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对教材例题“二次开发”的教学实践发布时间：2022-03-09T08:46:06.333Z 来源：《中小学教育》2022年第449期作者：雷敏乾[导读] 让学生在加深理解基础知识的同时，体验数学思想方法，进而逐步领悟数学的本质。
——以平面几何例习题教学为例湖北省孝感市大悟县四姑镇中心初级中学432000摘要：教材例题具有基础性、示范性和典型性，在教学设计中应正确体会教材的编写意图，弄清配备例题的功能，充分挖掘其潜在的价值.去探究题目源头，寻找变化规律、拓宽解题思路、总结解题方法、提炼数学思想，从多解、多变、多用等角度进行分析，使学生懂其原理、得其方法、通其变化。
关键词：教材例习题二次开发教学实践一、问题提出中考命题十分重视课本例题的开发和再利用。
例题教学是数学教学的重要组成部分，是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的重要教学环节，也是培养学生数学思维能力的重要途径。
在例题教学中，解题只是手段，教学的关键是要提高每一道例题的功效性，通过对例题解法探索，让学生在加深理解基础知识的同时，体验数学思想方法，进而逐步领悟数学的本质。
平面几何教学是初中数学教学的重点，也是培养学生逻辑推理能力的关键。
随着年级的升高，几何学习难度的逐步提升，学生明显感到几何学习的困难，初一上升到初二论证几何上表现得更为突出。
老师常有这样的困惑：同种类型的题目讲了许多遍，题目稍有变化，可是学生还是不会做，学生的解题能力得不到提高！学生也这样抱怨：巩固题做了千万道，数学成绩却迟迟得不到提高！出现上述情况涉及方方面面，但其中例题教学值得反思，课本的例题是数学知识由产生到应用的第一步，即所谓“抛砖引玉”，然而有时教学只是例题继例题，解题后并没有引导学生进行挖掘例题的内涵，因而学生的学习也停留在例题表层。
如何才能更好地挖掘例题的潜在教学资源，让学生明其理、得其法、通其变，真正理解数学、读懂数学，进而使学生数学思维能力得到提高？笔者谈谈在沪教版教学实践中的一些认识。
初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究新登镇屮学卢华伟【摘要】以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题“二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景“二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论“二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形“二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能.【关键词】初中数学例题习题教学现状二次开发策略研究—、问题的提出教材的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材内容进行适度增删、调整和加工，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。
教材的“二次开发”一方面服务于教师本人个性化的教学需求，体现出教师对教材内容的理解与阐释;另一方面也使原有的教材更适合于具体的教育教学情景，服务于学生的需要，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分.教材的例题、习题是教材的重要组成部分，因此，对例题、习题的“二次开发”也就成为教材“二次开发”的重要部分.笔者认为教材例题、习题的“二次开发”可以重点对题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发” •现实教学过程中，教师对教材例题、习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的木质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界.正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力.”为此，笔者予以关注并参阅对例题、习题处理的相关知识“借题发挥”，结合案例分析，紧紧］韦I绕新课程标准标的要求进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角，全方位的认识、研究问题，从而提高课堂教学的有效性.二、数学课本例题、习题的教学现状及归因分析.数学课本上例题、习题是编者根据新课标的要求，进过深思熟虑安排的，具有很强的探究价值.教师对例题、习题进行“二次开发”，能提高学生的数学素养和解决问题的能力.（-）数学课本例题、习题的教学现状在数学教学中，例题与习题的教学是教学环节中的不可缺少的部分，这就耍求教师能很好的处理例题、习题的教学，以促进学生更好的发展.可是在通常的教学中教师是否真正加以体现和落实呢？首先看一节数学课例题、习题教学片段实录：有一块三角形余料ABC，它的边长BC= 120mm ,高A长为多少mm?（浙教版《数学》九（上）P118页4.4相似三角 B 形的性质）师：请把题目读一遍.生：看题目，读内容・师：哪位同学来讲讲？生：同学们在思考中.师：既然大家没有思路，那我给大家讲讲.生：抬头听老师讲解.师：讲解完毕后，问「懂了吗？”生：懂了.师：好，那我们看下一个题目・师：课后把课本后面的习题完成，到时我们来对答案・生：嗯.在讲解例题时，教师经常采用的几种教学方法：（1）老师读题，读好后开始分析，然后问学生听懂了没有，在学生部分肯定，部分无语中结束例题的讲解.（2）教师读题后，给学生时间思考，由有思路的学生讲解思路，在老师帮助下完成解答.（3）教师认为例题太过简单，所以用其他的题目代替，要求学生课后口己去看一下例题.（4）用别人做好的课件，根本不知道哪个是例题.教师对课本习题更加容易忽视，通常的方法是（1）布置习题，没有下文(2)布置习题，之后快速校对答案.教师在教学的过程中注重了教学环节的“流畅”，教学成为低效或无效的“走马观花”式的逛街场.长此以往，课堂教学模式基本上是灌输一接受.教师往往会比较注重教学的结果，强调题海战术。
初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究一、问题的提出现实教学过程中，教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题与习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。
而教材例题与习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。
正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。
”二、核心概念界定教材例题与习题的“二次开发”：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。
它以既有教材为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题灵活地、创造性地、个性化地运用; 二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化; 三是自主开发其它新的教学资源。
三、理论依据1.再创造理论荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。
他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。
弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索问题的结果并进行组织的学习方式。
2.波利亚解题思想美国著名数学教育家G·波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。
为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。
初中数学教材中的例题、习题进行二次开发编题的几点看法随着新课程改革的不断推进与深化，初中数学教学思维得到了极大的拓展。
在初中数学教学工作中，教材的挖掘与理解显得很重要。
数学教材不再是束之高阁、一成不变的“圣经”，而是整体数学知识的载体，是学生学习和探究的主线。
对教材例题与习题的开发与编题显的很重要，对于初中数学教材例题习题的开发有一个重要原则：围绕着教材知识体系，在充分理解、吃透教材的基础上，对教材例题和习题加以革新创造，做到尊重教材、超越教材。
数学教材例题与习题二次开发编题要求数学教师从教学目标出发，结合到教材内容和学生的认知特点以及规律，对教材中的例题习题进行分类整合、创造，以锻炼学生举一反三的数学思维能力。
本文从初中数学教材特点出发出发，结合到初中数学教学实际，对教材例题与习题二次开发编题的实践进行探究。
初中数学课堂教学的重点任务之一即是对教材的有关例题与习题进行讲解，初中数学教学工作者有必要善于把握教材例题习题特点，充分对教材例题习题进行二次开发编题，锻炼学生的思维应变能力。
所谓的例题习题二次开发编题，其是指以新课程标准指导思想为中心，对教材中的相关例题习题进行适当的增删、调整和创新，使得教材例题习题更好地为数学教学工作服务。
总的来说，初中数学教材例题习题二次开发编题的目的和意义在于帮助学生更加牢固地理解和掌握数学知识，培养和提高学生的思维能力和创新能力，进一步促进数学课堂教学效率的提高。
一、初中数学教材例题习题二次开发编题的价值诉求初中数学教材例题与习题具有极强的典型性和适用性，因而对教材例题习题的二次开发编题是很有必要的。
在初中数学教学过程中，常存在着这样一种现象，教师利用投影仪授课，屏幕上显示这样一类数学题目：在一平面直角坐标系中，一四边形（ABCD）的四个顶点坐标分别为A（0，0），B（2，1），C（5，1），D（3，0），试判断该四边形是否为平行四边形，并给出相应证明。
对于这一类题目的讲解，主要有两种方法。
初中数学课堂引入方法的“二次开发”作者：龚丽华来源：《读写算》2013年第15期【摘要】课堂的引入往往起到画龙点睛的作用，它影响着学生对本节课的学习热情，左右着学生是否坚持听完这节课，关系着课堂教学的有效性。
【关键词】课堂引入方法二次开发创造性地使用教材著名的语文特级教师于漪说过：课的开始好比提琴家上弦，歌唱家定调，第一个音准了，就为演奏和歌唱奠定了基础。
上课亦如此，第一锤就应敲打在学生的心灵上，激发他们思维的火花，像磁铁一样把学生牢牢吸引住。
新教材改革给教师提供了广阔的创造空间，它要求教师打破原有的教学观，教材观，创造性地使用教材，提倡教师“用教材”而不是简单的“教教材”。
课堂的引入往往起到画龙点睛的作用。
它影响着学生对本节课的学习热情，左右着学生是否坚持听完这节课。
本文就新课的引入问题对学生进行了调查。
反馈回来的信息是：如果新课的引入照本宣科，学生觉得很乏味或热情不高。
教师反馈的信息是：别扭，没有吸引力，不能有效的激发学生学习求知欲。
想要解决这个问题，有必要对初中数学课堂引入得方法进行二次开发。
这样才能让更多的学生主动自觉得去探究数学问题，提高课堂教学的效率和学生学习的积极性。
在本文中，我将结合平时的教学实践对改进新课引例有效性，谈谈自己的几点尝试。
一、趣味问题，引入新课以下以北师大教材为例，八年级下第四章相似图像《测量旗杆的高度》，这一课原来的引入是：利用相似三角形有关知识测量旗杆的高度。
显得平淡无奇，我做了如下的改变：首先播一段北京天安门前的升旗仪式的录像，提出问题“天安门前的旗杆地面高度为14.49米，它象征着中国人民共和国的成立，为了表示对其尊重，一般中小学学校的旗杆高度都低于14.49米，我校的旗杆的高度是不是也低于14.49米呢？这个问题一直困扰着老师，聪明的同学们能否为老师排忧解难呢？”这样的引入更能激发学生自主探究的欲望，学生再动手测量效果就不一样，同时培养学生爱国的热情。
二、巧设故事，引入新课八年级下第四章《线段的比》原文引入：通过测量图片中大树的高度以及树下小颖同学的高，引入线段的比的概念。
关于初中数学教材例题习题的二次开发作者：江丽霞来源：《南北桥·人文社会科学学刊》2016年第03期【摘 ; ;要】素质教育大环境下学校教育更加强调针对性和实用性，对于初中数学的课堂教学来说也是如此，所以我们在日常教学过程中不能单纯的以课本例题为唯一的教学依托，还要开拓思维实现教材例题、习题的二次开发，从而丰富教学内容，提高学生的学习效率。
【关键词】初中数学 ;例题习题 ;二次开发 ;探究中图分类号：G4 ; ; 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.03.120在以往的应试教育体制中，学校教育严格奉行“考试为主”的授课理念和教学模式，所以教师在教学过程中会将全部的关注点集中到所谓的考试重点部分，导致教师在课堂授课过程中不仅采取“一言堂”授课模式，还会在教学内容上照本宣科，课本上列出什么知识点和例题，教师的课堂教学中就出现什么例题。
这种僵硬的课堂教学模式不仅容易导致课堂教学内容的死板，降低学生的知识吸收效率，还在一定程度上降低了初中数学课堂的趣味性，使得学生的学习兴趣逐渐消失。
新时期，社会对于人才的需求更加多样化，所以学校教育也逐渐向着实用化和灵活性转变，具体表现为素质教育教学体制逐渐取代应试教育登上历史舞台。
素质教育更加注重学生学习个性的发挥，强调知识传输方式的灵活性，尤其是在课堂教学过程中杜绝“照本宣科”现象的出现。
所以作为初中数学教师的我们在日常教学过程中既要做到以教材内容为依托，又不能完全依赖于课本，要结合自身的专业素养和教学实际对课本中的知识，如例题和习题实现二次开发，从而不断丰富课堂教学内容，提高课堂教学质量。
在我看来，初中数学例题习题的二次开发要从以下几个方面做起。
一、结合教学实际，进行知识点的适当增删初中数学教材是国家在调查初中年龄段学生的知识学习情况的基础上制定的，教材中的内容大体符合普通学生的智力发育水平，但是从实际教学情况来看，教材内容针对不同班级的学生会有不同的教学效果。
初中数学课本例题的“二次开发”作者：涂传钊来源：《中学教学参考·理科版》2017年第08期[摘要]课本例题是中考命题的源泉与方向。
对课本例题，从多角度深入挖掘其内涵，实现其本身应有的教育功能最大化，具有实际意义。
[关键词]课本例题；二次开发；初中数学[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2017）23-0001-02数学课本中的例题是教育专家经过仔细推敲、打磨的结晶，具有很强的示范性，是对课本知识概念的强化与延伸，是体现数学思想与方法的重要载体。
课本例题的典型性与权威性不容忽视，它深受命题者的青睐，是中考命题的源泉与方向。
因此，钻研教材，立足课本例题，多角度深入挖掘其丰富内涵，实现其本身应有的教育功能最大化，显得特别有意义。
那么，如何实现课本例题的“活”用，让例题教学的实效性增强呢？笔者从二十多年的教学经历出发，谈谈自己对课本例题的“二次开发”经验，以期能够与同仁产生共鸣，起抛砖引玉作用。
一、“二次开发”课本例题的原则笔者认为，要恰当地处理课本例题，发挥其应有的教学功能，提高教学效率，必须遵循一定的原则。
（1）目标性原则。
每堂课都有教学目标，“开发”课本例题应该围绕教学目标进行，不能偏离它。
（2）科学性原则。
课本例题的选择有高度的科学性与逻辑性，教师对例题的“二次开发”也不能偏离学生学习的实际，偏离例题的科学性与逻辑性。
（3）主体性原则。
课本例题的“二次开发”应尽可能地体现学生的主体地位，让学生参与到具体内容的学习中，实现学生学会学习，真正体验到例题“二次开发”的乐趣。
二、“二次开发”课本例题的途径在原有例题教学的基础上，适度对某些例题进行合理“开发”，能够重塑学生的知识结构，让学生的数学解题达到举一反三、触类旁通的效果。
以下，笔者从一题多解、变式教学、捕捉生成三个方面谈谈自己“二次开发”课本例题的做法。
1.深化一题多解，拓展思维能力一题多解是数学教学中拓展学生思维空间的重要途径。
教材例题二次开发的策略分析和反思作者：薛峰来源：《数学教学通讯·初中版》2018年第03期[摘要] 当前教材上的很多例题不一定切合学生的发展需要，这也就对教师的二次开发提出了要求，文章探讨了对教材例题进行二次开发的策略，并结合教学实践进行了深度反思.[关键词] 初中数学；教材例题；二次开发学生对数学知识的理解和相关能力的提升离不开例题教学，然而当前教材上的很多例题不一定适应学生发展的需要，这就要求教师对这些例题进行二次开发，从而让我们的教学更加切合学生的需要.对教材例题进行二次开发的策略分析结合教学实践中的有关探索，对于那些有加工价值的例题，我们就开发工作的具体做法进行系统化的梳理.1. 对例题中的数字进行二次开发通过对问题数据的调整来实现二次开发是我们教学过程中常用的操作，特别是在处理计算型的例题时，这一点经常被采用. 比如在指导学生熟悉“合并同类项”的具体操作时，有例题“2a+3a”，我们对有关数据进行调整，将其改成“7a+8a”或是“5b+3b”，然后我们还可以将负数代入其中，将原有代数式改成“-7a+8a”. 当学生完成例题及其变式之后，我们再指导学生概括合并同类项的基本做法. 这样的做法可以让学生见证各种代数式的产生过程，从而消除情境的陌生感，学生在相关问题的处理中更加得心应手，并逐步树立起信心，提升课堂教学的效果.2. 对例题的背景进行二次开发在教学过程中为了有效激活学生对数学的兴趣，调节课堂氛围，教师要注重教学情感的投入. 比如在教学中，我们有意识地更换题目的背景，将同一个知识以不同的方式呈现出来，这会给学生提供耳目一新的感觉.我们在对例题的背景进行二次开发时，教师可以将教材中的原有背景更换为学生所熟悉的内容，或是当前最热门的话题，这样的教学才能让学生产生亲切感，而且这也将有助于学生用理性的目光来分析自己的生活，从而拉近数学与生活实际的距离. 比如引导学生学习抛物线时，我们就结合中国天文探测的重点项目“500米口径射电望远镜”（如图1所示）的介绍，向学生说明其实它的纵截面就是一根抛物线. 在此基础上教师适当地介绍抛物线的聚焦原理，以及数学知识在天文研究中的应用，这有助于学生兴趣的激发，同时还能强化学生的爱国主义热情.3. 对例题的题设与结论进行二次开发教材中的例题大多具有很强的代表意义，课堂上教师以教材例题为载体，对其题设与结论进行适当的变式处理，能有效推动学生发散思维的发展，同时还能锻炼学生的思维灵活性. 比如下面的二次开发就是围绕着例题的题设与结论展开的.母题：如图1所示的两个三角形△ABD和△AEC都属于正三角形，且A，B，C三点都在同一条直线上，现在连接线段BE和CD，求证：BE=CD.方法1：对母题中的题设进行改编，将“正三角形”变成“等腰直角三角形”，继而再变成“等腰三角形”、“正方形”或“任意正多边形”，其他内容不做调整.方法2：对母题中的结论进行改编，将“求证：BE=CD”改成“求∠BHD的度数”，其他内容不做调整4. 对例题的知识范围进行二次开发很多例题所涉及的知识点比较单一，在分析时可能只涉及知识的某一个方面. 而在教学中我们经常根据实际情况进行二次开发，通过二次开发来拓展例题所涉及的知识范围.比如“变化中的三角形”一课，在分析过三角形的面积计算式S=ah之后，教材上有例题训练学生对公式的直接运用，这种问题的功能略显单一，教师可以在此基础上适当调整，比如将底边的数值换成字母，由此引入函数的思想，提升学生思维力度. “三角形的高h为6不变，若底边为a，则三角形的面积会随着a的变化而如何调整？”学生围绕这个问题能够写出面积的计算式：“S=ah=×6a=3a”，进一步分析可以发现，问题中的底边a就成为函数的自变量，然后就可以引导学生探索因变量如何随自变量而发生改变. 通过这样的处理，原有例题的知识范围被大大拓展，学生学习效率也将由此获得更大幅度的提升.5. 对例题的解题思路进行二次开发我们对教材例题的研究与开发切不可浮于表面，我们要深层次地解读题意，并多层次地发掘题目潜能，启发学生做好一题多解的工作. 这样的教学就可实现一通百通的效果，提升学生的问题分析能力.例题：如图3所示，在某高档小区的户外花园有一个三角形的喷水池，现在园艺工人准备在它的每一条边都安放上花盆，若在每条边上放置两个花盆，则一共需要3个花盆；若在每条边上安置3个花盆，则一共需要6个花盆；……，假如要在每一边上安置n个花盆，则一共需要的花盆总数为多少？分析思路1：我们从数字之间的关系来探求规律：“3，6，9，12，15，…”，可以发现这些数字之间逐个比前一个数大3，第一个图中为3，则每一条边若为n个花盆，则每一个边会比第一幅图中多出“n-2”，则总数就多出了“3（n-2）”，所以最后的结论即为S=3+3（n-2）=3（n-1）.分析思路2：由图形中来发现规律，每一边花盆的数目分别是2，3，4，…，所需要总的花盆数目依次是3，6，9，12，…，每一个数字都应该是3的倍数，所以每一条边有n个花盆，则可以推出花盆总数为S=3（n-1）.分析思路3：从图形组成来探求规律，就像用火柴排成边一样，将某一个顶点视作这条边的起点，另一个端点则作为其他边的起点，这样一个边就只有花盆n-1个，三条边花盆的总数量为S=3（n-1）.针对教材例题进行二次开发的实践反思当前很多教师在对教材进行使用时，都会有意识地进行二次开发，尤其是在对例题进行处理时. 但是我们也必须提醒：要真正地将教材用到位，将隐藏在例题中的价值发掘出来，我们就必须在教学实践中不断强化自己开发教材的意识和有关能力，从而让教材能够真正地服务于学生的学习和认知. 结合在教学中的实践，笔者认为我们在以下一些方面还需重点关注.1.教师在对教材例题进行二次开发时，必然会充分联系自己的教学经验尤其对那些教学经验丰富的教师而言，他们自己的大脑本身就是一个庞大的题库，在他们的眼中，任何一个例题都可能演化为若干个不同样式的问题，那么我们是否有必要将这些问题都呈现给学生呢？笔者认为，这完全没有必要，对例题进行二次开发绝不仅仅只是变式教学，我们要从学生的认知特点出发，对例题进行适当加工，从而提升例题的使用价值. 如果片面地强调变式教学，则可能陷入题海战术怪圈.2. 学生在成长，教师也需要成长当前我们的很多教师都是在传统教学模式中培养出来的，虽然在新课程实践中大家都接受了很多新的教育理念，但是为了进一步适应新课程的需要，广大教师依然要加强学习和交流，要利用各类继续教育的平台来充实自己、提升自己，这样才能以更加科学的方式来组织教学. 此外，教师在教学中还需不断地加强反思，要善于对自己的教学方式和方法进行总结和提炼，由此来推动自己的成长.3. 以上笔者所总结的对例题二次开发的有关策略还不够全面，某些地方可能还存在一定的缺陷在教学实践中，我们还要不断进行探索和研究，这才能更深层次地发掘隐藏在知识背后的价值. 当然教师在进行有关工作时，要站在更高的层面来思考问题，要能够发现隐藏在知识背后的思维方法，并且将知识的产生、发展、演变和完善的过程都展示给学生，引导学生在教材的使用过程中实现数学核心素养的全面提升. 为了达到以上目标，教师要在摸索中前行，要在反思中提升，这样才能更好地把握和处理教材.综上所述，教师在教学中只要用心来思考，并在实践中不断反思和总结，就一定能探索出一套自己的对例题进行二次开发的有效方法，并将其运用于课堂教学，实现教学效率的提升.。
初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究新登镇中学卢华伟【摘要】以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题“二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景“二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论“二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形“二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能．【关键词】初中数学例题习题教学现状二次开发策略研究一、问题的提出教材的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材内容进行适度增删、调整和加工，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。
教材的“二次开发”一方面服务于教师本人个性化的教学需求，体现出教师对教材内容的理解与阐释;另一方面也使原有的教材更适合于具体的教育教学情景，服务于学生的需要，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分. 教材的例题、习题是教材的重要组成部分，因此，对例题、习题的“二次开发”也就成为教材“二次开发”的重要部分. 笔者认为教材例题、习题的“二次开发”可以重点对题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发”.现实教学过程中，教师对教材例题、习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．”为此，笔者予以关注并参阅对例题、习题处理的相关知识“借题发挥”，结合案例分析，紧紧围绕新课程标准标的要求进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角，全方位的认识、研究问题，从而提高课堂教学的有效性．二、数学课本例题、习题的教学现状及归因分析．数学课本上例题、习题是编者根据新课标的要求，进过深思熟虑安排的，具有很强的探究价值．教师对例题、习题进行“二次开发”，能提高学生的数学素养和解决问题的能力．（一）数学课本例题、习题的教学现状在数学教学中，例题与习题的教学是教学环节中的不可缺少的部分，这就要求教师能很好的处理例题、习题的教学，以促进学生更好的发展．可是在通常的教学中教师是否真正加以体现和落实呢？首先看一节数学课例题、习题教学片段实录：有一块三角形余料ABC ，它的边长BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质）师：请把题目读一遍． 生：看题目，读内容． 师：哪位同学来讲讲？ 生：同学们在思考中．师：既然大家没有思路，那我给大家讲讲． 生：抬头听老师讲解．师：讲解完毕后，问：“懂了吗？” 生：懂了．师：好，那我们看下一个题目．………………师：课后把课本后面的习题完成，到时我们来对答案． 生：嗯．………………在讲解例题时，教师经常采用的几种教学方法：（1）老师读题，读好后开始分析，然后问学生听懂了没有，在学生部分肯定，部分无语中结束例题的讲解．（2）教师读题后，给学生时间思考，由有思路的学生讲解思路，在老师帮助下完成解答．（3）教师认为例题太过简单，所以用其他的题目代替，要求学生课后自己去看一下例题．（4）用别人做好的课件，根本不知道哪个是例题． 教师对课本习题更加容易忽视，通常的方法是（1）布置习题，没有下文（2）布置习题，之后快速校对答案．教师在教学的过程中注重了教学环节的“流畅”，教学成为低效或无效的“走马观花”式的逛街场．长此以往，课堂教学模式基本上是灌输—接受．教师往往会比较注重教学的结果，ACBE DNPM强调题海战术。
所以在数学教学课堂中经常听到教师一言堂的声音，能听到学生的声音也无非是：“嗯”、“对”、“懂了”“知道了”等一些简单的字词，教学的效果可想而知：教师教的累，学生学得苦，难于拓宽学生的视野、贯通学生的思想，容易抑制学生主动性和创造性的发展．教师对例题、习题简单操作也给学生起了一个示范作用，学生不会去重视课本例题和习题，仅仅把它们当成自己在完成众多题目中的一个，不会去设疑、提炼、再创造，学生在平时面对的每一个题目都是那么的陌生，感悟不到题目之间的紧密联系，只能在苦学、苦练中学习数学．教师没有给学生提供较多的思考、动手和交流的机会，这对学生的发展是不利的．（二）例题、习题教学现状的归因分析1．新课改下，教师角色转变不到位《数学课程标准》指出数学课堂学生的学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与勤于动手成为教学过程中教师的共识．课堂的组织形式也在一定程度上发生了变化，尽可能多地组织学生运用合作、小组合作等方式，在培养学生合作与交流能力的同时，调动每一个学生的参与意识和学习积极性．新课程标准指出：教师应引导和帮助学生主动去从事观察、猜想、实验、验证、推理、交流等数学活动．从而使学生自己形成对数学知识的理解和有效地学习策略．教师充当的角色是组织者、合作者、引导者.正因为教师对新课程下的角色转变不到位，才会出现一言堂的教学方式，忽略学生的主体地位，只要求把例题讲完，布置好习题就算完成教学任务.2．教师对课本例题、习题的“二次开发”意识不强虽然在传统的课堂教学情境中，教师对教材也不是完全的照搬照抄，为了达到有效传递学科内容的目的，他们对教材内容总是作或多或少的处理，但是，这种处理往往局限于数量的增减或局部内容的处理.教师只是外在于他们的课程的执行者，是“工匠”。
在教学中对例题、习题多少也有点动作，但是，这种动作只是基于经验和直觉，远未达到理性和自觉的认识。
新课程倡导教师创造性地和个性化地运用教材，这意味着教师不再是外部课程的被动消费者，而是积极的开发者。
教师对教材重要组成部分的例题与习题的“二次开发”，就能不断丰富着自己的课程知识，创造着新的课程经验，成为自己专业生活的主人，同时才能真正体现新课标的要求.三、初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究数学课本中的例题、习题是课本内容的重要组成部分，既是对课本知识的诠释，也是对某些方法的演示，所以进行课本的例题、习题的“二次开发”，对于理解课本知识的内涵，掌握基本解题方法有着重要的意义．笔者结合平时对例题、习题的“二次开发”提出策略（一）例题、习题题目背景“二次开发”的策略研究【案例】如图，小亮欲测量一电线杆AB 的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离BE=12m ，小亮的影子长CE=4m ．已知小亮的身高DE=1．7m（1) 图中△CDE 和△CAB 是否相似？请说明理由;（2） 求电线杆AB 的高度．（浙教版九年级上册4．4-2作业本29页第3题）【分析】本题知识点（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性质． 1.改变遮挡物（1）遮挡物为竖直的平面小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m 长的直立竹竿的影长为1．5m ．测量旗杆落在地上的影子为21m ，落在墙上的影长为2m ．求旗杆的高度．【分析】通过把太阳光看成是平行光的原理,构造相似三角形解决这类问题． （2）遮挡物为斜坡小亮在下午实践活动课时, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的斜坡E 处,测得在地面上的影长BD=20米,DE=2米,坡面与水平地面的夹角为30°．同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2．6米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果 保留两个有效数）【分析】增加三角函数和勾股定理的知识,使学生把相关知识贯穿在一起,及时巩固． （3）遮挡物的面数增加小亮在下午实践活动课后, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的平地C 处,测得在平地上EC=2米,地面上的影长BD=20米,DE=4米,坡面与水平地面的夹角为30°． 同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3．2米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果保留两个有效数）【分析】增加难度,原理不变,熟练地应用知识和技能,准确 把握解题方向．EFG（4）无遮挡物小亮在下午实践活动课, 测量东教学楼前水杉树的高度．如图,当太阳从西照射过来时,小树AB 的顶端A 的影子落在司令台的斜坡处,测得在地面上的影长BD=2米,坡面上影长DE=4米;同一时刻一根长为1米的直立竹竿的在平地上影长为2．6米，在坡面上影长3米为根据这些数据求树的高度．（精确到0．1米）【分析】本题利用地面影子在物高上找对应点把物高分成几部分，构造相似三角形解决问题．这样的解决方法比较贴贴近生活实际，使思路非常明确．2．移动参照物 （1）参照物的移动（1）晚上，小亮晚自修结束回寝室途中，走到C 处时，发现在点B 上方的路灯A 照得自己的影子CD 的长为2米；继续往前走4米到达E 处时，这时自己的影子EF 长为4米 ,已知小亮的身高为1．6米 ，路灯的高度等于多少？【分析】这类题目有变量和不变的量，注意挖掘里面的等量关系．根据相似三角形对应边成比例，并利用等量代换求解． （2）参照物的移动（2）小亮探究影子长度的变化规律，当他走到离路灯2米处时，其影子的顶点标记为H 1，此时 影长为 米；当他继续走到H1时，其影子的顶点标记为H 2，此时影长为 米；当他继续走到H 2时，其影子的顶点标记为H 3，此时影长为 米；…按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为H n+1,此时影长为 米．【分析】对题设条件进行变化，克服学生思维定势．充分渗透数学猜想和归纳法，培养学生探究能力和发散思维能力．教师有意识的进行题目背景的更换，将知识融入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和具体的情景，让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地，是数学课程更具现实性．（二） 例题、习题题目条件、结论 “二次开发”的策略研究【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求AE=BE+CE ．【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利4BD231243用截长补短的解题方法．1.一题多解（1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE 上取点F ，使得AF=BE,(AFC BEC AF BE FAC EBCAC BC ∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等） AFC ∆≌BEC ∆(SAS)∴CF=CE60AEC ABC ∠=∠=︒∴ECF ∆是等边三角形 ∴EF=ECAE=AF+EF∴AE=BE+CE（2）利用补短的方法解题 解析：延长EB 至点F,使BF=EC,BF ACE B C (ABF ACE ABE B A A F E A C ∆∆=⎧⎪∠=∠∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同角的补角相等）（等边三角形边相等） ABF ∆≌ACE ∆(SAS)∴BAF=CAE ∠∠ AE=AFCAE+EAB=60∠∠︒∴+EAB=60BAF ∠∠︒ ∴AFE ∆是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE（3）利用旋转的方法解题解析：将ACE ∆顺时针旋转60︒，则ABF ∆≌ACE ∆EF∴AEF ∆是等边三角形，ACE ABF ∠=∠+ABE=180ACE ∠∠︒(圆内接四边形对角互补)∴BF+ABE=180A ∠∠︒ 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC（4）利用平行的方法解题解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF.（5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得+EC AB=AE BC BE AC ⋅⋅⋅ABC ∆是等边三角形∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学教学中离不开习题讲解，通过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性，提高学生解决实际问题的能力．2.一题多变变式1：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、EB 、C 的任意一点，求AE=BE+CE ．【分析】本题关键是E 点位置的不确定性，故在解决此题时 必须进行点E 位置的讨论，用到分类讨论的思想．变式2：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒,求AE=BE+CEECF//AEFCE+18060+CFB=180CE//FGCEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AECEA BFC CEA FCE ∴∠∠=︒∠==︒∴∠∠︒∴∴∆∆∴∴ 即四边形是平行四边形和是等边三角形EFE【分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决．变式3：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒，A,B,E,C 四点共圆吗？ 【分析】以ABC ∆的外心为圆心，OA 为半径画圆，可以证明点E 在圆上，即A 、B 、C 、D 四点共圆．变式4：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、B 、C 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 之间的数量关系？ 解析：设MOE θ∠=,2222222+EC +2sin 2sin 602sin 6062BE EA R RR R θθθ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦==（）（）（）三角形边长的平方的倍（即为定值）变式5：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，四边形ABCD 是正方形，E 是不同于A 、B 、C 、D 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 、DE 之间的数量关系？【分析】通过探究我们可以发现2222+EA ++EC EB ED 是一个定值．解析：连结AC,90AEC ∠=︒,222+EC =d AE ，同理可得222d BE DE +=所以222222AE EC BE DE d +++=,而d 为定值．变式6：由变式5、变式6你能得出一个什么结论？结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值．数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式．在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法、化归数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，阻止了学生思维的发展．所以在平时的例题和习题的教学中，应紧密结合例题、习题进行有目的、多角度的变式训练.教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变．同时引导学生去探索数学问题的规律性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣．（三）例题、习题题目基本图形 “二次开发”的策略研究任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要功能之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形的基础上才能进行的．E变式4E变式51．重视基本图形（1）基本图形的识别与性质【案例】试题来源（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质）有一块三角形余料ABC ，它的边长BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？【分析】此题涉及的知识点为三角形的相似，以及三角形相似的性质．基本图形为：三角形里面有一个正方形，且正方形的四个顶点分别在三角形的三边上．性质：相似三角形对应边上的高线之比等于相似比解析:设正方形边长为x,△APN ∽△ABC ，AE AD PN BC =,8012080x x-=，得x=48 （2）基本图形在纯数学题中应用如图，在Rt △ ABC 中，C=90∠︒,AC=4,BC=3．（1）如图1，四边形DEFG 为△ ABC 的内接正方形，求正方形的边长．（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．(3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．(4)如图4，三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．【分析】此题主要还是考查基本图形及其性质，第4小题变成了一个探究规律的题目． （3）基本图形的在生活题中应用小明在出墙报时，需要长48cm 、宽4cm 的彩色纸条镶边，现有如图一张三角形彩色纸零件，其中BC=25cm,BC 边上的高为20cm ，给出一种裁纸方法：将AB 、AC 分为五等分，然后如图连接两边的对应的点，并以这些连接线为一边作矩形，剪出这些小矩形纸条，用来为墙报镶边，问：这种方法能满足镶边需要吗？请说明理由． 【分析】此题为生活实际题，但图形是基本图形ABE DNPMQBADC E G FKHB ACBADE G FA BC…ABEDI F K J H G图1 图2 图3图42．重视对基本图形的变式【案例】已知：如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，AC=CE,点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求证： △CAB ≌ △ECD ． （选自七年级下 1．5全等三角形（3）作业题 ）【分析】此题所涉及的知识点为：三角形的全等．解析：(ABC ∆∆∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩在和CDE 中B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）AC=CE∴△CAB ≌ △ECD （1）对基本图形变式1弱化条件：AC=CE （线段相等）……结论由三角形全等弱化为三角形相似如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求证： △CAB ∽ △ECD ．解析：(ABC ∆∆∠∠︒⎧⎨∠∠⎩在和CDE 中B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）∴△CAB ∽ △ECD应用：如图,正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为xcm,CQ 的长为ycm ．(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当1y 4=cm 时，求x 的值．【分析】此题能够在复杂图形中找出基本图形，则解决就不成问题了． （2）对基本图形变式2 弱化条件：“直角”如图：在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,则△ABC ≌△CDE ．解析：ABC ∆∆∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩在和CDE 中B=D ACB=CED （三角形的内角和等于180）AC=CE∴△ABC ≌△CDE应用： 如图，△ABC 为等边三角形，点D,E,F 分别在边BC,CA,AB 上，且△DEF 也为等边三角形．除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；解析：BDF ∆∆∠∠︒⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩在和CED 中B=C=60BDF=CED （三角形的内角和等于180）DE=CF∴△BDF ≌△CED ∴BF=CD,BD=CE （3）对基本图形变式3同时弱化条件：“线段相等”和“直角”如图，在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACE=∠B=∠D ，则△ABC ∽△CDE ．解析：ABC ∆∆∠∠⎧⎨∠∠︒⎩在和CDE 中B=DACB=CED （三角形内角和为180）∴△ABC ∽ △CDE应用：如图，在Rt △CAB 中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B,C ）,过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ． (1)求证：△ABD ∽△DEC;(2)设BD=x,AE=y,求y 关于x 的函数关系式． 解析：可证明△ABD ∽△DEC （AA ），利用相似三角形对应边成比例得出21y 22x =-+ 在基本图形的变式中，学生往往难以理解变式后的图形与基本图形之间的关系，尝尝会将基本图形的本质特征与所给问题的个别特征相混淆．为了排除非本质属性的干扰，在教学的起始阶段，除利用基本图形外，还应有意识地运用变式图形，让学生理解．四、结论1．教材例题、习题的“二次开发”有利于提高数学教学的有效性苏霍姆林斯基说过：“如果你追求的只是那种表面的，显而易见的刺激，以引起学生对学习和上课的兴趣，那你就永远不能培养起学生对脑力劳动的真正热爱”．研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能让学生有效地进行学习．教师对数学课本例题、习题的“二次开发”将大大提高数学教学的有效性．虽然我们经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果特别好，学生得到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生会学，乐学，对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强．爱因斯坦说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西．”而这样的教学，学生所形成的能力，是不会随着时间而消逝的．2．为最大限度地对例题、习题进行“二次开发”的研究，教师还需加强自身业务素质的提高以前我们常说：“要给学生一杯水，首先教师应该有一桶水．”但就眼前学生的发展来看，这一桶水显然是不够的．新《课程标准》对教学内容、教学方法、教学模式、教学评价体系等方面都作了较大调整，对教师的基本素质提出了新的要求．教师要努力提高自己灵活运用和开发教材的能力，加强自己探究性、创造性的指导能力，形成教学反思的习惯等，当教师自身业务素质提高了，对数学课本例题、习题的“二次开发”就会游刃有余，也能充分发挥学生数学学习的主动性、创造性，很好的培养学生的创新精神和实践能力．总之，对数学课本例题、习题的“二次开发”，一方面教师的自身素养会在研究的过程冲不断提高，数学课堂的会更加有效．另一方面在这样的教学模式下能充分激起学生学习数学的兴趣，并能主动地、自觉地去探究数学问题，有利于促进学生的发展．【参考文献】[1]俞红珍.教材的“二次开发”.[1]数学课程标准解读（全日制义务教育）[M] 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