高中数学竞赛教程：第01讲 二次函数的图象和性质

高中数学教案：二次函数的性质与图像一、二次函数的性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数。

二次函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等等。

下面将依次介绍二次函数的各种性质。

1. 定义域和值域二次函数的定义域是实数集R，即所有实数都适用于二次函数。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其值域的范围则取决于a的正负情况：当a > 0时，二次函数的最小值即为函数的值域的下界；当a < 0时，二次函数的最大值即为函数的值域的上界。

2. 对称轴和顶点对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴是直线x = -b/2a。

对称轴将二次函数分为两部分，左右对称。

顶点是二次函数的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 单调性和极值点二次函数的单调性取决于a的正负情况。

当a > 0时，二次函数在对称轴两侧是上凸的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，二次函数在对称轴两侧是下凸的，函数值随着x的增大而减小。

极值点即为二次函数的顶点，其值为函数的最大值或最小值。

4. 奇偶性和轴对称当二次函数满足f(-x) = f(x)时，即为偶函数；当二次函数满足f(-x) = -f(x)时，即为奇函数。

对于二次函数而言，当且仅当b = 0时，二次函数才是偶函数；否则为奇函数。

此外，对于偶函数来说，其图像关于y轴对称；对于奇函数来说，其图像关于原点对称。

二、二次函数的图像了解二次函数的性质后，接下来将对二次函数的图像进行详细解析。

1. 顶点式和一般式通过配方法得到的顶点式和一般式是表示二次函数图像的两种常见形式。

顶点式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标；一般式为f(x) = ax^2 + bx + c。

通过变换常数a、h和k的值，可以分别绘制出不同形状的二次函数图像。

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。

4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴：对称轴为x=h。

3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。

§5二次函数(1)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。

在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。

它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。

因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x↔R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。

一、“四个二次型”概述（一元）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)→a=0→（一元）一次函数y=bx+c(b≠0)↑↑↑↑（一元）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)→a=0→一次二项式bx+c(b≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓↓一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)→a=0→一元一次方程bx+c=0(b≠0)↓↓↓一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→一元一次不等式bx+c>0或bx+c<0(b≠0)观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。

故将它们合称为“四个二次型”。

其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。

二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。

今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。

二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。

当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。

这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。

先来说说二次函数图像的对称轴。

对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。

这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。

比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。

接下来看看顶点。

顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。

当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。

顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。

还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。

再说说二次函数的截距。

当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。

比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。

二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。

如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。

比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。

二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。

本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。

一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。

二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。

对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。

2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。

顶点坐标为(h, k)。

3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。

4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。

若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。

5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

零点个数最多为2个。

三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。

对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。

2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。

3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。

4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。

若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。

二次函数图象和性质ppt xx年xx月xx日contents •二次函数图象的基本特征•二次函数的图象与系数的关系•二次函数的图象变换•不同类型的二次函数的图象和性质•二次函数的应用•总结与回顾目录01二次函数图象的基本特征二次项系数大于0，图象开口向上，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x的增大而减小；在对称轴右侧，函数值y随自变量x 的增大而增大开口向上二次项系数小于0，图象开口向下，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x的增大而增大；在对称轴右侧，函数值y随自变量x 的增大而减小开口向下开口方向顶点式图象的顶点是y轴交点，是对称轴与开口方向相反一般式图象的顶点是原点，对称轴为y轴顶点对称轴公式：对称轴为直线x=-b/2a对称轴与开口方向相反对称轴与开口方向相同对称轴02二次函数的图象与系数的关系总结词：系数a控制函数图象开口方向和大小详细描述开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大开口方向：当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下总结词：系数b控制函数图象对称轴的位置详细描述对称轴向右移动01总结词：系数c控制函数图象与y轴交点的位置与c的关系02详细描述03交点位置：c为图象与y轴交点的纵坐标，当c>0时，交点位于x轴上方；当c<0时，交点位于x轴下方04与最大值的关系：当a>0时，c越大，函数在x轴上方与y轴交点越靠上；当a<0时，c越大，函数在x轴上方与y轴交点越靠下03二次函数的图象变换将二次函数的图象沿x轴或y轴方向进行平移。

平移变换平移变换定义左加右减，上加下减。

平移规律将二次函数y=x^2+2x+1沿x轴向右平移3个单位，得到y=(x-3)^2+2(x-3)+1。

平移示例1翻折变换23将二次函数的图象沿x轴或y轴进行翻折。

翻折变换定义当翻折方向为x轴时，需要将y轴两侧的x坐标取相反数；当翻折方向为y轴时，需要将x轴两侧的y坐标取相反数。

高中数学教案：二次函数的图像与性质一、二次函数的定义与基本形式二次函数是指自变量的平方项的系数不为零的函数。

其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常为抛物线，其开口方向由系数a的正负确定。

二、二次函数的图像特征与性质1. 平移与伸缩二次函数的图像可以通过平移和伸缩来变换。

当二次函数的形式为f(x) = a(x - h)^2 + k时，抛物线的顶点位置为(h, k)。

当h>0时，图像水平右移h个单位；当h<0时，图像水平左移|h|个单位。

当k>0时，图像上移k个单位；当k<0时，图像下移|k|个单位。

而当a>1时，抛物线的开口向上变得更加尖锐；当0<a<1时，抛物线的开口向下变得更加扁平。

2. 对称轴与顶点二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的垂直线。

对称轴的方程为x = h，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。

对称轴将图像分为两个对称的部分。

3. 最值与零点二次函数的最值（最大值或最小值）在其顶点处取得。

当a>0时，二次函数为抛物线开口向上，最小值为顶点；当a<0时，二次函数为抛物线开口向下，最大值为顶点。

此外，二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标值。

要求零点，可将二次函数设为f(x) = 0，然后解二次方程ax^2 + bx + c = 0。

4. 判别式与解的情况二次函数的判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的情况。

当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；当D = 0时，方程有两个相等的实数根；当D < 0时，方程没有实数根，但可能存在复数根。

5. 函数的增减性二次函数的增减性与系数a的正负有关。

当a > 0时，函数在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，函数在对称轴两侧是递减的。

6. 拉直与倒置若将二次函数表示为g(x) = -ax^2 + bx + c的形式，称为原函数的拉直与倒置形式。