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为5，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为________．【答案】13【解析】如图所示，将三棱柱沿1AA 剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于13=．16．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________． 【答案】3π【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC △及其内切圆1O 和外切圆2O ，且两圆同圆心，即ABC △的内心与外心重合，易得ABC △为正三角形，由题意知1O 的半径为1r =，ABC △的边长为，高为3． 故所求体积为1π333π3V =⨯⨯⨯=．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm )．按照给出的数据，求该几何体的体积．【答案】3284(cm )3． 【解析】该几何体的体积为3 11284446(22)2(cm )323V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=长方体三棱锥．18．（12分）如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．【答案】见解析．【解析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图（1），再建立坐标系x O y '''，使两轴的夹角为45︒，如图（2）．（2）以O '为中点，在x '轴上截取A B AB ''＝，分别过A '，B '作y '轴的平行线，截取12A E AE ''=，12B C BC ''=，在y '轴上截取12O D OD ''＝． （3）连接E D ''，E C ''，C D ''，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图（3）．19．（12分）如图所示，在多面体FE ABCD -中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE △，BCF △均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，求该多面体的体积V ．【答案】3． 【解析】如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H ， 连接DG ，CH ，容易求得12EG HF ==，所以AG GD BH HC ====11224AGD BHC S S ==⨯=△△11()2132443E ADGF BHC AGD BHC V V V V ---=++=⨯⨯⨯+=．20．（12分）用一张相邻边长分别为4cm ，8cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积． 【答案】见解析．【解析】有两种不同的卷法，分别如下：（1）如图①所示，以矩形8cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面， 此时底面圆的周长为2π4OA ⋅=，则12c πm OA r ==， ∴两底面面积之和为28πcm ， ∴该圆柱的表面积为28(32)πcm +．（2）如图②所示，以矩形4cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面， 此时底面圆的周长为2π8OB ⋅=，则24c πm OB r ==， ∴两底面面积之和为232πcm ， ∴该圆柱的表面积为232(32π)cm +．21．（12分）如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为a ，连接A C ''，A D '，A B '，BD ，BC '，C D '，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A BC D '-'的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A BC D '-'的体积．【答案】（1；（2）33a ． 【解析】（1）∵ABCD A B C D -''''是正方体，∴A B A C A D BC BD C D ''''''======，∴三棱锥A BC D '-'的表面积为2142⨯=． 而正方体的表面积为26a ，故三棱锥A BC D '-'=．（2）三棱锥A ABD '-，C BCD '-，D A D C -'''，B A B C -'''是完全一样的．且正方体的体积为31V a =， 故32131144323A BC D A ABD a V V V a a a '''--=-⨯⨯⨯=－＝． 22．（12分）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ， 则由题意得2314ππ332r h R r R ⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，∴2314π(2)π33R h R ⋅=， ∴R h =，2r h =，∴l =，∴圆锥的侧面积21ππ2S rl h h ==⨯=，球的表面积2224π4πS R h ==，∴21224π2S h S h ==．。

学业分层测评一、选择题1．用一个平面去截一个几何体得到的截面是圆面这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面但截棱柱一定不会产生圆面．【答案】 D2．在日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱选B【答案】 B3．一个正方体内接于一个球过球心作一截面如图1-1-21所示则截面可能的图形是()图1-1-21A．①③B．②④C．①②③D．②③④【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③当截面过正方体的体对角线时得②当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①但无论如何都不能截出④【答案】 C二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形则这个几何体是________【09960010】图1-1-22【解析】一个长方形和两个圆折叠后能围成的几何体是圆柱．【答案】圆柱7．一圆锥的母线长为6底面半径为3用该圆锥截一圆台截得圆台的母线长为4则圆台的另一底面半径为________．【解析】作轴截面如图则r 3＝6－46＝13∴r＝1【答案】 1三、解答题8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．图1-1-23【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 9．一个圆台的母线长为12 cm 两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm) 下底半径OB ＝5(cm)又因为腰长为12 cm 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示延长BAOO 1CD 交于点S 设截得此圆台的圆锥的母线长为l 则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25解得l ＝20(cm)即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm[自我挑战]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π它们位于球心的同一侧且距离为1那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．05【解析】 如图所示∵两个平行截面的面积分别为5π、8π∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5r 2＝2 2∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21d 2＝R 2－r 22∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1∴R 2＝9∴R ＝3 【答案】 B11．一个圆锥的底面半径为2 cm 高为6 cm 在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S; 【09960011】 (2)当x 为何值时S 最大？【解】 (1)如图设圆柱的底面半径为r cm 则由r 2＝6－x6得r ＝6－x 3∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6 ∴当x ＝3时S max ＝6 cm 2。