2013年中考数学知识点：一元二次方程——解一元二次方程专题练习

中考数学压轴题专集——一元二次方程1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．解：（1）∵AB、AC方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5∴AB2＋AC2＝BC2，(AB＋AC)－2AB·AC＝25即(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25∴k2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2当k＝－5时，方程为x2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）当k＝2时，方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0∴AB≠AC，故第①种情况不成立∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的根∴52－5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0即k2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4当k＝3时，方程为x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14当k＝4时，方程为x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为162．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．解：（1）∵关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根∴△＝4(a＋b)2－4(c2＋2ab)＝0，即a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形∵sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根∴sin A＋sin B＝2m－5m＋5，sin A·sin B＝m－8m＋5∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1 ∴(sin A＋sin B)2－2sin A·sin B＝1即(2m－5m＋5)2－2×m－8m＋5＝1∴m2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20当m＝4时，方程为9x2－3x－4＝0，解得x1＝3＋15318，x2＝3－15318＜0∵在Rt△ABC中，sin A＞0，sin B＞0 ∴m＝4不合题意，舍去当m＝20时，方程为25x2－35x＋12＝0，解得x1＝35，x2＝45，符合题意∴m＝20（2）∵△ABC的外接圆面积为25π∴外接圆半径为5，∴c＝10由（1）知，sin A＝35或sin A＝45∴△ABC的两条直角边长分别为6，8 设△ABC的内接正方形的边长为t①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则8－t8＝t6解得t＝24 7②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为245，则t10＝245－t245解得t＝120 373．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；（2）求证：α≤1≤β；（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（12，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ABCttA BCttt（1）解：∵α、β为方程x2－(m ＋n ＋1)x ＋m ＝0（n ≥0）的两个实数根∴△＝(m ＋n ＋1)2－4m ＝(m ＋n －1)2＋4n ≥0，且α＋β＝m ＋n ＋1，αβ＝m∴m ＝αβ，n ＝α＋β－m －1＝α＋β－αβ－1 ··················································· 2分（2）证明：∵(1－α)(1－β)＝1－(α＋β)＋αβ＝－n ≤0（n ≥0），又α≤β∴α≤1≤β ································································································ 4分（3）解：要使m ＋n ＝54成立，只需α＋β＝m ＋n ＋1＝94①当点P （α，β）在BC 边上运动时由B （1 2，1），C （1，1），得12α≤1，β＝1而α＝94－β＝9 4－1＝54＞1 ∴在BC 边上不存在满足条件的点 ···························································· 6分 ②当点P （α，β）在AC 边上运动时 由A （1，2），C （1，1），得α＝1，1≤β≤2 此时β＝94－α＝9 4－1＝5 4，又∵1＜54＜2 ∴在AC 边上存在满足条件的点，其坐标为（1，54）································· 8分③当点P （α，β）在AB 边上运动时由A （1，2），B （1 2，1），得12≤α≤1，1≤β≤2由对应线段成比例得1－α1－1 2＝2－β2－1β＝2α 由 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝9 4β＝2α解得α＝ 3 4 ，β＝3 2又∵1 2＜3 4＜1，1＜3 2＜2∴在AB 边上存在满足条件的点，其坐标为（3 4，3 2）综上所述，当点点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动时，存在点（1，54）和点（3 4，3 2 ），使m ＋n ＝5 4成立 ·······························································10分4．请阅读下列材料：问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y2．把x＝y2代入已知方程，得(y2)2＋y2－1＝0．化简，得y2＋2y－4＝0．故所求方程为y2＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．解：（1）y2－y－2＝0 ··································································································· 2分（2）设所求方程的根为y，则y＝1x（x≠0），于是x＝1y（y≠0） ····················· 3分把x＝1y代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a(1y)2＋b·1y＋c＝0 ·························· 4分去分母，得a＋b y＋c y2＝0 ········································································ 5分若c＝0，有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意∴c≠0，故所求方程为c y2＋b y＋a＝0（c≠0）··········································· 6分5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0（a＞0）．（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求1α 1＋1β 1＋1α2＋1β 2＋1α3＋1β 3＋…＋1α2011＋1β2011的值．6．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)≥0∴a2＋b2＋c2－2ab －2bc －2ca ≥0∴a (a －b －c )－b (a ＋c －b )－c (a ＋b －c )≥0∴0≤a (a －b －c )－b (a ＋c －b )－c (a ＋b －c )＜a (a －b －c ) ∵a ＞0，∴a －b －c ＞0，即a ＞b ＋c∴a ，b ，c 不能构成一个三角形的三边长 ·············································· 4分 （2）设y ＝x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca则当x ＝b ＋c 时，y ＝bc ＞0；当x ＝a 时，y ＝bc ＞0函数y ＝x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca 图象的顶点坐标为（a ＋b ＋c 2，－△ 4当x ＝a ＋b ＋c 2 时，y ＝－△4≤0 由（1）知a ＞b ＋c ，∴b ＋c ＜a ＋b ＋c2＜a ∴方程的实数根在b ＋c 与a 之间，即b ＋c ＜x 0＜a ································ 7分 （3）∵方程x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ＝0的实数根为6和9∴a ＋b ＋c ＝6＋9＝15，ab ＋bc ＋ca ＝6×9＝54∴a2＋b2＋c2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca )＝152－2×54＝117＜112由（2）知a ＞9，∴92＜a2＜112∵a 为正整数，∴a ＝10 ········································································ 8分 ∴b ＋c ＝5，∴10b ＋bc ＋10c ＝54 ∴bc ＝54－10(b ＋c )＝54－10×5＝4由b ＋c ＝5，bc ＝4及b ＞c ，解得b ＝4，c ＝1 ······································10分7．已知方程x 2＋2ax ＋a －4＝0有两个不同的实数根，方程x 2＋2ax ＋k ＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2＋2ax ＋a －4＝0的两根之间，求k 的取值范围．解：∵方程x2＋2ax ＋a －4＝0有两个不同的实数根∴△1＞0，而△1＝4a2－4(a －4)＝4(a －1 2)2＋15≥15 ···································· 1分又∵方程x2＋2ax ＋k ＝0也有两个不同的实数根∴△2＝4a2－4k ＞0，即k＜a2······································································ 3分对于二次函数y 1＝x2＋2ax ＋a －4和y 2＝x2＋2ax ＋k ，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点∵y 2与x 轴的两个交点都在y 1与x 轴的两个交点之间∴y 2与y 轴的交点在y 1与y 轴的交点上方，如图 ········································· 4分 ∴k＞a －4 ···································································································· 5分∴k 的取值范围是：a －4＜k＜a2·································································· 6分8．已知关于x 的方程x 2－4|x |＋3＝k ．（1）当k 为何值时，方程有4个互不相等的实数根？（2）当k 为何值时，方程有3个互不相等的实数根？ （3）当k 为何值时，方程有2个互不相等的实数根？（4）是否存在实数k ，使得方程只有1个实数根？若存在，求k 的值和方程的根；若不存在，请说明理由．解：（1）令t ＝|x |，则原方程化为：t2－4t ＋3－k ＝0△＝(－4)2－4(3－k )＝4k ＋4 ·································································· 1分 要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有两个不相等的实数根∴4k ＋4＞0，∴k＞－1 ·········································································· 2分同时t 1·t 2＝3－k＞0，∴k＜3 ································································ 3分∴当－1＜k＜3时，原方程有4个互不相等的实数根 ····························· 4分（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有一个零根和一个正根∴4k ＋4＞0，∴k＞－1 ·········································································· 5分同时t 1·t 2＝3－k ＝0，∴k ＝3 ································································· 6分 ∴当k ＝3时，原方程有3个互不相等的实数根 ····································· 7分 （3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须只有一个非零根∴4k ＋4＝0，∴k ＝－1 ··········································································· 8分 且当x ＝0时，3－k ≠0，即k ≠3 ··························································· 9分 ∴当k ＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根 ·································10分（0（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有两个零根∴4k ＋4＝0，∴k ＝－1 ·········································································· 11分 同时t 1·t 2＝3－k ＝0，∴k ＝3 ································································12分 ∴不存在符合条件的k 值 ·····································································13分9．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0的两个非零实数根，则x 1与x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．解：∵关于x 的一元二次方程4x2＋4(m －1)x ＋m2＝0有两个非零实数根∴△＝[4(m －1)]2－4×4m2＝－32m ＋16≥0∴m ≤12又x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝14m2 当x ＋3＝0时，－m ＝0，m ＝0假设x 1，x 2能同号，则有以下两种可能： ①若x 1＞0，x 2＞0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞01 4m2＞0 解得m ＜1且m ≠0 此时m 的取值范围是m ≤12且m ≠0②若x 1＜0，x 2＜0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＜0x 1x 2＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜01 4m2＞0解得m ＞1（不合题意，舍去） 故当m ≤12且m ≠0时，方程的两个实数根同号10．已知α、β为关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m 的值．解：∵α、β为方程x2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根∴α＋β＝2m ，αβ＝3m∵(α－β)2＝16，∴(α＋β)2－4αβ＝16 ∴4m2－12m ＝16，解得m 1＝－1，m 2＝4方法一：①当m 1＝－1时方程x2－2mx ＋3m ＝0化为：x2＋2x －3＝0，解得：α＝－3，β＝1方程x2－2mx ＋6m －9＝0化为：x2＋2x －15＝0，解得：x 1＝－5，x 2＝3∵－5和3都不在－3和1之间，∴m ＝－1不合题意，舍去 ②当m ＝4时方程x2－2mx ＋3m ＝0化为：x2－8x ＋12＝0，解得：α＝2，β＝6方程x2－2mx ＋6m －9＝0化为：x2－8x ＋15＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5∵3和5都在2和6之间，∴m ＝4 综合①②可得m ＝4 方法二：设y ＝x2－2mx ＋6m －9，则该函数的图象为开口向上的抛物线∵方程x2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间∴⎩⎨⎧α2－2m α＋6m －9＞0β2－2m β＋6m －9＞0两式相加得α2＋β2－2m (α＋β)＋12m －18＞0 即(α＋β)2－2αβ－2m (α＋β)＋12m －18＞0 ∴4m2－6m －4m2＋12m －18＞0，∴m ＞3∴m ＝411．已知a 为实数，且关于x 的二次方程ax 2＋(a 2＋1)x －a ＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．解：∵a 为实数，∴关于a 的二次方程xa2＋(x2－1)a ＋x ＝0有实数根∴△＝(x2－1)2－4x2≥0，即x4－6x2＋1≥0解得x2≤3－22或x2≥3＋2 2由x2≤3－22得1－2≤x ≤2－1∵2－1＜1，∴1－2≤x ≤2－1 由x2≥3＋22得x ≤－2－1或x ≥2＋1∵2＋1＞1，∴x ≥2＋1不合题意，舍去 综上所述，这两个实数根的最大值为2－112．求实数a 的取值范围，使关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0 （1）有两个实根x 1、x 2，且满足0＜x 1＜1＜x 2＜4； （2）至少有一个正根．解：（1）设y ＝x2＋2(a －1)x ＋2a ＋6∵0＜x 1＜1＜x 2＜4∴△＝4(a －1)2－4(2a ＋6)＞0，∴a ＜－1或a ＞5且当x ＝0时，y ＞0，即2a ＋6＞0，∴a ＞－3当x ＝1时，y ＜0，即1＋2(a －1)＋2a ＋6＜0，∴a ＜－54当x ＝4时，y ＞0，即16＋8(a －1)＋2a ＋6＞0，∴a ＞－75综上，－7 5 ＜a ＜－54············································································· 5分（2）∵x2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0∴x 1＋x 2＝2(1－a )，x 1x 2＝2a ＋6△＝4(a －1)2－4(2a ＋6)≥0，∴a ≤－1或a ≥5若方程有一个正根，则2a ＋6≤0，∴a ≤－3 若方程有两个正根，则⎩⎪⎨⎪⎧2(1－a )＞02a ＋6＞0，∴－3＜a ＜1综上，a ≤－110分13．已知x 1、x 2是方程x 2－mx －1＝0的两个实数根，满足x 1＜x 2，且x 2≥2．（1）求m 的取值范围；（2）若 x 2＋m x 1－m ＋ x 1＋mx 2－m＝2，求m 的值．解：（1）∵x2－mx －1＝0的两个实数根满足x 1＜x 2∴x 1＝m －m2＋4 2，x 2＝m ＋m2＋42∵x 2≥2，∴m ＋m2＋42≥2解得m ≥32··························································································· 4分（2）∵x2－mx －1＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－1∵x 2＋mx 1－m＋x 1＋mx 2－m＝x 12＋x 22－2m 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m2(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m2＝m2＋2－2m2－1－m2＋m2 ＝m2－2x 2＋mx 1－m＋x 1＋mx 2－m＝2 ∴m2－2＝2，∴m ＝±2 ········································································· 8分14．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x －m24＝0（m ≠0）（1）求证：这个方程总有两个异号实根；（2）若这个方程的两个实根x 1、x 2满足| x 2|＝| x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2．（1）证明：∵△＝(m －2)2－4×(－m24)＝(m －2)2＋m2＞0∴原方程总有两个不相等的实根 又∵x 1x 2＝－m24，m ≠0，∴x 1x 2＜0，∴x 1、x 2异号∴原方程总有两个异号实根 ······························································· 3分（2）解：∵x 1、x 2异号，若x 1＜0＜x 2则由已知|x 2|＝|x 1|＋2，得x 2＝－x 1＋2∴x 1＋x 2＝2，即m －2＝2 ∴m ＝4将m ＝4代入原方程并整理，得x2－2x －4＝0解得x 1＝1－5，x 2＝1＋5若x 2＜0＜x 1，则由已知|x 2|＝|x 1|＋2，得－x 2＝x 1＋2∴x 1＋x 2＝－2，即m －2＝－2 ∴m ＝0（与题设m ≠0矛盾，舍去）综上所述，m ＝4，x 1＝1－5，x 2＝1＋5 ········································10分15．已知△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，求m 的取值范围．解：设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝5∵另两边长恰是方程2x2－12x ＋m ＝0的两个根∴△＝144－8m ≥0，得m ≤18由根与系数的关系，得b ＋c ＝6＞a ，bc ＝m2＞0，即m ＞0 由三角形三边关系，得b －c ＜a ∴(b －c )2＜a2，即(b ＋c )2－4bc ＜a2∴36－2m ＜25，得m ＞112综上，112＜m ≤1816．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α 2＋β 2，…，s n ＝α n ＋β n ．根据根的定义，有α 2－α－1＝0，β 2－β－1＝0，将两式相加，得(α 2＋β 2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；（2）猜想：当n≥3时，s n，s n-1，s n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)8＋(1－52)8的值．解：（1）移项，得x2－x＝1配方，得x2－2×x×12＋(12)2＝1＋(12)2即(x－12)2＝54开平方，得x－12＝±52，即x＝1±52∵α＞β，∴α＝1＋52，β＝1－52·························································· 3分于是s1＝α＋β＝1，s2＝s1＋2＝3 ······························································ 5分（2）猜想：s n＝s n-1＋s n-2················································································· 6分证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0两边都乘以αn-2，得αn－αn-1－αn-2＝0 ①同理，βn－βn-1－βn-2＝0 ②①＋②，得(αn＋βn)－(αn-1＋βn-1)－(αn-2＋βn-2)＝0∵s n＝αn＋βn，s n-1＝αn-1＋βn-1，s n-2＝αn-2＋βn-2∴s n－s n-1－s n-2＝0，即s n＝s n-1＋s n-2 ························································10分（3）由（1）知，s1＝1，s2＝3由（2）中的关系式可得：s3＝s2＋s1＝4，s4＝s3＋s2＝7，s5＝s4＋s3＝11，s6＝s5＋s4＝18s7＝s6＋s5＝29，s8＝s7＋s6＝47即(1＋52)8＋(1－52)8＝47 ································································12分17．已知方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．（1）求实数m的取值范围；（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．解：（1）由已知x1＝1，设另两根为x2，x3，且x2≤x3则x2＋x3＝2，x2x3＝m∵x3－x2＜x1，∴(x3－x2)2＝(x3＋x2)2－4x2x3＝4－4m＜1解得m＞3 4又∵△＝(－2)2－4m ≥0，∴m ≤1∴34＜m ≤1 ··························································································· 4分 （2）若Rt △ABC 的一条直角边长为1则x 22＋1＝x 32，即x 32－x 22＝1，∴(x 3＋x 2)(x 3－x 2)＝1 ∴24－4m ＝1，∴m ＝1516····································································· 6分 由x2－2x ＋1516＝0，解得x 2＝34，x 3＝54∴S △ABC＝12×1×x 2＝12 m ＝34······························································ 7分 若Rt △ABC 的斜边长为1则x 22＋x 32＝1，即(x 2＋x 3)2－2x 2x 3＝1 ∴22－2m ＝1，∴m ＝32（不合题意，舍去） ············································ 8分 所以当△ABC 为直角三角形时，m ＝1516，△ABC 的面积为34。

东城已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 西城)23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．海淀23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．石景山) 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交x 轴于另一点M （-3,0）.(1)求抛物线1C 的解析式；(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式； (3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.丰台)二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1） 求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．平谷)23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．昌平)已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.-1-111xO y怀柔)23． 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.通州). 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若O M O B =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.延庆如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.顺义)已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.房山)23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G.①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由. 密云燕山)己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．大兴如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由.O xy32-1121-1答案2013东城一模)23．解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)42m m x --±++=. ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设22(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入23(1)42m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意. ………………6分∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分西城)（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2ax =时，0y =， ∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=.∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-. ∴222()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分海淀解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-， ∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上， ∴044m m n =++②. ………………………3分 由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分 石景山)．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分 （3）'A 点的坐标为（-1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分 ②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分丰台解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y ………………………1分令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）……………………3分 (2) 如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b ------------------- 7分 平谷)解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分(2)设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->．∴ 1213m -<<． ………………………..………..………………………………3分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………………………………………….. 4昌平23．（1）证明：当y =0时，得220x kx k -+-=.∵22244(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2(2)0k -≥， ∴2(2)40k -+>.∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. ……………………3分（2）解：如图，过点P 作P A ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，依题意得：104,sin 35OP POA =∠=.∴8,23AP OA ==.∵n <0,∴8(2,)3P -.∵P 在抛物线上， ∴84223k k -=-+-+. ∴23k =-. ∴抛物线解析式为22833y x x =--+.………………………………………5分（3）当y =0时，228033x x +-=. ∴1242,3x x =-=，∴抛物线与x 轴相交于点4(2,0),(,0)3.B C -当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b = -2. ………………………………………6分当直线y = - x + b 与抛物线228+-33y x x =相切时，22833x +x-x b =-+，∴△ = 2584()093b ++=. ∴b=12136-.……………………………………………………………………7分∴ 当12136-＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. (8)怀柔 (1)证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分C BAP yOx11-1-1②当k≠0时, ()34132⋅-+=∆k k=k k k 121692-++ =1692+-k k=()0132≥-k ………………………………2分所以,方程有实数根综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根 （2）令0y =，则03)13(2=+++x k kx 解关于x 的一元二次方程，得x 1=-3 ，x 2=k1-……………………3分 ∵ 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数， ∴k =1………………４分（3）由（2）得抛物线的解析式为342++=x x y 配方得y=(x ＋2)2－1∴抛物线的顶点M （－2，－1） ∴直线OD 的解析式为y=21x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h ，21h ）， (5)分∴平移后的抛物线解析式为y=（x －h ）2＋21h ．①当抛物线经过点C 时，∵C（0，9），∴h 2＋21h=9，解得h=41451-±． ∴ 当4145-1-≤h＜41451-+ 时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点．………………………………………………………………6分②当抛物线与直线CD 只有一个公共点时， 由方程组y=（x －h ）2＋21h ，y=－2x ＋9．得 x 2＋（－2h ＋2）x ＋h 2＋21h －9=0，∴△=（－2h ＋2）2－4（h 2＋21h －9）=0，解得h=4．此时抛物线y=（x －4）2＋2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意 (7)分综上：平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或4145-1-≤h＜41451-+．通州解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；(3)2，517+，517-. （每个答案各1分） ……………… 7分．422510AOB延庆)解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：2244b 013c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩…………………………1分 解之得：b=4，c=0 …………………2分 所以抛物线的解析式为：24y x x =-+……3分 将抛物线的表达式配方得：()22424y x x x =-+=--+所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）…………………4分 （2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ），……………………………………5分 则四边形的面积OAPF=4n =20所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 ………6分代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分顺义（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++-- =244m m ++=2(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++=解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m=+……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分 房山)解：（1）根据题意，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴102550b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得65b c =⎧⎨=-⎩.∴抛物线的解析式为265y x x =-+-. --------------------2分（2）∵265y x x =-+-的图象过A （32，m ）和B （4，n ）两点 ∴ m=74，n=3 ， ∴A （32，74）和B （4，3） ------------ 3分 ∵直线y kx b =+（k ≠0）过A （32，74）和B （4，3）两点∴372443k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴直线的解析式为112y x =+. -------------------4分 （3）①根据题意3224t t ⎧⎪⎨⎪+⎩＞＜，解得32≤t ≤2 -------------------5分 ②根据题意E （t ，1t 12+），F （t+2，1t 22+）H （t ，2t 6t 5-+-），G （t+2，2t 2t 3-++），∴EH=211t t 62-+-，FG=23t t 12-++. 若EFGH 是平行四边形，则EH=FG ，即211t t 62-+-=23t t 12-++解得t=74， - ---------------------6分∵t=74满足32≤t ≤2.∴存在适当的t 值，且t=74使得EFGH 是平行四边形.----------7分密云（1）当2k =-时，(1,2)A -A 在反比例函数图像上∴设反比例函数为k y x =，代入A 点坐标可得2k =-2...........................2y x-∴=分（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，0.....................k ∴<分 而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为12x =-，要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，(图为一种可能的情况)即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大………………..4分∴ 综上所述，则0k <，且12x <-（3）由(2)可得15(,)24Q k --ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形A 点与B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半...........................5OQ OA OB ∴==分 作AD OC ⊥，QC OC ⊥222125416O Q C Q O C k=+=+ 而2221OA AD OD k =+=+221251416k k ∴+=+， 则233k =，或23...................................73k =-分燕山)⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， ………………………3分∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点；当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ． …………………7分 大兴解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，， 解得.∴ 抛物线为y=﹣x 2+2x+3 . ………………………………………1分又设直线为y=kx+n 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得,， 解得.∴ 直线AC 为y=x+1 . ………………………………………2分 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N ′，则N ′（6，3），由（1）得D （1，4）， ∴ 直线DN ′的函数关系式为y=﹣x+当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小则m=﹣×=………………………………………4分（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=，∴E（，3172-）或（，）满足条件的点E为E（0，1）、（，3172-）或（，）.。

2013年全国中考数学试题分类解析汇编 专题：一元二次方程一、选择题1. （2012天津市3分）若关于x 的一元二次方程（x －2）（x －3）=m 有实数根x 1,x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3； ②1m 4>-；③二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）＋m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）32. （2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是【 】 A ．（x －1）2=2 B ．（x －1）2=4 C ．（x －1）2=1 D ．（x －1）2=75. （2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】 A ．－2 B ．2 C ．3 D ．16. （2012湖北荆门3分）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】 A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x+1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x+1）2=167. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【 】 A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．﹣139. （2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】 A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k＜12 D ．﹣12≤k＜12且k≠010. （2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【 】 A. m 1≤- B. m 1≤ C. m 4≤ D.m 12≤11. （2012湖南株洲3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【 】 A ．b=﹣1，c=2 B ．b=1，c=﹣2 C ．b=1，c=2 D ．b=﹣1，c=﹣212. （2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】 A ． ﹣3B ． 3C ． ﹣6D ． 613. （2012四川广安3分）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是【 】 A ．a ＞2 B ．a ＜2 C ．a ＜2且a≠l D．a ＜﹣214. （2012四川泸州2分）若关于x 的一元二次方程x 2－4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是【 】A 、k≥2B 、k≤2C 、k ＞-2D 、k ＜-215. （2012四川南充3分）方程x （x-2）+x-2=0的解是【 】 （A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－1 16. （2012贵州安顺3分）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是【 】 A ． 1B ． ﹣1C ． 0D ． 无法确定17. （2012山东东营3分）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取值范围是【 】．A ． k≥1B ． k≤1 C． k>1D ． k<118. （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】 A ．9 B ．±3 C．3 D ．520. （2012山东日照4分）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 (A) k>34且k≠2 (B)k≥34且k ≠2 (C) k >43且k≠2 (D)k≥43且k≠2 21. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B ．x 2﹣4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x ﹣5=0 23. （2012广西河池3分）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【 】A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根29. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】 A ．a=﹣3，b=1 B ．a=3，b=1 C ．3a=2-，b=﹣1D ．3a=2-，b=130. （2012内蒙古包头3分）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】 A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7 二、填空题1. （2012北京市4分）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是 ．2. （2012上海市4分）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ． 5. （2012江苏常州2分）已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m= ，另一根为 。

2013年中考数学一元二次方程试题分类精编1、（2013•郴州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 ．2、（2013，娄底）已知：一元二次方程021212=-++k kx x . （1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设0<k ，当二次函数21212-++=k kx x y 的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；3.方程x 2﹣9x +18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．4、（2004•广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．5、（2013•达州）若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）6.（2013。

成都）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？7、（2013•乐山）已知一元二次方程x 2－(2k +1)x +k 2+k =0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.8、（2013•泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A .1k >-B .1k <且0k ≠C . 1k ≥-且0k ≠D . 1k >-且0k ≠9、（2013•泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A .5 B .－5 C .1 D .－110、（2013•眉山）已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______11、（2013•绵阳）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC的周长是 。

一元二次方程单元综合测试题（时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程12x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x－2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x－2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0•有两个不相等的实数根，则m •的取值范围是定______________．7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________．9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12x 2+8x+5的最小值是_________．二、选择题（每题3分，共18分）11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对12．若分式22632x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）．A ．3或－2B ．3C ．－2D ．－3或2 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－114．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3）15．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）．A．1 B．2 C．3 D．416．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（）．A．8 B．8或10 C．10 D．8和10三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；（32=6x（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求xy的值．19．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．（1）填写统计表：2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．22．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程12x 2x+c －12a=0有两个相等的实数根，•方程3cx+2b=2a 的根为x=0． （1）试判断△ABC 的形状．（2）若a ，b 为方程x 2+mx －3m=0的两个根，求m 的值．23．已知关于x 的方程a 2x 2+（2a －1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．解：（1）根据题意，得△=（2a －1）2－4a 2>0，解得a<14． ∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根．（2）存在，如果方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，则x 1+x 2=－21a a=0 ①，解得a=12，经检验，a=12是方程①的根．∴当a=12时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．答案:1．x1=3，x2=102．（5）点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．3．6x2－2=04．4 －2 点拨：把1x看做一个整体．5．m≠±16．m>－112点拨：理解定义是关键．7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．8．y2－5y+6=0 x1x2=x3x4=9．x2－x=0（答案不唯一）10．－2711．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．16．C 点拨：•本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．17．（1）整理得（x+2）2=4，即（x+2）=±2，∴x1=0，x2=－4（2）x（x－3）－x=0，x（x－3－1）=0，x（x－4）=0，∴x1=0，x2=4．（326x=0，x2－x+1=0，由求根公式得x1，x2．（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，解得y1=－4，y2=1，即x+3=－4，x=－7．由x+3=1，得x=－2．∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，得（x－5）2+（y－8）2=0，∴x=5，y=8，∴xy=58．19．（1）换元降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=－3，x2=2．20．（1）（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x，则2001年用电量为14.73亿kW·h，2002年为14.73（1+x）亿kW·h，2003年为14.73（1+x）2亿kW·h．则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22，∴x1=0.22=22%，x2=－2.22（舍去）．则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．21．（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，解得x 1=0，x 2=25， 当x=0时，能卖出30件； 当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意． 故每件衬衫应降价25元． （2）设商场每天盈利为W 元．W=（40－x ）（30+2x ）=－2x 2+50x+1200=－2（x 2－25x ）+1200=－2（x －12.5）2+1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．22．∵12x 2x+c －12a=0有两个相等的实数根，∴判别式=）2－4×12（c －12a ）=0，整理得a+b －2c=0 ①， 又∵3cx+2b=2a 的根为x=0， ∴a=b ②． 把②代入①得a=c ，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形． （2）a ，b 是方程x 2+mx －3m=0的两个根， 所以m 2－4×（－3m ）=0，即m 2+12m=0， ∴m 1=0，m 2=－12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去）， ∴m=12． 23．上述解答有错误．（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a 2≠0且满足（2a －1）2－4a 2>0，∴a<14且a ≠0． （2）a 不可能等于12． ∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a 的取值范围是a<14且a ≠0， 而a=12>14（不符合题意， 所以不存在这样的a 值，使方程的两个实数根互为相反数．。

一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是例题分析易错点梳理5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2+=可转化为两个一元一次方x616+=，则另一个一元一次方程是（）程，其中一个一元一次方程是x64A．x64+=-+=D．x64 -=-B．x64-=C．x64例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820--=，配方后可形为（）x xA．()2418x-=x-=B．()2414C．()2864x-=x-=D．()241考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220+--=的根的情x mx m况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m，n是一元二次方程220210+-=的两个x x实数根，则代数式22++的值等于（）m m nA．2019 B．2020 C．2021 D．2022考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．±3C ．3D ．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（ ）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 微练习6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（ ）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（ ）A ．2181x x ++=B ．()2181x += C ．()21181x x +++= D ．()()211181x x ++++= 11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（ ）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定 二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________． 16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。

一元二次方程解法巩固复习
1.公式法解下列方程
x x 3232=+ 012=-+x x 02342
=+-x x
23x =25x + 1)53)(2(=--x x 0223422=-+x x
2. 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
0=8-2x ＋(1)x 2 4-4x =(2)x 2 -3=3x -(3)x 2
0=12－x +x ）4（2 11+2x =8+4x +x ）5（ 2
3.已知关于x 的方程()()0212
2=-+++m x m x 有两个相等的实数根。

① 求m 的值；② 求出这时方程的根。

4.若关于ｘ的一元二次方程042=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围是
5. 若关于x 的一元二次方程()01412=++-x x k 有实数根，则k 的取值范围是
6. 用因式分解法解下列方程：
(x-2)·(x -3)=0 0=11x －4x 2 02)2(=-+-x x x 4
3241252
2
+
-=--x x x x
7.解一元二次方程时，要根据方程的特点，灵活选用适当的方法求解.
222)5(2
3)32)(3)(4(6
6)3(0
32)2(9)2)(1(2222=+-+=+-=-=--=-y y x x x x x x x x
8.无论p 取何值，方程0=p -2)-3)(x -(x 2总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.。

一元二次方程测试卷班别____姓名___________ 得分______提示: 本卷是我自己编制的.内容涉及到一元二次方程的定义、解法、应用以及根与系数的关系.总分100,难度系数为0.76.是一份实用性很强的试卷.一. 填空题：（3′×8=24′）1. 若方程()3211=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m =_____;2. 把方程()()13122+=-+x x x 化为一般形式后，一次项系数是________;3. 若102++my y 完全平方式，则m 的值为__________;4. 当m _______时，方程0322=+-m x x 一定有解；5. 若21,x x 是方程0722=--x x 的两根，则()=-221x x ；6. 以3，-5为根的一元二次方程是 ；7. 已知()()0622222=-+-+b a ba ，则22b a +＝ ； 8. 代数式1022+-a a 的最小值是 ；二. 选择题：（3′×8=24′）1. 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）（1）02=++c bx ax （2）0322=-+y x （3）0312=++x x （4）12=x （5）()01122=+++ax x aA .1个； B.2个； C.3个； D.4个。

2. 如果代数式632-x 的值为21，则x 的值一定是（ ）A . 3 ； B. 3± ；C . 3- ；D. 3± 。

3．解方程()()1531522-=-x x 的最适当的方法应是（ ） A ．直接开平方法 B.配方法 C .公式法 D.因式分解法4. 方程()06232=++-x x 的根是（ ） A.6,121==x x ； B.3,221-=-=x x ； C .1,3221=+=x x ， D.2,3==x x 。

5. 以下方程中，两根和为5-的是（ ）A.01052=++x xB.0252=--x x C .14)5(=+x x D.0522=-+x x6 .已知两个数的和为—1，积为—12，则这两个数是（ ）A. 3和4；B. —3和4 ；C. 3和—4；D. —3和—4 。

初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。

2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数 2、移项：把 项移到方程的 边3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx +c =0(a ±0) 满足b 2－4ac ≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B =0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根 ③当 时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】方程有两个实数跟，则一、 一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)有两个根分别为X 1X 2则X 1+X 2 = X 2 =二、 一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa （1+X ）2=b2、 利润问题：总利润= X 或利润 —3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x －1）（x +2）=1 D ．3x 2－2xy －5y 2=0 思路分析：一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；B 、当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C 、由原方程，得x 2+x －3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D 、方程3x 2－2xy －5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误． 故选C ．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，则a= ．解：∵一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2－1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2 （2012•安徽）解方程：x2－2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2－2x=2x+1，∴x2－4x=1，∴x2－4x+4=1+4，（x－2）2=5，∴x－2=±5，∴x1=2+5，x2=2－5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3 （2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定思路分析：将已知的方程x2－10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2－10x+21=0，因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2－10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为何？（）A．－57 B．63 C．179 D．181解：x2－2x－3599=0，移项得：x2－2x=3599，x2－2x+1=3599+1，即（x－1）2=3600，x－1=60，x－1=－60，解得：x=61，x=－59，∵一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=－59，∴2a－b=2×61－（－59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x－2）+x－2=0的解是（）A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1答案：D考点三：根的判别式的运用例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1－4k＞0，∴－12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2－4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2－4（2m－1）=（m－2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12－1×（m+2）+（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1答案：A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根．解：（1）∵当m=3时，△=b2－4ac=22－4×3=－8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=－3时，原方程变为x2+2x－3=0，∵（x－1）（x+3）=0，∴x－1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=－3．考点四：一元二次方程的应用例5 （2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1－x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠2解：∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2－4（k－2）2＞0，∴（2k+1－2k+4）（2k+1+2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞34，故k＞34且k≠2．故选C．3．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=－24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．5．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。